2022-2023学年山东省烟台市莱山区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省烟台市莱山区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程中，关于的一元二次方程是( )
A. B.
C. D.
2. 关于某个函数的表达式，小明、小刚和小华三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．
小明：函数图象经过；
小刚：函数图象经过第三象限；
小华：当时，随增大而减小．则这个函数表达式是( )
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6. 如图，在中，是边上的点，，，则的长为( )
A. B. C. D.
7. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
8. 某学校计划在一块长米，宽米的矩形草坪中央划出面积为平方米的矩形地块栽花，使这矩形地块四周的留地宽度都一样，求这宽度应为多少？设矩形地块四周的留地宽度为米，根据题意，下列方程不正确的是( )
A.
B.
C.
D.
9. 若关于的一元二次方程有两个实数根，且满足，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. D.
10. 如图，，点在射线上，且，过点作交射线于，在射线上截取，使；过点作交射线于，在射线上截取，使按照此规律，线段的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 如果式子有意义，那么的取值范围是______ ．
12. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为______．
13. 我们把形如为有理数，为最简二次根式的数叫做型无理数，如是型无理数，则是______ 型无理数．
14. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大为原来的倍得到，若点的坐标为，则的坐标为______ ．
15. 如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点、，则的长为______ ．
16. 如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点下列结论：∽；平分；，其中正确结论的序号是______ ．
17. 如图，在中，，边在轴上，顶点，的坐标分别为和将正方形沿轴向右平移，当点落在边上时，点的坐标为______．
18. 如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，是轴负半轴上一点，且满足，连接交轴于点，若，则 ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：
；
．
20. 本小题分
解方程：
；
．
21. 本小题分
阅读下列材料：
解方程：．
分析：我们可以用“换元法”解方程．
解：设，则原方程可化为：请你将剩下的解题过程补充完整，并求出的值．
22. 本小题分
公元前世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”，小明利用此定律，要制作一个杠杆撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为和．
动力与动力臂有怎样的函数关系？当动力臂为时，撬动石头至少要多大的力？
若想使动力不超过题中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？
23. 本小题分
小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为米，的影长为米，小明的影长为米，其中、、、、五点在同一直线上，、、三点在同一直线上，且，已知小明的身高为米，求旗杆的高．
24. 本小题分
如图，某海军基地位于处，在其正南方向海里处有一重要目标，在的正东方向海里处有一重要目标，小岛位于的中点，岛上有一补给码头；小岛位于的中点，一艘军舰从出发，经到匀速巡航，一般补给船同时从出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．
小岛和小岛相距多少海里？
已知军舰的速度是补给船的倍，军舰在由到的途中与补给船相遇于处，那么相遇时补给船航行了多少海里？结果精确到海里，参考数据，
25. 本小题分
【问题提出】
某数学兴趣小组展示项目式学习的研究主题：已知四边形，点为上的一点，，交于点、将绕点顺时针旋转得到，探究与的数量关系．
【问题探究】
探究一：若四边形为正方形
如图，正方形中，点为上的一点，交于点则的值为______ ；
如图将图中的绕点顺时针旋转得到，连接、，试求的值；
探究二：若四边形为矩形
如图，矩形中，点为上的一点，交于点，；
将图中的绕点顺时针旋转得到，连接、请在图中补全图形，并探究此时的值；
【联系拓广】
如图，矩形中，若，其它条件都不变，将绕点顺时针旋转得到，连接、请直接写出的值．
26. 本小题分
平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，直线：经过，两点，直线分别交轴，轴于，两点．
求反比例函数与一次函数的解析式；
当直线向下平移个单位时，与的图象有唯一交点，求的值；
在轴上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
利用一元二次方程的定义判断即可．
【解答】
