2022-2023学年湖南省永州市冷水滩区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省永州市冷水滩区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，轴对称图形的个数是( )
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
3. 如图，如果那么，其依据可以简单的说成( )
A. 两直线平行，内错角相等
B. 两直线平行，同位角相等
C. 同位角相等，两直线平行
D. 内错角相等，两直线平行
4. 下列计算中，正确的是( )
A.
B.
C.
D.
5. 计算：的结果是( )
A. B. C. D.
6. 已知一组数据，，，，的众数为，那么这组数据的中位数是( )
A. B. C. D.
7. 如图，将三角形沿着射线方向平移得到三角形，已知之间的距离是，，则的长为( )
A. B. C. D.
8. 如图，，，垂足分别为，，已知，，，则图中点到的距离是( )
A. B. C. D.
9. 九章算术是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问：人与车各几何？译文：若人坐一辆车，则两辆车是空的；若人坐一辆车，则人需要步行，问：人与车各多少？设有辆车，人数为，根据题意可列方程组为( )
A. B. C. D.
10. 如图，已知，平分，平分，则下列结论：
；
；
；
；
三角形的面积和三角形的面积相等．
其中正确的有( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 因式分解： ______ ．
12. 某校举行“预防溺水，从我做起”演讲比赛，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占，演讲能力占，演讲效果占，计算选手的综合成绩，小亮的三项成绩依次是，，，他的综合成绩是______ 分
13. 若，则的值是______ ．
14. 已知，，其中，正整数，则的值为______ 用含，的代数式表示
15. 如图所示，已知，，，则的度数是______ ．
16. 已知，，则的值是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
把下列多项式因式分解：
；
．
18. 本小题分
解下列二元一次方程组：
；
．
19. 本小题分
先化简，再求值：，其中，．
20. 本小题分
如图，已知三角形的顶点都在格点上，直线与网格线重合每个小正方形的边长均为个单位长度．
在图中画出三角形关于直线对称的三角形；
在图中将三角形向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到三角形，画出三角形；
在图中画出三角形绕点顺时针旋转后得到的三角形C.
21. 本小题分
为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校组织了“学习贯彻二十大”主题征文活动，七年级班和七年级班各有人参加活动，得分分制如下表：
七年级班
七年级班
七年级班成绩的众数是______ ，七年级班成绩的中位数是______ ；
计算七年级班成绩的平均数和方差；
已知七年级班成绩的方差是，则成绩比较稳定的是哪个班？请说明理由．
22. 本小题分
如图，已知，
求证：；
若平分，于，，求的度数．
23. 本小题分
某城市规定出租车收费标准如下：起步价所包含的路程为，超过的部分按每千米另外收费不足按照收费，总车费在里程费的基础上另外多加收元燃油附加费．
小张说：“我乘出租车从区政府到火车站走了，一共付车费元”
小王说：“我乘出租车从公园到万达广场走了，一共付车费元”
出租车的起步价是多少元？超过后每千米收费多少元？
小刘乘坐出租车从某广场到机场一共走了，应付车费多少元？
24. 本小题分
配方法是数学中重要的思想方法之一，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题我们定义：一个整数能表示成是整数的形式，则称这个数为“完美数”，例如，是“完美数”理由：因为，所以是“完美数”．
【解决问题】
已知是“完美数”，请将它写成是正整数的形式______ ；
若可配方成为正整数，则 ______ ；
【探究问题】
已知是整数，是常数，要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
25. 本小题分
如图所示，将一副三角板中的两块直角三角板按图放置，，，，，此时点与点重合、点、，三点共线．
对于图、固定三角形的位置不变，将三角形绕点按顺时针方向进行旋转，旋转至与首次垂直，如图所示，此时的度数是______ ；
若直线，固定三角形的位置不变，将图中的三角形沿方向平移、使得点正好落在直线上，再将三角形绕点按逆时针方向进行旋转，如图所示．
若边与边相交于点，试判断的值是否为定值，若是定值，则求出该定值；若不是定值，请说明理由：
固定三角形的位置不变，将三角形绕点按逆时针方向以每秒的速度进行旋转，当与直线首次重合时停止运动，当经过秒时，线段与三角形的一条边平行，请直接写出满足条件的的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：中间两个图形是轴对称图形，轴对称图形的个数是，故选B．
