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2023年七年级上册数学人教版单元分层测试 第二章 整式的加减 A卷
一、选择题
1．（2023七下·衡阳期末）下列说法正确的是（ ）
A．的次数是2 B．是单项式
C．是三次三项式 D．的系数是
2．（2023七下·扬州月考）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023七下·潜山期末）若单项式与的和仍是单项式，则的值是（ ）
A．6 B．4 C．9 D．8
4．（2023七下·石阡期中）已知与是同类项，则的值为（ ）
A．4 B． C． D．6
5．（2023·张家口模拟）下列整式中，是二次单项式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·深圳模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023七下·东阳期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．若，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023七下·北仑期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．观察如图的长方形，可以得到的因式分解是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023七下·宁波期末）在长方形ABCD内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，当时，若知道下列条件，能求值的是（ ）
A．边长为a的正方形的面积
B．边长为b的正方形的面积
C．边长为a的正方形的面积与两个边长为b的正方形的面积之和
D．边长a与b之差
二、填空题
11．（2023七下·顺义期中）若单项式与是同类项，则的值是 ．
12．（2023七下·顺义期中）把多项式按字母的降幂排列为 ．
13．（2023七下·石阡期中）多项式的常数项是 ．
14．（2023七下·宁远期中）已知正方形的边长为，如果它的边长增加6，那么它的面积增加 ．
15．（2023七下·光明期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：，则所指的多项式为 ．
16．（2023七下·忠县期末）如图长方形由图1、2、3、4、5拼成，设图1、2、3是边长分别为a，b，c的正方形，图4是长方形，图5是正方形．对于判断：①；②图4的周长为；③；④长方形的周长为，其中正确的是 （填编号）．
三、计算题
17．（2023七下·和平期末）计算：
18．（2023七下·平谷期末）计算：．
四、解答题
19．（2023七下·达州月考）有这样一道题，计算：的值，其中；某同学把“”错抄成“”但他的计算结果是正确的，请回答这是怎么回事？试说明理由
20．（2023七下·平遥月考）眉山市三苏雕像广场是为了纪念三苏父子而修建的．原是一块长为(4a+2b)米，宽为(3a-b)米的长方形地块，现在政府对广场进行改造，计划将如图四周阴影部分进行绿化，中间将保留边长为（a+b）米的正方形三苏父子雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a=20，b=10时的绿化面积．
21．（2023·石家庄月考）发现：当两个不同的正整数同为偶数或奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差．
验证：如，能被4整除，请把3与1的积写成两个正整数的平方差；
探究：设“发现”中两个正整数分别为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】单项式的次数和系数；多项式的项和次数
【解析】【解答】解：A： 的次数是 3，故此选项错误；
B： 是分式不是单项式 ，故此选项错误；
C： 2a2-3abc-1中有3个单项式，且次数最高项的次数是3，所以它是是三次三项式，故此选项正确；
D：-2πab2的系数是-2π，故此选项错误；
故答案为：C.
【分析】根据单项式和多项式的定义逐项分析即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：A、 ，A错误；
B、 ，B错误；
C、 ，C正确；
D、 ，D错误.
故答案为：B.
【分析】按合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则逐个计算得结论.
3．【答案】D
【知识点】同类项
【解析】【解答】解： ∵单项式与的和仍是单项式 ，
∴与 是同类项，
∴m-1=2，n=2，
解得：m=3，n=2，
∴=23=8；
故答案为：D.
【分析】由单项式与的和仍是单项式 ，可知与 是同类项，根据同类项的定义求出m、n的值，再代入计算即可.
4．【答案】B
【知识点】同类项
【解析】【解答】解：∵与是同类项，
∴x=2，1-y=3，
∴y=-2，
∴xy=-4，
故答案为：B.
【分析】根据同类项的定义先求出x=2，1-y=3，再求出y=-2，最后代入计算求解即可。
5．【答案】B
【知识点】整式及其分类
【解析】【解答】 ∵是二次两项式，是二次单项式，三次单项式，一次单项式， ∴选项ACD都不符合题意，选项B符合题意，
故答案为：B。
【分析】此题考察整式的基础知识，难度较低。
6．【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：A、 ，A错误；
B、 ，B错误；
C、 ，C错误；
D、 ，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据同类项定义、积的乘方与幂的乘方法则、完全平方公式、多项式除以单项式的除法法则逐项进行判断.
7．【答案】A
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解： .
故答案为：A.
【分析】根据因数等于积除以另一个因式列出式子，进而根据多项式除以单项式的法则计算即可.
