2023年八年级上册数学人教版单元分层测试 第十一章 三角形 B卷
一、选择题
1．（2023七下·普宁期末）下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．（2023七下·普宁期末）如图，在直角三角形中，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023七下·河源期末）如图，是的中线，点E为的中点，连接，若的面积为，则的面积为（ ）
A．3 B．5 C．4 D．6
4．（2023七下·连平期末）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（ ）度时，与平行．
A．54 B．64 C．74 D．114
5．（2023七下·吉林期中）下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（ ）
A．正八边形和正三角形 B．正八边形和正方形
C．正八边形和正五角形 D．正六边形和正方形
6．（2023七下·常山期末）若将一副三角板按如图的方式放置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023七下·柳州期末）如图所示，已知直线AB、CD被直线AC所截，是平面内任意一点（点不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE，∠DCE=与均小于，在下列各式中：①；②；③；④，可能为大小的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
8．（2023七下·义乌月考）如图，，AE⊥EF，E在BC上，过E作EC⊥DC，EG平分∠FEC，ED平分∠AEC．若∠EAD＋∠BAD＝180°，∠EDA＝3∠CEG，则下列结论：①∠EAB＝2∠FEG；②∠AED＝45°＋∠GEF；③∠EAD＝135°－4∠GEC；④∠EAB＝15°，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
9．（2022七下·南开期末）正方形网格中的交点，我们称之为格点．如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为．现有格点，那么，在网格图中找出格点，使以和格点为顶点的三角形的面积为1．这样的点可找到的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（2022七下·崇川期末）如图，，∠M＝44°，AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，则∠N等于（ ）
A．21.5° B．21° C．22.5° D．22°
二、填空题
11．（2023七下·光明期末）如图，在中，是边上的中线，若，，则点D到的距离为 ．
12．（2023七下·连江期末）如图，在中，，分别是边和上的两点，连接，若，则的度数为 （用含的式子表示）．
13．（2023七下·闽清期末）如图，，分别是的内角平分线和外角平分线，，分别是的内角平分线和外角平分线，，分别是的内角平分线和外角平分线……以此类推，若，则 ．
14．（2023七下·瓯海期中）随着科技的发展，人们使用平板学习已经成为常态，它拥有的智能磁吸键盘和手写笔更是给人们带来无纸化学习新体验，如图1，当平板放在智能磁吸键盘上时，可调整平板角度，研究表明，屏幕中心在直视屏幕视线下方10°：20°时可减少视觉和肌肉骨骼不适．图2为调整示意图，即∠G=90°，∠GED=x°(10°三、解答题
15．（2023八下·港南期中）探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过A点可以作 条对角线；同样，经过B点可以作 条；经过C点可以作 条；经过D点可以作 条对角线.
通过以上分析和总结，图1共有 条对角线.
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有 条对角线；
图3共有 条对角线；
（3）探索归纳：
对于n边形(n>3)，共有 条对角线．(用含n的式子表示)
（4）特例验证：
十边形有 条对角线.
16．（2022八上·义乌月考）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．
17．（2020七下·鼓楼期末）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”；如图，
∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角.求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°
证法1：∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角
∴__▲_.
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）
∵_▲_.
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2
四、综合题
18．（2023七下·吉林期中）如图
（1）【问题】如图①，在△ABC中，∠A＝74°，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．求∠D的度数，对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°（三角形内角和180° ）．
∴∠ABC+∠ACB＝ ▲ （等式性质）．
∵∠A＝74° （已知），
∴∠ABC+∠ACB＝ ▲ （等量代换）．
∵DB平分∠ABC（已知），
∴∠DBC＝∠ABC（角平分线的定义）．
同理，∠DCB＝ ▲ ；
∴（∠ABC+∠ACB）＝ ▲ （等式性质）．
∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
∴∠D＝180°-（∠DBC+∠DCB）＝ ▲ （等式性质）．
（2）【拓展】如图②，在△ABC中，∠A＝β，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．
则∠D＝（ ）．
（3）【应用】如图③，在△ABC中，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，EB平分∠DBC，EC平分∠DCB．若∠E＝146°，则∠A＝ ．
19．（2023七下·孝南期末）[课题学习]：
平行线的“等角转化”功能.
（1）[阅读理解]：
如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数.
阅读并补充下面推理过程.
解：过点作，所以 ，
又因为
所以
（2）[方法运用]：
如图2，已知，求的度数.
（3）[深化拓展]：
已知，点在的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间.
①如图3，若，则 °
②如图4，点在点的右侧，若，则 °（用含的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A ，4+6=10，A不符合题意；
B ，2+5＜8，B不符合题意；
D ，5+7＜13，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】三角形三边关系满足：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，当任意一条被推翻时，即可排除当前选项.
2．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠C=90°-∠B
∴∠C=90°-56°=34°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°-∠C=90°-34°=56°，
∵DE∥AC，
∴∠ADE=∠DAC=56°.
故答案为：A.
【分析】利用三角形的内角和定理可求出∠C的度数，利用垂直的定义和三角形的内角和定理求出∠DAC的度数；然后利用平行线的性质可得到∠ADE的度数.
