2022-2023学年江苏省镇江重点中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省镇江重点中学高二（下）期末
数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1. 已知随机变量的分布列为
则实数( )
A. B. C. D.
2. 在的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则展开式的常数项为( )
A. B. C. D.
3. 将名乡村振兴志愿者分配到科技助农，文艺文化，科普宣传和乡村环境治理个项目进行培训，每名志愿者只分配到个项目，志愿者小王不去文艺文化项目，则不同的分配方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4. 下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 若，则正整数的值是
5. 某学习小组八名学生在一次物理测验中的得分单位：分如下：，，，，，，，，这八人成绩的第百分位数是若在该小组随机选取两名学生，则得分都比低的概率为( )
A. B. C. D.
6. 平行六面体中，已知底面四边形为矩形，，，，则( )
A. B. C. D.
7. 已知正方体的棱长为，、分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为( )
A.
B.
C.
D.
8. 若对任意的，，且，有，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9. 已知一组数据，，，构成等差数列，且公差不为若去掉数据，则( )
A. 平均数不变 B. 中位数不变 C. 方差变小 D. 方差变大
10. 李明每天：从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时分钟，样本方差为；自行车平均用时分钟，样本方差为假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则( )
A.
B.
C. 李明计划：前到校，应选择坐公交车
D. 李明计划：前到校，应选择骑自行车
11. 甲盒中有个红球，个白球；乙盒中有个红球，个白球先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件表示“从乙盒中取出的是红球”，则( )
A. 事件与事件是对立事件 B. 事件与事件是独立事件
C. D.
12. 小明与另外名同学进行“手心手背”游戏，规则是：人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得分，其余每人得分．现人共进行了次游戏，每次游戏互不影响，记小明次游戏得分之和为，则下列结论正确的是( )
A. 每次游戏中小明得分的概率是 B. 的均值是
C. 的均值是 D. 的方差是
二、非选择题（90分）
13. 某市政府调查市民收入增减与旅游需求的关系时，采用独立性检验法抽查了人，计算发现，根据这一数据，市政府断言市民收入增减与旅游需求有关的可信度是______
附：常用小概率值和临界值表：
14. 设两个相互独立事件，，若事件发生的概率为，发生的概率为，则与同时发生的概率的最大值为______ ．
15. 已知函数，若过点的直线与曲线相切，则该直线斜率为______ ．
16. 如图，在直三棱柱中，，，是的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系若，则异面直线与所成角的余弦值为______ ．
17. 已知函数在处取得极值．
求的单调区间；
若在上恒成立，求实数的取值范围．
18. 盒中装有个同种产品，其中个一等品，个二等品，不放回地从中取产品，每次取个，求：
取两次，两次都取得一等品的概率；
取两次，第二次取得一等品的概率；
取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率．
19. 如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，，．
求直线与平面所成角的正弦值；
求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
20. 某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明、小红打算报名参加大赛赛前，小明、小红分别进行了为期一周的封闭强化训练，下表记录了两人在封闭强化训练期间每天加工模具成功的次数，其中小明第天的成功次数忘了记录，但知道，．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
序号
小明成功次数
小红成功次数
求这天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率；
根据小明这天内前天的成功次数，求其成功次数关于序号的线性回归方程，并估计小明第七天成功次数的值．
参考公式：回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为．
参考数据：；．
21. 年某市政府为了有效改善市区道路交通拥堵状况出台了一系列的改善措施，其中市区公交站点重新布局和建设作为重点项目．市政府相关部门根据交通拥堵情况制订了“市区公交站点重新布局方案”，现准备对该“方案”进行调查，并根据调查结果决定是否启用该“方案”调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该“方案”进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图．相关规则为：调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；采用百分制评分，内认定为满意，不低于分认定为非常满意；市民对公交站点布局的满意率不低于即可启用该“方案”；用样本的频率代替概率．
Ⅰ从该市万人的市民中随机抽取人，求恰有人非常满意该“方案”的概率；并根据所学统计学知识判断该市是否启用该“方案”，说明理由．
Ⅱ已知在评分低于分的被调查者中，老年人占，现从评分低于分的被调查者中按年龄分层抽取人以便了解不满意的原因，并从中抽取人担任群众督查员，记为群众督查员中的老人的人数，求随机变量的分布列及其数学期望．
22. 已知二项式．
