2023年辽宁省本溪十二中中考数学押题试卷（含解析）

2023年辽宁省本溪十二中中考数学押题试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在实数，，，中，最小的数是( )
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 年是农历癸卯兔年，小红所在的社区开展了“迎兔年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
4. 如图，直线，直线交于点，交于点，过点的直线交于点若，，则等于( )
A.
B.
C.
D.
5. 小明同学对数据、、、，进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水污染已无法看清，则下列统计量与被污染数字无关的是( )
A. 平均数 B. 标准差 C. 方差 D. 中位数
6. 抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是( )
A. 先向左平移个单位，再向上平移个单位
B. 先向左平移个单位，再向下平移个单位
C. 先向右平移个单位，再向下平移个单位
D. 先向右平移个单位，再向上平移个单位
7. 若点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
8. 一车间有甲、乙两个小组，甲组的工作效率是乙组的倍，因此加工个零件所用的时间乙组比甲组多小时，若设乙每小时加工个零件，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
9. 如图，以量角器的直径为斜边画直角三角形，量角器上点对应的读数是，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，四边形是边长为的正方形，点是射线上的动点点不与点，点重合，点在线段的延长线上，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，设，四边形的面积为，下列图象能正确反映出与的函数关系的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 据测算，世博会召开时，上海使用清洁能源可减少二氧化碳排放约万吨，将万吨用科学记数法表示为______ 吨
12. 函数的自变量的取值范围是_______．
13. 分解因式： ______ ．
14. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
15. 如图，菱形的边长为，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，直线交于点，连接，则的长为______ ．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴正半轴上，其中，，点为斜边的中点，反比例函数的图象过点且交线段于点，连接，，若，则的值为______ ．
17. 如图，为矩形的对角线，，把绕点旋转，点的对应为点，当时，的长为______ ．
18. 如图，已知为等腰直角三角形，，，以点为圆心，为半径作圆，点为上一动点，连接，并绕点顺时针旋转得到，连接，的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
化简：其中．
20. 本小题分
党的二十大报告再次将劳动教育同“德育、智育、体育、美育”放在同等重要的战略地位，明确了全面加强新时代大中小学劳动教育的重要性为落实劳动教育，某校在寒假期间组织学生进行“为家献爱心”活动活动设置了四个爱心项目：为家人做早饭，洗碗，打扫家，洗衣服要求每个学生必须且只能选择一项参加，并且要坚持整个寒假，为了了解全校参加各项目的学生人数，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图，请根据所给信息，解答下列问题：
本次接受抽样调查的总人数是______ 人；
请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整；
该校参加活动的学生共人，请估计该校参加项目的学生有______ 人；
小雯同学在整个寒假中每天都能坚持洗碗，养成了很好的劳动习惯，妈妈奖励带她去看两场电影，小雯听说春节期间新上映的四部电影流浪地球满江红无名之伴我熊芯依次记为，，，都深受大家喜爱，很难做出决定，于是将写有这四个编号的卡片除序号和内容外，其余完全相同背面朝上放置，洗匀放好，从中随机抽取两张卡片请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“流浪地球”和“满江红”的概率．
21. 本小题分
为进一步落实“双减”工作，某中学准备从商场一次性购买一批足球和篮球用于开展课后服务训练，每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同，已知篮球的单价比足球单价的倍少元，购买个足球和个篮球共需花费元．
足球和篮球的单价各是多少元？
根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共个，且总费用不超过元，则至少应购买多少个足球？
22. 本小题分
中国古代在公元前世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的淮南万毕术中有这样的记载：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻矣”如图所示，其工作方法主要利用了光的反射原理．
在图中，呈水平状态，若入射角，入射角等于反射角，，为法线，则 ______ 度；
在的条件下，若米，求点到的距离．
23. 本小题分
某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量件与每件的售价元满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价元件
销售量件
求出与之间的函数表达式；不需要求自变量的取值范围
该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的，设这种衬衫每月的总利润为元，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
24. 本小题分
如图，已知，以为直径的交于点，连接，的平分线交于点，交于点，且．
判断所在直线与的位置关系，并说明理由；
若，，求的半径．
25. 本小题分
在等腰和等腰中，，，将绕点逆时针旋转，连接，点为线段的中点，连接，．
如图，当点旋转到边上时，请直接写出线段与的位置关系和数量关系；
如图，当点旋转到边上时，中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
