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微专题六 一元一次方程中的字母参数问题
利用方程的定义求字母参数
1.若(a-2)x|a|-1+3=0是关于x的一元一次方程,则a的值为( )
A.2 B.-2
C.±1 D.±2
2.若(m-3)x|m-2|+6=0是关于x的一元一次方程,则m的值为 .
B
1
利用方程的解确定字母参数
3.已知x=2是关于x的一元一次方程ax+1=5的解,那么a的值为( )
A.-3 B.-2 C.2 D.3
4.已知关于x的方程3a-4x=12,小虎同学在解这个方程时误将“-4x”看成“+4x”,得到方程的解为x=2,则原方程的解为( )
A.x=-3 B.x=0
C.x=1 D.x=-2
C
D
1
6.已知a为正整数,且关于x的一元一次方程ax-14=x+7的解为整数,求满足条件的所有a的和.
7.关于x的方程4x-(3a+1)=6x+2a-1的解与方程5(x-3)=4x-10的解互为相反数,求-3a2+7a-1的值.
解:解方程5(x-3)=4x-10,得x=5.
因为两个方程的解互为相反数,
所以另一个方程的解为x=-5.
把x=-5代入方程 4x-(3a+1)=6x+2a-1,得4×(-5)-(3a+1)=6×(-5)+ 2a-1,
解这个方程,得a=2,
所以-3a2+7a-1=-3×22+7×2-1=1.
求含字母参数的方程的解
y=-1
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第五章 章末复习
一元一次方程的有关概念
C
2.(2022柳州期末)已知(a-1)x|a-2|-6=3是关于x的一元一次方程,则a的值为( )
A.3或1 B.1
C.3 D.0
C
D
解一元一次方程
C
4.(2022百色)方程3x=2x+7的解是( )
A.x=4 B.x=-4
C.x=7 D.x=-7
5.(2022海南)若代数式x+1的值为6,则x等于( )
A.5 B.-5
C.7 D.-7
A
A
7.(2022莱芜期末)解方程:
(1)2(x-1)=2-5(x+2);
解:(2)去分母,得12-(x+5)=6x-2(x-1),
去括号,得12-x-5=6x-2x+2,
移项,得-x-6x+2x=2-12+5,
合并同类项,得-5x=-5,
方程两边同除以-5,得x=1.
列方程解应用题
8.(2022铜仁)为了增强学生的安全防范意识,某校九(1)班班委举行了一次安全知识抢答赛,抢答题一共20个,记分规则如下:每答对一个得5分,每答错或不答一个扣1分.小红一共得70分,则小红答对的个数为( )
A.14 B.15 C.16 D.17
B
9.(2022九龙坡期末)如图所示,将一个长方形剪去一个长为4的长方形,再将剩余的长方形补上一个宽为2的长方形就变成了一个正方形,若增加的与剪去的两个长方形的面积相等,则这个相等的面积是 ( )
A.6 B.8
C.10 D.12
B
10.(2022营口)我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一,书中记载一道题:“良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里,驽马先行一十二日,问良马几何追及之 ”题意是:快马每天走240里,慢马每天走150里,慢马先走12天,试问快马几天可以追上慢马 若设快马x天可以追上慢马,则下列方程正确的是( )
A.240x+150x=150×12
B.240x-150x=240×12
C.240x+150x=240×12
D.240x-150x=150×12
D
11.(2022建昌期末)在长400米的环形跑道上,小明和小亮在同一地点同时同向出发,小明每分跑280米,小亮每分跑230米,若设两人经过x分第一次相遇,所列方程正确的是( )
A.280x+230x=400
B.280x+230x=400×2
C.280x-230x=400
D.280x-230x=400×2E
C
12.(2022牡丹江)某商品的进价为每件10元,若按标价打8折售出后,每件可获利2元,则该商品的标价为每件 元.
13.(2022单县期中)某单位为山区一中学捐赠了一批新桌椅,学校组织七年级200名学生搬桌椅.规定一人一次搬两把椅子,两人一次搬一张桌子,每人限搬一次,则最多可搬桌椅(一桌一椅为一套)的套数为
.
15
80
15.(2022镇江)某公司专业生产某种产品,6月初(当月月历如图所示)接到一份求购5 000件该产品的订单,要求本月底完成,7月1日按期 交货.
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
经盘点目前公司已有该产品库存2 855件,补充原材料后,从本月7日开始生产剩余数量的该产品,已知该公司除周六、周日正常休息外,每天的生产量相同,但因受高温天气影响,从本月10日开始,每天的生产量比原来减少了25件,截止到17日生产结束,库存总量达3 830件.如果按照10日开始的生产速度继续生产该产品,能否按期完成订单 如果能,请说明理由;如果不能,请你给该公司生产部门提出一个合理的建议,以确保能按期交货.
解:设从本月10日开始每天的生产量为x件,
则3(x+25)+6x=3 830-2 855,解得x=100.
如果按照10日开始的生产速度继续生产该产品,那么到月底还可以再生产9天,且这9天可生产900件.
因为900+3 830=4 730(件),
4 730<5 000,
所以不能按期完成订单.
因为(5 000-3 830)÷9=130(件),
所以为确保能按期交货,从20日开始每天的生产量至少达到130件.
