2023年九年级上册数学人教版单元分层测试 第二十二章 二次函数 B卷
一、选择题
1．（2023八下·金东期末）将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=x2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为y=(x+3)2+2-4=(x+3)2-2.
故答案为：A.
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规则进行解答.
2．（2023·大连）已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵y=x2-2x-1=(x-1)2-2，
∴抛物线开口向上，当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大.
当x=0时，y=-1；当x=3时，y=2，
∴函数的最大值为2.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的性质可得：当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大，然后求出x=0、3对应的y的值，再进行比较即可.
3．（2023·日照）在平面直角坐标系中，抛物线，满足，已知点，，在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：解不等式组得-3a＜b＜-a，a＞0，
∴对称轴，
∴离对称轴最近，离对称轴最远，
∴，
故答案为：D
【分析】先解不等式组即可得到对称轴的取值范围，再根据二次函数的图象与性质结合离对称轴最近，离对称轴最远即可求解。
4．（2023·贵州）已知，二次数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意得a＞0，，
∴b＜0，
∴点位于第四象限，
故答案为：D
【分析】根据二次函数的图象和性质即可判断a和b的大小，进而根据象限内点坐标的特征即可求解。
5．（2023·河南）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数图象的开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a<0，->0，
∴b>0，
∴一次函数y=x+b的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数图象的开口向下，对称轴在y轴右侧可得a<0，->0，据此可得b的符号，然后根据一次函数的图象与系数的关系进行解答.
6．（2023·广东）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接AC，交y轴于点D，
∵正方形ABCO，
∴AC⊥BO，AD=OD=OB，
当x=0时y=c，
∴点B（0，c），
∴AD=OD=c，
∴点A，
∴，
∵c≠0，
解之：ac=-2.
故答案为：B
【分析】连接AC，交y轴于点D，利用正方形的性质可知AC⊥BO，AD=OD=OB，利用函数解析式求出点B的坐标，可得到点A的坐标，再将点A的坐标代入函数解析式，可求出ac的值.
7．（2023·巴中）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，设，，则下列结论正确的个数为（ ）
．．当线段长取最小值时，则的面积为．若点，则．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵直线y=kx+1与抛物线交于A（x1，y1）、B（x2，y2），∴x1，x2是方程的两个根，方程可整理为：x2-4kx-4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=-4；y1，y2是方程的两个根，方程可整理为：y2-（4k2+2）x+1=0，∴y1+y2=4k2+2，y1y2=1；∴①正确；②正确；③，∴AB=4（k2+1），∴当k=0时，AB的最小值为4，此时，△AOB的面积为：，∴③正确；④点N（0，-1），∴，∴，∴kANKBN=-k2-1，∴当k=0时，AN⊥BN，当k≠0时，AN不垂直BN，所以④不正确，所以结论正确的个数有3个。
故答案为：C.
【分析】根据函数图象交点坐标与方程之间的关系，可以得出关于x、关于y的方程，利用根与系数之间的关系得出x1与x2，y1与y2之间的关系，从而使问题得到解决。
8．（2023·新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】①根据图象可知：当时，直线在抛物线的上方，∴，故①正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根，∴是方程的一个解，故②正确；
③将点（-2，5）、（3，0）分别代入可得：，解得，∴抛物线的解析式为，当x=-1时，，当x=4时，，∴，故③正确；
④由③可知：（-2，5）与点（4，5）关于对称轴对称，∴对称轴为直线，将x=1代入抛物线可得，∴当-2综上所述，正确的有①②③，
故答案为：B.
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
二、填空题
9．（2023·牡丹江）将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
【答案】2或4
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=(x+3)2向下平移1个单位长度，再向右平移m个单位长度后，得到的新抛物线
为y=(x+3-m)2-1.
将（0，0）代入可得(3-m)2=1，
解得m=2或4，
∴应向右平移2或4个单位长度.
故答案为：2或4.
【分析】将抛物线y=(x+3)2向下平移1个单位长度，再向右平移m个单位长度后，得到的新抛物线
为y=(x+3-m)2-1，然后将（0，0）代入求出m的值即可.
