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2023年九年级上册数学人教版单元分层测试 第二十一章 一元二次方程 A卷
一、选择题
1．（2023八下·红谷滩期末）已知是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
2．若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
3．若关于的一元二次方程有实数根，则可取的最大整数值为（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．-2
4．（2023八下·丰城期末）已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
5．（2023八下·合肥期末）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
6．用配方法解方程 时，配方后得的方程是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·来安模拟）已知，，若，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2023·泰州）关于x的一元二次方程的两根之和为 ．
9．（2023八下·红谷滩期末）已知，是一元二次方程的两根，则 ．
10．（2023八下·瑶海期末）若一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为
11．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2-6x+7=0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 .
12．如果m，n是方程的两个实数根，那么 ．
13．（2023八下·上虞期末）某网络学习平台2020年底的新注册用户数为100万，到2022年底的新注册用户数达到169万，设新注册用户数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为 ．
三、解答题
14．（2023八下·嘉兴期末）在解一元二次方程时，小王的解答如下：
解：方程两边同时除以得：； 移项得：； 解得：．
小王的解题过程是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，写出正确解答．
15．（2023八下·丰城期末）张亮为了响应学校“爱校护校”活动号召，决定牵头成立“爱校护校志愿服务团”．并走入各班级号召大家加入“志愿服务团”．假定从张亮一个人开始号召，被他号召加入团队的人和他一起下一周继续号召，每人每周能够号召相同人数加入，两周后，共有121人成为“志愿服务团”成员，求每人每周能够号召多少人加入“志愿服务团”．
16．（2023八下·蒙城期中）有甲、乙两位同学，根据“关于x的一元二次方程kx2-（k+2）x+2=0”（k为实数）这一已知条件，他们各自提出了一个问题考查对方，问题如下：
甲：你能不解方程判断方程实数根的情况吗？
乙：若方程有两个不相等的正整数根，你知道整数k的值等于多少吗？请你帮助两人解决上述问题．
四、综合题
17．（2023八下·红谷滩期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求实数m的取值范围：
（2）若，是该方程的两个根，且满足，求m的值．
18．（2023八下·上虞期末）解答下列各题：
（1）用配方法解一元二次方程：．
（2）已知一组数据，，，的平均数是5，求数据，，，的平均数．
19．（2023·通辽）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ；
（2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
（3）提升：已知实数s，t满足且，求的值．
20．（2023八下·舟山期末）某租赁公司拥有80辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为300元时，可全部租出．每辆车的日租金每增加5元，未租出的车将增加1辆．租出的车每辆每天的维护费为15元，未租出的车每辆每天的维护费为5 元．
（1）当每辆车的日租金定为300元时，公司的当日日收益（租金收入扣除维护费）是多少元？
（2）当每辆车的日租金定为360元时，能租出多少辆？
（3）当每辆车的日租金定为多少元时，租赁公司的日收益（租金收入扣除维护费）可达23360元？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：a=-1
故答案为B
【分析】已知方程的解，将解带入医院二次方程即可求出未知量a的值。
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：已知x1x2是方程x2-6x-7=0的两个根，
解方程：（x+1）（x-7）=0，
∴x1=-1，x2=7，
运用韦达定理：
x1+x2=，
x1·x2=，
故答案为：A.
【分析】先要解出一元二次方程的两个解，运用韦达定理公示求出解.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程kx -x+1有实数根
则
解得：
又
所以k的最大正整数为-1
故答案为：C.
【分析】由题意可知，△≥0，代入一元二次方程的系数可求出k值范围，再由k≠0即可求出k的最大整数值.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意可得：m +3m-2022=0
所以
原式=
=
=
=0
故答案为B
【分析】将方程的根带入方程，化简得，将代数式变形，整体代入求值即可求出答案。
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴a-b +1=0，
∴a-b=-1，
故答案为：A．
【分析】将x=-1代入原方程，即可求解．
6．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：解： x2+4x-3=0 ，移项，得：x2+4x=3，方程两边都加上22，得：x2+4x+22=3+22，∴（x+2）2=7.
故答案为：B。
【分析】根据配方法解方程，先把常数项移到方程的右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案。
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵，，
∴， ，
∴a、b相当于是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
故答案为：B．
【分析】先求出， ，再求解即可。
8．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设一元二次方程的两个根分别为、，
，
故答案为：-2.
【分析】如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，那么，，据此直接结算可得答案.
