2022-2023学年四川省资阳市高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年四川省资阳市高二（下）期末数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 复数( )
A. B. C. D.
2. 双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
3. 函数的单调递减区间为( )
A. B.
C. D. ，
4. 展开式中，系数最大的项是( )
A. 第，项 B. 第，项 C. 第项 D. 第项
5. 某地气象部门预报，在国庆期间甲地的降雨概率为，乙地的降雨概率为假定这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这段时间内至少有一个地方降雨的概率为( )
A. B. C. D.
6. 某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率是，两次闭合都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率是( )
A. B. C. D.
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于，两点，若，则的周长为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数的导函数为( )
A. B.
C. D.
9. 已知点，在抛物线：上，为坐标原点，为等边三角形，则的面积为( )
A. B. C. D.
10. 已知双曲线的离心率为，则的两条渐近线的夹角为( )
A. B. C. D.
11. 由，，，，，组成没有重复数字的六位数，其中奇数不相邻，且不在第二位，则这样的六位数个数为( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
12. 过坐标原点可以作曲线两条切线，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 的展开式中的常数项为______．
14. 若随机变量服从正态分布，且，则的值为______ ．
15. 过抛物线的焦点作斜率为的直线，与离心率为的双曲线的两条渐近线的交点分别为，若，，分别表示，，的横坐标，且，则 ______ ．
16. 杨辉是我国南宋时期数学家，在其所著的详解九章算法一书中，辑录了图所示的三角形数表，这比欧洲早多年杨辉三角本身包含很多性质，并有广泛的应用借助图所示的杨辉三角，可以得到，从第行到第行：第斜列之和；第斜列之和类比以上结论，并解决如下问题：图所示为一个层三角垛，底层是每边堆个圆球的三角形底层堆积方式如图所示，向上逐层每边少个，顶层是个则小球总数______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数．
求曲线在处的切线方程；
若时，单调递增，求的取值范围．
18. 本小题分
某科技公司积极响应，加大高科技研发投入，现对近十年来高科技研发投入情况分析调研，统计了近十年的研发投入单位：亿元与年份代码共组数据，其中年份代码，，，分别指年，年，，年现用模型，分别进行拟合，由此得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到下图所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中，．
根据残差图，比较模型的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
根据中所选模型，求出关于的回归方程；根据该模型，求该公司年高科技研发投入的预报值回归系数精确到
附：对于一组具有线性相关关系的数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
19. 本小题分
已知双曲线实轴长为，左、右两顶点分别为，，上的一点分别与，连线的斜率之积为．
求的方程；
经过点的直线分别与的左、右支交于，两点，为坐标原点，的面积为，求的方程．
20. 本小题分
中国茶文化源远流长，历久弥新，生生不息，某学校高中一年级某社团为了解人们喝茶习惯，利用课余时间随机对个人进行了调查了解，得到如下列联表：
不经常喝茶 经常喝茶 合计
男
女
合计
通过计算判断，有没有的把握认为是否“经常喝茶”与性别有关系？
中国茶叶种类繁多，按照茶的色泽与加工方法，通常可分为红茶、绿茶、青茶、黄茶、黑茶、白茶六大茶类，每个茶类包括较多品种，现分别在绿茶与青茶中各选取了个品种茶，甲在仅知道其所属茶类的情况下，品茶并识别茶叶具体品种，已知甲准确说出绿茶各品种的概率为，准确说出青茶各品种的概率为，品鉴每个品种的结果互不影响记“甲准确说出茶叶品种数”为随机变量，求的分布列和数学期望．
附表及公式：
其中，．
21. 本小题分
过点作抛物线：在第一象限部分的切线，切点为，为的焦点，为坐标原点，的面积为．
求的方程；
过点作两条互相垂直的直线和，交于，两点，交于，两点，且，分别为线段和的中点直线是否恒过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
22. 本小题分
已知函数．
若有两个极值点，求的取值范围；