10．（2023·泰州）二次函数的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是 （填一个值即可）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：设二次函数与x轴交点的横坐标分别为、，
当时，方程 的两个根为、，
，，
函数图象与x轴有一个交点在y轴右侧，
∴x1与x2异号，
，
∴n=-3.
故答案为：-3.
【分析】通过方程的思想解决函数问题是本题的解题关键，利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，进而判定函数与x轴交点横坐标的正负性，即可求得n的取值范围，从而得出答案.
11．（2023·巴中）规定：如果两个函数的图象关于轴对称，那么称这两个函数互为“函数”例如：函数与互为“函数”若函数的图象与轴只有一个交点，则它的“函数”图象与轴的交点坐标为 ．
【答案】（3，0）或（4，0）
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：因为函数的图象与x轴只有一个交点，所以可以分成两种情况讨论：①当k=0时，为一次函数，它的解析式为：y=-x-3，∴它的"Y函数"为：y=x-3，令y=0，则：x-3=0，∴x=3，此时它的"Y函数"图象与x轴的交点坐标为：（3，0）；②当k≠0时，是二次函数，因为图象与x轴只有一个交点，所以方程有两个相等的实数根，，∴k=-1，所以此时二次函数解析式为：，它的顶点坐标为：（-4，0），所以它的"Y函数"图象的顶点坐标为（4，0），即与x轴的交点坐标为（4，0）。综上所述，"Y函数"图象与x轴的交点坐标为（3，0）或（4，0）。
故答案为：（3，0）或（4，0）.
【分析】分成两种情况①当k=0时，为一次函数，根据新定义得出"Y函数"图象与x轴的交点坐标即可；
②当k≠0时，，根据图象与x轴只有一个交点，得出方程有两个相等实数根，根据根的判别式等于0求出此时函数解析式，得出它的顶点坐标，且顶点在x轴上，根据定义求得"Y函数"图象与x轴的交点坐标即可。
12．（2023·徐汇模拟）如图，抛物线：与抛物线：组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果，那么抛物线的表达式是 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理
【解析】【解答】解：由题可得：令y=0，则x2+2x -3=0，
解得x1= 1，x2=-3，
∴A(-3，0)，B(1，0)，
∵当x=0时，y =x2+2x-3 =-3，
∴C (0，-3)，
∵当x =0时，y =ax2+bx+c=c，
∴D (0，c)，
∴CD=c+3，
∴BD =，
∵BD = CD，
∴，
解得：，
∴抛物线C2： ，
将A(-3，0)，B(1，0)代入得：，
解得：，
∴抛物线的表达式是，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出(-3，0)，B(1，0)，再利用勾股定理和待定系数法求解即可。
13．（2023·绍兴）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形.若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 .
【答案】或
【知识点】矩形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由题意易得点A（3，0），
将x=0代入y=（x-2）2得y=4，
∴点C（0，4），
∵四边形OABC是矩形，
∴点B（3，4），
函数y=x2+bx+c(0≤x≤3）的对称轴直线为，
分类讨论：①如图所示，当对称轴在y轴的左侧，且图象经过点O（0，0）及B（3，4），
由图象可得，解得b=；
②如图所示，当对称轴在AB右侧，且图象经过点A（3，0）及C（0，3），
由图象可得，解得b=；
③如图所示，当对称轴直线在y轴右侧，且在AB左侧时，
由图象可得，
解得此种情况不符合题意，舍去；
综上b的值为或.
故答案为：或.
【分析】由题意易得点A（3，0），将x=0代入代入y=（x-2）2得y=4，故点C（0，4）根据矩形的性质得点B（3，4），利用对称轴直线公式可得函数y=x2+bx+c(0≤x≤3）的对称轴直线为x=-2b，然后分类讨论：①如图所示，当对称轴在y轴的左侧，且图象经过点O（0，0）及B（3，4），②如图所示，当对称轴在AB右侧，且图象经过点A（3，0）及C（0，3），③如图所示，当对称轴直线在y轴右侧，且在AB左侧时，分别画出示意图，由图象得出混合组，求解即可得出答案.
