2023年九年级上册数学人教版单元分层测试 第二十一章 一元二次方程 B卷
一、选择题
1．（2022九上·翁源期末）方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
方程有两个不相等的实数根，
故答案为：B.
【分析】对于ax2+bx+c=0，当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；
当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当b2-4ac<0时，方程没有实数根.
2．（2023八下·东阳期末）已知方程x2-4x+k＝0的两个实数根是x1＝1，x2＝3，则方程（x-5）2-4（x-5）+k＝0的两个实数根是（ ）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝6，x2＝8
C．x1＝-4，x2＝-2 D．x1＝0，x2＝2
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意可得：方程的解为x-5=1或x-5=3，
解得x1=6，x2=8.
故答案为：B.
【分析】由题意可得：方程的解为x-5=1或x-5=3，求解即可.
3．（2023八下·蜀山期末）方程根的符号是（ ）
A．两根一正一负 B．两根都是负数
C．两根都是正数 D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的两根分别为x1，x2，根据根与系数的关系可得：因为所以x1，x2同号，再根据可得x1，x2均为正数。
故答案为：C。
【分析】根据根与系数之间的关系可得两根之和，与两根之积的值，然后根据它们的正负情况，判断出两根的符号，即可得出答案。
4．（2023八下·萧山期末）2022年底，新冠疫情持续蔓延，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有441人感染，设每轮传染中平均每个人传染了人，则根据题意可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均每个人传染了人，
可列方程，
故答案为：D.
【分析】由题意可得，第一轮传染人数为x人，第二轮传染人数为x(x+1)人，根据共有441人感染可列方程.
5．（2023八下·上虞期末）已知是关于x的方程的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当时，一定有；③b是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵x=a为方程的根，
∴a2-ab+b-a=0，
∴a(a-b)-(a-b)=0，
∴(a-b)(a-1)=0.
∵a>1，
∴a=b>1，
∴△=(-b)2-4(b-a)=b2-4b+4a=b2-4b+4b=b2>0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故①正确，④错误；
∵a=b，
∴a=b=t+1，故②错误；
∵a=b，a为方程的一个根，
∴b为方程的根。故③正确.
故答案为：C.
【分析】将x=a代入方程中并化简可得(a-b)(a-1)=0，由a>1可得a=b>1，则△=(-b)2-4(b-a)=b2-4b+4a=b2，据此判断①④；根据a=b可判断②③.
6．（2023·宜宾模拟）设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2024 B．2021 C．2023 D．2022
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】∵a是方程x2+x-2023=0的实数根，
∴a2 +a-2023=0，
∴a2 =-a+2023，
∴a2 +2a+b=-a+2023+2a+b=2023+a+b
∵a，b是方程x2+x-2023=0的两个实数根，
∴a+b=-1，
∴a2+2a+b=2023+(-1)=2022
故答案选D。
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2 =-a+2023，则a2+2a+b可化为2023+a+b，再根据根与系数的关系得到a+b=-1，然后利用整体代入的方法计算。
7．（2022九上·子洲月考）已知关于x的一元二次方程（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（ ）．
A．1可能是方程的根 B．-1可能是方程的根
C．0可能是方程的根 D．1和-1都是方程的根
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程 （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，
∴ 且 ，
∴ ，
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故A选项正确，不符合题意；
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故B选项正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ 和 不能同时是方程 的根，故D选项错误，符合题意；
当 时， ，
∴ ，
∴当 ， 时， 是方程 的根，故C选项正确，不符合题意；
故答案为：D
【分析】由于方程有两个相等的实数根，可得且，从而得出，可知x=0、x=-1可能但不能同时是方程 的根；当x=0时，可知p、q的值且都符合题意，继而判断.
8．（2022九上·海珠期中）下列命题：① 若b＝a＋c时，一元二次方程一定有实数根；② 若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等实数根；③ 若二次函数，当取、（）时，函数值相等，则当x取时函数值为0；④ 若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的其他应用；真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵b＝a＋c，∴
所以，一元二次方程一定有实数根，①符合题意
方程有两个不相等的实数根，
∴此方程为一元二次方程，且，
当时，方程为一元一次方程，不含有两个不等实数根，②不符合题意
二次函数的对称轴为
当取、（）时，函数值相等，则
当x取时，即，，函数值不一定为0，③不符合题意；
当时，二次函数的图像与轴的公共点的个数是2
当时，二次函数的图像过原点，此时与坐标交点个数为2，
当时，二次函数的图像与y轴有一个交点，与x轴有两个交点，此时与坐标交点个数为3，④符合题意
正确的个数为2
故答案为：B
【分析】根据真命题的定义，一元二次方程的根的判别式及一元二次方程的根与系数的关系逐项判断即可。
二、填空题
9．（2023八下·德清期末）若关于x的一元二次方程x2+ax+2a+3=0的一个根是1，则a的值是 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+2a+3=0的一个根是1，
∴1+a+2a+3=0，
解得a=.