若，，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，故A，，D错误．
故选：．
利用复数的四则运算计算求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为双曲线，所以，，
所以，的离心率，故B，，D错误．
故选：．
根据双曲线的方程以及离心率的概念计算求解．
本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，所以函数的定义域为，
所以，由有：，
所以函数的单调递减区间为，故B，，D错误．
故选：．
利用导数公式对函数进行求导，再根据导数与函数单调性的关系计算求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为的展开式的通项为，，，，，，
所以展开式中各项的系数即为其二项式系数，
根据二项式系数的性质有，第项的二项式系数最大，故A，，C错误．
故选：．
利用二项式定理，以及二项式系数的性质进行求解判断．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：设“甲地降雨”为事件，“乙地降雨”为事件，
则，，
“甲乙两地都不降雨”即事件与同时发生，即，
，，
利用独立事件的性质可知，事件与相互独立，
所以，
所以甲乙两地至少有一个地方降雨的概率为．
故选：．
根据相互独立事件同时发生的概率公式，结合对立事件的概率即可得到结果．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率是，
两次闭合都出现红灯的概率为，
设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件，“第二次闭合出现红灯”为事件，
则由题意可得，，
则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率是，
故选：．
设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件，“第二次闭合出现红灯”为事件，则由题意可得，，由此利用条件概率计算公式求得的值．
本题主要考查条件概率公式的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：双曲线的实半轴长，
由双曲线的定义，可得，，
所以，，
则三角形的周长为．
故选：．
结合双曲线的定义来解决即可．
本题考查双曲线的几何性质，数形结合思想，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
先化简函数，再由导数求导公式和运算法则求解即可．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：设、，
，
．
又，，
，
即．
又，均为正数，
．
，即．
由抛物线对称性，知点、关于轴对称．
，则．
，将其代入抛物线方程中得，
解得，
等边三角形的边长为，
所以面积为．
故选：．
根据和抛物线对称性，知点、关于轴对称．可知，进而根据抛物线和直线方程求得点的坐标，即可求解面积．
本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：双曲线的离心率为，
，可得，
即，则双曲线的渐近线的倾斜角为，
可得的两条渐近线的夹角为．
故选：．
由双曲线的离心率可得的值，得到一条渐近线的倾斜角，进一步得答案．
本题考查双曲线的简单性质，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：，，，，，组成没有重复数字的六位数，其中奇数不相邻，先排个偶数，然后把个奇数插入即可，共有个，
若在第二位，则第一位一定为奇数，
则从个奇数中选择一个放在第一位上，
此时还剩下个偶数和个奇数安排在后四位上，
则先排个偶数，然后把剩下个奇数插空即可，
此时共有个，
因此符合条件的六位数有个，
故选：．
利用全部不相邻的奇数中去掉在第二位的情况，即可利用不相邻问题插空法求解．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：，设切点坐标为，
切线的斜率，
切线方程为，
又切线过原点，，
整理得：，
切线存在两条，方程有两个不等实根，
，解得或，
即的取值范围是，
故选：．
设切点坐标为，利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可得，因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由即可求出的取值范围．
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：展开式的通项为
令得
所以展开式的常数项为
故答案为
利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为，求出的值，将的值代入通项，求出常数项．
本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
14.【答案】
【解析】解：因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线的对称轴为，