16.(2022青岛期末)为更好地开展阳光体育活动,学校准备到某体育用品店购进一批A型篮球和B型篮球.已知A型篮球的标价比B型篮球的标价每个贵30元,购买8个A型篮球和10个B型篮球共需1 320元.
(1)A型篮球和B型篮球的标价各是多少
解:(1)设每个A型篮球的标价为x元,则每个B型篮球的标价为(x-30)元,
根据题意,得8x+10(x-30)=1 320,
解得x=90,所以x-30=90-30=60.
答:每个A型篮球的标价为90元,每个B型篮球的标价为60元.
(2)该体育用品店推出了以下优惠方案:
方案一:所有商品按标价的9折销售;
方案二:所有商品按标价购买,总费用超过2 000元时,超过部分按7折收费.
学校计划在该店购买20个A型篮球和30个B型篮球,选择哪种方案更合算 请说明理由.
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4 应用一元一次方程——打折销售
打折销售问题
C
1.如图所示的是超市中某商品的价格标签,一服务员不小心将墨水滴在标签上,使得原价看不清楚,则该商品的原价是( )
A.22元
B.23元
C.24元
D.25元
2.一件标价为600元的上衣,按8折销售仍可获利20元,设这件上衣的成本价为x元,根据题意,下面所列的方程正确的是( )
A.600×8-x=20 B.600×0.8+x=20
C.600×8+x=20 D.600×0.8-x=20
D
3.一件夹克衫先按成本价提高50%标价,再将标价打8折出售,结果获利28元,如果设这件夹克衫的成本价是x元,那么根据题意,所列方程正确的是( )
A.0.8(1+0.5)x=x+28
B.0.8(1+0.5)x=x-28
C.0.8(1+0.5x)=x-28
D.0.8(1+0.5x)=x+28
4.某种商品每件的进价为120元,标价为180元.为了拓展销路,商店准备打折销售.若使利润率为20%,则商店应打 折.
A
8
5.某种商品每件的进价为250元,按标价的9折销售时,利润率为15.2%,求这种商品每件的标价.
解:设这种商品每件的标价是x元,
依题意,有x×90%=250×(1+15.2%),
解得x=320.
故这种商品每件的标价是320元.
6.小明的妈妈在网上某品牌服装店按标价8折拍到一件学生外套,支付了120元.爱思考的小明进行了下列探究:
(1)该学生外套在网上的标价是 元.
(2)若该服装店销售这件学生外套可以获得20%的利润,则这件学生外套的进价是多少元
解:(1)150
(2)设这件学生外套的进价是x元,
根据题意,得120-x=20%x,解得x=100.
答:这件学生外套的进价是100元.
判断盈利亏损问题
D
7.某文化商场同时卖出两台电子琴,每台均卖900元,以成本计算,其中一台盈利20%,另一台亏本20%,则本次买卖中商场( )
A.不赔不赚 B.赚了75元
C.赚了150元 D.赔了75元
8.已知某商店有两件进价不同的衣服都卖了210元,其中一件盈利50%,另一件亏损30%,在这两件衣服的买卖中,这家商店的盈亏情况是( )
A.盈利10元 B.亏损10元
C.盈利20元 D.亏损20元
D
9.某种商品的进价为200元,出售时标价为300元,后来由于该商品积 压,商店准备打折销售,但要保证利润率为5%,则只能打( )
A.6折 B.7折 C.8折 D.9折
10.某商品原先的利润率为30%,为了促销,现降价30元销售,此时利润率为15%,那么该商品的进价是( )
A.300元 B.200元
C.150元 D.130元
B
B
11.文具店销售某种笔袋,每个18元,小华去购买这种笔袋,结账时店员说:“如果你再多买一个就可以打9折,价钱比现在便宜36元.”小华 说:“那就多买一个吧,谢谢.”根据两人的对话,可知小华结账时实际付款 元.
486
商品 甲 乙
进价(元/件) 22 30
售价(元/件) 29 40
(1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件
(2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少元利润
解:(2)(29-22)×150+(40-30)×90=1 950(元).
答:该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得1 950元利润.
(3)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品,其中甲商品的数量不变,乙商品的数量是第一次购进乙商品数量的3倍.甲商品按原价销售,乙商品销售一部分后出现滞销,于是超市决定将剩余的乙商品5折促销,若在本次销售过程中超市共获利2 350元,则5折售出的乙商品有多少件
解:(3)由题意,可知该超市第二次购进甲商品150件,乙商品270件.
设5折售出的乙商品有a件,则未打折售出的乙商品为(270-a)件,
根据题意,得(29-22)×150+(40-30)×(270-a)+(40×0.5-30)a=2 350,
所以a=70.答:5折售出的乙商品有70件.
13.某商场销售甲、乙两种商品,甲种商品每件的售价为60元,利润率为50%;乙种商品每件的进价为50元,售价为80元.
(1)甲种商品每件的进价为 元,每件乙种商品的利润率为 .
解:(1)40 60%
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件,总进价为2 100元,求购进甲种商品多少件.
解:(2)设购进甲种商品x件,则购进乙种商品(50-x)件,
由题意,得40x+50(50-x)=2 100,
解得x=40,
所以购进甲种商品40件.