故答案为：.
【分析】根据方程根的概念，将x=1代入方程中进行计算就可求出a的值.
10．（2023·泰安）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以，所以a＞-4.
【分析】根据根的判别式大于零，列出关于a的不等式，解不等式，求出a的取值范围。
11．（2023七下·顺义期中）有一个正方形的花园，如果它的边长增加，那么花园面积将增加，则原花园的面积为 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设原正方形的边长是x米，则增加后的边长是（x+2）米
由题意得
解得x=3
则原花园的面积为.
故填：9
【分析】设原正方形的边长是 x米，根据正方形的面积公式即可求出。
12．（2023八下·蜀山期中）已知实数，且满足，．请解决下列问题：
（1）当时，的值为 ；
（2）当时，的值为 ．
【答案】（1）
（2）2
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴a和b为方程的两个根，
∴a+b=-3，
故答案为：-3；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴a和b为方程的两个根，
∴a+b=-3，ab=-c，
∴，
∴，
故答案为：2
【分析】（1）先根据题意得到，进而得到a和b为方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系即可求解；
（2）先根据题意得到，进而得到，从而得到a和b为方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系即可得到a+b=-3，ab=-c，进而得到，然后结合题意代入即可求解。
三、解答题
13．（2023·峨眉山模拟）先化简，再求值：，其中是一元二次方程的解．
【答案】解：原式
∵
∴
∵，
∴，
∴原式．
【知识点】分式的基本性质；一元二次方程的根
【解析】【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后根据x2﹣1＝0，可以得到x的值，然后将使得原分式有意义的x的值代入化简后的式子即可解答本题
14．（2023八下·新昌期末）在学习多边形的相关知识时，小张同学和小王同学对老师布置“探究多边形的对角线条数”的作业很盛兴趣，小张同学探究得到了边形的对角线条数的公式，并通过上网查证自己探究的结论是正确的．下图是两位同学进行交流的情景．
小王同学把哪个多边形对角线的条数数错了？请你通过计算或者画图来说明．
【答案】解：对角线为10条的数错了．
已知边形的对角线条数为．
若边形的对角线条数为10，则，化简得，
，不是完全平方数，因为为正整数，所以方程的解不符合题意，
所以多边形的对角线条数为10条是错误的．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；多边形的对角线
【解析】【分析】根据对角线的公式将其化简为一元二次方程，利用判别式即可知道方程的解不是正整数，即可判断.
15．（2023八下·宜春期中）如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度？
【答案】解：设秋千的绳索长为 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
答：绳索 的长度是 ．
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理的应用
【解析】【分析】设秋千的绳索长为 ，进而即可得到AC的表达式，再根据勾股定理列出方程即可求解。
四、综合题
16．（2023七下·虹口期末）设，为关于的方程的两根，为实数．
（1）求证：．
（2）当时，求的最大值．
【答案】（1）证明：∵为的两根，
∴，，，，
∴
；
（2）解：，
解得：，
又当时满足题意，
故p的最大值是．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；一元一次不等式的特殊解；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）首先根据根与系数的关系得出两根之和等于2p，两根之积等于-p，以及根据方程有两根，可以得出根的判别式=4p2+4p≥0，再根据方程的解得意义可得出x22-2px2-p=0，∴x22=2px2+p①，然后把①代入2px1+x22+3p中，得2px1+x22+3p=4p2+4p，即可得出结论；
（2）先把丨x1-x2丨变形为含有x1+x2与x1x2的式子，再利用根与系数的关系，得出关于p的不等式，解不等式，求出解集，取符合条件的最大值即可。
17．（2023七下·宁波期末）若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，，所以13是“完美数”，再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”.
（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 ；
判断：45 （请填写“是”或“不是”）“完美数”；
（2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由.
（3）如果数m，n都是“完美数”，，试说明也是“完美数”.
【答案】（1）8；是
（2）解：，
∴当时，即时，S是完美数；
（3）证明：∵m，n都是“完美数”，
则设，（a，b，c，d都是整数），
∴，
∴
∴mn是完美数，
∵，
∴，
∴也是“完美数”.