若，，在绕点逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出线段的长．
26. 本小题分
如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过点、，与轴另一交点为，顶点为．
求抛物线的解析式；
在第四象限的抛物线上是否存在一点，使的面积为？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
在实数，，，中，最小的数是．
故选：．
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.【答案】
【解析】解：、原式，不合题意；
B、原式，不合题意；
C、原式，不合题意；
D、原式，符合题意；
故选：．
A、根据积的乘方与幂的乘方运算判断即可；、根据合并同类项法则计算判断即可；、根据单项式乘多项式的运算法则计算判断即可；、根据积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法法则计算即可．
此题考查的是积的乘方与幂的乘方运算、合并同类项法则、单项式乘多项式的运算、同底数幂的除法法则，掌握其运算法则是解决此题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，，选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4.【答案】
【解析】解：如图，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：．
由题意得，，由平角的定义可得，再根据平行线的性质即可求解．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理及平角的定义是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为，与被涂污数字无关．
故选：．
利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断．
本题主要考查方差、标准差、中位数和平均数，解题的关键是掌握中位数的定义．
6.【答案】
【解析】解：抛物线向右平移个单位可得到抛物线，
抛物线再向上平移个单位即可得到抛物线．
故平移过程为：先向右平移个单位，再向上平移个单位．
故选：．
根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
7.【答案】
【解析】解：，
图象在第一，三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
点，，都在反比例函数的图象上，
点在第三象限，点，在第一象限，
，，
，
故选：．
根据反比例函数的性质得出图象在第二，四象限，在每个象限内，随的增大而增大，再根据点的横坐标比较即可．
本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质的内容是解此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由题意可得，
故选：．
根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
9.【答案】
【解析】解：设的中点为，连接，如图所示：
以量角器的直径为斜边画直角三角形，
、、、四点共圆，
量角器上点对应的读数是，
，
，
故选：．
根据以量角器的直径为斜边画直角三角形，可知、、、四点共圆，再根据圆周角定理求解即可．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：四边形是边长为的正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
四边形的面积的面积，
设，四边形的面积为，
当时，；
当时，；
综上可知，当时，函数图象是开口向下的抛物线；当时，函数图象是开口向上的抛物线，
符合上述特征的只有，
故选：．
分两种情况求出函数的解析式，再由函数解析式对各选项进行判断．
本题综合考查了正方形的性质和二次函数图象及性质，分段求出函数的解析式是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：万．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
12.【答案】且
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
根据二次根式的有意义的条件得，被开方数；根据分式有意义的条件，，则函数的自变量取值范围就可以求出．
【解答】
解：根据题意得：
解得，且，
故答案为：且．
13.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式．提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
14.【答案】
【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为．
利用判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
15.【答案】
【解析】解：由作法得垂直平分，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，如图，利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，再证明为等腰直角三角形，则，接着根据菱形的性质得到．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质．
16.【答案】
【解析】解：根据题意设，则，
点为斜边的中点，
，
反比例函数的图象过点，
，
，
的横坐标为，
反比例函数的图象过点，
的纵坐标为，
作轴于，
，
，，
，即，
，
，
故答案为：．
根据题意设，则，根据点为斜边的中点，得到，得到的纵坐标为，作轴于，根据三角形列方程即可得到结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数系数的几何意义，根据，得到关于的方程是解题的关键．
17.【答案】或
【解析】解：如图，当绕点顺时针旋转，过点作于，
，，
，
，
∽，
，
，
，，
，
．
当当绕点逆时针旋转，过点作直线于，
，
，
，
，
，
，
故答案为：或．
分两种情况讨论，通过证明∽，由三角形的性质可求，的长，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：如图，连接、，
，旋转角为，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在等腰中，
，
，
在中，有，
当三点共线时取到等号，此时不是三角形，但符合题意．
所以，的取值范围是：．
故答案为：．
