2022-2023学年河北省唐山市迁安市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省唐山市迁安市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共16小题，共32.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离是( )
A. B. C. D.
2. 根据“五项管理”和“双减”政策要求迁安市某中学为了解本校名学生的睡眠情况，从中抽查了名学生的睡眠时间进行统计，下面叙述正确的是( )
A. 以上调查属于全面调查 B. 名学生是样本容量
C. 每名学生的睡眠时间是个体 D. 名学生是总体的一个样本
3. 下列函数中，自变量的取值范围是的函数是( )
A. B. C. D.
4. 下面哪个点不在函数的图象上( )
A. B. C. D.
5. 在学习“四边形”的知识时，小明的书上有一个图因不小心被滴上了墨水如图，请问被墨迹遮盖了的文字是( )
A. 四边形 B. 等腰梯形 C. 等边三角形 D. 菱形
6. 已知一次函数，且，则它的图象不经过的象限( )
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
7. 某学校在某商城的南偏西方向上，且距离商城，则下列表示正确的是( )
A. B.
C. D.
8. 如图，将五边形沿对角线所在的直线剪开，得到四边形和，设四边形内角和为，三角形内角和为，则与的关系式( )
A.
B.
C.
D. 无法确定
9. 某校测量了八班学生的身高精确到，得到如图所示的频数分布直方图，则下列说法正确的是( )
A. 该班人数为人
B. 该班身高最高段的学生数为人
C. 该班身高最高段的学生数为人
D. 频数分布直方图按为组距进行分组
10. 平行四边形的周长为，两邻边长为、，则与之间的关系是( )
A. B.
C. D.
11. 如图，一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
两组对边分别相等
一组对边平行且相等
一组邻边相等
一个角是直角
顺次添加的条件：
，
则正确的添加顺序是( )
A. 仅 B. C. D.
12. 小红在平面直角坐标系内画了一个一次函数的图象，图象特点如下：
图象过点
图象与轴的交点在轴上方
随的增大而减小
符合该图象特点的函数关系式为( )
A. B. C. D.
13. 如图，平行四边形中，点、在对角线上，且，要使四边形为菱形，现有三种方案：
只需要满足；
只需要满足；
只需要满足．
则上述方案正确的是( )
A. B. C. D.
14. 如图，在长方形中，，，动点沿折线从点开始运动到点，设点运动的路程为，的面积为，那么与之间的函数关系的图象大致是( )
A. B.
C. D.
15. 如图，两摞规格完全相同的作业本整齐地叠放在桌面上，根据图中所给出的数据信息，甲、乙、丙、丁四人分别给出下列信息：
甲：每本作业本的厚度为
乙：桌面距离地面的高度为
丙：若有一摞这种规格作业本本整齐放在桌面上，这摞作业本顶部距离地面高度为单位：，则．
对于三个信息，下列说法正确的是( )
A. 只有甲错误 B. 只有甲、乙正确 C. 只有甲、丙正确 D. 都正确
16. 如图，在矩形中，，对角线、相交于点，以为边在下方作正方形，已知，连接，则的度数为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共3小题，共10.0分）
17. 若点在第三象限，则的取值范围是______ ．
18. 如图，直线：与直线：的交点为则方程组的解为______ ．
19. 如图，点在四边形的边上任意一点，且，，垂足分别为，．
若四边形为正方形，且正方形的边长为，如图，则 ______ ；
若四边形为矩形，且，，如图，则 ______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. 本小题分
如图，在的网格中有，已知，．
请建立平面直角坐标系，写出点的坐标；
在的基础上，画出关于原点对称的；
连接、，猜想四边形的形状是______ ．
21. 本小题分
为了解某校九年级学生的体质健康情况，李老师从个班中每班随机抽取名学生进行了一次体质健康测试，根据测试成绩制成统计图表和请根据上述信息解答下列问题：
本次调查的样本容量是______ ；
表格中的 ______ ；
求九年级学生体质健康测试成绩在组频率；
若该校九年级学生有人，估计体质健康测试成绩不低于分的有多少人？
图
组别 分数段 人数
22. 本小题分
如图，在四边形中，，，是上一动点，连接交于，连接．
求证：；
若，求证：四边形是菱形；
在的条件下，当点运动到离点距离最近时，猜想与的关系，并说明理由．
23. 本小题分
某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日生产出的产品全部售出已知生产只玩具熊猫的支出成本为元，销售收入为元且支出成本元与只成一次函数．
已知当时，，当时，，求与之间的函数关系；
销售收入为元与只的关系如表：