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）∵8=22+22，
∴8是一个“完美数”，
∵45=62+32，
∴45是一个“完美数”，
故答案为：8；是；
【分析】（1）根据“完美数”的定义求解即可；
（2）利用配方法将已知等式的右边变形为（x-3）2+（2y+1）2+k-10，根据“完美数”的定义可得k-10=0，从而求解即可得出k的值，从而得出答案；
（3）根据“完美数”的定义可设m=a2+b2，n=c2+d2（a，b，c，d都是整数），根据多项式乘以多项式的法则及完全平方公式可得mn=（ac+bd）2+（ad-bc）2，从而根据“完美数”的定义可得mn也是一个“完美数”；而将 的分子利用完全平方公式计算、合并同类项后再约分可得=mn，从而即可得出结论.
18．（2023八下·杭州期中）已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣2（n﹣1）x+n2﹣2n＝0的两个根，第三边BC的长是10．
（1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当n为何值时，△ABC为等腰三角形？并求△ABC的周长．
（3）当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
【答案】（1）证明：∵Δ＝[﹣2（n﹣1）]2﹣4（n2﹣2n）＝4＞0，
∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根，
∵第三边BC的长是10，
当△ABC为等腰三角形时，x＝10为一元二次方程的一个根，
当x＝10时，100﹣20（n﹣1）+n2﹣2n＝0，
解得n＝12或10，
①当n＝12时，方程变为x2﹣22x+120＝0，
设等腰三角形的底为m，
根据根与系数的关系，m+10＝22，
∴m＝12，
∴△ABC的周长为：10+10+12＝32；
②当n＝10时，方程变为x2﹣18x+80＝0，
设等腰三角形的底为n，
根据根与系数的关系，10+n＝18，
解得n＝8，
∴△ABC的周长为10+10+8＝28；
综上，当n＝12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32；
当n＝10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28；
（3）解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣2（n﹣1）x+n2﹣2n＝0的两个根，
∴AB+AC＝2（n﹣1），AB AC＝n2﹣2n，
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2，
即4（n﹣1）2﹣2（n2﹣2n）＝100，
解得n＝8或﹣6，
当n＝8时，AB+AC＝2×（8﹣1）＝14，符合题意，
当n＝﹣6时，AB+AC＝2×（﹣6﹣1）＝﹣14，不合题意，
综上，n＝8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）算出方程根的判别式b2-4ac的值，由判断是的值大于0可得结论；
（2）根据（1）的结论及等腰三角形的定义可得x＝10为一元二次方程的一个根，从而将x=10代入可得关于字母n的方程，求解可得n的值为12或10；然后分①当n＝12时，②当n＝10时，两种情况，分别根据一元二次方程根与系数的关系求出等腰三角形的底边，最后根据三角形周长计算方法算出三角形的周长即可；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系可得AB+AC＝2（n﹣1），AB AC＝n2﹣2n，然后根据勾股定理及完全平方公式建立出寡欲字母n的方程，求解再根据实际情况检验可得答案.
19．（2023八下·福州月考）阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用.
例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下
.
，
.
因此，该式有最小值1.
②已知：将其变形，，
，可得.
（1）按照上述方法，将代数式变形为的形式；
（2）已知，，是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由；
（3）已知.
①若，，则代数式 ▲ ；
②若，求代数式的最小值.
【答案】（1）解：
；
（2）解：，
，
，
，，
且，
且，
，
为等边三角形；
（3）解：①；
②解：
，
当时，取最小值.
【知识点】配方法解一元二次方程；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：（3）①，
即：，
∴，，
则，
故答案为：；
【分析】（1）利用配方法将常数项20拆为16+4，整个代数式变形为x2+8x+16+4，将前三项利用完全平方公式分解因式即可；
（2）把题干中的等式拆项变形为a2+b2+b2+c2-2ab-2bc=a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0，把前三项与后三项分别利用完全平方公式分解因式得(a-b)2+(b-c)2=0，利用偶数次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都为0可求出a=b=c，从而即可判断出△ABC的形状；
（3）①由多项式乘以多项式的法则将等式的左边展开并合并就会发现p=m+n=3，q=mn=2，然后将待求式子通分计算后整体代入即可算出答案；②同①可得p=m+n，q=mn=，进而将待求式子通过配方法及异分母分式的加法运算变形为，整体代入后再配方变形为 ， 从而根据偶数次幂的非负性即可得出答案.