3．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵是的中线， 的面积为，
∴△ACD的面积=△ABD的面积=×的面积=×12=6cm2，
∵ 点E为的中点 ，
∴△ECD的面积=△ACE的面积=×△ACD的面积=×6=3cm2，
故答案为：A.
【分析】由 是的中线，点E为的中点 ，根据等底同高可得△ACD的面积=△ABD的面积，△ECD的面积=△ACE的面积，据此即可求解.
4．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵AB、CD均与地面平行，BCD=62°，
∴∠ABC=∠BCD=62°.
∵∠BAC=54°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=64°.
要使AM与CB平行，则∠MAC=∠ACB=64°.
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质可得∠ABC=∠BCD=62°，结合内角和定理可求出∠ACB的度数，由平行线的判定定理可得∠MAC=∠ACB，据此解答.
5．【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A、正八边形的每个内角是180°x(8-2)÷8=135°，正三角形的每个内角是60°，不能铺满地面，不符合题意；
B、正八边形的每个内角是135°，正方形的每个内角是90°，135°x2+90°=360°，能铺满地面，符合题意；
C、正八边形的每个内角是135°，正五边形的每个内角是180°x(5-2)+5=108°，不能铺满地面，不符合题意；
D、正六边形的每个内角是I80°x(6-2)÷6=120°，正方形的每个内角是90°，不能铺满地面，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能，进行判断即可。
6．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，∠ACE=45°，
∴∠ECB=45°.
∴∠ECB=∠E=45°，
∴DE∥BC，
∴∠BFE=∠B=60°.
故答案为：B.
【分析】由角的和差关系可得∠ECB=∠E=45°，由内错角相等，两直线平行，得DE∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BFE=∠B=60°.
7．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】当点E在平面不同的位置时，分类作图讨论：
（1）如图，对于△AEF，∵∠BAE+∠AEC=∠BFE ，∴∠AEC=∠BFE-∠BAE=∠BFE-α
又∵AB∥CD，∴∠BFE=∠DCE=β，∴∠AEC=β-α，所以②满足条件；
（2）如图，过点E作FG∥AB，则FG∥AB∥CD.
∵AB∥FG，∴∠BAE=∠AEF
∵FG∥CD，∴∠CEF=∠DCE
∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠BAE+∠DCE=α+β
所以①满足条件
（3）如图，∵CD∥AB，∴∠EFD=∠BAE=α
又∵∠EFD=∠AEC+∠DCE，∴∠AEC=∠EFD-∠DCE=α-β
所以③满足条件
（4）如图，作FG∥AB，则FG∥AB∥CD.
∵AB∥FG，∴∠BAE+∠AEG=180°，∴∠AEG=180°-∠BAE=180°-α
同理可得，∠CEG=180°-∠DCE=180°-β
∴∠AEC=∠AEG+∠CEG=（180°-α）+（180°-β）=360°-α-β
故④满足条件.
综上所述，本题答案选D.
【分析】当点E落在平面不同位置时，进行分类作图讨论，计算过程结合“平行线的性质定理”和“三角形外角的性质定理”.
8．【答案】D
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵EG平分∠FEC，
∴∠FEG=∠GEC，
设∠FEG=x，则∠FEC=2x，
∵∠EDA＝3∠CEG ，
∴∠EDA=3x，
∵EC⊥DC，DC∥AB，
∴EB⊥AB，∠B=90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEC=∠AEF+∠FEC=90°+2x，
∵∠AEC=∠B+∠EAB，
∴∠EAB=90°+2x-90°=2x=2∠FEG，故①正确；
∵ED平分∠AEC，
∴∠AED=∠AEC=（90°+2x）=45°+x，=45°+∠GEF，故②正确；
∵∠AED=45°+x，∠EDA=3x，
∴∠EAD=180°-∠AED-∠EDA=180°-（45°+x）-3x=135°-4x=135°-4∠GEC，故③正确；
∵∠EAD+∠BAD=180°，
∴∠EAB+∠DAE+∠DAE=180°，
∴2x+2（135°-4x）=180°，
解之：x=15°，
∴∠EAB=2×15°=30°，故④错误；
正确结论的序号为：①②③
【分析】利用角平分线的定义可证得∠FEG=∠GEC，设∠FEG=x，则∠FEC=2x，可表示出∠EDA=3x，利用垂直的定义可表示出∠AEC，利用三角形的外角的性质可得到∠AEC=∠B+∠EAB，从而可表示出∠EAB的度数，可对①作出判断；利用角平分线的定义可表示出∠AED，可对②作出判断；再利用三角形的内角和定理可表示出∠EAD，可对③作出判断；然后证明∠EAD+∠BAD=180°，据此可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求出∠EAB的度数，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
9．【答案】C
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，根据题意画出图形，这样的点有6个．
故答案为：C
【分析】分别在线段AB的上方和下方分别找到一个点C使△ABC的面积为1，然后再过点C作AB的平行线，平行线与网格点重合的点即为点C，找出所有符合要求的点即可.