若它的二项式系数之和为．
求展开式中二项式系数最大的项；
求展开式中系数最大的项；
若，，求二项式的值被除的余数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，由随机变量的分布列，，
解得：．
故选：．
根据题意，由分布列的性质可得，解可得的值，即可得答案．
本题考查随机变量的分布列，涉及概率的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意知，，
所以，
所以，
令，
所以展开式的常数项为．
故选：．
先求出，再写出展开式的通项公式，令求出，代入计算即可．
本题主要考查二项式定理，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：志愿者小王不去文艺文化项目，则小王有种分配方案，
剩下的三名志愿者有种分配方案，
则不同的分配方案共有种．
故选：．
先考虑小王的分配方案种数，再排其他志愿者，根据分步乘法计数原理计算即可．
本题考查排列数的应用，考查分步乘法计数原理，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：选项A，因为，故A正确；
选项B，，故B正确；
选项C，由，，得，故C正确；
选项D，因为，所以或，即或，故D错误．
故选：．
选项A，根据排列数公式直接判断；
选项B、，根据组合数公式及性质直接求解；
选项C，根据二项式系数和公式，奇数项与偶数项的二项式系数和各占一半得出结果．
本题主要考查组合数与排列数的公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，故这人成绩的第百分位数是从小到大排列的第个数，即，
在该小组随机选取两名学生共有种情况，
其中得分都比低的有种，
所以所求概率．
故选：．
首先根据题意得到，再利用古典概型公式求解即可．
本题主要考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：平行六面体中，已知底面四边形为矩形，，，，
，
，
．
故选：．
根据空间向量运算可知，再利用平方后的数量积公式计算结果．
本题考查了平面向量数量积公式，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则有，，，
设平面的法向量为，
则，
可取，
所以点到平面的距离为．
故选：．
建立空间直角坐标系，利用向量法得出点到平面的距离．
本题考查了等体积法求距离，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为对任意的，，且，有，
所以，
即，
令，，
则，
易得在上单调递增，在上单调递减，
又由题意得在单调递减，
故．
故选：．
先对已知不等式进行变形，然后结合不等式特点构造函数，结合单调性定义及导数与单调性关系即可求解．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于选项A，原数据的平均数为，
去掉后的平均数为，即平均数不变，故选项A正确；
对于选项B，原数据的中位数为，去掉后的中位数为，即中位数没变，故选项B正确；
对于选项C，则原数据的方差为，
去掉后的方差为
故，即方差变大，故选项C不正确，选项D正确．
故选：．
根据平均数的概念结合等差数列的性质判断，由中位数的概念可判断，由方差计算公式即可判断．
本题考查了样本数据的数字特征，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：由条件可知，，根据对称性可知，故A错误；
B.，，所以，故B正确；
C.，所以，故C正确；
D.，，所以，故D正确．
故选：．
首先利用正态分布，确定和，再结合正态分布的对称性，和的原则，即可求解．
本题主要考查正态分布曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于：事件与事件不能同时发生，且没有其他的可能结果，事件与事件是对立事件，故A正确；
对于：事件发生与否与事件有关，事件与事件不是相互独立事件，故B错误；
对于：，故C错误；
对于：，，
所以，故D正确．
故选：．
根据互斥事件的定义即可判断；根据相互独立事件的定义即可判断；分第一次取白球和红球两种情况讨论，从而可判断；根据条件概率公式即可判断．
本题考查相互独立事件，考查条件概率公式，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，
规定相同手势人数多者每人得分，其余每人得分，
现人共进行了次游戏，记小明次游戏得分之和为，
则的可能取值为，，，，，
设其他两位同学为，，小明为，列表得：
手心 手心 手背
手心 手背 手背
手心 手心 手心
手心 手背 手心
手背 手心 手背
手背 手心 手心
手背 手背 手背
手背 手背 手心
共有种情况，小明得分结果有种情况，
小明每次得分的概率，
故A正确；
，
故B错误，C正确；
，
．
故D错误．
故选：．
的可能取值为，，，，，利用列举法求出小明每次得分的概率，从而，由此能求出和．
本题主要考查离散型随机变量的均值，离散型随机变量的方差，概率统计的应用等知识，属于中等题．
13.【答案】
【解析】解：由已知可得，
所以市政府断言市民收入增减与旅游需求有关的可信度是．
故答案为：．
由的观测值结合临界值表得出结论．
本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，是两个相互独立事件，
事件发生的概率为，发生的概率为，
则
当且仅当时“”成立．
故答案为：．
根据相互独立事件的定义以及基本不等式的性质计算即可．
本题考查了事件的相互独立性，考查基本不等式的性质，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：设切点为，
函数的导数为，可得切线的斜率为，
即，
解得，即有．
故答案为：．
设出切点的坐标，求得的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由两点的斜率公式解方程可得所求值．
本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：如图，在直三棱柱中，，，是的中点，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意得，设，则有，
，由得．
因为，，所以，
故异面直线与夹角的余弦值为．
故答案为：．