(3)在“元旦”期间,该商场只对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动.
打折前一次性购物总金额 优惠活动
少于等于450元 不优惠
超过450元,但不超过600元 按售价打9折
超过600元 其中600元的部分打8.2折,超过600元的部分打3折
按上述优惠活动,若小华一次性购买乙种商品实际付款504元,求小华在该商场购买乙种商品多少件.
解:(3)设小华打折前应付款y元,
①打折前一次性购物金额超过450元,但不超过600元,
由题意,得0.9y=504,
解得y=560,560÷80=7(件).
②打折前一次性购物金额超过600元,
600×0.82+(y-600)×0.3=504,
解得y=640,640÷80=8(件).
综上所述,小华在该商场购买乙种商品7件或8件.
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3 应用一元一次方程——水箱变高了
等体积(容积)变形问题
A
2.用底面直径为4 cm的圆柱形钢铸造3个底面直径为2 cm,高为16 cm的圆柱形零件,那么需要截取圆柱形钢的高为( )
A.12 cm B.15 cm
C.18 cm D.21 cm
3.(2022菏泽月考)如图所示,将内半径为20 cm的圆柱形水桶里的水往另一个小的圆柱形水桶倒,直到倒满为止,已知小水桶的内半径为 10 cm,高是15 cm,当小水桶倒满时,大水桶的水面下降 cm.
A
等周长(面积)变形问题
C
4.把一个用铁丝围成的长方形改制成一个正方形,则这个正方形与原来的长方形比较( )
A.面积与周长都不变化
B.面积相等但周长发生变化
C.周长相等但面积发生变化
D.面积与周长都发生变化
C
5.某小区有一块周长为480米的长方形绿地,且宽比长少40米,则该长方形绿地的面积为( )
A.16 000平方米 B.15 000平方米
C.14 000平方米 D.12 000平方米
6.一个长方形的周长为42 cm,将长方形的长减少7 cm,宽增加4 cm,便得到一个正方形,则原长方形的面积为 cm2.
80
7.如图所示,小红的爸爸用14 m长的篱笆在墙边围成了一个长方形养鸡场,若养鸡场的长AB比宽AD多6 m,且在BC边上有一扇1 m宽的门,篱笆连接处的长度忽略不计,求该养鸡场的面积.
解:设养鸡场的宽为x m,则养鸡场的长为(x+6)m,
根据题意,得x+6+2x-1=14,
解得x=3,
所以x(x+6)=3×(3+6)=27.
答:该养鸡场的面积为27 m2.
A
9.一个密封的瓶子里装着一些水(如图所示),已知瓶子的底面积为 10 cm2,请你根据图中标明的数据,计算瓶子的容积是 cm3( )
A.80 B.70 C.60 D.50
C
10.如图所示的是一块在电脑屏幕上出现的色块图,它是由6个颜色不同的正方形拼成的长方形,如果中间最小的正方形边长为1,那么所拼成的长方形的面积为 .
143
11.如图所示,一个盛有水的圆柱形玻璃容器的底面半径为10 cm,容器内水的高度为12 cm,把一根半径为2 cm的玻璃棒垂直插入水中,水不会溢出,则容器内的水将升高 cm.
0.5
12.如图所示,根据图中给出的信息,当水的高度为50 cm(如图④所示)时,杯中有 个大球.
4
13.小明家计划围一个长方形养鸡场,养鸡场的长边靠墙,墙长14 m,其他三边用竹篱笆围成,现有长为35 m的篱笆,爸爸的设计方案是长比宽多5 m;妈妈的设计方案是长比宽多2 m.谁的设计方案合理 为什么 如果按这种方案设计,养鸡场的面积是多少
解:妈妈的设计方案合理.
理由如下:
设爸爸的设计方案中养鸡场的宽为x m,则长为(x+5)m,
根据题意,得2x+(x+5)=35,解得x=10,x+5=15>14,
所以不符合实际.
设妈妈的设计方案中养鸡场的宽为y m,
则长为(y+2)m,
根据题意,得2y+(y+2)=35,
解得y=11,
y+2=13<14,
所以符合实际,
此时养鸡场的面积为11×13=143(m2).
故妈妈的设计合理,此时养鸡场的面积为143 m2.
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2 求解一元一次方程
第1课时 移项解一元一次方程
移项解一元一次方程
C
A
3.方程3x+6=0的解的相反数是 .
4.如图所示的框图表示解方程3x+32=7-2x的流程,其中第1步是 .
2
移项
5.解下列方程:
(1)4x-2=5x+1;
解:(1)移项,得4x-5x=1+2,
合并同类项,得-x=3,
方程两边同时除以-1,得x=-3.
移项解一元一次方程的应用
A
D
8.当x= 时,式子4x+8与3x-10的值相等.
9.如果x=-1是关于x的方程x+2k-3=0的解,那么k的值是 .