因为，所以，所以．
故答案为：．
根据已知，利用正态曲线的性质计算求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：过抛物线的焦点作斜率为的直线，直线方程为，
双曲线的渐近线为，
联立渐近线与直线的方程，可得，，，
，
，解得，
．
故答案为：．
过抛物线的焦点，所以直线与交于、两点，求出、的横坐标，再根据，建立关于、的等式解出，可得此双曲线的离心率．
本题考查抛物线的几何性质，双曲线的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：由题可知，在三角垛中，第层个球，第层有个球，第层有，，
第层有个球，
又，
所以三角垛的小球总数为：．
故答案为：．
根据已知，利用数列求和以及组合数的性质进行计算求解．
本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了组合数的性质，属于基础题．
17.【答案】解：由，得，
则，又，
所以曲线在处的切线方程为，
即．
因为时，单调递增，
所以时，恒成立，
即在时恒成立，
设，则，
则时，，时，，
可知时，取极小值，该极小值也即为上的最小值，
所以，即，
所以，单调递增时，的取值范围是．
【解析】利用导数公式、导数的几何意义以及直线的点斜式方程求解．
在单调递增时，则对恒成立，再利用分离参数法、导数计算求解．
本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的切线问题，利用导数研究函数的单调性，属中档题．
18.【答案】解：应该选择模型．
由于模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型带状宽度窄，所以模型的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，所以选模型比较合适；
根据模型，令，研发投入与可用线性回归来拟合，有．
则，
所以，则关于的线性回归方程为．
所以，关于的回归方程为．
年，即时，亿元．
所以，该公司年高科技研发投入的预报值为亿元．
【解析】根据残差图即可求解，
根据最小二乘法求解线性回归方程，即可换元得非线性回归方程，代入即可求解预测值．
本题主要考查线性回归方程的应用，属于中档题．
19.【答案】解：由题，不妨设点，，的方程为．
因为在上，
则，
即有，
则分别与，连线的斜率之积为，
所以的方程为．
由题知，直线的斜率存在，设为，则的方程为，
联立方程组消去，得，
令，，
则，
因为直线分别交的左、右支于，两点，
则，，
则，的面积，
则，
解得或舍去，则，
所以的方程为．
【解析】由题意设，表示出分别与，连线的斜率之积，再将化简即可得出答案；
联立直线方程与双曲线方程，结合题意由韦达定理求出的范围，表示出的面积，将韦达定理代入化简即可得出答案．
本题主要考查了直线与双曲线相交问题以及双曲线中三角形面积问题，解答本题的关键在于由韦达定理表示出代入的面积，然后通过计算得到的值．
20.【答案】解：由题，得，
因此有的把握认为使用效果评价为“良好”的客户与性别有关系；
由题可知，的可能值为，，，，，
，
，
，
，
，
的分布列为：
或 或 或
则的数学期望．
【解析】首先根据参考公式，再和参考数据比较大小后，即可判断；
首先确定随机变量的取值，再根据独立事件同时发生的概率公式求解概率，并列出分布列和数学期望．
本题考查离散型随机变量的分布列与期望以及独立性检验思想，属于中档题．
21.【答案】解：由题，，
设切点，则切线方程为，，
的坐标代入，得，解得，由于，所以，
由的面积，解得，
所以的方程为．
由题意可知，直线和斜率都存在且均不为，
设直线的方程为，则直线的方程为，
联立方程组消去并整理得，，
则，
设，，则，，
所以，
因为为中点，所以，
同理可得，
所以，直线的方程为，
整理得，所以，直线恒过定点．
【解析】利用导数求解切线方程，即可得切点坐标，由面积公式即可求解，
联立直线与抛物线的方程得韦达定理，结合中点坐标公式可得，的坐标，即可由点斜式求解直线的方程，化简即可求解．
本题主要考查直线与抛物线的综合，考查转化能力，属于难题．
22.【答案】解：由，得，
因为有两个极值点，则，即方程有两个不等实数根，
令，则，
知时，，单调递减，
时，，单调递增，
则时，取得极小值，也即为最小值，
且时，，时，，
时，，时，，
故，即时，
方程有两个实数根，不妨设为，
可知时，，时，，时，，
即，分别为的极大值和极小值点．
所以有两个极值点时，的取值范围是．
令，原不等式即为，
可得，，，
令，则，
又设，则，
时，，可知在单调递增，
若，有，，则；
若，有，则，
所以，，，则即单调递增，
当即时，，则单调递增，
所以，恒成立，则符合题意．
当即时，
，，
存在，使得，
当时，，则单调递减，所以，与题意不符，
综上所述，的取值范围是．
【解析】先将有两个极值点转化为有两个不同实根，分离参数得，根据函数的性质，可得的取值范围；
先将问题转化为在恒成立，再转化为函数的最小值大于或等于，进而求的取值范围．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与极值，构造函数证明不等式，属中档题．
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