10．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，线段AM与AN相交于点E，
∵，
∴，
∵AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，
∴，，，，
∴，
∴；①
在△ACM中，有
，
∴②，
由①②，得，
∴，即；
∵，
又，
∴，
∴，
即，
∴；
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质得，再根据三角形的内角和定理，以及角平分线的定义，求得∠M-∠N=22°，结合∠M的度数，即可得到答案.
11．【答案】4
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AD是BC边的中线，S△ABC=12，
∴S△ACD=S△ABC=6，
∴AC·点D到AC的距离=6，
∴×3·点D到AC的距离=6，
∴点D到AC的距离=4.
故答案为：4.
【分析】由中线的概念可得S△ACD=S△ABC=6，结合三角形的面积公式可得AC·点D到AC的距离=6，据此求解.
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵， ，
∴，
∴.
故答案为：
【分析】根据外角的性质求出，再利用三角形内角和定理求出，即可表示出.
13．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；探索图形规律；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，分别是的内角平分线和外角平分线 ，
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，
∵∠ACD=∠ABC+∠A，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，
∴（∠ABC+∠A）=∠A1BC+∠A1，
∴∠A1=∠A=α，
同理得：∠A2=∠A1=×α=α，
∠A3=∠A2=α，
······，
∴∠A2023=；
故答案为：.
【分析】由角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，利用三角形外角的性质可得∠ACD=∠ABC+∠A，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，从而得出（∠ABC+∠A）=∠A1BC+∠A1，即得∠A1=∠A=α，同理求出∠A2，∠A3，······，根据结果即得规律.
14．【答案】15；52°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH∥EF，
∵∠3=134°，∠2=67°，
∴∠1=∠3-∠2=67°，
∵EF∥OP，DH∥EF，
∴DH∥EF∥OP，
∴∠EDH=∠FED=38°，∠HDA=∠1=67°，
∴∠EDA=∠EDH+∠HDA=105°，
∴∠GED=∠EDA-∠G=15°，
即x=15；
当平板下沿落在卡槽B时，如图，过点G作GH∥EF，
∵∠3=106°，∠2=53°，
∴∠1=∠3-∠2=53°，
∵EF∥OP，GH∥EF，
∴GH∥EF∥OP，
∴∠FEG=∠EGH，∠HGB=∠1=53°，
∴∠EGH=∠EGB-∠HGB=37°，
∴∠FED=∠FEG+∠GED=52°.
故答案为：15，52°.
【分析】 当平板下沿落在第一个卡槽A时， 过点D作DH∥EF，由三角形外角性质可得∠1=∠3-∠2=67°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得DH∥EF∥OP，由二直线平行，内错角相等得∠EDH=∠FED=38°，∠HDA=∠1=67°，进而根据角的和差及三角形外角性质可得∠GED=∠EDA-∠G=15°，从而得出x的值；当平板下沿落在卡槽B时，过点G作GH∥EF，由三角形外角性质可得∠1=∠3-∠2=53°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得GH∥EF∥OP，由二直线平行，内错角相等得∠FEG=∠EGH，∠HGB=∠1=53°，根据角的和差得∠EGH=∠EGB-∠HGB，∠FED=∠FEG+∠GED代入求解可得答案.
15．【答案】（1）1；1；1；1；2
（2）5；9
（3）
（4）35
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：（1）通过画图可知（如下图），经过A点可以作1条对角线；经过B点可以作1条对角线；经过C点可以作1条对角线；经过D点可以作1条对角线.通过以上分析和总结，图1共有2条对角线.
故答案为：1；1；1；1；2.
（2）运用（1）的分析方法，如下图所示，可得：图2共有5条对角线；图3共有9条对角线.
故答案为：5；9.
（3）对于n边形（n＞3），从每个点出发可以引出（n-3）条对角线，共有n（n-3）条对角线，除去两两之间重复的对角线，所以需要除以2，因此共有条对角线.
故答案为：.
（4）十边形，n=10，代入计算，得十边形有35条对角线.
故答案为：35.
【分析】（1）根据要求画出对角线，即可得出答案；
（2）根据要求画出对角线，即可得出答案；
（3）根据（1）（2）的分析探索，可得出规律；
（4）根据对角线数量的公式，将n=10代入计算即可.
16．【答案】解：【习题回顾】证明：∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD，
∠CEF＝∠DAF+∠B，
∴∠CEF＝∠CFE；
【变式思考】∠CEF＝∠CFE
证明：∵AF为∠BAG的角平分线，
∴∠GAF＝∠DAF，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝∠ACE＝90°，又∵∠CAE＝∠GAF，
∴∠CEF＝∠CFE；
【探究延伸】∠M+∠CFE＝90°，
证明：∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，
∴∠EAN＝90°，又∵∠GAN＝∠CAM，
∴∠M+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴∠M+∠CFE＝90°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】 【习题回顾】 根据同角的余角相等得 ∠B＝∠ACD， 根据角平分线的定义得∠CAF＝∠DAF， 根据三角形外角性质得 ∠CFE＝∠CAF+∠ACD，∠CEF＝∠DAF+∠B， 据此即可得出答案；
【变式思考】 根据角平分线的定义得 ∠GAF＝∠DAF， 根据三角形高线定义得∠ADF＝∠ACE＝90°，根据对顶角相等得∠CAE＝∠GAF，根据三角形的内角和定理得∠CEF＝∠CFE；
【探究延伸】根据平角的定义及角平分线的定义得∠EAN＝90°，结合对顶角相等得∠GAN＝∠CAM，
根据直角三角形两锐角互余得∠M+∠CEF＝90°，根据三角形外角性质得∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，结合∠ACD＝∠B，可得∠CEF＝∠CFE，再等量代换即可得出 ∠M+∠CFE＝90° .