-18
2
10.小明的爷爷每天都步行到距离家3.2千米的公园去打太极拳.周日早晨,爷爷出发半小时后,小明发现爷爷忘记带家门钥匙了,就骑自行车去给爷爷送钥匙.如果爷爷的速度是4千米/时,小明骑自行车的速度是12千米/时,当小明追上爷爷时,爷爷到公园了吗
D
12.若三个连续偶数的和是24,则它们的积是( )
A.48 B.480
C.240 D.120
B
C
13.若方程2x=4与方程3x+k=10的解相同,则k的值为( )
A.2 B.-2
C.4 D.-4
14.轩轩在数学学习中遇到一个有神奇魔力的“数值转换机”,按如图所示的程序计算,若开始输入的x为正整数,最后输出的结果为41,则满足条件的x值最多有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
D
-5
15.刘明同学在解一元一次方程 x-3=x+3时,不小心把 处x的系数弄得看不清了,他便问邻桌,但是邻桌只告诉他,该方程的解是x=-1(邻桌的答案是正确的),刘明同学便由此计算出了 处x的系数,那么这个系数是 .
16.规定一种运算:a*b=a-2b.则方程x*3=2*4的解为 .
x=0
17.解方程:
(1)-2.5y-7.5y=5-16y;
18.我国古代数学著作《九章算术》中记载:“今有人共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六.问人数、鸡价各几何 ”其大意是今有人合伙买鸡,若每人出9钱,则多11钱;若每人出6钱,则差16钱.则合伙人数、鸡价各是多少
解:设合伙人数为x,
根据题意,得9x-11=6x+16,
解得x=9,
所以鸡价为9×9-11=70(钱).
答:合伙人数为9,鸡价为70钱.
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第3课时 去分母解一元一次方程
去分母解一元一次方程
B
A
解:方程两边同乘6,得3x-2(x-1)=6,①
去括号,得3x-2x-2=6,②
合并同类项,得x-2=6,③
解得x=8,④
故原方程的解为x=8.⑤
(1)上述解答过程的第一步是 ,依据是 ;
去分母
等式的基本性质
(2)从第 步开始出现错误(填序号),产生错误的原因是
;
(3)请直接写出方程的解: .
②
去括号时,小括号内的第二项未变号
x=4
解:(1)去分母,得3(x-1)-2(4x-2)=6,
去括号,得3x-3-8x+4=6,
移项、合并同类项,得-5x=5,
方程两边同除以-5,得x=-1.
解:(2)去分母,得4(2x+1)-15x=18,
去括号,得8x+4-15x=18,
移项,得8x-15x=18-4,
合并同类项,得-7x=14,
所以x=-2.
去分母解一元一次方程的应用
B
C
-23
(2)求此方程正确的解.
D
-1
12.航天创造美好生活,每年4月24日为中国航天日.学习了一元一次方程以后,小悦结合中国航天日给出一个新定义:若x0是关于x的一元一次方程的解,y0是关于y的方程的一个解,且x0,y0满足x0+y0=424,则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”.例如:一元一次方程4x=5x-400的解是x=400,方程|y|=24的解是y=24或y=-24.因为400+ 24=424,所以关于y的方程|y|=24是关于x的一元一次方程4x=5x-400的“航天方程”.
(1)试判断关于y的方程|y-1|=20是否为关于x的一元一次方程x+403= 2x的“航天方程” 并说明理由.
解:(1)是.理由如下:
x+403=2x,解得x=403.
|y-1|=20,解得y=21或y=-19.
因为403+21=424,
所以关于y的方程|y-1|=20是关于x的一元一次方程x+403=2x的“航天方程”.
②4a+3-15=424,解得a=109.综上,a的值为101或109.
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6 应用一元一次方程——追赶小明
追及或相遇问题
B
1.甲、乙二人从相距21千米的两地同时出发,相向而行,120分后相遇.甲每小时比乙多走 500米,设乙的速度为x千米/时,下面所列方程正确的是( )
A.2(x+500)+2x=21
B.2(x+0.5)+2x=21
C.120(x-500)+120x=21
D.120(x-0.5)+120x=21
A
2.A,B两地相距500 km,大客车以每小时60 km的速度从A地驶向B地, 2 h后,小汽车以每小时90 km的速度沿着相同的道路行驶,设小汽车出发x h后追上大客车,根据题意可列方程为( )
A.60(x+2)=90x
B.60x=90(x-2)
C.60(x+2)+90x=500
D.60x+90(x-2)=500
2或2.5
3.A,B两地相距450千米,甲、乙两车分别从A,B两地同时出发,相向而行.已知甲车的速度为120千米/时,乙车的速度为80千米/时,t小时后两车相距50千米,则t的值为 .
4.从A地到B地的甲列车平均每小时行驶200千米,每天6:30发车;从B地到A地的乙列车平均每小时行驶280千米,每天7:00发车.已知B地到A地高铁线路长约1 180千米,则两车几点相遇
其他类行程问题
C
5.在风速为24 km/h的条件下,一架飞机顺风从A机场飞到B机场需要2.8 h,它逆风飞行同样的航线需要3 h,求这架飞机无风时的平均速度是多少.设这架飞机无风时的平均速度为x km/h,则可列方程为( )
A.2.8(x+24)=3x
B.2.8x=3(x-24)
C.2.8(x+24)=3(x-24)
D.2.8(x-24)=3(x+24)
6.一轮船往返A,B两港之间,逆水航行需3小时,顺水航行需2小时,水速是3千米/时,则轮船在静水中的速度是( )
A.18千米/时 B.15千米/时
C.12千米/时 D.20千米/时
7.一列匀速前进的火车,从它进入320米长的隧道到完全通过隧道共用了18秒,隧道顶部一盏固定的小灯灯光在火车上照了10秒,则这列火车的长为 米.
