2022-2023学年山东省枣庄市山亭区八年级（下）期末质检数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省枣庄市山亭区八年级（下）期末质检
数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列多项式中能用提公因式法分解的是( )
A. B. C. D.
2. 将分式中的、的值同时扩大倍，则 扩大后分式的值( )
A. 扩大倍 B. 缩小倍 C. 保持不变 D. 无法确定
3. 若，则的值为( )
A. B. C. D.
4. 已知多项式可以分解为，则的值是( )
A. B. C. D.
5. 计算的结果是( )
A. B. C. D.
6. 如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的( )
A. B. C. D.
7. 化简的结果是( )
A. B. C. D.
8. 下列各式中，能用公式法分解因式的有( )
；
；
；
；
．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
9. 若多项式是一个完全平方式，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
10. 已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 已知，则的值等于______ ．
12. 已知两个正方形的周长差是，面积差是，则这两个正方形的边长分别是______．
13. 从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的梯形如图甲，然后拼成一个平行四边形如图乙那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证的公式为______．
14. 计算：______．
15. 若关于的方程有增根，则的值为______．
16. 已知实数，满足，则的值为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17. 解方程：．
四、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
因式分解：
；
；
．
19. 本小题分
利用因式分解计算：
．
20. 本小题分
已知、、是的三边的长，且满足，试判断此三角形的形状．
21. 本小题分
先化简，再求值：，其中，．
22. 本小题分
如图，在一个大圆盘中，镶嵌着四个大小一样的小圆盘，已知大小圆盘的半径都是整数，阴影部分的面积为，请你求出大小两个圆盘的半径．
23. 本小题分
先化简：，然后解答下列问题：
当时，求原代数式的值；
原代数式的值能等于吗？为什么？
24. 本小题分
下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式第一步
第二步
第三步
第四步
请问：
该同学第二步到第三步运用了因式分解的______
A.提取公因式法 平方差公式
C.两数和的完全平方公式 两数差的完全平方公式
该同学因式分解的结果是否彻底？______填“彻底”或“不彻底”
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______
请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，无法分解因式，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，正确．
故选：．
直接利用公式法以及提取公因式法分别分解因式判断即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：．
所以扩大了倍．
故选A．
根据、的值同时扩大倍，后求出分式的值和原来比较求出结果．
本题考查分式的基本性质，关键算出，都扩大后的结果和原来比较即可求解．
3.【答案】
【解析】解：由，
比较系数，得，，
解得，，
则．
故选：．
根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据对应项的系数相等列出方程，求解即可得到、的值，再代入计算即可．
本题考查了多项式的乘法法则，根据对应项系数相等列式是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：根据题意可得：，
而，
故可得为，
故选：．
本题可根据题中条件，多项式分解为单项式，用分解出来的单项式进行相乘后，即可求出的值．
本题考查因式分解的基本知识，学生需掌握因式分解的基本知识，做此题就不难．
5.【答案】
【解析】解：原式
．
故选：．
先通分，再根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．
本题考查的是分式的加减法，异分母分式加减把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，再把分子相加减即可．
6.【答案】
【解析】解：设规则瓶体部分的底面积为平方厘米．
倒立放置时，空余部分的体积为立方厘米，
正立放置时，有墨水部分的体积是立方厘米，
因此墨水的体积约占玻璃瓶容积的．
故选：．
设第一个图形中下底面积为未知数，利用第一个图可得墨水的体积，利用第二个图可得空余部分的体积，进而可得玻璃瓶的容积，让求得的墨水的体积除以玻璃瓶容积即可．
考查列代数式；用墨水瓶的底面积表示出墨水的容积及空余部分的体积是解决本题的突破点．
7.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了分式的混合运算．解题时要注意运算顺序．
首先利用分式的加法法则，求得括号里面的值，再利用除法法则求解即可求得答案．
【解答】
解：，
，
，
．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：原式，它无法利用公式法因式分解；
原式，它可以利用平方差公式因式分解；
无法因式分解；
原式，它可以利用完全平方公式因式分解；
原式，它可以利用完全平方公式因式分解；
综上，能用公式法分解因式的有个，
故选：．
将各式因式分解后进行判断即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：因为多项式是一个完全平方式，