只
元
直接写出元与只的函数关系；
该厂在保证支出成本不少于元，销售收入不超过元的情况下，求该厂一天的最高利润．
24. 本小题分
数学课上大家一起研究三角形中位线性质定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半．
已知，如图，在中，、分别是、的中点．
求证：且．
【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学甲同学思考后说出了添加的辅助线：
甲：延长至点，使，连接．
【定理证明】请把甲同学说的辅助线补充到图上，并根据他的思路证明三角形中位线性质定理；
【合作交流】通过交流乙、丙、丁三位同学又给出了三种不同的辅助线方法：
乙：延长到点使，连接、、．
丙：作，延长使，延长，使．
丁：过点作，交于点，过点作的平行线交于点．
则三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线性质定理的是______ ；
A.乙、丁丙、丁乙、丙全正确
【定理应用】如图，，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离测量员在地面上选了点和点，使，连接、并分别找到和的中点，若测得，，则，两地间的距离______
25. 本小题分
如图，，是直线与坐标轴的交点，直线过点，与轴交于点．
求，，三点的坐标；
点是折线上一动点．
当点是的中点时，在轴上找一点，使的和最小，求点的坐标．
若是平面内任意一点，是否存在点，使四边形为矩形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：点到轴的距离是：．
故选：．
直接利用点到轴的距离即为纵坐标的绝对值，即可得出答案．
此题主要考查了点的坐标，正确掌握点的坐标性质是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：以上调查属于抽样调查，故A不符合题意；
B.是样本容量，故B不符合题意；
C.每名学生的睡眠时间是个体，故C符合题意；
D.名学生的睡眠时间是总体的一个样本，故D不符合题意；
故选：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
3.【答案】
【解析】解：、由题意得：，
解得：，不符合题意；
B、由题意得：，
解得：，符合题意；
C、由题意得：的取值范围是全体实数，不符合题意；
D、由题意得：，
解得：，不符合题意；
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式即可判断．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、将代入得：
，
所以该点不在函数图象上，该选项符合题意；
B、将代入得：
，
所以该点在函数图象上，该选项不符合题意；
C、将代入得：
，
所以该点在函数图象上，该选项不符合题意；
C、将代入得：
，
所以该点在函数图象上，该选项不符合题意．
故选：．
将选项中的点代入函数解析式中验证即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是将各个选项代入验证．
5.【答案】
【解析】解：根据特殊四边形的关系，有一个角是直角的平行四边形是矩形，
有一组邻边相等的平行四边形是菱形，
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，
结合图形可知，被墨迹遮盖了的文字是：菱形．
故选：．
根据特殊四边形的关系，结合图形进行解答．
本题主要考查了特殊四边形：平行四边形，矩形，菱形，正方形之间的关系，需熟练掌握并灵活运用．
6.【答案】
【解析】解：函数且，，，
当时，此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
则一定不经过第三象限．
故选：．
根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，函数的图象所在的象限是解答此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：、某商城在某学校的南偏西方向上，且距离商城，故A不符合题意；
B、某学校在某商城的南偏西方向上，且距离商城，故B不符合题意；
C、某学校在某商城的南偏西方向上，且距离商城，故C符合题意；
D、某商城在某学校的南偏西方向上，且距离商城，故D不符合题意；
故选：．
根据方向角的定义，即可解答．
本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：四边形内角和为，三角形内角和为，
所以，
故选：．
利用多边形内角和求出、的值，进而得出即可．
本题考查多边形内角和，掌握多边形内角和的计算方法是正确解答的前提．
9.【答案】
【解析】解：、该班人数为：人，故本选项不符合题意；
B、该班身高最高段的学生数为人，故本选项符合题意；
C、该班身高最高段的学生数为人，不是人，故本选项不符合题意；