17．【答案】证明：证法 、 、 是 的三个外角.
， ， .
，
.
；
证法 平角等于 ，
，
.
，
.
故答案为： ， ， ； .
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】证法1：要求证 ，根据三角形外角性质得到 ， ， ，则 ，然后根据三角形内角和定理即可得到结论；证法2：根据平角的定义得到 ，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可得到结论.
18．【答案】（1）解：∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°（三角形的内角和定理），
∴∠ABC+∠ACB＝180°-∠A（等式性质）．
∵∠A＝74°（已知），
∴∠ABC+∠ACB＝106°（等量代换）．
∵DB平分∠ABC（已知），
∴（角平分线的定义）．
同理，∠DCB＝∠ACB．
∴＝53°（等式性质）．
∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
∴∠D＝180°-（∠DBC+∠DCB）＝127°（等式性质）
（2）解：∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°（三角形的内角和定理），
∴∠ABC+∠ACB＝180°-∠A（等式性质）．
∵∠A＝β（已知），
∴∠ABC+∠ACB＝180°-β（等量代换）．
∵DB平分∠ABC（已知），
∴（角平分线的定义）．
同理，∠DCB＝∠ACB．
∴＝90°-（等式性质）．
∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
∴∠D＝180°-（∠DBC+∠DCB）＝90°+；
（3）44°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）【应用】∵DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，EB平分∠DBC，EC平分∠DCB，
∴∠CBD＝∠CBA，∠BCD＝∠BCA，∠CBE＝∠CBD，∠BCE＝∠BCD，
∴∠CBA，∠BCE＝∠BCA，
∵∠CBE+∠BCE+∠E＝180°，∠E＝146°，
∴∠CBE+∠BCE＝180°-∠E＝34°，
∴∠CBE+∠BCE＝∠CBA+∠BCA＝34°，
∴∠CBA+∠BCA＝136°，
∵∠CBA+∠BCA+∠A＝180°，
∴∠A＝180°-（∠CBA+∠BCA）＝44°．
故答案为：44°.
【分析】（1）结合图形，根据等式的性质和角平分线计算求解即可；
（2）根据角平分线求出 ，再求出 ∠DCB＝∠ACB，最后证明即可；
（3）根据题意先求出∠CBA，∠BCE＝∠BCA，再计算求解即可。
19．【答案】（1）∠BAE；∠DAC[解题反思]：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得到角的关系，使问题得到解决.
（2）证明：过C作CM∥AB
∴∠B＝∠BCM
又∵AB∥ED
∴ED∥CM
∴∠D＝∠DCM
又知：∠BCM＋∠DCM＋∠BCD＝360°
∴∠B＋∠BCD＋∠D＝360°
（3）65°；35°＋180°－=215°－
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1） 过点作 ，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠DAC，
∵ ，
∴ ；
故答案为：∠BAE，∠DAC，
（3）①如图3，过点E作EH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EH，
∴∠ABE=∠HBE，∠CDE=∠HED，
∵ ， ，平分，平分，
∴∠ABE=30°，∠EDC=35°，
∴∠ABE=∠HBE=30°，∠CDE=∠HED=35°，
∴∠BED=∠BEH+∠HED=65°；
故答案为：65°.
②如图4，延长BE交CD于点F，
∵ ， ，平分，平分，
∴∠ABF=∠ABC=n°，∠EDF=∠ABC=35°，
∵AB∥CD，
∴∠BFC=∠ABF=n°，
∴∠DFE=180°-n°，
∴∠BED=∠EDF+∠DFE=35°+180°-n°=215°-n°；
故答案为：215°-n°；
【分析】（1）由平行线的性质解答即可；
（2）过C作CM∥AB，则ED∥CM∥AB，利用平行线的性质可得∠B＝∠BCM，∠D＝∠DCM，由周角的定义可得∠BCM＋∠DCM＋∠BCD＝360°，继而得解；
（3）①过点E作EH∥AB，则AB∥CD∥EH，利用平行线的性质及角平分线的定义可得∠ABE=∠HBE=30°，∠CDE=∠HED=35°，根据∠BED=∠BEH+∠HED即可求解；
②延长BE交CD于点F，由角平分线的定义可得∠ABF=∠ABC=n°，∠EDF=∠ABC=35°，利用平行线的性质可得∠BFC=∠ABF=n°，由邻补角的定义可得∠DFE=180°-n°，根据三角形外角的性质即可求解.