B
400
B
8.明明上午9:00从学校出发前往图书馆,同时欢欢从图书馆出发前往学校,明明的速度是90米/分,欢欢的速度是80米/分,出发9分后,欢欢到达学校.下列说法正确的是( )
A.他们出发4.5分后相遇
B.相遇点更靠近图书馆
C.当他们都到达各自的目的地时是上午9:17
D.明明比欢欢晚到1分
9.如图所示,正方形ABCD的边长为1个单位长度,电子蚂蚁P从点A出发以1个单位长度/秒的速度顺时针绕正方形运动,同时,电子蚂蚁Q从点A出发以3个单位长度/秒的速度逆时针绕正方形运动,则第2 022次相遇在( )
A.点A B.点B
C.点C D.点D
10.轮船在顺水中的速度为28千米/时,在逆水中的速度为24千米/时,水面上一漂浮物顺水漂流20千米,则它漂流了 小时.
C
10
11.一辆长为4米的小轿车和一辆长为20米的大货车,在长为1 200米的隧道的两个入口同时出发相向而行,小轿车的速度是大货车速度的 3倍,大货车的速度为10米/秒.
(1)求两车相遇的时间;
解:(1)设两车经过x秒相遇,
根据题意,得(10+30)x=1 200,
解得x=30.
答:两车经过30秒相遇.
(2)求两车从相遇到完全分开所需的时间.
解:(2)设两车从相遇到完全分开所需的时间为y秒,
根据题意,得(10+30)y=4+20,
解得y=0.6.
答:两车从相遇到完全分开所需的时间为0.6秒.
12.甲、乙两地相距45 km,一部分为上坡路,其余全为下坡路.一人骑车往返于甲、乙两地之间,上坡时速度为12 km/h,下坡时速度为 18 km/h.若此人由甲地到乙地比由乙地到甲地多用25 min,画出示意图,并求从甲地到乙地上坡的路程.
13.已知数轴上有A,B两点,分别表示-40,20,两只电子蚂蚁甲、乙分别从A,B两点同时出发,甲沿AB方向以1个单位长度/秒的速度向右运动,甲到达点B处时停止运动,乙沿BA方向以4个单位长度/秒的速度向左 运动.
(1)A,B两点间的距离为 个单位长度;乙到达点A时共运动了 秒.
解:(1)60 15
(2)甲、乙在数轴上的哪个点相遇
解:(2)设甲、乙经过x秒相遇,
根据题意,得x+4x=60,解得 x=12,
所以-40+x=-28.
故甲、乙在数轴上表示-28的点相遇.
(3)多少秒时,甲、乙相距10个单位长度
解:(3)分两种情况:
相遇前,设y秒时,甲、乙相距10个单位长度,
根据题意,得y+4y=60-10,
解得y=10;
相遇后,设m秒时,甲、乙相距10个单位长度,
根据题意,得m+4m-60=10,解得m=14.
故10秒或14秒时,甲、乙相距10个单位长度.
(4)若乙到达点A后立刻掉头并保持速度不变,则甲到达点B前,甲、乙还能在数轴上相遇吗 若能,求出相遇点所表示的数;若不能,请说明 理由.
解:(4)甲、乙还能在数轴上相遇.
乙到达点A需要15秒,此时甲已经运动了15个单位长度,
乙追上甲需要15÷(4-1)=5(秒),
此时相遇点表示的数是-40+15+5=-20,
故甲、乙还能在数轴上相遇,相遇点表示的数是-20.
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第五章 一元一次方程
1 认识一元一次方程
第1课时 认识一元一次方程
列方程
B
C
D
3.笔记本比中性笔的单价多2元,小刚买了5本笔记本和3支中性笔正好用去18元.如果设中性笔的单价为x元,那么下面所列方程正确的是 ( )
A.5x+3(x-2)=18 B.5(x-2)+3x=18
C.5x+3(x+2)=18 D.5(x+2)+3x=18
4.某长方形的周长为210 m,长与宽之差为15 m,设宽为x m,则列方程为
.
2(x+x+15)=210
一元一次方程及其解
B
6.若关于x的方程2xm+1=0是一元一次方程,则m的值为( )
A.0 B.1
C.-1 D.任何数
B
解:(1)把x=3代入方程,得
左边=1,右边=1,左边=右边,
所以x=3是原方程的解.
把x=-7代入方程,得左边=-49,右边=-4,
左边≠右边,
所以x=-7不是原方程的解.
解:(2)将y=0代入方程,得
左边=3,右边=1.5,
左边≠右边,
所以y=0不是原方程的解.
将y=-3代入方程,得
左边=-12,右边=4.5,
左边≠右边,
所以y=-3不是原方程的解.
(2)5y+3=1.5-y(y=0,y=-3).
解:(1)M=3(a-2b)-(b+2a)
=3a-6b-b-2a
=a-7b.