9．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：
所以
故答案为-2
【分析】根据韦达定理求出两根之间的关系，化简分式即可求出答案。
10．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴
解得：
故答案为：．
【分析】根据一元二次方方程根的情况，利用判别式等于0，即可得答案．
11．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：解方程x2-6x+7=0.
.
∴ ，
∴x1=3+ ，x2=3 ，
直角边斜边长为：.
故答案为：.
【分析】解出一元二次方程的两个解，利用勾股定理a +b =c ，即可求出斜边的长度.
12．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m，n是方程的两个实数根 ，
∴m+n=6，mn=4，
∴，
故答案为：2.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：，可得：m+n=6，mn=4，计算即可.
13．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得100(1+x)2=169.
故答案为：100(1+x)2=169.
【分析】由题意可得：2021年底的新注册用户数为100(1+x)万，2022年底的新注册用户数为100(1+x)2万，然后根据到2022年底的新注册用户数达到169万就可列出方程.
14．【答案】解：小王的解题过程错误，正确过程如下：
或，
解得：或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】首先移项，然后提取公因式(5x-3)可得(5x-3)(5x-3-1)=0，据此求解.
15．【答案】解：设每人每周能够号召x人加入“志愿服务团”．根据题意得：
，
即，
∴，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每人每周能够号召10人加入“志愿服务团”．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程，舍掉不符合题意的数即可求出答案。
16．【答案】解：甲：∵kx2-（k+2）x+2=0（k为实数）是关于x的一元二次方程，
∴k≠0，
∵△=（k+2）2-4k×2=（k-2）2≥0，
∴方程有实数根；
乙：kx2-（k+2）x+2=0，
（x-1）（kx-2）=0，
x-1=0，或kx-2=0，
解得x1=1，x2=，
∵方程有两个不相等的正整数根，且k为整数，
∴k=1或2，
∵k=2时，x1=x2=1，两根相等，不合题意舍去，
∴k=1．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】甲：先根据一元二次方程的定义即可得到k≠0，进而根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解；乙：先运用十字相乘法因式分解即可得到x1=1，x2=，进而根据题意结合一元二次方程的根即可求解。
17．【答案】（1）解：∵方程有两个实数根，
∴，
∴；
（2）解：∵，是该方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
解得：或，
∵，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）一元二次由两个实数根，即，将系数带入不等式即可求出答案。
（2）由韦达定理：得到一元二次方程，解一元二次方程即可求出答案。
18．【答案】（1）解：，
，
，
，
∴，
∴，
（2）解：∵数据，，，的平均数是5，
∴，
∴数据，，，的平均数为
．
【知识点】配方法解一元二次方程；平均数及其计算
【解析】【分析】（1）首先将常数项移至右边，然后将二次项的系数化为1，再给两边同时加上1，对左边的式子利用完全平方公式分解可得(x+1)2=，接下来利用直接开平方法计算即可；
（2）根据平均数的计算方法可得平均数为，据此计算.
19．【答案】（1）；
（2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n，
∴，，
∴
；
（3）解：∵实数s、t满足，
∴s、t可以看作方程的两个根，
∴，，
∵
，
∴或，
当时，
，
当时，
，
综上分析可知，的值为或．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的通分；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2=-=，x1x2==-.
故答案为：，-.
【分析】（1）直接根据一元二次方程根与系数的关系进行解答；
（2）根据根与系数的关系可得m+n=，mn=-，然后根据m2+n2=(m+n)2-2mn进行计算；
（3）由题意可得：s、t可以看作方程2x2+3x-1=0的两个根，则s+t=，st=-，根据(t-s)2=(t+s)2-4st可求出t-s的值，对待求式通分可得，据此计算.
20．【答案】（1）解：根据题意得：（元），
答：当每辆车的日租金定为300元时，公司的当日日收益为22800元
（2）解：根据题意得：（辆），
答：当每辆车的日租金定为360元时，能租出68辆车
（3）解：设每辆车的日租金为元，
根据题意，得，
整理，得．
解得：，，
∴或，
答：当每辆车的月租金为340元或370元时，租赁公司的日收益（租金收入扣除维护费）可达到23360元．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）根据(日租金-每天的维护费)×汽车的数量即可求出日收益；
（2）由题意可得当日租金为360元时，未租出的辆数为，利用80减去未租出的辆数即可求出租出的辆数；
（3）设每辆车的日租金为(300+x)元，则未租出的辆数为辆，根据租车的辆数×(日租金-每天的维护费)-未租出的辆数×每辆每天的维护费=日收益建立关于x的方程，求解即可.