1 / 12023年九年级上册数学人教版单元分层测试 第二十一章 一元二次方程 B卷
一、选择题
1．（2022九上·翁源期末）方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
2．（2023八下·东阳期末）已知方程x2-4x+k＝0的两个实数根是x1＝1，x2＝3，则方程（x-5）2-4（x-5）+k＝0的两个实数根是（ ）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝6，x2＝8
C．x1＝-4，x2＝-2 D．x1＝0，x2＝2
3．（2023八下·蜀山期末）方程根的符号是（ ）
A．两根一正一负 B．两根都是负数
C．两根都是正数 D．无法确定
4．（2023八下·萧山期末）2022年底，新冠疫情持续蔓延，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有441人感染，设每轮传染中平均每个人传染了人，则根据题意可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023八下·上虞期末）已知是关于x的方程的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当时，一定有；③b是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
6．（2023·宜宾模拟）设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2024 B．2021 C．2023 D．2022
7．（2022九上·子洲月考）已知关于x的一元二次方程（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（ ）．
A．1可能是方程的根 B．-1可能是方程的根
C．0可能是方程的根 D．1和-1都是方程的根
8．（2022九上·海珠期中）下列命题：① 若b＝a＋c时，一元二次方程一定有实数根；② 若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等实数根；③ 若二次函数，当取、（）时，函数值相等，则当x取时函数值为0；④ 若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2023八下·德清期末）若关于x的一元二次方程x2+ax+2a+3=0的一个根是1，则a的值是 .
10．（2023·泰安）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
11．（2023七下·顺义期中）有一个正方形的花园，如果它的边长增加，那么花园面积将增加，则原花园的面积为 ．
12．（2023八下·蜀山期中）已知实数，且满足，．请解决下列问题：
（1）当时，的值为 ；
（2）当时，的值为 ．
三、解答题
13．（2023·峨眉山模拟）先化简，再求值：，其中是一元二次方程的解．
14．（2023八下·新昌期末）在学习多边形的相关知识时，小张同学和小王同学对老师布置“探究多边形的对角线条数”的作业很盛兴趣，小张同学探究得到了边形的对角线条数的公式，并通过上网查证自己探究的结论是正确的．下图是两位同学进行交流的情景．
小王同学把哪个多边形对角线的条数数错了？请你通过计算或者画图来说明．
15．（2023八下·宜春期中）如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度？
四、综合题
16．（2023七下·虹口期末）设，为关于的方程的两根，为实数．
（1）求证：．
（2）当时，求的最大值．
17．（2023七下·宁波期末）若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，，所以13是“完美数”，再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”.
（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 ；
判断：45 （请填写“是”或“不是”）“完美数”；
（2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由.
（3）如果数m，n都是“完美数”，，试说明也是“完美数”.
18．（2023八下·杭州期中）已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣2（n﹣1）x+n2﹣2n＝0的两个根，第三边BC的长是10．
（1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当n为何值时，△ABC为等腰三角形？并求△ABC的周长．
（3）当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
19．（2023八下·福州月考）阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用.
例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下
.
，
.
因此，该式有最小值1.
②已知：将其变形，，
，可得.
（1）按照上述方法，将代数式变形为的形式；
（2）已知，，是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由；
（3）已知.
①若，，则代数式 ▲ ；
②若，求代数式的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
方程有两个不相等的实数根，
故答案为：B.
【分析】对于ax2+bx+c=0，当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；
当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当b2-4ac<0时，方程没有实数根.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意可得：方程的解为x-5=1或x-5=3，
解得x1=6，x2=8.
故答案为：B.
【分析】由题意可得：方程的解为x-5=1或x-5=3，求解即可.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的两根分别为x1，x2，根据根与系数的关系可得：因为所以x1，x2同号，再根据可得x1，x2均为正数。
故答案为：C。
【分析】根据根与系数之间的关系可得两根之和，与两根之积的值，然后根据它们的正负情况，判断出两根的符号，即可得出答案。
4．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均每个人传染了人，
可列方程，
故答案为：D.
【分析】由题意可得，第一轮传染人数为x人，第二轮传染人数为x(x+1)人，根据共有441人感染可列方程.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵x=a为方程的根，
∴a2-ab+b-a=0，
∴a(a-b)-(a-b)=0，
∴(a-b)(a-1)=0.
∵a>1，
∴a=b>1，
∴△=(-b)2-4(b-a)=b2-4b+4a=b2-4b+4b=b2>0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故①正确，④错误；
∵a=b，
∴a=b=t+1，故②错误；
∵a=b，a为方程的一个根，
∴b为方程的根。故③正确.