连接、，根据同角的余角相等求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，圆的认识，三角形的三边关系，熟记各性质并作辅助线构造成全等三角形是解题的关键．
19.【答案】解：原式
，
当时，原式．
【解析】先通分算括号内的，把除化为乘，约分化简后将代入计算即可．
本题考查分式的化简求值，二次根式乘除运算，解题的关键是掌握分式的基本性质，将所求式子化简．
20.【答案】
【解析】解：组人，占百分比为，
接受抽样调查的总人数是：人，
故答案为：；
组人数为：人，
组人数所占百分比为：，
补全统计图如下：
人，
估计该校参加项目的学生有人，
故答案为：；
画树状图如下：
一共有种等可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“流浪地球”和“满江红”的有中可能的结果，
两张卡片恰好是“流浪地球”和“满江红”．
用组或组的人数除以它们所占的百分比即可；
先求出组人数和组所占百分比，再补全统计图即可；
将组所占百分比乘以参加活动的学生总数即可；
用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出两张卡片恰好是“流浪地球”和“满江红”的结果数，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，列表法和树状图法求等可能事件的概率，掌握相关统计图的意义和列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
21.【答案】解：设足球的单价是元，篮球的单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：足球的单价是元，篮球的单价是元；
设购买个足球，则购买个篮球，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：至少应购买个足球．
【解析】设足球的单价是元，篮球的单价是元，根据“篮球的单价比足球单价的倍少元，购买个足球和个篮球共需花费元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买个足球，则购买个篮球，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22.【答案】
【解析】解：，
；
故答案为：；
如图，过点作于点，
入射角，入射角等于反射角，
，
，
，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
在中，米，米．
点到的距离为米．
由题意可知，，直接写出的度数即可；
过点作于点，根据题意可得，进而求得，根据三角形内角和定理可得，以此可证明为等腰直角三角形，则，即可求解．
本题主要考查解直角三角形的应用，根据题意正确构造出直角三角形，由三角形内角和定理求出是解题关键．
23.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
，
解得，，
即与之间的函数表达式是；
，
解得，，，
尽量给客户优惠，
这种衬衫定价为元；
由题意可得，
，
该衬衫的每件利润不允许高于进货价的，每件售价不低于进货价，
，，
解得，，
当时，取得最大值，此时，
答：售价定为元可获得最大利润，最大利润是元．
【解析】根据题意和表格中的数据可以得到与之间的函数表达式；
根据题意，可以得到相应的方程，从而可以得到如何给这种衬衫定价，可以给客户最大优惠；
根据题意，可以得到与之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到售价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
24.【答案】解：所在直线与相切；
理由：为的直径，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
平分，
，
，
，
，
设，
，
，
，
解得：，
，
的半径为．
【解析】根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，由角平分线的定义得到，求得，于是得到结论；
根据角平分线的定义得到，根据三角函数的定义得到，设，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键．
25.【答案】解：，；
理由：当点旋转到边上时，点必在边上，
，
在中，点是的中点，
，
，
在中，点是的中点，
，
，
，
等腰，且，
，
，
；
仍然成立，
理由：如图，延长到点，使得，连接，，，
是的中点，
，
，
≌，
，，
和是等腰三角形，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，；
当点在左侧时，如图，
延长到点，使得，连接，，，
同的方法得，≌，
，，，
，
，
在四边形中，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，，
在中，，
过点作交的延长线于，
在中，，
，
根据勾股定理得，，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
当点在右侧时，如图，
同的方法得，，，
连接，过点作于，
在中，，
，
根据勾股定理得，，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
即：线段的长为或．
【解析】利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出，进而得出，同理得出，，即可得出结论；
先判断出≌，得出，，再判断出，进而判断出≌，即可得出结论；
分点在左侧和右侧两种情况，类似的方法判断出，即可得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，五边形的内角和，判断出是解本题的关键．
26.【答案】解：将点，代入得：
，解得：，
；
存在，理由：
如图，过点作轴，交射线于，
当时，，
，
设直线的解析式为：，
，解得：，
直线的解析式为：，
设，则，
，
，
，
，
，
，
解得：舍，，
；
存在，理由：
当点在轴上方时，如图中，
，则，
过点作于点，设，
则，
由勾股定理得：，
，解得：，
则，
则；
当点在轴下方时，
则；
故点的坐标为或
【解析】用待定系数法求函数解析式；
如图，过点作轴，交射线于，计算直线的解析式为：，设，则，根据列等式可得的值，从而得点的坐标；
分点在轴上方、点在轴下方两种情况，分别求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、点的对称性等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
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