8．【答案】C
【知识点】整式的加减运算；偶次幂的非负性
【解析】【解答】解：S-T=3x2-2xy+y2-（x2+2xy-y2）
=3x2-2xy+y2-x2-2xy+y2
=2x2-4xy+2y2
=2（x-y）2，
∵2（x-y）2≥0，
∴S≥T；
故答案为：C.
【分析】 求出S-T的差，判断S-T的差与0的大小即可得到答案．
9．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【解答】解：由图形可得大矩形的长为a+2b，宽为2a+b，则面积为(a+2b)(2a+b)；
根据面积间的和差关系可得大矩形的面积为2a2+5ab+2b2，
则2a2+5ab+2b2=(a+2b)(2a+b).
故答案为：C.
【分析】由图形可得大矩形的长为a+2b，宽为2a+b，根据矩形的面积公式表示出面积，由面积间的和差关系可得大矩形的面积，据此解答.
10．【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得
S1=AD·AB-a2-b(AD-a)=AD·AB-a2-AD·b+ab，
S2=AD·AB-a2-b2-b(AB-a)=AD·AB-a2-b2-AB·b+ab，
∴S1-S2=AD·AB-a2-AD·b+ab-（AD·AB-a2-b2-AB·b+ab）
=AD·AB-a2-AD·b+ab-AD·AB+a2+b2+AB·b-ab
=b2+b（AB-AD），
∵AD-AB=2，
∴b（AB-AD）=-2b，
∴S1-S2=b2-2b，
∴要求出S1-S2，只需要知道边长为b的正方形的面积.
故答案为：B.
【分析】根据图形及几何图形的面积计算方法分别表示出S1与S2，再根据整式减法法则求出S1与S2的差，即可得出答案.
11．【答案】
【知识点】同类项
【解析】【解答】解：由题意可得：m-1=2
∴m=3
故填：3
【分析】根据同类项的定义即可求出。
12．【答案】
【知识点】多项式的项和次数
【解析】【解答】解： 多项式6x-7x2+9按字母x的降幂排列为：-7x2+6x+6
故答案是：-7x2+6x+6
故填：-7x2+6x+6
【分析】 先分清多项式的各项，然后按多项式降幂排列的定义排列。
13．【答案】-1
【知识点】多项式的项和次数
【解析】【解答】解： 多项式的常数项是-1，
故答案为：-1.
【分析】根据常数项的定义求解即可。
14．【答案】
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：增加的面积=（a+6）2-a2=a2+12a+36-a2=12a+36；
故答案为：12a+36.
【分析】利用扩大后正方形的面积减去原正方形的面积即可求解.
15．【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：所指的多项式为=(4x2-6xy+2x)÷2x=2x-3y+1.
故答案为：2x-3y+1.
【分析】由题意可得：所指的多项式为=(4x2-6xy+2x)÷2x，然后根据多项式与单项式的除法法则进行计算.
16．【答案】①③
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：由题意得DA=CB=a+b＞c，①正确；
图4的周长为2（a+b-c+b+c-a）=4b，②错误；
∵图5是正方形，
又∵图5的一条边长为b-a，一条边长为c-b，
∴b-a=c-b，
∴，③正确；
长方形的周长为2（a+b+b+c）=2（a+2b+c），④错误；
故答案为：①③
【分析】根据整式的加减结合边长进行分析即可求解。
17．【答案】解：
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】先计算积的乘方，再进行整式的混合运算.
18．【答案】解：
．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】利用平方差公式，多项式乘多项式法则计算求解即可。
19．【答案】解：原式
，
与 无关，所以 抄错不影响答案
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】把（x-y）看成一个整体，分别利用乘法分配律去中括号，再逆用乘法分配律变形，进而根据完全平方公式的恒等变形可得中括号的几个式子的和为0，从而可得化简的最后结果，从化简结果来看是没有含字母“y”的项，从而即可得出结论.
20．【答案】解：由题意得：绿化的面积为：(4a+2b)(3a b) (a+b)2=12a2 4ab+6ab 2b2 (a2+2ab+b2)=12a2+2ab 2b2 a2 2ab b2=11a2 3b2
当a=20，b=10时，
原式=11×202 3×102=4400 300=4100．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】 绿化的面积=长方形的面积-空白正方形的面积，据此列式，再利用整式的混合运算将原式化简，最后将a、b值代入计算即可.