解：下列方程中，关于的一元二次方程是，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：把点分别代入四个选项中的函数表达式，可得，选项C不符合题意；
又函数图象经过第三象限，而只经过第一、二象限，故选项D不符合题意；
对于函数，当时，随的增大而增大，故选项A不符合题意．
故选：．
结合给出的函数的特征，在四个选项中依次判断即可．
本题主要考查一次函数，反比例函数及二次函数的性质，根据题中所给特征依次排除各个选项，排除法是中考常用解题方法．
3.【答案】
【解析】解：，，
，故本选项不符合题意；
B.，所以没有意义，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：．
先根据二次根式的性质和二次根式的减法法则进行计算，再根据求出的结果找出选项即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了无理数的估算，熟练运用算术平方根进行比较是解题的关键．
先根据，，推出，所以，即可得出答案．
【解答】
解：，
，
，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：点，，都在反比例函数的图象上，
，，，
．
故选：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入解析式计算出，，的值，然后比较大小即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，理解题意，求出，，的值是解题关键，本题也可以利用反比例函数的性质求解．
6.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
，
，
解得：负值舍去．
故选：．
先证明，再求出，最后代入求值即可．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：一次函数中，，
直线与轴的交点在正半轴，故A、不合题意，、符合题意，
C、由一次函数的图象过一、二、四象限可知，由反比例函数的图象在二、四象限可知，两结论相矛盾，故选项C错误；
D、由一次函数的图象过一、二、三象限可知，由反比例函数的图象在二、四象限可知，故选项D正确；
故选：．
分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：中央长方形地的面积，故D符合题意；
中央长方形地的面积大长方形的面积上下两个大长方形的面积左右两个大长方形的面积个小正方形的面积，
即中央长方形地的面积，故A符合题意；
中央长方形地的面积上下两个大长方形的面积左右两个小长方形的面积，
即中央长方形地的面积，故B符合题意；
故选：．
根据题意，结合每一个选项，利用面积分别列出等式即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：方程有两个实数根，
，
解得：，
原方程的两个实数根为、，
，，
，
，
，
，即，
解得：，舍去．
故的值是．
故选：．
利用判别式得出的取值范围，利用根与系数的关系得到，，把变形得到，整体代入得到关于的方程，解方程即可求解．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
10.【答案】
【解析】解：，且，，
，
，
同理：，
，
，
同理：，
；
，
线段的长为：，
故选：．
根据直角三角形的性质，先求出前几个水平线段的长，找出规律再求解．
本题考查了图形的变化类，找到变化规律是解题的关键．
11.【答案】且
【解析】解：式子有意义，
且，
且，
故答案为：且．
根据“负数没有平方根”以及“任何不为的零次幂都等于”即可确定的取值范围．
本题考查二次根式有意义的条件以及零指数幂，掌握负数没有平方根以及零指数幂的定义是正确解答的前提．
12.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得．
故答案为：．
若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，建立关于的方程，求出的值即可．
此题考查了根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
13.【答案】
【解析】解：，
即是型无理数．
故答案为：．
先根据完全平方公式和二次根式的性质展开，再算加法，再根据求出的结果得出答案即可．
本题考查了二次根式的乘除法，无理数，最简二次根式和完全平方公式等知识点，能根据完全平方公式展开是解此题的关键．
14.【答案】或
【解析】解：以原点为位似中心，将放大为原来的倍得到，点的坐标为，
则的坐标为或，即或，
故答案为：或．
根据位似变换的性质解答即可．
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
15.【答案】
【解析】解：由题意得，，直线为线段的垂直平分线，
，，，
，
，
，
，，
∽，
，
即，
解得．
故答案为：．
由题意得，，直线为线段的垂直平分线，由勾股定理得，进而可得，证明∽，可得，即，求出，即可得出答案．
本题考查作图基本作图、勾股定理、线段垂直平分线、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：将以点为旋转中心逆时针旋转得到，
，，，，
，
，
平分，故正确；
，，
∽，故正确；
，
，
，
，故正确；
故答案为：．
根据旋转得到，，推出，即可判断；利用两个角对应相等的两个三角形相似判断；利用相似三角形的性质判断，即可得到答案．
此题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，熟记各定理是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：如图，设正方形是正方形沿轴向右平移后的正方形，
