2023年九年级上册数学人教版单元分层测试 第二十二章 二次函数 A卷
一、选择题
1．（2023·中山模拟）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：y=2(x-1)2+3的顶点坐标为（1，3）.
故答案为：A.
【分析】抛物线的顶点式为y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为（h，k），据此解答.
2．（2023·柯桥模拟）关于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．与x轴没有交点 D．当时，y随x的增大而减小
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：A、二次函数y=-（x+2）2-3中，二次项系数a=-1＜0，∴函数图象的开口向下，故此选项正确，不符合题意；
B、二次函数y=-（x+2）2-3中，对称轴直线是x=-2，故此选项错误，符合题意；
C、二次函数y=-（x+2）2-3中，顶点坐标为（-2，-3），在第三象限，且函数图象的开口向下，所以抛物线与x轴没有交点，故此选项正确，不符合题意；
D、二次函数y=-（x+2）2-3中，对称轴直线是x=-2，∴当x＞-2时，y随x的增大而减小，故此选项正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由抛物线的解析式可得：二次项系数a=-1＜0，函数图象的开口向下，对称轴直线是x=-2，顶点坐标为（-2，-3），当x＜-2时，y随x的增大而增大，当x＞-2时，y随x的增大而减小，据此一一判断得出答案.
3．（2023·大连模拟）已知实心球运动的高度与水平距离之间的函数关系是，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】将y=0代入，
可得： ，
解得： x1=3，x2=-1（舍），
∴该同学此次投掷实心球的成绩是3m，
故答案为： B.
【分析】将y=0代入解析式求出x的值即可。
4．（2023九下·丹徒月考）关于x的二次函数在y轴右侧y随x的增大而减小，则a的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：关于x的二次函数的对称轴为直线，
∵，且在y轴右侧y随x的增大而减小，
∴，
解得：，故B正确.
故答案为：B.
【分析】首先根据二次函数对称轴直线公式求出对称轴直线为，由于二次项系数a=-1＜0，且在y轴右侧y随x的增大而减小，所以可得对称轴直线在y轴左侧或与y轴重合，即，求解即可得出a的取值范围，从而得出答案.
5．（2023九下·衢江月考）将抛物线向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线向上平移3个单位长度得到的抛物线是.
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的平移规律：“上加下减”，可直接得出平移后的抛物线的解析式.
6．（2022九上·翁源期末）小兰画了一个函数的图象如图，关于的方程的解是（ ）
A．无解 B． C． D．或
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：观察图象可得函数的图象与轴的交点坐标为、，
方程的解为或，
故答案为：D.
【分析】对于，当时，或， 即的解为或.
7．（2023·黄冈）已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线过点（-1，0），
∴a-b+c=0，故①正确；
∵a<0，
∴开口向下.
∵点（-3，y1）到对称轴的距离最大，（2，y2）到对称轴的距离最小，
∴y1∵对称轴x=-=1，
∴b=-2a.
∵a-b+c=0，
∴c=b-a=-3a.
∵抛物线的最大值为a+b+c，
∴am2+bm+c≤a+b+c=a-2a-3a=-4a，故③正确；
∵抛物线过点（-1，0），对称轴为x=1，
∴与x轴的另一个交点为（3，0）.
∵方程ax2+bx+c+1=0的两实数根为x1、x2，且x1∴抛物线与直线y=-1的交点的横坐标分别为x1、x2，
∴x1<-1，x2>3，故④正确.
故答案为：B.
【分析】将点（-1，0）代入即可判断①；由a<0可得开口向下，然后根据距离对称轴越近的点对应的函数值越大即可判断②；由对称轴为直线x=1可得b=-2a，结合a-b+c=0可得c=b-a=-3a，由开口向下以及对称轴为直线x=1可得抛物线的最大值为a+b+c=-4a，进而判断③；由对称性可得与x轴的另一个交点为（3，0），然后根据抛物线与直线y=-1的交点的横坐标分别为x1、x2可判断④.
