青岛版数学八年级上册 2.5 角平分线的性质 课件(共17张PPT)

(共17张PPT)
第2章 图形的轴对称
2.5 角平分线的性质
学习目标
1.通过折纸、画图等操作，体会角的轴对称性，理解角的平分线所在的直线是它的对称轴.
2.掌握角平分线的性质和判定，能够利用它们解决一些实际问题.
3.会用尺规作图作一个角的平分线，并能写出具体的作图步骤.
4.经历探索角平分线的性质的过程，进一步培养推理的意识和能力，熟悉几何推理的基本思想.
B
活动探究
试一试：在纸上任意画一个∠BAC，把它沿经过点A的某条直线对折，使角的两边BA与AC重合然后把纸展开后铺平，折痕记为AD，你发现什么现象？
由此，我们可以得到如下结论：
角是 图形，
它的对称轴是 .
C
B
A
D
轴对称
AD
角的平分线所在的直线是它的对称轴.
C
B
A
D
在∠BAC的角平分线AD上任意取一点P，过点P作PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分别是点M，N，用圆规比较PN与PM的大小，你有什么发现 说明你的理由.由此你能得出什么结论
P
M
N
解：通过用圆规比较PM与PN的大小，发现PM=PN .
解：因为AD平分∠BAC，所以 ∠1= ∠2
因为PM⊥AB，PN⊥AC，
所以 ∠ AMP=∠ANP=90°.
在△AMP与△ANP中，
因为
所以△AMP ≌ △ANP（AAS）.
所以PM=PN.
∠1=∠2，
∠ AMP=∠ANP，
AP=AP，
C
B
A
D
P
M
N
1
2
角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.
角平分线性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
C
B
M
A
P
N
D
应用所具备的条件：
（1）AD为角的平分线；
（2）点P在该平分线上；
（3）PM⊥AB PN⊥AC
符号语言：
因为AD平分∠BAC，PM⊥AB，PN⊥AC
所以PM=PN .
如图，已知∠BAC，经过∠BAC内部任意作直线l1∥AB，作直线l2∥AC，使l2与AC之间的距离等于l1与AB之间的距离.记l1 ， l2的交点为P.则P是∠BAC内部一个到∠BAC的两边AB，AC距离相等的点.作直线AP.如果将∠BAC沿AP对折.你发现∠BAP与∠CAP重合吗 由此你能得到什么结论
B
C
B
A
P
解：∠BAP与∠CAP重合.
∠BAP=∠CAP，点P在∠BAC的平分线上.
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
l1
l2
角平分线的判定：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）点P在∠BAC的内部；
（2）PM⊥AB PN⊥AC；
（3）PM=PN.
符号语言：
因为 PM⊥AB，PN⊥AC，PM=PN；
所以点P在∠BAC的角平分线上，所以∠1=∠2.
C
B
A
D
P
M
N
1
2

已知：∠BAC .
求作：∠BAC 的平分线.
A
B
C
E
F
P
已知一个角，你能用直尺和圆规作出它的平分线吗？
你能说明所作出的射线AP是∠BAC的平分线吗？
A
B
C
E
F
P
连接PE，PF，
因为AE=AF，EP=FP，
由SSS，△APE≌△APF.
所以∠BAP=∠CAP.
【例】如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.
试说明：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
因为BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
所以PD=PE.
同理，PE=PF.
所以PD＝PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
解：过点P作PD⊥AB于D，
PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
D
P
M
N
A
B
C
F
E
D
P
M
N
A
B
C
F
E
结论：三角形的三条角平分线交于一点，
并且这点到三边的距离相等.
想一想，点P在∠A的平分线上吗？
这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
1.如图所示,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,若CD=3 cm,则点D到AB的距离DE长度是(　　)
A.5 cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm
C
随堂练习
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ，D即为所求.
D
2.如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个贸易市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
O
C
200
400m
0
比例尺：
3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
A
B
D
C
E
F
G
H
M
A
B
D
C
E
F
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，
FM⊥BC于M.
因为点F在∠BCE的平分线上，
FG⊥AE， FM⊥BC，
所以FG=FM.
又因为点F在∠CBD平分线上， 　　　　
FH⊥AD， FM⊥BC.
所以FM=FH.
所以FG=FH，
所以点F在∠DAE的平分线上.　　　
角平分线
性质
判定
角平分线上的点到
角两边的距离相等.
到角的两边距离相等
的点在角平分线上.
因为 QD⊥OA,QE⊥OB,
点Q在∠AOB的平分线上,
所以 QD＝QE.
因为 QD⊥OA，QE⊥OB，
QD=QE．
所以点Q在∠AOB平分线上．
应用
课堂小结