8.已知式子M=3(a-2b)-(b+2a).
(1)化简M;
解:(2)由题意,得a+1=0,b-2=1,
解得a=-1,b=3,
则M=-1-7×3=-22.
B
10.已知关于x的方程3-(m+1)x|m|=0是一元一次方程,则m的值为( )
A.1 B.-1
C.1或-1 D.以上结果均错误
A
A
11.某汽车队运送一批货物,若每辆汽车装4吨,则还剩下8吨装不下;若每辆汽车装4.5吨,则恰好装完.该车队运送货物的汽车共有多少辆 设该车队运送货物的汽车共有x辆,则可列方程为( )
A.4x+8=4.5x B.4x-8=4.5x
C.4x=4.5(x+8) D.4(x+8)=4.5x
C
12.几年前,李叔叔在银行存了一笔两年的定期存款,年利率是2.75%.到期后取出,得到本金和利息总共21 100元.设李叔叔存入的本金为x元,则下列方程正确的是( )
A.2×2.75%x=21 100
B.x+2.75%x=21 100
C.x+2×2.75%x=21 100
D.2(x+2.75%x)=21 100
13.今有妇人河上荡杯(洗碗),津吏问曰:“杯何以多 ”(碗为何这么多)妇人曰:“家有客.”津吏问:“客几何 ”妇人曰:“二人共饭(二人共用一个碗盛饭),三人共羹(三人共用一个碗盛汤),四人共肉(四人共用一个碗盛菜),凡用杯(碗)六十五,不知客几何.”请你帮助津吏算一下,共有客人多少位.若设共有客人x位,则可列方程为
.
15.阅读下列材料:
关于x的方程
x3+x=13+1的解是x=1;
x3+x=23+2的解是x=2;
x3+x=(-2)3+(-2)的解是x=-2.
根据以上材料,解答下列问题:
(1)观察上述方程和解的特征,请直接写出关于x的方程x3+x=43+4的 解: .
解:(1)x=4
解:(2)x=a
(3)把x=a代入方程,得
左边=a3+a=右边,
所以第(2)问猜想的结论正确.
(2)比较关于x的方程x3+x=a3+a与上面各式的关系,猜想它的解 是 .
(3)请验证第(2)问猜想的结论.
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第2课时 利用等式的基本性质解一元一次方程
等式的基本性质
C
C
D
B
4.由等式(m-1)(n+2)=(2m+3)(n+2),得等式m-1=2m+3,则应满足的条件是( )
A.n>-2 B.n≠-2
C.n<-2 D.m≠1
5.由3x=2x-1得3x-2x=-1,在此变形中,方程两边同时 .
减2x
利用等式的基本性质解一元一次方程
B
等式的基本性质
解:(1)方程两边同时加7,得
4x-7+7=13+7,化简,得4x=20,
方程两边同时除以4,得x=5.
C
B
D
2a+5
12.等式3a+5=2a+6的两边同时减一个多项式可以得到等式a=1,那么这个多项式是 .
13.将方程36x-2y=56变形为用含x的式子表示y的形式是 .
14.某足球比赛规定:赢一场得3分,平一场得1分,输一场扣1分.某队在一个赛季比赛中,平了2场,输了6场,最终得分为2分,则该队赢了
场.
y=18x-28
2
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人一、选择题(每小题4分,共32分)
1.已知下列方程:①3x=6y;②2x=0;③=4x-1;④x2+2x-5=0;⑤3x=1;⑥-2=2.其中,一元一次方程有(B)
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
2.下列运用等式的性质对等式进行的变形中,错误的是(C)
A.若a(x2+1)=b(x2+1),则a=b
B.若a=b,则ac=bc
C.若a=b,则=
D.若x=y,则x-3=y-3
3.下列解方程的过程正确的是(B)
A.2x=1系数化为1,得x=2
B.x-2=0解得x=2
C.3x-2=2x-3移项,得3x-2x=-3-2
D.x-(3-2x)=2(x+1)去括号,得x-3-2x=2x+1
4.如果关于x的方程2x+k-4=0的解为x=-3,那么k的值是(B)
A.-10 B.10 C.2 D.-2
5.解一元一次方程=4-时,去分母正确的是(A)
A.2(x-1)=24-3(2x+1)
B.2(x-1)=24-(2x+1)
C.(x-1)=24-3(2x+1)
D.2(x-1)=4-3(2x+1)
6.把方程-=1的分母化为整数,正确的是(B)
A.x-=1 B.x-=1
C.x-=1 D.x-=1
7.若关于x的方程4x-2m=3x-1的解是方程x=2x-2的解的2.5倍,则m的值为(C)
A. B.
C.3 D.2
8.已知关于x的一元一次方程-=1的解为偶数,则整数a的值不可能是(C)
A.4 B.2 C.1 D.0
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.已知方程(a+3)x|a|-2+5=0是关于x的一元一次方程,则a的值是 3 .
10.如果方程=2+的解与关于x的方程3x-(3a+1)=x+(2a-1)的解相同,那么a= 2 .
11.当x= - 时,式子与+x的值互为相反数.
12.在1+++++…中,“…”表示按规律不断求和,设1+++++…=x,则有x=1+x,解得x=2,故1+++++…=2.那么1++++…的结果为 .