8．（2023八下·丰城期末）抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①； ②当时，y随x增大而减小；③； ④若方程没有实数根，则；⑤，其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：因为二次函数与x轴有两个交点
所以
① 错误
观察图像可知：当x>-1时，y随x增大而减小
② 正确
因为抛物线与x轴的另一交点在（0，0）和（1，0）之间
所以：当x=1是，y=a+b+c<0
③ 正确
因为当m>2时，抛物线与直线y=m没有交点
所以方程没有实数根
④ 正确
因为对称轴
所以b=2a
因为a+b+c<0
所以3a+c<0
⑤ 错误
故答案为B
【分析】根据抛物线的图像和性质逐一排查即可求出答案。
二、填空题
9．（2023八下·金东期末）抛物线的对称轴是直线，则 ．
【答案】2
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵y=x2+bx+c的对称轴为直线x=-1，
∴=-1，
∴b=2.
故答案为：2.
【分析】根据对称轴方程结合题意可得=-1，求解可得b的值.
10．（2023·包头）已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则的值为 .
【答案】2
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵P（m，3）在二次函数 图象上，
∴-am2+2am+3=3，
∴-am（m-2）=0，
∵a＞0，m≠0，
∴m-2=0，
∴m=2.
故答案为：2.
【分析】由点P在二次函数图象上，将点P的坐标代入函数关系式计算即可。
11．（2023八下·浦江月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点A（﹣1，﹣2），对称轴为直线x＝1，则9a+3b+c的值是 ．
【答案】-2
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，
∴点A（-1，-2）关于直线x＝1对称点的坐标为（3，-2），
而9a+3b+c是当 y＝ax2+bx+c（a≠0）的x=3时的纵坐标，
∴9a+3b+c=-2；
故填：-2.
【分析】根据二次函数的轴对称性质可得：当x=3与当x=-1时所对应的y值相等，即可得到答案.
12．（2023·官渡模拟）如图，在平面直角坐标中，抛物线和直线交于点和点，则不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】一次函数的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由题意得当，，
故答案为：.
【分析】直接根据一次函数和二次函数的图象即可求解。
13．（2022九上·翁源期末）如果点，在二次函数的图象上，则 （填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】＜
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当时，，
当时，，
，
故答案为：<.
【分析】利用函数解析式求得y1、y2的值，再比较函数值的大小.
14．（2023·沈阳）如图，王叔叔想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙足够长，当矩形的边 时，羊圈的面积最大．
【答案】15
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设AB=x，面积为S，由题意可得S=x(60-2x)=-2(x-15)2+450，
∴当x=15时，羊圈的面积最大.
故答案为：15.
【分析】设AB=x，面积为S，则BC=(60-2x)，根据矩形的面积公式可得S=x(60-2x)，然后根据二次函数的性质进行解答.
15．年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面 米．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：由题意得B（40，4），H（0，20），A（-40，4），
设抛物线的解析式为，
将A（-40，4）代入解得，
∴，
∵两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，
∴抛物线的解析式变为，
当x=0时，y=19，
故答案为：19
【分析】先根据题意得到B（40，4），H（0，20），A（-40，4），进而运用待定系数法求出抛物线的解析式，进而得到平移后的抛物线解析式，再令x=0即可求解。
三、解答题
16．（2023·威海）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点处，另一端与路面的垂直高度为1.8米，且与喷泉水流的水平距离为0.3米．点到水池外壁的水平距离米，求步行通道的宽．（结果精确到0.1米）参考数据：
【答案】解：如图，建立平面直角坐标系，
由题意知：，，
∵抛物线的最高点B，
∴设抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
令，则，
解得：，
∴，
∴ (米)，
答：步行通道的宽的长约为3.2米．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】先建立平面直角坐标系，根据题意设抛物线的解析式为，再将点A代入即可得到抛物线的解析式，进而令即可求出x，从而得到，再根据即可求解；
17．（2023·台州）【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水时间t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 ⑴计算任务2得到的函数解析式的w值．
⑵请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．
【答案】解：任务1：变化量分别为，；；
；；
任务2：设，
∵时，，时，；
∴
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为．
任务3：（1）将t=30代入h=-0.1t+30得h=27，
将t=40代入h=-0.1t+30得h=26，
∴
；
（2）设，则当t=10时，h=10k+30，当t=20时，h=20k+30，当t=30时，h=30k+30，当t=40时，h=40k+30，
．
当时，w最小．
∴优化后的函数解析式为．
任务4：时间刻度方案要点：
①时间刻度的0刻度在水位最高处；
②刻度从上向下均匀变大；
③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）任务1：根据统计表提供的数据，利用有理数的减法直接算出表中每隔10min水面高度观察值的变化量；
（2）任务2：利用待定系数法可直接求出h关于t的函数解析式；
（3）任务3：①分别将t=30与t=40代入任务2所求的函数解析式算出对应的h的值，进而根据“反思优化”提供的计算方法算出w的值；
②设经过（0，30）的一次函数解析式为h=kt+30，分别用含k的式子表示出t=10、t=20、t=30、
t=40时对应的h的值，进而根据w的计算方法建立出w关于k的函数解析式，根据函数性质，求出当w最小时的k的值，从而即可求出优化后的函数解析式；
（4）任务4：根据优化后的函数解析式及水面的高度随时间的变化而减小，从而可得设计方案及要点.