关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．
本题考查轴对称图形概念的理解，判断一个图形是不是轴对称图形的关键是能不能找到一条直线，沿这条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合．
2.【答案】
【解析】解：与不是同类项，所以不能合并，选项计算错误；
，这是解一元一次方程，未求解，所以不符合题意；
，选项计算正确；
，选项计算错误．
故答案为：．
分别利用合并同类项法则，解一元一次方程，同底数幂的乘法法则，积的乘方法则进行判断可得结果．
此题主要是考查了整式的运算，能够熟练掌握运算法则是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
同位角相等，两直线平行．
故选：．
依据平行线的判定方法判断即可．
本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定方法是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：，故A错误；
B.，故B错误；
C.，故C错误；
D.，故D正确．
故选：．
根据完全平方公式，单项式乘多项式，平方差公式和多项式乘多项式运算法则进行计算即可．
本题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，单项式乘多项式，平方差公式和多项式乘多项式运算法则，准确计算．
5.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据积的乘方运算法则，进行计算即可解答．
本题考查了积的乘方，逆用积的乘方是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：一组数据，，，，的众数为，
，
这组数据按照从小到大排列是：
，，，，，
则这组数据的中位数是：；
故选：．
根据题目中数据和题意，可以得到的值，再根据中位数的定义求解即可．
本题考查了众数、中位数的意义．众数是数据中出现最多的数；一组数据的中位数是先将该组数据按从小到大或按从大到小的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．
7.【答案】
【解析】解：根据平移的性质可知，，
，，
，
故选：．
根据平移的性质即可求解．
本题主要考查平移的性质，掌握平移的概念，性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，
点到线段的距离是的长．
又，，，，
点到线段的距离是．
故选：．
先用三角形的面积公式，求出的长，再根据点到直线的距离的定义求解即可得到答案．
本题主要考查了点到直线的距离的概念，三角形的面积的计算，解题的关键在于能够熟练掌握点到直线的距离的定义．
9.【答案】
【解析】解：设共有人，辆车，
依题意得：．
故选：．
设共有人，辆车，根据“如果每人坐一辆车，那么有辆空车；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，
，
结论正确；
，
，
平分，平分，
，，
，
结论正确；
由结论正确得：，
；
结论正确；
，
，
平分，
，
，
结论正确；
，
和同底等高，
三角形的面积和三角形的面积相等，
结论正确；
综上所述：正确的结论是．
故选：．
由由于，因此根据两直线平行同位角相等可对结论进行判断；
由得，再根据角平分线的定义得，，
据此可对结论进行判断；
由结论正确得，然后根据同位角相等两直线平行可对结论进行判断；
由得，再根据角平分线的定义得，据此可对结论进行判断；
由得和同底等高，据此可对结论进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，理解角平分线的定义和平行线的距离，以及同底或等底同高或等高的两个三角形的面积相等．
11.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
直接利用平方差法分解因式即可．
本题主要考查利用平方差法公式分解因式，熟练掌握，是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：小亮的综合成绩为：分，
故答案为：．
根据加权平均数的定义列式计算可得．
本题考查的是加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，
，
得：，
即，
故答案为：．
根据偶次幂及绝对值的非负性列得方程组，然后将两个方程相加即可求得答案．
本题考查偶次幂及绝对值的非负性，解二元一次方程组，结合题意列得方程组是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，，
．
．
故答案为：．
逆运用同底数幂的除法法则、幂的乘方法则，代入计算得结论．
本题主要考查了整式的运算，掌握同底数幂的除法法则和幂的乘方法则是解决本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：过点作，
，
，
，
，
，
故答案为：．