三、解答题(共52分)
13.(12分)解方程:
(1)4x-1=2x+5;
(2)4x-3(12-x)=6x-2(8-x);
(3)-=1;
(4)-=x.
解:(1)移项,得4x-2x=5+1,
合并同类项,得2x=6,
系数化为1,得x=3.
(2)去括号,得4x-36+3x=6x-16+2x,
移项,得4x+3x-2x-6x=-16+36,
合并同类项,得-x=20,
系数化为1,得x=-20.
(3)去分母,得4(2x-1)-3(2x-3)=12,
去括号,得8x-4-6x+9=12,
移项,得8x-6x=12+4-9,
合并同类项,得2x=7,
系数化为1,得x=.
(4)方程整理,得-=x,
去分母,得3(3x-5)-2(12-5x)=6x,
去括号,得9x-15-24+10x=6x,
移项、合并同类项,得13x=39,
系数化为1,得x=3.
14.(12分)已知|a-3|+(b+1)2=0,代数式的值比b-a+m的值多1,求m的值.
解:因为|a-3|+(b+1)2=0,
所以a-3=0且b+1=0,
解得a=3,b=-1.
由题意,得=b-a+m+1,
即=--3+m+1,
解得m=0,
所以m的值为0.
15.(14分)在做解方程的练习时,有一个方程“2y-=y+■”中的■没印清晰,薇薇问老师,老师说:“■是一个有理数,该方程的解与方程5(x-1)-2(x-2)-4=7的解相同.”聪明的薇薇很快补上了这个有理数.请你也来补一补这个有理数.
解:5(x-1)-2(x-2)-4=7,
解得x=4,
所以y=4.
设■为a,
把y=4代入2y-=y+a,得2×4-=×4+a,
解得a=7,
所以这个有理数为7.
16.(14分)定义:若关于x的一元一次方程ax=b的解为x=b+a,则称该方程为和解方程.例如:2x=-4的解为x=-2,且-2=-4+2,则该方程是和解方程.
(1)判断-3x=是否为和解方程;
(2)若关于x的一元一次方程5x=m-2是和解方程,求m的值.
解:(1)因为-3x=,
所以x=-.
因为-3=-,
所以-3x=是和解方程.
(2)因为关于x的一元一次方程5x=m-2是和解方程,
所以m-2+5=,
解得m=-.
故m的值为-.(共15张PPT)
5 应用一元一次方程——“希望工程” 义演
双等量关系型应用题
D
1.一停车场上有24辆车,其中汽车有4个轮子,摩托车有3个轮子,且停车场只有汽车和摩托车,这些车共有86个轮子,那么摩托车有( )
A.14辆 B.12辆 C.16辆 D.10辆
2.某学校买了大、小两种椅子20把,共花费275元,已知大椅子每把 15元,小椅子每把10元,若设大椅子买了x把,则小椅子买了 把,列方程为 .
(20-x)
15x+10(20-x)=275
3.某班学生去看演出,甲种票每张24元,乙种票每张18元.如果35名学生购票恰好用去750元,那么甲、乙两种票各买了多少张
解:设甲种票买了x张,则乙种票买了(35-x)张,
根据题意,得24x+18(35-x)=750,
解得x=20,则35-x=15.
所以甲种票买了20张,乙种票买了15张.
配套问题、工程问题
B
5.有一个专门生产茶杯的车间,一个工人平均每小时可以加工杯身 12个,或者加工杯盖15个,车间一共有90个工人,若安排x个工人加工杯身,能使生产的杯身与杯盖刚好配套,则可列方程: .
6.某工艺品车间有24名工人,平均每名工人每天可制作12个大花瓶或10个小饰品,已知2个大花瓶与5个小饰品配成一套,则要安排 名工人制作大花瓶,才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套.
12x=15(90-x)
6
7.某生产车间有60名工人生产太阳镜,1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个,应如何分配工人,才能使每天生产的镜片和镜架配套
解:设应分配x名工人生产镜片,则分配(60-x)名工人生产镜架,
由题意,得200x=2×50×(60-x),
解得x=20,所以60-x=40.
答:应分配20名工人生产镜片,40名工人生产镜架,才能使每天生产的镜片和镜架配套.
C
9.整理一批图书,由一个人做要40小时完成.现在计划由一部分人先做4小时,再增加2人和他们一起做8小时,完成这项工作.假设这些人的工作效率相同,具体应先安排 人工作.
10.父子二人今年的年龄和为44岁,已知两年前父亲的年龄是儿子的 4倍,那么今年儿子的年龄是 岁.
2
10
11.某电影播出以后,受到广大青少年的喜爱,某校七(1)班、七(2)班的同学让他们的家长在网上买票,家长了解到某电影院的活动如下表,设购买电影票的张数为n.
购买张数 1≤n≤50 51≤n≤100 n>100
每张票的价格 38元 30元 26元
家长沟通后决定两个班的同学在期中考试结束后去观看.两个班共有104人,其中七(1)班人数多于40不足50.经过估算,如果两个班都以班级为单位购买,那么一共应付3 504元.
(1)求两个班各有多少名同学.