D、频数分布直方图按为组距进行分组的，故本选项不符合题意；
故选：．
分别对个选项结合频数分布直方图作出判断即可．
本题考查频数分布直方图，能正确认识频数分布直方图，并能从中获取有用信息是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：平行四边形的周长为，两邻边长为、，
，
则．
故选：．
直接利用平行四边形的性质结合其对边相等进而得出与之间的关系．
此题主要考查了根据实际问题列一次函数关系式，正确掌握平行四边形的性质是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组邻边相等的四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形，符合题意；
只能判定四边形是菱形，不能判定四边形是正方形，不符合题意．
，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形，符合题意．
故选：．
由平行四边形，菱形，正方形的判定，即可判断．
本题考查平行四边形，菱形，正方形的判定，关键是掌握平行四边形，菱形，正方形的判定方法．
12.【答案】
【解析】解：当时，，，
一次函数的图象不过点，选项A不符合题意；
B.当时，，，
一次函数的图象经过点；
当时，，
一次函数的图象与轴交于点，在轴上方；
，
随的增大而减小，选项B符合题意；
C.，
随的增大而增大，选项C不符合题意；
D.当时，，
一次函数的图象与轴交于点，在轴下方，选项D不符合题意．
故选：．
A.利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出一次函数的图象不过点；
B.利用一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，可得出一次函数符合给出的三个特点；
C.利用一次函数的性质，可得出随的增大而增大；
D.利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出一次函数的图象与轴交于点，在轴下方．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数的图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形，
，
平行四边形是菱形，符合要求；
四边形是平行四边形，
，不能判定平行四边形是菱形，不符合要求；
四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，符合要求．
故选：．
先证四边形是平行四边形，再由菱形的判定分别对各个方案进行判断即可．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由题意当时，
，
当时，
．
故选：．
分别求出、时函数表达式，即可求解．
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
15.【答案】
【解析】解：甲、根据图形可知，，故甲说法错误；
乙、根据图形可知，，故乙说法正确；
丙、根据题意得：这摞作业本顶部距离地面高度为：，故丙说法正确；
故以上说法只有甲错误．
故选：．
甲、每本作业本的厚度为本书厚度桌子高度本书厚度桌子高度是本书的厚度，可求；
乙、根据甲的答案，用本书厚度桌子高度减去本书的厚度，可得答案；
丙、根据甲和乙的答案，可列出代数式．
本题考查列代数式，根据题意找到书厚度与桌子高度之间的关系是关键．
16.【答案】
【解析】解：，
，
，
四边形是矩形，
，，，，
，
，
的等边三角形，
，
，
，
，
，
故选：．
根据正方形的面积可得，证明的等边三角形，由，即可解决问题．
此题考查了正方形的性质，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到是等边三角形．
17.【答案】
【解析】解：点在第三象限，
，
解不等式得，，
解不等式得，，
所以，的取值范围是．
故答案为：．
根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数列出不等式组，然后求解即可．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
18.【答案】
【解析】解：与直线：的交点为，
方程组的解为．
故答案为：．
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
19.【答案】
【解析】解：如图所示，设，交于点，连接，
四边形是正方形，正方形的边长为，
，，
又，，
，
即，
，
故答案为：．
如图所示，设，交于点，连接，
四边形为矩形，且，，
，，
又，，
，
，
，
故答案为：．
设，交于点，连接，根据即可求解；
设，交于点，连接，同的方法即可求解．
本题考查了正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20.【答案】平行四边形