可得：，
解得：或，
故选：．
根据完全平方公式的特征判断即可得到的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了分式方程的解，时刻注意分母不为这个条件．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出，根据方程的解为非负数求出的范围即可．
【解答】
解：分式方程去分母得：，
解得：，
由方程的解为非负数，得到，且，
解得：且．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
将已知等式的左边通分得，，取倒数可得结论．
本题考查了分式的加减法及分式的值，熟练掌握分式的通分是关键．
12.【答案】、
【解析】解：设两正方形的边长分别为，，
根据题意得，，即，
，
，
，
解方程组得，
这两个正方形的边长分别是、．
故答案为、．
设两正方形的边长分别为，，根据正方形的周长和面积公式得到，，再分解得到，则，然后解关于、的二元一次方程组即可．
本题考查了因式分解的应用：利用因式分解可把复杂的代数式变形为简单的代数式，然后便于计算．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了平方差公式的几何背景，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立的公式．
【解答】
解：阴影部分的面积相等，即甲的面积，乙的面积．
即：．
所以验证成立的公式为：．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
为同分母，通分，再将分子因式分解，约分．
本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
15.【答案】
【解析】
【分析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出未知字母的值．
增根问题可按如下步骤进行：
让最简公分母为确定增根；
化分式方程为整式方程；
把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【解答】
解：方程两边都乘，得
，
，
原方程有增根，
最简公分母，即增根为，
把代入整式方程，得；
关于的方程有增根，则的值为
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：，
，
则，，
．
故答案为：．
直接利用完全平方公式将原式变形，进而得出，的值，即可得出答案．
此题主要考查了配方法的应用，正确应用完全平方公式是解题关键．
17.【答案】解：两边都乘以，得：，
解得：，
检验：当时，，
所以原分式方程的解为．
【解析】两边都乘以化分式方程为整式方程，解之求得的值，再检验即可得．
本题主要考查分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论．
18.【答案】解：原式
；
原式
；
原式
．
【解析】直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
直接利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
将原式变形，利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
19.【答案】解：
．
【解析】先把原式变形为，再因式分解得，然后进行计算即可．
此题考查了因式分解的应用，用到的知识点是平方差公式，关键是对要求的式子进行变形，注意总结规律，得出结果．
20.【答案】解：
且
即，故该三角形是等边三角形．
【解析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．
当对多项式的局部因式分解后，变成了几个非负数的和为，则这几个非负数同时为，从而判断出该三角形的形状．
21.【答案】解：原式
，
当，时，原式．
【解析】先算括号内的加法，再把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可．
本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
22.【答案】解：设大圆盘的半径为，一个小圆盘的半径为，根据题意，得：
，
即．
因为，均为正整数，
所以，也为正整数，
所以：，
解得
答：大圆盘的半径为，一个小圆盘的半径为．
【解析】先设大圆盘的半径为，一个小圆盘的半径为，根据一个大圆盘中，镶嵌着四个大小一样的小圆盘，阴影部分的面积为，列出式子，再根据大小圆盘的半径都是整数，即可求出答案．
此题考查了因式分解的应用，解题的关键是利用因式分解法求不定方程的整数解，注意要把解质因数．
23.【答案】解：
．
当时，原式；
原代数式的值不能等于．
理由如下：
如果，那么，
解得：，
当时，除式，原式无意义，
故原代数式的值不能等于．
【解析】这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的减法，此时要注意把各分子、分母先因式分解，约分后再做减法运算；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，然后约分化为最简形式，再将代入计算即可；
如果，求出，此时除式，原式无意义，从而得出原代数式的值不能等于．
本题考查了分式的化简求值．解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键．
24.【答案】解：；
不彻底；
原式
．
【解析】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
观察分解过程发现利用了完全平方公式；
该同学分解不彻底，最后一步还能利用完全平方公式分解；
仿照题中方法将原式分解即可．
【解答】
解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，选择，
故答案为；
该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为；
故答案为不彻底；；
见答案．
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