1 / 12023年八年级上册数学人教版单元分层测试 第十一章 三角形 B卷
一、选择题
1．（2023七下·普宁期末）下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A ，4+6=10，A不符合题意；
B ，2+5＜8，B不符合题意；
D ，5+7＜13，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】三角形三边关系满足：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，当任意一条被推翻时，即可排除当前选项.
2．（2023七下·普宁期末）如图，在直角三角形中，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠C=90°-∠B
∴∠C=90°-56°=34°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°-∠C=90°-34°=56°，
∵DE∥AC，
∴∠ADE=∠DAC=56°.
故答案为：A.
【分析】利用三角形的内角和定理可求出∠C的度数，利用垂直的定义和三角形的内角和定理求出∠DAC的度数；然后利用平行线的性质可得到∠ADE的度数.
3．（2023七下·河源期末）如图，是的中线，点E为的中点，连接，若的面积为，则的面积为（ ）
A．3 B．5 C．4 D．6
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵是的中线， 的面积为，
∴△ACD的面积=△ABD的面积=×的面积=×12=6cm2，
∵ 点E为的中点 ，
∴△ECD的面积=△ACE的面积=×△ACD的面积=×6=3cm2，
故答案为：A.
【分析】由 是的中线，点E为的中点 ，根据等底同高可得△ACD的面积=△ABD的面积，△ECD的面积=△ACE的面积，据此即可求解.
4．（2023七下·连平期末）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（ ）度时，与平行．
A．54 B．64 C．74 D．114
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵AB、CD均与地面平行，BCD=62°，
∴∠ABC=∠BCD=62°.
∵∠BAC=54°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=64°.
要使AM与CB平行，则∠MAC=∠ACB=64°.
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质可得∠ABC=∠BCD=62°，结合内角和定理可求出∠ACB的度数，由平行线的判定定理可得∠MAC=∠ACB，据此解答.
5．（2023七下·吉林期中）下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（ ）
A．正八边形和正三角形 B．正八边形和正方形
C．正八边形和正五角形 D．正六边形和正方形
【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A、正八边形的每个内角是180°x(8-2)÷8=135°，正三角形的每个内角是60°，不能铺满地面，不符合题意；
B、正八边形的每个内角是135°，正方形的每个内角是90°，135°x2+90°=360°，能铺满地面，符合题意；
C、正八边形的每个内角是135°，正五边形的每个内角是180°x(5-2)+5=108°，不能铺满地面，不符合题意；
D、正六边形的每个内角是I80°x(6-2)÷6=120°，正方形的每个内角是90°，不能铺满地面，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能，进行判断即可。
6．（2023七下·常山期末）若将一副三角板按如图的方式放置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，∠ACE=45°，
∴∠ECB=45°.
∴∠ECB=∠E=45°，
∴DE∥BC，
∴∠BFE=∠B=60°.
故答案为：B.
【分析】由角的和差关系可得∠ECB=∠E=45°，由内错角相等，两直线平行，得DE∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BFE=∠B=60°.
7．（2023七下·柳州期末）如图所示，已知直线AB、CD被直线AC所截，是平面内任意一点（点不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE，∠DCE=与均小于，在下列各式中：①；②；③；④，可能为大小的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】当点E在平面不同的位置时，分类作图讨论：
（1）如图，对于△AEF，∵∠BAE+∠AEC=∠BFE ，∴∠AEC=∠BFE-∠BAE=∠BFE-α
又∵AB∥CD，∴∠BFE=∠DCE=β，∴∠AEC=β-α，所以②满足条件；
（2）如图，过点E作FG∥AB，则FG∥AB∥CD.
∵AB∥FG，∴∠BAE=∠AEF
∵FG∥CD，∴∠CEF=∠DCE
∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠BAE+∠DCE=α+β
所以①满足条件
（3）如图，∵CD∥AB，∴∠EFD=∠BAE=α
又∵∠EFD=∠AEC+∠DCE，∴∠AEC=∠EFD-∠DCE=α-β
所以③满足条件
（4）如图，作FG∥AB，则FG∥AB∥CD.
∵AB∥FG，∴∠BAE+∠AEG=180°，∴∠AEG=180°-∠BAE=180°-α
同理可得，∠CEG=180°-∠DCE=180°-β
∴∠AEC=∠AEG+∠CEG=（180°-α）+（180°-β）=360°-α-β
故④满足条件.
综上所述，本题答案选D.
【分析】当点E落在平面不同位置时，进行分类作图讨论，计算过程结合“平行线的性质定理”和“三角形外角的性质定理”.