过点作，利用铅笔模型进行计算，即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握铅笔模型是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，
，
即，
，
，
解得：．
故答案为：．
先将进行平方，然后把代入，即可求解．
本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式的几个变形公式．
17.【答案】解：
；
．
【解析】根据完全平方公式分解因式即可；
先提公因式，然后再用平方差公式分解因式即可．
本题主要考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式．
18.【答案】解：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
方程组的解为：；
，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
原方程组的解为：．
【解析】用代入消元法解二元一次方程组即可；
用加减消元法解二元一次方程组即可．
本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般方法准确计算．
19.【答案】解：原式
，
当，时，原式．
【解析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则、合并同类项法则把原式化简，把、的值代入计算即可．
本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：如图，即为所求；
如图，
如图，即为所求；
【解析】依据轴对称的性质进行作图，即可得到关于直线对称的；
根据平移的方向和距离，先作出对应点、、，顺次连接，即可得到；
依据旋转变换，即可得到绕点顺时针旋转后得到、顺次连接，得出即可．
本题主要考查了轴对称、平移、旋转作图，熟练掌握轴对称、平移、旋转的性质是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：七年级班个人的成绩中出现次数最多，因此众数是；
将七年级班个人的成绩从小到大进行排序为：、、、、，排在中间位置的是，因此中位数是．
故答案为：；．
七年级班成绩的平均数为：
，
方差为：；
七年级班成绩的方差是，且，
成绩比较稳定的是七年级班．
根据众数和中位数的定义进行解答即可；
根据平均数和方差的计算公式进行计算即可；
根据方差进行判断即可．
本题主要考查了求一组数据的中位数、众数、平均数和方差，解题的关键是熟练掌握方差的计算公式，一般地设个数据，，，的平均数为，则方差．
22.【答案】证明：，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，内错角相等，
，
等量代换，
同旁内角互补，两直线平行；
解：，，
，
平分，
角平分线定义，
已证，
又，
垂直定义，
．
【解析】直接利用平行线的判定与性质得出，进而得出，即可得出答案；
利用角平分线的定义结合平行线的性质得出，即可得出答案．
此题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出是解题关键．
23.【答案】解：设出租车起步价是元，超过后每千米收费元，根据题意得：
，
解得：，
答：出租车起步价是元，超过后每千米收费元．
元，
答：小刘乘坐出租车从某广场到机场一共走了，应付车费元．
【解析】设出租车起步价是元，超过后每千米收费元，根据出租车从区政府到火车站走了，一共付车费元；出租车从公园到万达广场走了，一共付车费元；列出方程组，解方程组即可；
根据题意列出算式进行计算即可．
本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组，准确计算．
24.【答案】
【解析】解：；
；
，，
；
；
是“完美数”，，是整数，
可以取．
根据新定义把写成两个整数的平方和即可；
原式利用完全平方公式后，再确定出与的值，即可求出的值；
根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可．
本题考查的是完全平方公式的应用，掌握利用完全平方公式分解因式、偶次方的非负性是解题的关键．
25.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
．
故答案为：；
是定值．
如图，过点作，
，，
，
，
，
又，
，
当时，如图，
，
，
，
，
，
，
，
即旋转角等于，
旋转速度是每秒，
秒；
当时，交于，如图，
，
，
，
即旋转角等于，
旋转速度是每秒，
秒；
综上，当的值为秒或秒时，线段与三角形的一条边平行．
根据与垂直时的度数，用的度数减去的度数，差就是的度数；
过点作，根据平行线的性质推出，看的度数是不是定值即可解决问题；
分和两种情况进行研究，求出每种情况下旋转的度数即可求出值．
本题是几何变换综合题，主要考查旋转的性质，平行线的性质，平移的性质，等腰直角三角形的性质以及三角形内角和等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
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