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2023年九年级上册数学人教版单元分层测试 第二十一章 一元二次方程 A卷
一、选择题
1．（2023八下·红谷滩期末）已知是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：a=-1
故答案为B
【分析】已知方程的解，将解带入医院二次方程即可求出未知量a的值。
2．若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：已知x1x2是方程x2-6x-7=0的两个根，
解方程：（x+1）（x-7）=0，
∴x1=-1，x2=7，
运用韦达定理：
x1+x2=，
x1·x2=，
故答案为：A.
【分析】先要解出一元二次方程的两个解，运用韦达定理公示求出解.
3．若关于的一元二次方程有实数根，则可取的最大整数值为（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．-2
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程kx -x+1有实数根
则
解得：
又
所以k的最大正整数为-1
故答案为：C.
【分析】由题意可知，△≥0，代入一元二次方程的系数可求出k值范围，再由k≠0即可求出k的最大整数值.
4．（2023八下·丰城期末）已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意可得：m +3m-2022=0
所以
原式=
=
=
=0
故答案为B
【分析】将方程的根带入方程，化简得，将代数式变形，整体代入求值即可求出答案。
5．（2023八下·合肥期末）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴a-b +1=0，
∴a-b=-1，
故答案为：A．
【分析】将x=-1代入原方程，即可求解．
6．用配方法解方程 时，配方后得的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：解： x2+4x-3=0 ，移项，得：x2+4x=3，方程两边都加上22，得：x2+4x+22=3+22，∴（x+2）2=7.
故答案为：B。
【分析】根据配方法解方程，先把常数项移到方程的右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案。
7．（2023·来安模拟）已知，，若，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵，，
∴， ，
∴a、b相当于是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
故答案为：B．
【分析】先求出， ，再求解即可。
二、填空题
8．（2023·泰州）关于x的一元二次方程的两根之和为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设一元二次方程的两个根分别为、，
，
故答案为：-2.
【分析】如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，那么，，据此直接结算可得答案.
9．（2023八下·红谷滩期末）已知，是一元二次方程的两根，则 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：
所以
故答案为-2
【分析】根据韦达定理求出两根之间的关系，化简分式即可求出答案。
10．（2023八下·瑶海期末）若一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴
解得：
故答案为：．
【分析】根据一元二次方方程根的情况，利用判别式等于0，即可得答案．
11．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2-6x+7=0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 .
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：解方程x2-6x+7=0.
.
∴ ，
∴x1=3+ ，x2=3 ，
直角边斜边长为：.
故答案为：.
【分析】解出一元二次方程的两个解，利用勾股定理a +b =c ，即可求出斜边的长度.
12．如果m，n是方程的两个实数根，那么 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m，n是方程的两个实数根 ，
∴m+n=6，mn=4，
∴，
故答案为：2.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：，可得：m+n=6，mn=4，计算即可.
13．（2023八下·上虞期末）某网络学习平台2020年底的新注册用户数为100万，到2022年底的新注册用户数达到169万，设新注册用户数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为 ．
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得100(1+x)2=169.
故答案为：100(1+x)2=169.
【分析】由题意可得：2021年底的新注册用户数为100(1+x)万，2022年底的新注册用户数为100(1+x)2万，然后根据到2022年底的新注册用户数达到169万就可列出方程.
三、解答题
14．（2023八下·嘉兴期末）在解一元二次方程时，小王的解答如下：
解：方程两边同时除以得：； 移项得：； 解得：．
小王的解题过程是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，写出正确解答．
【答案】解：小王的解题过程错误，正确过程如下：
或，
解得：或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】首先移项，然后提取公因式(5x-3)可得(5x-3)(5x-3-1)=0，据此求解.