18．（2023八下·金东期末）根据以下素材，探索完成任务
如何设计拱桥上救生圈的悬挂方案
素材1 图1是一座抛物线形拱桥，以抛物线两个水平最低点连线为x轴，抛物线离地面的最高点的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图2所示． 某时测得水面宽，拱顶离水面最大距离为10m，抛物线拱形最高点与x轴的距离为5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1m达到最高．
素材2 为方便救助溺水者，拟在图1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图3，救生圈悬挂点为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）
问题解决
任务1 确定桥拱形状 根据图2，求抛物线的函数表达式．
任务2 拟定设计方案 求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标．
任务3 探究救生绳长度 当水位达到最高时，上游个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数）
【答案】解：任务1：如图，
知抛物线关于y轴对称，设解析式为，
抛物线经过，，得
，解得
∴；
任务2：抛物线，令，则，
解得或10，
∴点，
如题，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m，且关于y轴成轴对称，
∵
∴左侧可挂3个，桥面可挂6个．
最右侧位于点G上方1m处，即点；
任务3：如图，当水位达到最高时，水位线为，
救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m，
当时，，，，
中，（m），
故至少需21 m．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】任务1：知抛物线关于y轴对称，设解析式为y=ax2+k，将（10，0）、（0，5）代入求出a、k的值，据此可得抛物线的解析式；
任务2：令解析式中的y=0，求出x的值，可得点F的坐标，由题意可得左侧可挂3个，桥面可挂6个，最右侧位于点G上方1m处，据此可得相应的坐标；
任务3：当水位达到最高时，水位线为y=-(10-5-1)=-4，易得E（-10，1），EN=5，MN=20，利用勾股定理求出EM的值，据此解答.
四、综合题
19．（2023·抚顺）电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与每件玩具售价x（元）之间满足一次函数关系（其中，且x为整数）．当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？
【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由已知得，
解得，
因此y与x之间的函数关系式为（其中，且x为整数）；
（2）解：设每周销售这款玩具所获的利润为W，
由题意得，
，
W关于x的二次函数图象开口向上，
，且x为整数，
当时，W取最大值，最大值为1800，
即当每件玩具售价为130元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1800元．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，再将x，y的两组对应值分别代入函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到函数解析式.
（2）利用总利润W=每一件的利润×销售量，可得到W与x的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出结果.
20．（2023·大庆）某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，，，点、、分别是边、、的中点；下半部分四边形是矩形，，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，米．
（1）求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）当为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．
【答案】（1）∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴．
∵，是边的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴．
∵点、、分别是边、的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）设面积为S，
则
，
∴当时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可证得BC∥DE，利用平行线间的距离处处相等，可得到BE=IJ=NM=CD=y，利用等腰三角形的性质可得到BC=DE=2x，同时可证得FA⊥BC，由AF于BF的比值，可表示出AF的长，利用勾股定理可表示出AB的长；再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可表示出FG，FH的长，然后根据窗户框的材料总长为16米，可得到y与x的函数解析式及自变量x取值范围.
（2）利用窗户的面积等于△ABC的面积+矩形ACDE的面积，可得到S与x的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求解.