顶点，的坐标分别为和，
，，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
当点落在边上时，点的坐标为，
方法二：设直线的解析式为，
顶点，的坐标分别为和．
，
，
，
，边在轴上，点的坐标为，
正方形的边长为，
，设点沿轴平移后落在边上的坐标为，
由，得，
，
当点落在边上时，点的坐标为，
故答案为：．
根据已知条件得到，，，求得，根据正方形的性质得到，求得，根据相似三角形的性质得到，于是得到结论．
本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，证得∽是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：如图：连接，
，
，
，
，
，
，
点位于第二象限，
．
故答案为：．
连接，根据和的比例关系，求得的面积，然后根据反比例函数中比例系数的几何意义求得值即可．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，根据三角形面积公式和反比例系数列式即可得出结论．
19.【答案】解：
；
．
【解析】先计算二次根式的乘法，再算减法，即可解答；
先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：，
移项，得，
，
，
或，
解得：，；
，
，
或，
解得：，．
【解析】移项后把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
方程利用因式分解法求出解即可．
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
21.【答案】解：，
设，则原方程化为：，
即，
解得：和，
当时，，
算术平方根不能为负，
此时方程无解；
当时，，
方程两边平方得：，
即，
，
经检验：都是原方程的解，
，．
【解析】设，则原方程化为，求出，求出方程的解，再求出对应的的值，最后进行检验即可．
本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验．
22.【答案】解：，
则；
当时，；
由题意得，，
解得：，
故至少要加长．
答：若想使动力不超过题中所用力的一半，则动力臂至少要加长．
【解析】根据动力动力臂阻力阻力臂，可得出与的函数关系式，将代入可求出；
根据的答案，可得，解出的最小值，即可得出动力臂至少要加长多少．
本题考查了反比例函数的应用，结合物理知识进行考察顺应了新课标理念，立意新颖，注意物理学知识：动力动力臂阻力阻力臂．
23.【答案】解：，
，
，
∽，
，即，
，
同理得∽，
，即，
，
米，
答：旗杆的高是米．
【解析】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定．
先证明∽，列比例式可得的长，再证明∽，可得的长，最后由线段的差可得结论．
24.【答案】解：由题意可知，海里，
位于的中点，位于的中点，
是的中位线，
海里．
答：小岛和小岛相距海里；
设相遇时补给船航行了海里，则海里，海里，
由题意可知，，
由可知，是的中位线，
，
，
，
位于的中点，
海里，
海里，
在中，由勾股定理得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去，
答：相遇时补给船大约航行了约海里．
【解析】运用三角形的中位线定理求解即可；
设相遇时补给船航行了海里，则海里，海里，求出海里，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了勾股定理的应用、方向角以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
25.【答案】
【解析】解：是正方形的对角线，
，，，
，
，
，
，
．
故答案为：；
由知：，，
，
由旋转可知：，
∽，
，
即；
补全后的图形如图，
四边形为矩形，
，
，
，
，
∽，
，
，
绕点顺时针旋转得到，
，，，
，
∽，
，
即；
，
，
即，
，
，
由旋转可知：，，，
，
∽，
，
即．
先根据正方形的性质推出与的关系，然后根据平行线分线段成比例定理推出即可求出的值；
先用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定∽，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出结果；
先根据题意画出图形，利用勾股定理求出，再判定∽得到对应边成比例，求出，利用旋转的性质得到，，，判定∽，根据相似三角形的性质即可求出结果；
在中，根据勾股定理得到与之间的数量关系，然后判定∽，得到对应边成比例即可求出结果．
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
26.【答案】解：由函数的图象和直线：经过点，，
由图象知，时，的取值范围为或者；
设直线向下平移个单位后的解析式为，
联立方程组得，
整理得，
若函数图象有唯一交点，则，
解得舍去或，
的值为；
存在，当∽时，
则，
一次函数的解析式为：，
，，
∽，
，
，
，
，
当∽时，作轴于，
则，
，，
∽，
，
，
，
，
综上：或．
【解析】根据图象即可得到结论；
将代入，可得的值，再将代入，可得，再将，代入，可得直线的解析式；
分两种情形，分别是∽或∽，利用相似三角形的性质列出比例式，可得答案．
本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，相似三角形的判定与性质等知识，将函数图象的交点问题转化为方程根的情况是解题的关键．
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