2022-2023学年山东省滨州市无棣县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省滨州市无棣县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 要使式子在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2. 在中，，若，，则的值是( )
A. B. C. D.
3. 直线一定经过点( )
A. B. C. D.
4. 若四边形是甲，则四边形一定是乙，甲、乙两空可以填( )
A. 平行四边形，矩形 B. 矩形，菱形
C. 菱形，正方形 D. 正方形，平行四边形
5. 在对一组样本数据进行分析时，爱国列出了方差的计算公式：
，下面结论错误的是( )
A. 众数是 B. 方差是 C. 平均数是 D. 中位数是
6. 古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
7. 如图，直线与的交点的横坐标为，两直线与轴交点的横坐标分别是，，则关于的不等式的解集是( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图，两个等宽的矩形纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形为，求证：四边形是菱形．
证明一：用直尺测量发现：
，，
，，
，
四边形是菱形． 证明二：设两张等宽的纸条宽为，
两个纸条是等宽的矩形，
，，
，
四边形是菱形．
下列说法正确的是( )
A. 证明用特殊到一般法证明了该问题
B. 证明的证明过程是完整的，能够得出结论
C. 证明还需要证明三角形全等，该证明才完整
D. 证明只要测量够一百个四边形的边长进行验证，就能证明该问题
9. 如图，点是 边上一动点，沿的路径移动，设点经过的路径长为，的面积是，则下列能大致反映与的函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，在矩形中，，分别是，上的点，，分别是，的中点，当点在上从点向点移动，而点保持不动时，下列结论成立的是( )
A. 线段的长逐渐增大 B. 线段的长逐渐减小
C. 线段的长不变 D. 线段的长先增大后减小
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 把直线向右平移______个单位可得到直线．
12. 某企业招聘工作人员，竞聘者需通过计算机、语言表达和写作能力测试，李强的三项测试百分制得分依次是分，分，分，其中计算机成绩占，语言表达占，写作能力成绩占，则李强最终的成绩是______ 分
13. 如图，点在正方形的边上，若，，那么的长为______ ．
14. 如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点，垂足为点，连接、，若，则 ______ ．
15. 阅读材料：如果两个正数、，即，，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号我们把叫做正数、算术平均数，把叫做正数、的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于即大于或等于它们的几何平均数它在数学中有广泛的应用，是解决最大小值问题的有力工具根据上述材料，若，则最小值为______ ．
16. 如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位的培训中心参加学习，图中，分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程千米随时间分变化的函数图象，以下说法中正确的是______ 填序号
甲平均速度为千米小时；
甲比乙晚分钟到达；
甲、乙相遇时，乙走了千米；
乙出发分钟后追上甲．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：
计算：；
已知，，求的值．
18. 本小题分
一次函数的图象过点与．
求这个一次函数的解析式；
求一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．
19. 本小题分
如图，四边形为平行四边形，的角平分线交于点，连接交于点．
求证：；
若，，，求的长．
20. 本小题分
某校九年级班甲、乙两名同学在次引体向上测试中的有效次数如下：
甲：，，，，．
乙：，，，，．
甲、乙两同学引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下：
平均数 众数 中位数 方差
甲
乙
根据以上信息，回答下列问题：
表格中______，______，______，______填数值
年级举行引体向上比赛，根据这次的成绩，在甲、乙两人中选择一个代表班级参加比赛，如选择甲同学，其理由是______；如选择乙同学，其理由是______．
21. 本小题分
学习完一次函数后，某班同学在数学老师的指导下，继续对函数的图象和性质进行探究同学们在研究的过程中发现，这个函数的自变量的取值范围是全体实数，他们将与的几组对应值列表如表，并画出了函数图象的一部分如图．
请你完成以下的研究问题：
表中的 ______ ．
根据表格的数据，画出函数图象的另一部分．
请你根据函数的图象判断以下两种说法在相应的括号内填“对”或“错”．
当时，随的增大而减小______ ；
整个函数图象关于直线对称______
22. 本小题分
下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在中，点，分别是，边的中点．
求证：，且．
方法一：证明：如图，延长到点，使，连接，，．
方法二：证明：如图，取中点，连接并延长到点，使，连接．
23. 本小题分
如图，正方形中，是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点，直角顶点在射线上移动，另一边交于．
如图，当点在边上时，猜想并写出与所满足的数量关系，并加以证明；
如图，当点落在的延长线上时，猜想并写出与满足的数量关系，并证明你的猜想．
24. 本小题分