21．【答案】解：验证：；
探究：
，
∵m，n是正整数，
∴一定能被4整除；
由上面的算式可知，
，
∵正整数m，n的奇偶性相同，
∴，都是偶数，
∴和都是整数，
且是正整数，
又∵且，
∴和必有一个是正整数，
∴一定能表示为两个正整数的平方差．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】根据题意先求出 一定能被4整除，再求出，都是偶数， 最后求解即可。
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2023年七年级上册数学人教版单元分层测试 第二章 整式的加减 A卷
一、选择题
1．（2023七下·衡阳期末）下列说法正确的是（ ）
A．的次数是2 B．是单项式
C．是三次三项式 D．的系数是
【答案】C
【知识点】单项式的次数和系数；多项式的项和次数
【解析】【解答】解：A： 的次数是 3，故此选项错误；
B： 是分式不是单项式 ，故此选项错误；
C： 2a2-3abc-1中有3个单项式，且次数最高项的次数是3，所以它是是三次三项式，故此选项正确；
D：-2πab2的系数是-2π，故此选项错误；
故答案为：C.
【分析】根据单项式和多项式的定义逐项分析即可得出答案。
2．（2023七下·扬州月考）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：A、 ，A错误；
B、 ，B错误；
C、 ，C正确；
D、 ，D错误.
故答案为：B.
【分析】按合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则逐个计算得结论.
3．（2023七下·潜山期末）若单项式与的和仍是单项式，则的值是（ ）
A．6 B．4 C．9 D．8
【答案】D
【知识点】同类项
【解析】【解答】解： ∵单项式与的和仍是单项式 ，
∴与 是同类项，
∴m-1=2，n=2，
解得：m=3，n=2，
∴=23=8；
故答案为：D.
【分析】由单项式与的和仍是单项式 ，可知与 是同类项，根据同类项的定义求出m、n的值，再代入计算即可.
4．（2023七下·石阡期中）已知与是同类项，则的值为（ ）
A．4 B． C． D．6
【答案】B
【知识点】同类项
【解析】【解答】解：∵与是同类项，
∴x=2，1-y=3，
∴y=-2，
∴xy=-4，
故答案为：B.
【分析】根据同类项的定义先求出x=2，1-y=3，再求出y=-2，最后代入计算求解即可。
5．（2023·张家口模拟）下列整式中，是二次单项式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】整式及其分类
【解析】【解答】 ∵是二次两项式，是二次单项式，三次单项式，一次单项式， ∴选项ACD都不符合题意，选项B符合题意，
故答案为：B。
【分析】此题考察整式的基础知识，难度较低。
6．（2023·深圳模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：A、 ，A错误；
B、 ，B错误；
C、 ，C错误；
D、 ，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据同类项定义、积的乘方与幂的乘方法则、完全平方公式、多项式除以单项式的除法法则逐项进行判断.
7．（2023七下·东阳期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解： .
故答案为：A.
【分析】根据因数等于积除以另一个因式列出式子，进而根据多项式除以单项式的法则计算即可.
8．若，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】整式的加减运算；偶次幂的非负性
【解析】【解答】解：S-T=3x2-2xy+y2-（x2+2xy-y2）
=3x2-2xy+y2-x2-2xy+y2
=2x2-4xy+2y2
=2（x-y）2，
∵2（x-y）2≥0，
∴S≥T；
故答案为：C.
【分析】 求出S-T的差，判断S-T的差与0的大小即可得到答案．
9．（2023七下·北仑期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．观察如图的长方形，可以得到的因式分解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【解答】解：由图形可得大矩形的长为a+2b，宽为2a+b，则面积为(a+2b)(2a+b)；
根据面积间的和差关系可得大矩形的面积为2a2+5ab+2b2，
则2a2+5ab+2b2=(a+2b)(2a+b).
故答案为：C.
【分析】由图形可得大矩形的长为a+2b，宽为2a+b，根据矩形的面积公式表示出面积，由面积间的和差关系可得大矩形的面积，据此解答.
10．（2023七下·宁波期末）在长方形ABCD内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，当时，若知道下列条件，能求值的是（ ）
A．边长为a的正方形的面积
B．边长为b的正方形的面积
C．边长为a的正方形的面积与两个边长为b的正方形的面积之和
D．边长a与b之差
【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得
S1=AD·AB-a2-b(AD-a)=AD·AB-a2-AD·b+ab，
S2=AD·AB-a2-b2-b(AB-a)=AD·AB-a2-b2-AB·b+ab，
∴S1-S2=AD·AB-a2-AD·b+ab-（AD·AB-a2-b2-AB·b+ab）
=AD·AB-a2-AD·b+ab-AD·AB+a2+b2+AB·b-ab
=b2+b（AB-AD），
∵AD-AB=2，
∴b（AB-AD）=-2b，
∴S1-S2=b2-2b，
∴要求出S1-S2，只需要知道边长为b的正方形的面积.
故答案为：B.