15．（2023八下·丰城期末）张亮为了响应学校“爱校护校”活动号召，决定牵头成立“爱校护校志愿服务团”．并走入各班级号召大家加入“志愿服务团”．假定从张亮一个人开始号召，被他号召加入团队的人和他一起下一周继续号召，每人每周能够号召相同人数加入，两周后，共有121人成为“志愿服务团”成员，求每人每周能够号召多少人加入“志愿服务团”．
【答案】解：设每人每周能够号召x人加入“志愿服务团”．根据题意得：
，
即，
∴，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每人每周能够号召10人加入“志愿服务团”．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程，舍掉不符合题意的数即可求出答案。
16．（2023八下·蒙城期中）有甲、乙两位同学，根据“关于x的一元二次方程kx2-（k+2）x+2=0”（k为实数）这一已知条件，他们各自提出了一个问题考查对方，问题如下：
甲：你能不解方程判断方程实数根的情况吗？
乙：若方程有两个不相等的正整数根，你知道整数k的值等于多少吗？请你帮助两人解决上述问题．
【答案】解：甲：∵kx2-（k+2）x+2=0（k为实数）是关于x的一元二次方程，
∴k≠0，
∵△=（k+2）2-4k×2=（k-2）2≥0，
∴方程有实数根；
乙：kx2-（k+2）x+2=0，
（x-1）（kx-2）=0，
x-1=0，或kx-2=0，
解得x1=1，x2=，
∵方程有两个不相等的正整数根，且k为整数，
∴k=1或2，
∵k=2时，x1=x2=1，两根相等，不合题意舍去，
∴k=1．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】甲：先根据一元二次方程的定义即可得到k≠0，进而根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解；乙：先运用十字相乘法因式分解即可得到x1=1，x2=，进而根据题意结合一元二次方程的根即可求解。
四、综合题
17．（2023八下·红谷滩期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求实数m的取值范围：
（2）若，是该方程的两个根，且满足，求m的值．
【答案】（1）解：∵方程有两个实数根，
∴，
∴；
（2）解：∵，是该方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
解得：或，
∵，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）一元二次由两个实数根，即，将系数带入不等式即可求出答案。
（2）由韦达定理：得到一元二次方程，解一元二次方程即可求出答案。
18．（2023八下·上虞期末）解答下列各题：
（1）用配方法解一元二次方程：．
（2）已知一组数据，，，的平均数是5，求数据，，，的平均数．
【答案】（1）解：，
，
，
，
∴，
∴，
（2）解：∵数据，，，的平均数是5，
∴，
∴数据，，，的平均数为
．
【知识点】配方法解一元二次方程；平均数及其计算
【解析】【分析】（1）首先将常数项移至右边，然后将二次项的系数化为1，再给两边同时加上1，对左边的式子利用完全平方公式分解可得(x+1)2=，接下来利用直接开平方法计算即可；
（2）根据平均数的计算方法可得平均数为，据此计算.
19．（2023·通辽）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ；
（2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
（3）提升：已知实数s，t满足且，求的值．
【答案】（1）；
（2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n，
∴，，
∴
；
（3）解：∵实数s、t满足，
∴s、t可以看作方程的两个根，
∴，，
∵
，
∴或，
当时，
，
当时，
，
综上分析可知，的值为或．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的通分；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2=-=，x1x2==-.
故答案为：，-.
【分析】（1）直接根据一元二次方程根与系数的关系进行解答；
（2）根据根与系数的关系可得m+n=，mn=-，然后根据m2+n2=(m+n)2-2mn进行计算；
（3）由题意可得：s、t可以看作方程2x2+3x-1=0的两个根，则s+t=，st=-，根据(t-s)2=(t+s)2-4st可求出t-s的值，对待求式通分可得，据此计算.
20．（2023八下·舟山期末）某租赁公司拥有80辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为300元时，可全部租出．每辆车的日租金每增加5元，未租出的车将增加1辆．租出的车每辆每天的维护费为15元，未租出的车每辆每天的维护费为5 元．
（1）当每辆车的日租金定为300元时，公司的当日日收益（租金收入扣除维护费）是多少元？
（2）当每辆车的日租金定为360元时，能租出多少辆？
（3）当每辆车的日租金定为多少元时，租赁公司的日收益（租金收入扣除维护费）可达23360元？
【答案】（1）解：根据题意得：（元），
答：当每辆车的日租金定为300元时，公司的当日日收益为22800元
（2）解：根据题意得：（辆），
答：当每辆车的日租金定为360元时，能租出68辆车
（3）解：设每辆车的日租金为元，
根据题意，得，
整理，得．
解得：，，
∴或，
答：当每辆车的月租金为340元或370元时，租赁公司的日收益（租金收入扣除维护费）可达到23360元．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）根据(日租金-每天的维护费)×汽车的数量即可求出日收益；
（2）由题意可得当日租金为360元时，未租出的辆数为，利用80减去未租出的辆数即可求出租出的辆数；
（3）设每辆车的日租金为(300+x)元，则未租出的辆数为辆，根据租车的辆数×(日租金-每天的维护费)-未租出的辆数×每辆每天的维护费=日收益建立关于x的方程，求解即可.
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