二十大报告中指出，要深入推进能源革命，加强清洁能源高效利用，加快规划建设新型能源体系，积极参与应对气候变化全球治理为保护环境，某百货公司计划购买型和型两种环保节能灯，共购买盏，且当天全部售出，其生产成本及销售单价如表所示：
节能灯 生产成本元盏 销售单位元盏
型
型
设该百货公司每天购买型节能灯盏，每天销售两种型号的节能灯共获利润为元．
求出与之间的函数关系式；
若该百货公司计划每天采购这两种节能灯的总成本不超过元，要使得每天所获利润最大，求每天应各购买多少盏型和型环保节能灯？并求出最大利润．
25. 本小题分
如图，在矩形中，以为坐标原点，、分别在轴、轴上，，点的坐标为，点是边上一点，把矩形沿翻折后，点恰好落在轴上点处．
求的长度；
求所在直线的函数关系式；
在轴上求一点，使成为以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，，，
．
故选：．
直接根据勾股定理进行解答即可．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：把各点分别代入一次函数，
A、不一定等于，原式不成立；
B、，原式不成立；
C、，原式不成立；
D、，原式成立．
故选：．
把各选项中点的坐标代入直线的解析式，即可得出答案．
本题考查一定经过某点的函数应适合这个点的横纵坐标．
4.【答案】
【解析】解：、若四边形是平行四边形，则四边形不一定是矩形，说法错误，不符合题意；
B、若四边形是矩形，则四边形不一定是菱形，说法错误，不符合题意；
C、若四边形是菱形，则四边形不一定是正方形，说法错误，不符合题意；
D、若四边形是正方形，则四边形一定是平行四边形，说法正确，符合题意；
故选：．
根据正方形、菱形、矩形和平行四边形的性质判断即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形是平行四边形解答．
5.【答案】
【解析】解：方差的计算公式，
样本数据是，，，，，
众数是，
平均数是，
，
中位数是，
故选：．
根据方差的计算公式可得，样本容量是，样本数据是，，，，，根据样本数据调查平均数、众数以及中位数即可判断．
本题考查了方差以及平均数、中位数以及众数，解题的关键是掌握方差的定义．
6.【答案】
【解析】解：，，．
，
的面积；
故选：．
利用阅读材料，先计算出的值，然后根据海伦公式计算的面积；
考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大．
7.【答案】
【解析】解：直线与的交点的横坐标为，两直线与轴交点的横坐标分别是，，
关于的不等式解集就是直线位于直线上方的部分所对应的取值范围，即：，
故选：．
根据题意和图形可以求得不等式的解集，从而可以解答本题．
本题考查一次函数与一元一次不等式、两条直线相交或平行问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8.【答案】
【解析】解：证法证明过程是严谨完整的，证法是用特殊值法，这方法不能用于这题证明，
故选：．
利用矩形的性质和菱形的判定依次判断两个证明方法可求解．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定，面积法等知识，掌握矩形的性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：点沿运动，的面积逐渐变大；
点沿移动，的面积不变；
点沿的路径移动，的面积逐渐减小．
故选：．
分三段来考虑点沿运动，的面积逐渐变大；点沿移动，的面积不变；点沿的路径移动，的面积逐渐减小，据此选择即可．
本题主要考查了动点问题的函数图象．注意分段考虑．
10.【答案】
【解析】解：如图，连接，
在矩形中，，分别是，上的点，当点在上从点向点移动，而点保持不动时，
的长度是定值，
，分别是，的中点，
，
的长度是定值．
故选：．
如图，连接，先说明明的长度是定值，再证明，可得的长度是定值，从而可得答案．
本题考查的是三角形的中位线的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：由“左加右减”的原则可知：
直线向右平移个单位，得到直线的解析式为：，
又平移后的直线为，
，
解得，
故答案为：．
根据“左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：李强最终的成绩是分，
故答案为：．
根据加权平均数的计算方法进行计算即可．
本题考查加权平均数的意义和计算方法，理解加权平均数的意义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的前提．
13.【答案】
【解析】解：四边形为正方形．
，，
，
．
在中，根据勾股定理得：
，
故答案为：．
根据正方形的性质求出，得出，根据勾股定理求出即可．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，求出．
14.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，，
，，，
，，
，
，
是线段的垂直平分线，
，
，
，
故答案为：．
由菱形的性质得，，，再求出，然后由线段垂直平分线的性质得，则，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由题意，，
．
，
，，
．
故答案为：．
依据题意，读懂题目然后由公式可以得，从而，进而可以得解．
本题主要考查新定义问题，解题时要能读懂题目找出其中蕴含关系是关键．
16.【答案】
【解析】解：甲的平均速度为千米小时，
故错误，不符合题意；
乙在分时到达，甲在分时到达，
所以甲比乙晚分钟到达，
故正确，符合题意；
设乙出发分钟后追上甲，则有：，
解得，
故正确，符合题意；
由知：乙遇到甲时，所走的距离为：，
故错误，不符合题意．
所以正确的结论有两个个：，
故答案为：．
观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，然后根据图象上特殊点的意义进行解答．
本题考查了一次函数的应用，关键是理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，通常根据路程、速度、时间三者之间的关系求解．