8．（2023七下·义乌月考）如图，，AE⊥EF，E在BC上，过E作EC⊥DC，EG平分∠FEC，ED平分∠AEC．若∠EAD＋∠BAD＝180°，∠EDA＝3∠CEG，则下列结论：①∠EAB＝2∠FEG；②∠AED＝45°＋∠GEF；③∠EAD＝135°－4∠GEC；④∠EAB＝15°，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【答案】D
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵EG平分∠FEC，
∴∠FEG=∠GEC，
设∠FEG=x，则∠FEC=2x，
∵∠EDA＝3∠CEG ，
∴∠EDA=3x，
∵EC⊥DC，DC∥AB，
∴EB⊥AB，∠B=90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEC=∠AEF+∠FEC=90°+2x，
∵∠AEC=∠B+∠EAB，
∴∠EAB=90°+2x-90°=2x=2∠FEG，故①正确；
∵ED平分∠AEC，
∴∠AED=∠AEC=（90°+2x）=45°+x，=45°+∠GEF，故②正确；
∵∠AED=45°+x，∠EDA=3x，
∴∠EAD=180°-∠AED-∠EDA=180°-（45°+x）-3x=135°-4x=135°-4∠GEC，故③正确；
∵∠EAD+∠BAD=180°，
∴∠EAB+∠DAE+∠DAE=180°，
∴2x+2（135°-4x）=180°，
解之：x=15°，
∴∠EAB=2×15°=30°，故④错误；
正确结论的序号为：①②③
【分析】利用角平分线的定义可证得∠FEG=∠GEC，设∠FEG=x，则∠FEC=2x，可表示出∠EDA=3x，利用垂直的定义可表示出∠AEC，利用三角形的外角的性质可得到∠AEC=∠B+∠EAB，从而可表示出∠EAB的度数，可对①作出判断；利用角平分线的定义可表示出∠AED，可对②作出判断；再利用三角形的内角和定理可表示出∠EAD，可对③作出判断；然后证明∠EAD+∠BAD=180°，据此可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求出∠EAB的度数，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
9．（2022七下·南开期末）正方形网格中的交点，我们称之为格点．如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为．现有格点，那么，在网格图中找出格点，使以和格点为顶点的三角形的面积为1．这样的点可找到的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，根据题意画出图形，这样的点有6个．
故答案为：C
【分析】分别在线段AB的上方和下方分别找到一个点C使△ABC的面积为1，然后再过点C作AB的平行线，平行线与网格点重合的点即为点C，找出所有符合要求的点即可.
10．（2022七下·崇川期末）如图，，∠M＝44°，AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，则∠N等于（ ）
A．21.5° B．21° C．22.5° D．22°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，线段AM与AN相交于点E，
∵，
∴，
∵AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，
∴，，，，
∴，
∴；①
在△ACM中，有
，
∴②，
由①②，得，
∴，即；
∵，
又，
∴，
∴，
即，
∴；
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质得，再根据三角形的内角和定理，以及角平分线的定义，求得∠M-∠N=22°，结合∠M的度数，即可得到答案.
二、填空题
11．（2023七下·光明期末）如图，在中，是边上的中线，若，，则点D到的距离为 ．
【答案】4
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AD是BC边的中线，S△ABC=12，
∴S△ACD=S△ABC=6，
∴AC·点D到AC的距离=6，
∴×3·点D到AC的距离=6，
∴点D到AC的距离=4.
故答案为：4.
【分析】由中线的概念可得S△ACD=S△ABC=6，结合三角形的面积公式可得AC·点D到AC的距离=6，据此求解.
12．（2023七下·连江期末）如图，在中，，分别是边和上的两点，连接，若，则的度数为 （用含的式子表示）．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵， ，
∴，
∴.
故答案为：
【分析】根据外角的性质求出，再利用三角形内角和定理求出，即可表示出.
13．（2023七下·闽清期末）如图，，分别是的内角平分线和外角平分线，，分别是的内角平分线和外角平分线，，分别是的内角平分线和外角平分线……以此类推，若，则 ．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；探索图形规律；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，分别是的内角平分线和外角平分线 ，
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，
∵∠ACD=∠ABC+∠A，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，
∴（∠ABC+∠A）=∠A1BC+∠A1，
∴∠A1=∠A=α，
同理得：∠A2=∠A1=×α=α，
∠A3=∠A2=α，
······，
∴∠A2023=；
故答案为：.
【分析】由角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，利用三角形外角的性质可得∠ACD=∠ABC+∠A，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，从而得出（∠ABC+∠A）=∠A1BC+∠A1，即得∠A1=∠A=α，同理求出∠A2，∠A3，······，根据结果即得规律.
14．（2023七下·瓯海期中）随着科技的发展，人们使用平板学习已经成为常态，它拥有的智能磁吸键盘和手写笔更是给人们带来无纸化学习新体验，如图1，当平板放在智能磁吸键盘上时，可调整平板角度，研究表明，屏幕中心在直视屏幕视线下方10°：20°时可减少视觉和肌肉骨骼不适．图2为调整示意图，即∠G=90°，∠GED=x°(10°【答案】15；52°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH∥EF，
∵∠3=134°，∠2=67°，
∴∠1=∠3-∠2=67°，
∵EF∥OP，DH∥EF，
∴DH∥EF∥OP，
∴∠EDH=∠FED=38°，∠HDA=∠1=67°，
∴∠EDA=∠EDH+∠HDA=105°，
∴∠GED=∠EDA-∠G=15°，
即x=15；
当平板下沿落在卡槽B时，如图，过点G作GH∥EF，
∵∠3=106°，∠2=53°，
∴∠1=∠3-∠2=53°，
∵EF∥OP，GH∥EF，
∴GH∥EF∥OP，
∴∠FEG=∠EGH，∠HGB=∠1=53°，
∴∠EGH=∠EGB-∠HGB=37°，
∴∠FED=∠FEG+∠GED=52°.