故答案为：C.
【分析】将x=a代入方程中并化简可得(a-b)(a-1)=0，由a>1可得a=b>1，则△=(-b)2-4(b-a)=b2-4b+4a=b2，据此判断①④；根据a=b可判断②③.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】∵a是方程x2+x-2023=0的实数根，
∴a2 +a-2023=0，
∴a2 =-a+2023，
∴a2 +2a+b=-a+2023+2a+b=2023+a+b
∵a，b是方程x2+x-2023=0的两个实数根，
∴a+b=-1，
∴a2+2a+b=2023+(-1)=2022
故答案选D。
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2 =-a+2023，则a2+2a+b可化为2023+a+b，再根据根与系数的关系得到a+b=-1，然后利用整体代入的方法计算。
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程 （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，
∴ 且 ，
∴ ，
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故A选项正确，不符合题意；
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故B选项正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ 和 不能同时是方程 的根，故D选项错误，符合题意；
当 时， ，
∴ ，
∴当 ， 时， 是方程 的根，故C选项正确，不符合题意；
故答案为：D
【分析】由于方程有两个相等的实数根，可得且，从而得出，可知x=0、x=-1可能但不能同时是方程 的根；当x=0时，可知p、q的值且都符合题意，继而判断.
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的其他应用；真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵b＝a＋c，∴
所以，一元二次方程一定有实数根，①符合题意
方程有两个不相等的实数根，
∴此方程为一元二次方程，且，
当时，方程为一元一次方程，不含有两个不等实数根，②不符合题意
二次函数的对称轴为
当取、（）时，函数值相等，则
当x取时，即，，函数值不一定为0，③不符合题意；
当时，二次函数的图像与轴的公共点的个数是2
当时，二次函数的图像过原点，此时与坐标交点个数为2，
当时，二次函数的图像与y轴有一个交点，与x轴有两个交点，此时与坐标交点个数为3，④符合题意
正确的个数为2
故答案为：B
【分析】根据真命题的定义，一元二次方程的根的判别式及一元二次方程的根与系数的关系逐项判断即可。
9．【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+2a+3=0的一个根是1，
∴1+a+2a+3=0，
解得a=.
故答案为：.
【分析】根据方程根的概念，将x=1代入方程中进行计算就可求出a的值.
10．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以，所以a＞-4.
【分析】根据根的判别式大于零，列出关于a的不等式，解不等式，求出a的取值范围。
11．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设原正方形的边长是x米，则增加后的边长是（x+2）米
由题意得
解得x=3
则原花园的面积为.
故填：9
【分析】设原正方形的边长是 x米，根据正方形的面积公式即可求出。
12．【答案】（1）
（2）2
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴a和b为方程的两个根，
∴a+b=-3，
故答案为：-3；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴a和b为方程的两个根，
∴a+b=-3，ab=-c，
∴，
∴，
故答案为：2
【分析】（1）先根据题意得到，进而得到a和b为方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系即可求解；
（2）先根据题意得到，进而得到，从而得到a和b为方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系即可得到a+b=-3，ab=-c，进而得到，然后结合题意代入即可求解。
13．【答案】解：原式
∵
∴
∵，
∴，
∴原式．
【知识点】分式的基本性质；一元二次方程的根
【解析】【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后根据x2﹣1＝0，可以得到x的值，然后将使得原分式有意义的x的值代入化简后的式子即可解答本题
14．【答案】解：对角线为10条的数错了．
已知边形的对角线条数为．
若边形的对角线条数为10，则，化简得，
，不是完全平方数，因为为正整数，所以方程的解不符合题意，
所以多边形的对角线条数为10条是错误的．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；多边形的对角线
【解析】【分析】根据对角线的公式将其化简为一元二次方程，利用判别式即可知道方程的解不是正整数，即可判断.