17.【答案】解；原式
；
，，
，，
．
【解析】先根据二次根式的除法法则、乘法法则和积的乘方法则运算，再利用平方差公式计算，然后合并即可；
先计算出，，再运用通分和完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分式的化简求值．
18.【答案】解：设一次函数的解析式为：，
图象过点与．
，解得：，
一次函数解析式为：；
当，，
当，，
一次函数与坐标轴围成的三角形面积．
【解析】待定系数法求出一次函数解析式即可；
求出与坐标轴的交点坐标，得到两条直角边的长，根据面积公式解出即可．
本题考查了一次函数函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式．
19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
；
解：过点作，垂足为，
设的长为，
，，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
解得：，
的长为．
【解析】利用平行四边形的性质可得，，然后根据角平分线和平行可证是等腰三角形，从而可得，根据线段的和差即可解答；
过点作，垂足为，设的长为，根据垂直定义可得，从而利用证明≌，然后利用全等三角形的性质可得，，从而可得，再根据已知可求出的长，从而在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，最后在中，利用勾股定理列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
20.【答案】 甲的方差较小，比较稳定 乙的中位数是，众数是，获奖可能性较大
【解析】解：甲的成绩中，出现的次数最多，因此甲的众数是，即，
甲的方差，即，
乙的平均数：，即，
将乙的成绩从小到大排列为，，，，，处在第位的数是，因此中位数是，即．
故答案为，，，；
年级举行引体向上比赛，根据这次的成绩，在甲、乙两人中选择一个代表班级参加比赛，如选择甲同学，其理由是甲的方差较小，比较稳定；如选择乙同学，其理由是乙的中位数是，众数是，获奖可能性较大．
故答案为甲的方差较小，比较稳定；乙的中位数是，众数是，获奖可能性较大．
根据平均数，众数，中位数，方差的定义的计算方法分别计算结果，得出答案，
选择甲，只要看甲的方差较小，发挥稳定，选择乙由于乙的众数较大，中位数较大，成绩在中位数以上的占一半，获奖的次数较多．
本题考查方差，平均数，中位数，众数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型
21.【答案】 错 对
【解析】解：当时，，
当时，，
；
故答案为：；
解：画出函数另一部分图象如下：
观察图象知，当时，图象是上升的，即随的增大而增大，
故答案为：错；
由图象知，整个函数图象关于直线对称，
故答案为：对．
分别求出当时的函数值，再相加即可；
描点、连线即可画出自变量大于时的函数图象；
观察图象的升降即可对作出判断观察整个函数图象即可对作出判断．
本题考查了一次函数的图象与性质，画函数图象等知识，掌握函数基础知识及一次函数的知识是解题的关键．
22.【答案】解：选择方法一，
证明如下：在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，；
方法二，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，，
，
，．
【解析】证明≌，根据全等三角形的性质得到，，再证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可．
本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
23.【答案】解：结论：，
理由：如图中，过作，，垂足分别为，．
为正方形对角线上的点，
平分，，
，
四边形为正方形．
，，
，
在和中，
，
≌，
；
结论：．
理由：如图，过作，，垂足分别为，，
为正方形对角线上的点，
平分，，
，
四边形为正方形，
，，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】结论：，如图中，过作，，垂足分别为，只要证明≌即可．
结论不变，证明方法类似．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等的三角形解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】解：由题意得：，
与之间的函数关系式为；
由题意，，
解得，
，
，
随的增大而增大，
时，有最大值，
此时件，
答：每天应各购买型盏和型盏，可使该厂一天所获得的利润最大，最大利润元．
【解析】根据总利润销售两种节能灯的利润之和，列出式子即可解决问题；
根据题意得到不等式，解不等式，结合的结论即可解答．
本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意列出函数关系式并熟练掌握求一次函数最大值的方法．
25.【答案】解：在矩形中，以为坐标原点，、分别在轴、轴上，，点的坐标为，
，，
长方形沿翻折后，点恰好落在轴上点处，
≌，
，，
在中，，
设，则，
在中，，
，解得：，
，
中，；
，
，
设所在直线的函数解析式为：，
把，代入，
得，
解得，
所在直线的函数解析式为；
当时，如图，则，
点坐标是；
当时，如图，则．
点坐标是；
当时，如图，则，
点坐标是，
综上，符合条件的点坐标为或或．
【解析】根据矩形和折叠性质，，再利用勾股定理求解即可；
先得到点坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可；
根据等腰三角形的性质分三种情况讨论求解即可．
本题考查了坐标与图形、矩形性质、折叠性质、勾股定理、求一次函数解析式、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键，
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