故答案为：15，52°.
【分析】 当平板下沿落在第一个卡槽A时， 过点D作DH∥EF，由三角形外角性质可得∠1=∠3-∠2=67°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得DH∥EF∥OP，由二直线平行，内错角相等得∠EDH=∠FED=38°，∠HDA=∠1=67°，进而根据角的和差及三角形外角性质可得∠GED=∠EDA-∠G=15°，从而得出x的值；当平板下沿落在卡槽B时，过点G作GH∥EF，由三角形外角性质可得∠1=∠3-∠2=53°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得GH∥EF∥OP，由二直线平行，内错角相等得∠FEG=∠EGH，∠HGB=∠1=53°，根据角的和差得∠EGH=∠EGB-∠HGB，∠FED=∠FEG+∠GED代入求解可得答案.
三、解答题
15．（2023八下·港南期中）探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过A点可以作 条对角线；同样，经过B点可以作 条；经过C点可以作 条；经过D点可以作 条对角线.
通过以上分析和总结，图1共有 条对角线.
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有 条对角线；
图3共有 条对角线；
（3）探索归纳：
对于n边形(n>3)，共有 条对角线．(用含n的式子表示)
（4）特例验证：
十边形有 条对角线.
【答案】（1）1；1；1；1；2
（2）5；9
（3）
（4）35
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：（1）通过画图可知（如下图），经过A点可以作1条对角线；经过B点可以作1条对角线；经过C点可以作1条对角线；经过D点可以作1条对角线.通过以上分析和总结，图1共有2条对角线.
故答案为：1；1；1；1；2.
（2）运用（1）的分析方法，如下图所示，可得：图2共有5条对角线；图3共有9条对角线.
故答案为：5；9.
（3）对于n边形（n＞3），从每个点出发可以引出（n-3）条对角线，共有n（n-3）条对角线，除去两两之间重复的对角线，所以需要除以2，因此共有条对角线.
故答案为：.
（4）十边形，n=10，代入计算，得十边形有35条对角线.
故答案为：35.
【分析】（1）根据要求画出对角线，即可得出答案；
（2）根据要求画出对角线，即可得出答案；
（3）根据（1）（2）的分析探索，可得出规律；
（4）根据对角线数量的公式，将n=10代入计算即可.
16．（2022八上·义乌月考）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．
【答案】解：【习题回顾】证明：∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD，
∠CEF＝∠DAF+∠B，
∴∠CEF＝∠CFE；
【变式思考】∠CEF＝∠CFE
证明：∵AF为∠BAG的角平分线，
∴∠GAF＝∠DAF，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝∠ACE＝90°，又∵∠CAE＝∠GAF，
∴∠CEF＝∠CFE；
【探究延伸】∠M+∠CFE＝90°，
证明：∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，
∴∠EAN＝90°，又∵∠GAN＝∠CAM，
∴∠M+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴∠M+∠CFE＝90°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】 【习题回顾】 根据同角的余角相等得 ∠B＝∠ACD， 根据角平分线的定义得∠CAF＝∠DAF， 根据三角形外角性质得 ∠CFE＝∠CAF+∠ACD，∠CEF＝∠DAF+∠B， 据此即可得出答案；
【变式思考】 根据角平分线的定义得 ∠GAF＝∠DAF， 根据三角形高线定义得∠ADF＝∠ACE＝90°，根据对顶角相等得∠CAE＝∠GAF，根据三角形的内角和定理得∠CEF＝∠CFE；
【探究延伸】根据平角的定义及角平分线的定义得∠EAN＝90°，结合对顶角相等得∠GAN＝∠CAM，
根据直角三角形两锐角互余得∠M+∠CEF＝90°，根据三角形外角性质得∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，结合∠ACD＝∠B，可得∠CEF＝∠CFE，再等量代换即可得出 ∠M+∠CFE＝90° .
17．（2020七下·鼓楼期末）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”；如图，
∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角.求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°
证法1：∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角
∴__▲_.
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）
∵_▲_.
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2
【答案】证明：证法 、 、 是 的三个外角.
， ， .
，
.
；
证法 平角等于 ，
，
.
，
.
故答案为： ， ， ； .
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】证法1：要求证 ，根据三角形外角性质得到 ， ， ，则 ，然后根据三角形内角和定理即可得到结论；证法2：根据平角的定义得到 ，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可得到结论.