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一、选择题
1．（2023·中山模拟）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·柯桥模拟）关于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．与x轴没有交点 D．当时，y随x的增大而减小
3．（2023·大连模拟）已知实心球运动的高度与水平距离之间的函数关系是，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九下·丹徒月考）关于x的二次函数在y轴右侧y随x的增大而减小，则a的范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九下·衢江月考）将抛物线向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九上·翁源期末）小兰画了一个函数的图象如图，关于的方程的解是（ ）
A．无解 B． C． D．或
7．（2023·黄冈）已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④
8．（2023八下·丰城期末）抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①； ②当时，y随x增大而减小；③； ④若方程没有实数根，则；⑤，其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
9．（2023八下·金东期末）抛物线的对称轴是直线，则 ．
10．（2023·包头）已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则的值为 .
11．（2023八下·浦江月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点A（﹣1，﹣2），对称轴为直线x＝1，则9a+3b+c的值是 ．
12．（2023·官渡模拟）如图，在平面直角坐标中，抛物线和直线交于点和点，则不等式的解集为 ．
13．（2022九上·翁源期末）如果点，在二次函数的图象上，则 （填“＞”、“＜”或“＝”）
14．（2023·沈阳）如图，王叔叔想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙足够长，当矩形的边 时，羊圈的面积最大．
15．年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面 米．
三、解答题
16．（2023·威海）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点处，另一端与路面的垂直高度为1.8米，且与喷泉水流的水平距离为0.3米．点到水池外壁的水平距离米，求步行通道的宽．（结果精确到0.1米）参考数据：
17．（2023·台州）【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水时间t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 ⑴计算任务2得到的函数解析式的w值．
⑵请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．
18．（2023八下·金东期末）根据以下素材，探索完成任务
如何设计拱桥上救生圈的悬挂方案
素材1 图1是一座抛物线形拱桥，以抛物线两个水平最低点连线为x轴，抛物线离地面的最高点的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图2所示． 某时测得水面宽，拱顶离水面最大距离为10m，抛物线拱形最高点与x轴的距离为5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1m达到最高．
素材2 为方便救助溺水者，拟在图1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图3，救生圈悬挂点为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）
问题解决
任务1 确定桥拱形状 根据图2，求抛物线的函数表达式．
任务2 拟定设计方案 求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标．
任务3 探究救生绳长度 当水位达到最高时，上游个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数）
四、综合题
19．（2023·抚顺）电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与每件玩具售价x（元）之间满足一次函数关系（其中，且x为整数）．当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？
20．（2023·大庆）某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，，，点、、分别是边、、的中点；下半部分四边形是矩形，，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，米．
（1）求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）当为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：y=2(x-1)2+3的顶点坐标为（1，3）.
故答案为：A.
【分析】抛物线的顶点式为y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为（h，k），据此解答.
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：A、二次函数y=-（x+2）2-3中，二次项系数a=-1＜0，∴函数图象的开口向下，故此选项正确，不符合题意；
B、二次函数y=-（x+2）2-3中，对称轴直线是x=-2，故此选项错误，符合题意；
C、二次函数y=-（x+2）2-3中，顶点坐标为（-2，-3），在第三象限，且函数图象的开口向下，所以抛物线与x轴没有交点，故此选项正确，不符合题意；
D、二次函数y=-（x+2）2-3中，对称轴直线是x=-2，∴当x＞-2时，y随x的增大而减小，故此选项正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由抛物线的解析式可得：二次项系数a=-1＜0，函数图象的开口向下，对称轴直线是x=-2，顶点坐标为（-2，-3），当x＜-2时，y随x的增大而增大，当x＞-2时，y随x的增大而减小，据此一一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】将y=0代入，
可得： ，
解得： x1=3，x2=-1（舍），
∴该同学此次投掷实心球的成绩是3m，
故答案为： B.
【分析】将y=0代入解析式求出x的值即可。
4．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：关于x的二次函数的对称轴为直线，
∵，且在y轴右侧y随x的增大而减小，
∴，
解得：，故B正确.
故答案为：B.