【解析】解：已知，，平面直角坐标系如图：
由图可知：；
关于原点对称的如图所示：
连接、，，，
、，、关于原点对称，
，，
四边形是平行四边形．
故答案为：平行四边形．
由点、坐标容易建立平面直角坐标系，即可得出点的坐标；
分别作出，，的对应点，，，连接即可；
根据平行四边形的判定定理判定即可．
本题考查坐标系与图形、平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：本次调查的样本容量是，
故答案为：；
，
故答案为：；
，
答：九年级学生体质健康测试成绩在组频率为；
人，
答：估计体质健康测试成绩不低于分的有人．
根据从个班中每班随机抽取名学生解答即可；
用总人数乘以组的百分比即可得出；
用组人数除以即可得出答案；
用总人数乘以样本中成绩在组的百分比即可．
本题考查的是频数率分布表，扇形统计图，用样本估计总体，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22.【答案】证明：在和中，
，
≌，
；
证明：，
，
，
，
，
，，
，
四边形是菱形；
解：，
理由：当时，最短，
此时，，
四边形是菱形，
，
又，，
≌，
，
．
【解析】证明≌，由全等三角形的性质可得出结论；
证出，由菱形的判定可得出结论；
证明≌，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论．
此题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、垂线的性质等知识，证明≌是解题的关键．
23.【答案】解：设与的关系式为：，
当时，，当时，，
，
解得，
；
由表格可知与的关系式为一次函数关系式，
设，
当时，；时，，
则，
解得，
；
由支出成本不少于元，销售收入不超过元可得：，
解得，
设该厂一天的利润为元，
则，
，
随的增大而增大，
当时，最大，最大值为：元，
答：该厂一天的最高利润为元．
【解析】利用待定系数法可求解与之间的函数关系；
根据表格先确定与的关系式为一次函数关系式，再利用待定系数法计算可求解；
由题意先求解的取值范围，再列出利润与的关系式，根据一次函数的性质可求解．
本题主要考查一次函数的应用，待定系数法求解一次函数关系式是解题的关键．
24.【答案】
【解析】【定理证明】解：是的中点，
，
，，
≌，
，，
，
是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，；
【合作交流】乙：延长到点使，连接、、，推出四边形是平行四边形，得到，，因此四边形是平行四边形，即可证明．
丙：作，延长使，延长，使，根据全等三角形的判定和性质得出，，推出四边形是矩形，即可证明．
丁：过点作，交于点，过点作的平行线交于点，根据全等三角形的判定和性质得出，，即可证明．
故答案为：．
【定理应用】连接并延长交延长线于，
，
，，
是中点，
，
≌，
，，
是中点，
是的中位线，
，
，
．
，，
，
故答案为：．
【定理证明】由平行四边形的判定可得出四边形是平行四边形，得出，，可证出结论；
【合作交流】根据三角形中位线定理的证明解答即可；
【定理应用】由三角形中位线定理的结论可得出答案．
本题考查三角形中位线定理，梯形中位线定理，全等三角形的判定和性质，梯形，关键是通过作辅助线构造平行四边形，应用平行四边形的性质证明三角形中位线定理；通过作辅助线构造全等三角形，应用三角形中位线定理，证明梯形中位线定理．
25.【答案】解：当时，，
，
当时，，
，
将点代入直线，得，
直线为，
当时，，
；
，，点是的中点，
，
作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点，
连接，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
；
存在点，使四边形为矩形，理由如下：
当点在上时，
四边形为矩形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
过点作轴交于点，
，
，
；
当点在上时，过点作交于点，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
；
综上所述：点坐标为或
【解析】分别令、求出、点坐标，再由点坐标确定直线的解析式，进而可求点坐标；
作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点，连接，利用待定系数法求直线的解析式为，即可求点坐标；
当点在上时，是等腰直角三角形，过点作轴交于点，利用直角三角形的性质求点坐标即可；当点在上时，过点作交于点，由∽，求出，，再求点坐标即可．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，矩形的性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．
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