四、综合题
18．（2023七下·吉林期中）如图
（1）【问题】如图①，在△ABC中，∠A＝74°，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．求∠D的度数，对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°（三角形内角和180° ）．
∴∠ABC+∠ACB＝ ▲ （等式性质）．
∵∠A＝74° （已知），
∴∠ABC+∠ACB＝ ▲ （等量代换）．
∵DB平分∠ABC（已知），
∴∠DBC＝∠ABC（角平分线的定义）．
同理，∠DCB＝ ▲ ；
∴（∠ABC+∠ACB）＝ ▲ （等式性质）．
∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
∴∠D＝180°-（∠DBC+∠DCB）＝ ▲ （等式性质）．
（2）【拓展】如图②，在△ABC中，∠A＝β，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．
则∠D＝（ ）．
（3）【应用】如图③，在△ABC中，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，EB平分∠DBC，EC平分∠DCB．若∠E＝146°，则∠A＝ ．
【答案】（1）解：∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°（三角形的内角和定理），
∴∠ABC+∠ACB＝180°-∠A（等式性质）．
∵∠A＝74°（已知），
∴∠ABC+∠ACB＝106°（等量代换）．
∵DB平分∠ABC（已知），
∴（角平分线的定义）．
同理，∠DCB＝∠ACB．
∴＝53°（等式性质）．
∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
∴∠D＝180°-（∠DBC+∠DCB）＝127°（等式性质）
（2）解：∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°（三角形的内角和定理），
∴∠ABC+∠ACB＝180°-∠A（等式性质）．
∵∠A＝β（已知），
∴∠ABC+∠ACB＝180°-β（等量代换）．
∵DB平分∠ABC（已知），
∴（角平分线的定义）．
同理，∠DCB＝∠ACB．
∴＝90°-（等式性质）．
∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
∴∠D＝180°-（∠DBC+∠DCB）＝90°+；
（3）44°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）【应用】∵DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，EB平分∠DBC，EC平分∠DCB，
∴∠CBD＝∠CBA，∠BCD＝∠BCA，∠CBE＝∠CBD，∠BCE＝∠BCD，
∴∠CBA，∠BCE＝∠BCA，
∵∠CBE+∠BCE+∠E＝180°，∠E＝146°，
∴∠CBE+∠BCE＝180°-∠E＝34°，
∴∠CBE+∠BCE＝∠CBA+∠BCA＝34°，
∴∠CBA+∠BCA＝136°，
∵∠CBA+∠BCA+∠A＝180°，
∴∠A＝180°-（∠CBA+∠BCA）＝44°．
故答案为：44°.
【分析】（1）结合图形，根据等式的性质和角平分线计算求解即可；
（2）根据角平分线求出 ，再求出 ∠DCB＝∠ACB，最后证明即可；
（3）根据题意先求出∠CBA，∠BCE＝∠BCA，再计算求解即可。
19．（2023七下·孝南期末）[课题学习]：
平行线的“等角转化”功能.
（1）[阅读理解]：
如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数.
阅读并补充下面推理过程.
解：过点作，所以 ，
又因为
所以
（2）[方法运用]：
如图2，已知，求的度数.
（3）[深化拓展]：
已知，点在的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间.
①如图3，若，则 °
②如图4，点在点的右侧，若，则 °（用含的代数式表示）
【答案】（1）∠BAE；∠DAC[解题反思]：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得到角的关系，使问题得到解决.
（2）证明：过C作CM∥AB
∴∠B＝∠BCM
又∵AB∥ED
∴ED∥CM
∴∠D＝∠DCM
又知：∠BCM＋∠DCM＋∠BCD＝360°
∴∠B＋∠BCD＋∠D＝360°
（3）65°；35°＋180°－=215°－
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1） 过点作 ，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠DAC，
∵ ，
∴ ；
故答案为：∠BAE，∠DAC，
（3）①如图3，过点E作EH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EH，
∴∠ABE=∠HBE，∠CDE=∠HED，
∵ ， ，平分，平分，
∴∠ABE=30°，∠EDC=35°，
∴∠ABE=∠HBE=30°，∠CDE=∠HED=35°，
∴∠BED=∠BEH+∠HED=65°；
故答案为：65°.
②如图4，延长BE交CD于点F，
∵ ， ，平分，平分，
∴∠ABF=∠ABC=n°，∠EDF=∠ABC=35°，
∵AB∥CD，
∴∠BFC=∠ABF=n°，
∴∠DFE=180°-n°，
∴∠BED=∠EDF+∠DFE=35°+180°-n°=215°-n°；
故答案为：215°-n°；
【分析】（1）由平行线的性质解答即可；
（2）过C作CM∥AB，则ED∥CM∥AB，利用平行线的性质可得∠B＝∠BCM，∠D＝∠DCM，由周角的定义可得∠BCM＋∠DCM＋∠BCD＝360°，继而得解；
（3）①过点E作EH∥AB，则AB∥CD∥EH，利用平行线的性质及角平分线的定义可得∠ABE=∠HBE=30°，∠CDE=∠HED=35°，根据∠BED=∠BEH+∠HED即可求解；
②延长BE交CD于点F，由角平分线的定义可得∠ABF=∠ABC=n°，∠EDF=∠ABC=35°，利用平行线的性质可得∠BFC=∠ABF=n°，由邻补角的定义可得∠DFE=180°-n°，根据三角形外角的性质即可求解.
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