【分析】首先根据二次函数对称轴直线公式求出对称轴直线为，由于二次项系数a=-1＜0，且在y轴右侧y随x的增大而减小，所以可得对称轴直线在y轴左侧或与y轴重合，即，求解即可得出a的取值范围，从而得出答案.
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线向上平移3个单位长度得到的抛物线是.
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的平移规律：“上加下减”，可直接得出平移后的抛物线的解析式.
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：观察图象可得函数的图象与轴的交点坐标为、，
方程的解为或，
故答案为：D.
【分析】对于，当时，或， 即的解为或.
7．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线过点（-1，0），
∴a-b+c=0，故①正确；
∵a<0，
∴开口向下.
∵点（-3，y1）到对称轴的距离最大，（2，y2）到对称轴的距离最小，
∴y1∵对称轴x=-=1，
∴b=-2a.
∵a-b+c=0，
∴c=b-a=-3a.
∵抛物线的最大值为a+b+c，
∴am2+bm+c≤a+b+c=a-2a-3a=-4a，故③正确；
∵抛物线过点（-1，0），对称轴为x=1，
∴与x轴的另一个交点为（3，0）.
∵方程ax2+bx+c+1=0的两实数根为x1、x2，且x1∴抛物线与直线y=-1的交点的横坐标分别为x1、x2，
∴x1<-1，x2>3，故④正确.
故答案为：B.
【分析】将点（-1，0）代入即可判断①；由a<0可得开口向下，然后根据距离对称轴越近的点对应的函数值越大即可判断②；由对称轴为直线x=1可得b=-2a，结合a-b+c=0可得c=b-a=-3a，由开口向下以及对称轴为直线x=1可得抛物线的最大值为a+b+c=-4a，进而判断③；由对称性可得与x轴的另一个交点为（3，0），然后根据抛物线与直线y=-1的交点的横坐标分别为x1、x2可判断④.
8．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：因为二次函数与x轴有两个交点
所以
① 错误
观察图像可知：当x>-1时，y随x增大而减小
② 正确
因为抛物线与x轴的另一交点在（0，0）和（1，0）之间
所以：当x=1是，y=a+b+c<0
③ 正确
因为当m>2时，抛物线与直线y=m没有交点
所以方程没有实数根
④ 正确
因为对称轴
所以b=2a
因为a+b+c<0
所以3a+c<0
⑤ 错误
故答案为B
【分析】根据抛物线的图像和性质逐一排查即可求出答案。
9．【答案】2
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵y=x2+bx+c的对称轴为直线x=-1，
∴=-1，
∴b=2.
故答案为：2.
【分析】根据对称轴方程结合题意可得=-1，求解可得b的值.
10．【答案】2
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵P（m，3）在二次函数 图象上，
∴-am2+2am+3=3，
∴-am（m-2）=0，
∵a＞0，m≠0，
∴m-2=0，
∴m=2.
故答案为：2.
【分析】由点P在二次函数图象上，将点P的坐标代入函数关系式计算即可。
11．【答案】-2
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，
∴点A（-1，-2）关于直线x＝1对称点的坐标为（3，-2），
而9a+3b+c是当 y＝ax2+bx+c（a≠0）的x=3时的纵坐标，
∴9a+3b+c=-2；
故填：-2.
【分析】根据二次函数的轴对称性质可得：当x=3与当x=-1时所对应的y值相等，即可得到答案.
12．【答案】
【知识点】一次函数的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由题意得当，，
故答案为：.
【分析】直接根据一次函数和二次函数的图象即可求解。
13．【答案】＜
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当时，，
当时，，
，
故答案为：<.
【分析】利用函数解析式求得y1、y2的值，再比较函数值的大小.
14．【答案】15
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设AB=x，面积为S，由题意可得S=x(60-2x)=-2(x-15)2+450，
∴当x=15时，羊圈的面积最大.
故答案为：15.
【分析】设AB=x，面积为S，则BC=(60-2x)，根据矩形的面积公式可得S=x(60-2x)，然后根据二次函数的性质进行解答.