解:(1)设七(1)班有x名同学,则七(2)班有(104-x)名同学,
依题意,得38x+30(104-x)=3 504,
解得x=48,所以104-x=56.
答:七(1)班有48名同学,七(2)班有56名同学.
(2)如果两个班联合起来,作为一个团体购票,可以节省多少钱
(3)如果七(1)班同学作为一个团体购票,你认为如何购票才最省钱 可以节省多少钱
解:(2)26×104=2 704(元),3 504-2 704=800(元).
答:可以节省800元钱.
(3)购买48张票所需费用为38×48=1 824(元),
购买51张票所需费用为30×51=1 530(元).
1 824>1 530,1 824-1 530=294(元).
答:购买51张门票最省钱,可以节省294元.
12.食品公司收购了200吨新鲜柿子,保质期15天,该公司有两种加工技术,一种是加工为普通柿饼,另一种是加工为特级霜降柿饼,也可以不加工直接销 售.相关信息如表:
品种 每天可加工数量 每吨获利
新鲜柿子 不需加工 1 000元
普通柿饼 16吨 5 000元
特级霜降柿饼 8吨 8 000元
由于生产条件的限制,两种加工方式不能同时进行,为此公司制定了两种可行的方案:
方案一:尽可能多地生产为特级霜降柿饼,没来得及加工的新鲜柿子在市场上直接销售;
方案二:先将部分新鲜柿子加工为特级霜降柿饼,再将剩余的新鲜柿子加工为普通柿饼,恰好15天完成.
请问:哪种方案获利更多 获利多少元
所以利润为40×8 000+160×5 000=1 120 000(元),
所以方案二可获利1 120 000元.
因为1 120 000>1 040 000,
所以方案二获利更多,获利1 120 000元.
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第2课时 去括号解一元一次方程
去括号解一元一次方程
D
1.解方程3(x+4)=5-2(x-1),下列去括号正确的是( )
A.3x+4=5-2x+1
B.3x+4=5-2x-2
C.3x+12=5-2x+1
D.3x+12=5-2x+2
A
3.方程3(x+1)=2x-1的解是( )
A.x=-4 B.x=1
C.x=2 D.x=-2
4.如果关于x的方程2(x+a)-4=0的解是x=-1,那么a的值是 .
A
3
5.解方程:
(1)2(x+1)-(x-1)=12;
解:(1)去括号,得2x+2-x+1=12,
移项,得2x-x=12-1-2,
合并同类项,得x=9.
(2)4-4(x-3)=2(9-x).
解:(2)去括号,得4-4x+12=18-2x,
移项,得-4x+2x=18-12-4,
合并同类项,得-2x=2,
方程两边同除以-2,得x=-1.
去括号解一元一次方程的应用
C
3
6
4
2
11.小明在解方程3x-(x-2a)=4去括号时,忘记将括号中的第二项变号,求得方程的解为x=-2,那么方程正确的解为( )
A.x=2 B.x=4
C.x=6 D.x=8
12.一个两位数的十位数字与个位数字的和是7,把这个两位数加上45后,结果恰好成为数字对调后的两位数,则这个两位数是( )
A.25 B.16 C.34 D.61
C
B
4
13.已知x=3是关于x的方程ax-5=9x-a的解,那么关于x的方程a(x-1)-5=9(x-1)-a的解是x= .
14.若关于x的方程kx-4=2(3-x)有正整数解,则所有满足条件的整数k的值的和为 .
10
15.解方程:
(1)1-2[1-(2-x)]=x;
解:(1)去括号,得1-2+4-2x=x,
移项、合并同类项,得-3x=-3,
解得x=1.
17.为鼓励市民节约用水,某市自来水公司对每户用水量采取了分段计费的方法进行收费,每户每月用水量在规定吨数及以下的按一种单价收费,超过规定吨数的部分按另一种单价收费.下表是小明家1～4月份的用水量和费用情况:
月份 1 2 3 4
用水量(吨) 6 8 10 13
费用(元) 12 16 22 31
(1)请根据表中信息,写出两种收费标准.
解:(1)从表中可以看出:用水量不超过8吨时,每吨2元;
超过8吨的部分,每吨3元.
(2)若小明家5月份用水18吨,则应缴水费多少元
(3)若小明家6月份的水费为58元,则他家6月份用水多少吨
解:(2)小明家5月份的水费是8×2+(18-8)×3
=16+10×3=16+30=46(元).
答:应缴水费46元.
(3)设他家6月份用水x吨.
因为58>8×2,所以x>8.则8×2+(x-8)×3=58,
解得x=22.
故他家6月份用水22吨.
18.对于任意四个有理数a,b,c,d,可以组成两个有理数对(a,b)与(c,d).
我们规定:(a,b) (c,d)=bc-ad.
例如:(1,2) (4,5)=2×4-1×5.
根据上述规定解决下列问题:
(1)(5,3) (-2,1)= ;
解:(1)-11
(2)若(2,3x-1) (6,x+2)=22,求x的值;
解:(2)因为(2,3x-1) (6,x+2)=22,
所以6(3x-1)-2(x+2)=22,
18x-6-2x-4=22,
16x=32,
x=2.
(3)当满足等式(4,k-2) (x,2x-1)=6的x是整数时,求整数k的值.
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