15．【答案】解：设秋千的绳索长为 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
答：绳索 的长度是 ．
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理的应用
【解析】【分析】设秋千的绳索长为 ，进而即可得到AC的表达式，再根据勾股定理列出方程即可求解。
16．【答案】（1）证明：∵为的两根，
∴，，，，
∴
；
（2）解：，
解得：，
又当时满足题意，
故p的最大值是．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；一元一次不等式的特殊解；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）首先根据根与系数的关系得出两根之和等于2p，两根之积等于-p，以及根据方程有两根，可以得出根的判别式=4p2+4p≥0，再根据方程的解得意义可得出x22-2px2-p=0，∴x22=2px2+p①，然后把①代入2px1+x22+3p中，得2px1+x22+3p=4p2+4p，即可得出结论；
（2）先把丨x1-x2丨变形为含有x1+x2与x1x2的式子，再利用根与系数的关系，得出关于p的不等式，解不等式，求出解集，取符合条件的最大值即可。
17．【答案】（1）8；是
（2）解：，
∴当时，即时，S是完美数；
（3）证明：∵m，n都是“完美数”，
则设，（a，b，c，d都是整数），
∴，
∴
∴mn是完美数，
∵，
∴，
∴也是“完美数”.
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）∵8=22+22，
∴8是一个“完美数”，
∵45=62+32，
∴45是一个“完美数”，
故答案为：8；是；
【分析】（1）根据“完美数”的定义求解即可；
（2）利用配方法将已知等式的右边变形为（x-3）2+（2y+1）2+k-10，根据“完美数”的定义可得k-10=0，从而求解即可得出k的值，从而得出答案；
（3）根据“完美数”的定义可设m=a2+b2，n=c2+d2（a，b，c，d都是整数），根据多项式乘以多项式的法则及完全平方公式可得mn=（ac+bd）2+（ad-bc）2，从而根据“完美数”的定义可得mn也是一个“完美数”；而将 的分子利用完全平方公式计算、合并同类项后再约分可得=mn，从而即可得出结论.
18．【答案】（1）证明：∵Δ＝[﹣2（n﹣1）]2﹣4（n2﹣2n）＝4＞0，
∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根，
∵第三边BC的长是10，
当△ABC为等腰三角形时，x＝10为一元二次方程的一个根，
当x＝10时，100﹣20（n﹣1）+n2﹣2n＝0，
解得n＝12或10，
①当n＝12时，方程变为x2﹣22x+120＝0，
设等腰三角形的底为m，
根据根与系数的关系，m+10＝22，
∴m＝12，
∴△ABC的周长为：10+10+12＝32；
②当n＝10时，方程变为x2﹣18x+80＝0，
设等腰三角形的底为n，
根据根与系数的关系，10+n＝18，
解得n＝8，
∴△ABC的周长为10+10+8＝28；
综上，当n＝12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32；
当n＝10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28；
（3）解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣2（n﹣1）x+n2﹣2n＝0的两个根，
∴AB+AC＝2（n﹣1），AB AC＝n2﹣2n，
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2，
即4（n﹣1）2﹣2（n2﹣2n）＝100，
解得n＝8或﹣6，
当n＝8时，AB+AC＝2×（8﹣1）＝14，符合题意，
当n＝﹣6时，AB+AC＝2×（﹣6﹣1）＝﹣14，不合题意，
综上，n＝8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）算出方程根的判别式b2-4ac的值，由判断是的值大于0可得结论；
（2）根据（1）的结论及等腰三角形的定义可得x＝10为一元二次方程的一个根，从而将x=10代入可得关于字母n的方程，求解可得n的值为12或10；然后分①当n＝12时，②当n＝10时，两种情况，分别根据一元二次方程根与系数的关系求出等腰三角形的底边，最后根据三角形周长计算方法算出三角形的周长即可；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系可得AB+AC＝2（n﹣1），AB AC＝n2﹣2n，然后根据勾股定理及完全平方公式建立出寡欲字母n的方程，求解再根据实际情况检验可得答案.
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：，
，
，
，，
且，
且，
，
为等边三角形；
（3）解：①；
②解：
，
当时，取最小值.
【知识点】配方法解一元二次方程；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：（3）①，
即：，
∴，，
则，
故答案为：；
【分析】（1）利用配方法将常数项20拆为16+4，整个代数式变形为x2+8x+16+4，将前三项利用完全平方公式分解因式即可；
（2）把题干中的等式拆项变形为a2+b2+b2+c2-2ab-2bc=a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0，把前三项与后三项分别利用完全平方公式分解因式得(a-b)2+(b-c)2=0，利用偶数次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都为0可求出a=b=c，从而即可判断出△ABC的形状；
（3）①由多项式乘以多项式的法则将等式的左边展开并合并就会发现p=m+n=3，q=mn=2，然后将待求式子通分计算后整体代入即可算出答案；②同①可得p=m+n，q=mn=，进而将待求式子通过配方法及异分母分式的加法运算变形为，整体代入后再配方变形为 ， 从而根据偶数次幂的非负性即可得出答案.
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