15．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：由题意得B（40，4），H（0，20），A（-40，4），
设抛物线的解析式为，
将A（-40，4）代入解得，
∴，
∵两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，
∴抛物线的解析式变为，
当x=0时，y=19，
故答案为：19
【分析】先根据题意得到B（40，4），H（0，20），A（-40，4），进而运用待定系数法求出抛物线的解析式，进而得到平移后的抛物线解析式，再令x=0即可求解。
16．【答案】解：如图，建立平面直角坐标系，
由题意知：，，
∵抛物线的最高点B，
∴设抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
令，则，
解得：，
∴，
∴ (米)，
答：步行通道的宽的长约为3.2米．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】先建立平面直角坐标系，根据题意设抛物线的解析式为，再将点A代入即可得到抛物线的解析式，进而令即可求出x，从而得到，再根据即可求解；
17．【答案】解：任务1：变化量分别为，；；
；；
任务2：设，
∵时，，时，；
∴
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为．
任务3：（1）将t=30代入h=-0.1t+30得h=27，
将t=40代入h=-0.1t+30得h=26，
∴
；
（2）设，则当t=10时，h=10k+30，当t=20时，h=20k+30，当t=30时，h=30k+30，当t=40时，h=40k+30，
．
当时，w最小．
∴优化后的函数解析式为．
任务4：时间刻度方案要点：
①时间刻度的0刻度在水位最高处；
②刻度从上向下均匀变大；
③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）任务1：根据统计表提供的数据，利用有理数的减法直接算出表中每隔10min水面高度观察值的变化量；
（2）任务2：利用待定系数法可直接求出h关于t的函数解析式；
（3）任务3：①分别将t=30与t=40代入任务2所求的函数解析式算出对应的h的值，进而根据“反思优化”提供的计算方法算出w的值；
②设经过（0，30）的一次函数解析式为h=kt+30，分别用含k的式子表示出t=10、t=20、t=30、
t=40时对应的h的值，进而根据w的计算方法建立出w关于k的函数解析式，根据函数性质，求出当w最小时的k的值，从而即可求出优化后的函数解析式；
（4）任务4：根据优化后的函数解析式及水面的高度随时间的变化而减小，从而可得设计方案及要点.
18．【答案】解：任务1：如图，
知抛物线关于y轴对称，设解析式为，
抛物线经过，，得
，解得
∴；
任务2：抛物线，令，则，
解得或10，
∴点，
如题，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m，且关于y轴成轴对称，
∵
∴左侧可挂3个，桥面可挂6个．
最右侧位于点G上方1m处，即点；
任务3：如图，当水位达到最高时，水位线为，
救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m，
当时，，，，
中，（m），
故至少需21 m．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】任务1：知抛物线关于y轴对称，设解析式为y=ax2+k，将（10，0）、（0，5）代入求出a、k的值，据此可得抛物线的解析式；
任务2：令解析式中的y=0，求出x的值，可得点F的坐标，由题意可得左侧可挂3个，桥面可挂6个，最右侧位于点G上方1m处，据此可得相应的坐标；
任务3：当水位达到最高时，水位线为y=-(10-5-1)=-4，易得E（-10，1），EN=5，MN=20，利用勾股定理求出EM的值，据此解答.
19．【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由已知得，
解得，
因此y与x之间的函数关系式为（其中，且x为整数）；
（2）解：设每周销售这款玩具所获的利润为W，
由题意得，
，
W关于x的二次函数图象开口向上，
，且x为整数，
当时，W取最大值，最大值为1800，
即当每件玩具售价为130元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1800元．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，再将x，y的两组对应值分别代入函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到函数解析式.
（2）利用总利润W=每一件的利润×销售量，可得到W与x的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出结果.
20．【答案】（1）∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴．
∵，是边的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴．
∵点、、分别是边、的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）设面积为S，
则
，
∴当时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可证得BC∥DE，利用平行线间的距离处处相等，可得到BE=IJ=NM=CD=y，利用等腰三角形的性质可得到BC=DE=2x，同时可证得FA⊥BC，由AF于BF的比值，可表示出AF的长，利用勾股定理可表示出AB的长；再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可表示出FG，FH的长，然后根据窗户框的材料总长为16米，可得到y与x的函数解析式及自变量x取值范围.
（2）利用窗户的面积等于△ABC的面积+矩形ACDE的面积，可得到S与x的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求解.
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