【分析】根据图形及几何图形的面积计算方法分别表示出S1与S2，再根据整式减法法则求出S1与S2的差，即可得出答案.
二、填空题
11．（2023七下·顺义期中）若单项式与是同类项，则的值是 ．
【答案】
【知识点】同类项
【解析】【解答】解：由题意可得：m-1=2
∴m=3
故填：3
【分析】根据同类项的定义即可求出。
12．（2023七下·顺义期中）把多项式按字母的降幂排列为 ．
【答案】
【知识点】多项式的项和次数
【解析】【解答】解： 多项式6x-7x2+9按字母x的降幂排列为：-7x2+6x+6
故答案是：-7x2+6x+6
故填：-7x2+6x+6
【分析】 先分清多项式的各项，然后按多项式降幂排列的定义排列。
13．（2023七下·石阡期中）多项式的常数项是 ．
【答案】-1
【知识点】多项式的项和次数
【解析】【解答】解： 多项式的常数项是-1，
故答案为：-1.
【分析】根据常数项的定义求解即可。
14．（2023七下·宁远期中）已知正方形的边长为，如果它的边长增加6，那么它的面积增加 ．
【答案】
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：增加的面积=（a+6）2-a2=a2+12a+36-a2=12a+36；
故答案为：12a+36.
【分析】利用扩大后正方形的面积减去原正方形的面积即可求解.
15．（2023七下·光明期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：，则所指的多项式为 ．
【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：所指的多项式为=(4x2-6xy+2x)÷2x=2x-3y+1.
故答案为：2x-3y+1.
【分析】由题意可得：所指的多项式为=(4x2-6xy+2x)÷2x，然后根据多项式与单项式的除法法则进行计算.
16．（2023七下·忠县期末）如图长方形由图1、2、3、4、5拼成，设图1、2、3是边长分别为a，b，c的正方形，图4是长方形，图5是正方形．对于判断：①；②图4的周长为；③；④长方形的周长为，其中正确的是 （填编号）．
【答案】①③
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：由题意得DA=CB=a+b＞c，①正确；
图4的周长为2（a+b-c+b+c-a）=4b，②错误；
∵图5是正方形，
又∵图5的一条边长为b-a，一条边长为c-b，
∴b-a=c-b，
∴，③正确；
长方形的周长为2（a+b+b+c）=2（a+2b+c），④错误；
故答案为：①③
【分析】根据整式的加减结合边长进行分析即可求解。
三、计算题
17．（2023七下·和平期末）计算：
【答案】解：
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】先计算积的乘方，再进行整式的混合运算.
18．（2023七下·平谷期末）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】利用平方差公式，多项式乘多项式法则计算求解即可。
四、解答题
19．（2023七下·达州月考）有这样一道题，计算：的值，其中；某同学把“”错抄成“”但他的计算结果是正确的，请回答这是怎么回事？试说明理由
【答案】解：原式
，
与 无关，所以 抄错不影响答案
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】把（x-y）看成一个整体，分别利用乘法分配律去中括号，再逆用乘法分配律变形，进而根据完全平方公式的恒等变形可得中括号的几个式子的和为0，从而可得化简的最后结果，从化简结果来看是没有含字母“y”的项，从而即可得出结论.
20．（2023七下·平遥月考）眉山市三苏雕像广场是为了纪念三苏父子而修建的．原是一块长为(4a+2b)米，宽为(3a-b)米的长方形地块，现在政府对广场进行改造，计划将如图四周阴影部分进行绿化，中间将保留边长为（a+b）米的正方形三苏父子雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a=20，b=10时的绿化面积．
【答案】解：由题意得：绿化的面积为：(4a+2b)(3a b) (a+b)2=12a2 4ab+6ab 2b2 (a2+2ab+b2)=12a2+2ab 2b2 a2 2ab b2=11a2 3b2
当a=20，b=10时，
原式=11×202 3×102=4400 300=4100．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】 绿化的面积=长方形的面积-空白正方形的面积，据此列式，再利用整式的混合运算将原式化简，最后将a、b值代入计算即可.
21．（2023·石家庄月考）发现：当两个不同的正整数同为偶数或奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差．
验证：如，能被4整除，请把3与1的积写成两个正整数的平方差；
探究：设“发现”中两个正整数分别为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
【答案】解：验证：；
探究：
，
∵m，n是正整数，
∴一定能被4整除；
由上面的算式可知，
，
∵正整数m，n的奇偶性相同，
∴，都是偶数，
∴和都是整数，
且是正整数，
又∵且，
∴和必有一个是正整数，
∴一定能表示为两个正整数的平方差．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】根据题意先求出 一定能被4整除，再求出，都是偶数， 最后求解即可。
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