设，由向量垂直的坐标表示可解得，即可由向量法求得，从而求得结果．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：，
由题意得，
所以，此时，
易得，时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，
故函数在处取得极小值，符合题意，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，，
则，
时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，，
故，
所以，
解得或，
故的取值范围为或
【解析】先对函数求导，结合导数与极值关系可求，进而可求函数的单调区间；
由已知结合不等式恒成立与最值关系的转化即可求解．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
18.【答案】解：根据题意，第次取得一等品的概率为，第次取到一等品的概率为，
根据相互独立事件的概率公式，可得两次都取得一等品的概率为．
根据题意，可分为两类情况：
第次取得一等品，第次取得一等品，其概率为；
第次取得二等品，第次取得一等品，其概率为，
由互斥事件的概率加法公式，可得第二次取得一等品的概率．
根据题意，设第次取得一等品为事件，第次取得二等品为事件，
由知：，则，
所以所求概率为．
【解析】根据题意，求得第次取得一等品的概率和第次取到一等品的概率，结合相互独立事件的概率公式，即可求解；
根据题意，可分为第次取得一等品，第次取得一等品和第次取得二等品，第次取得一等品，求得其概率，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解；
设第次取得一等品为事件，得到，设第次取得二等品为事件，求得，结合条件概率的计算公式，即可求解．
本题考查条件概率的计算，涉及互斥事件、相互独立事件的概率计算，属于基础题．
19.【答案】解：面，
，，又，
，
为与底面所成的角为，
，故AB，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，则，，此时，
设直线与平面所成的角为，
则，．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
平面的一个法向量
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，，此时，
，，
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
【解析】建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法即可求出线面角的大小．
求出两个平面的法向量，利用向量法即可求出二面角的大小．
本题主要考查空间直线和平面所成的角以及二面角的求解，建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解是解决本题的关键，是中档题．
20.【答案】解：因为，且，所以的取值共有种情况，
又当小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，有，
即，得，
所以小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，的取值共有情况，
所以这天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率为；
由题设可知，
，
所以，
所以关于序号的线性回归方程为，
当时，，
估计小明第天成功次数的值为．
【解析】因为，且，所以的取值共有种情况，根据题意小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，的取值共有情况，即可求解；
由题意求得，，，可得关于序号的线性回归方程为，将代入方程即可求解．
本题考查了线性回归方程的应用计算，属于中档题．
21.【答案】本题满分分
解：Ⅰ根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是，分
用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取人，
该人非常满意该项目的概率为，分
现从中抽取人恰有人非常满意该“方案”的概率为：；分
根据题意：分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，
评分在的频率为：
根据相关规则该市应启用该“方案”分
Ⅱ评分低于分的被调查者中，老年人占，
又从被调查者中按年龄分层抽取人，
这人中，老年人有人，非老年人人，
随机变量的所有可能取值为，，， 分
，
，
，
，分
的分布列为：
的数学期望分
【解析】Ⅰ根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是，用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取人，该人非常满意该项目的概率为，由此能求出从中抽取人恰有人非常满意该“方案”的概率，根据题意：分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，评分在的频率为，根据相关规则该市应启用该“方案”．
Ⅱ评分低于分的被调查者中，老年人占，又从被调查者中按年龄分层抽取人，这人中，老年人有人，非老年人人，随机变量的所有可能取值为，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组织知识的合理运用．
22.【答案】解：二项式的二项式系数之和为，
，，
展开式中二项式系数最大的项为第项，第项，
即，，
由，，，，，，，，，
可得展开式中系数最大的项为第，第项，
即，；
若，，
则，
问题转化为被除的余数，
而，，
即余数为．
【解析】由题意利用二项式系数的性质求得的值，利用二项式系数的性质求出展开式中二项式系数最大的项，根据通项公式可得展开式中第项的系数，从而求得展开式中系数最大的项；
二项式即，按照二项式定理展开，问题化为被除的余数．再根据，按照二项式定理展开，可得它被除的余数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
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