三、解答题
14．（2021·河西模拟）如图所示，在抛物线上选定两点，我们把过这两点的线段和这条抛物线所围成的图形称作抛物线弓形．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与直线 相交于点O和点A， 截得的抛物线弓形的曲线上有一点P．
（Ⅰ）当 时，解答下列问题：
①求A点的坐标；
②连接 ， ，求 面积的最大值；
③当 的面积最大时，直线 也截得一个更小的抛物线弓形，同理在这个更小的抛物线弓形曲线上也有一点 ，连接 ， ，当 的面积最大时，求这个 的最大面积与②中 的最大面积的比值；
（Ⅱ）将（Ⅰ）中 的条件去掉后，其它条件不变，则 的最大面积与 的最大面积的比值是否变化？请说明理由．
【答案】解：（Ⅰ）①当 时，抛物线解析式为 ，
解方程组 ，解得 ，
∴ ；
②设过点P与 平行的直线为 ，
由 得 ，由 ，可得 ，
∴ ，
∴ ，
此时 面积最大值为 ．
③由②直线 的解析式 ，
设与 平行的直线为 ，
由 得 ，由 ，可得 ，
∴ 面积最大值为 ，
∴ 的面积与 的面积的比 ．
（Ⅱ）不变．
理由： 与直线 交点为 和 ，
设过点P与 平行的直线为 ，
由 得 ，由 ，可得 ，
∴ ，
∴ ，此时 面积最大值为 ．
由 ，
设与 平行的直线为 ，
由 得 ，由 ，可得 ，
∴ 面积最大值为 ，
∴ 的面积与 的面积的比 ．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（Ⅰ）①先求出
，再计算求解即可；
②先求出
， 再求出
， 最后求三角形的面积即可；
③先求出
， 再求出
面积最大值为 ， 最后求解即可；
（Ⅱ）利用一元二次方程根的判别式和三角形的面积公式进行求解即可。
15．（2020·滨海模拟）如图，抛物线 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．点A坐标的为 ，点C的坐标为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为线段 上一点（点M不与点A、B重合），过点M作i轴的垂线，与直线 交于点E，与抛物线交于点P，过点P作 交抛物线于点Q，过点Q作 轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形 的周长最大时，求 的面积；
（3）在（2）的条件下，当矩形 的周长最大时，连接 ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线 交于点G（点G在点F的上方）．若 ，求点F的坐标．
【答案】（1）解:依题意
解得
所以
（2）
抛物线的对称轴是直线
， ，其中
∵P、Q关于直线 对称
设Q的横坐标为a
则
∴
∴
∴ ，
∴周长
当 时，d取最大值，此时，
∴
设直线 的解析式为
则 ，解得
∴设直线 的解析式为
将 代入 ，得
∴ ，
∴
∴
（3）由（2）知，当矩形 的周长最大时， 此时点 ，与点C重合，
∴
∵
∴
过D作 轴于K，
则 ，
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴
设 ，则
∴ ，解得 ，
当 时，
当 时， ．
∴ 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点A、C的坐标代入解析式求解即可；
（2）设
， ， 利用轴对称性得到
，可求出
， ，则利用x表示矩形PMNQ的周长，由二次函数的性质可求出当矩形PMNQ的周长最大时，点P的坐标，即可求出点E、M的坐标，由三角形面积公式求解即可；
（3）先求出点D的坐标，即可求出DQ=
，可得FG=4， 设 ，则 ，由两点之间的距离公式计算即可。
16．（2022九上·温州月考）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷灌器喷水口的升降方案
素材1 随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．图1中某庭院内有一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱成抛物线形．图2是该喷灌器OA喷水时的截面示意图，喷水口A点离地高度为0.25m，喷出的水柱在离喷水口水平距离为2m处达到最高，高度为0.45m，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界B点处．
素材2 为了美化庭院，准备在庭院内沿围墙建花坛种植绣球花，花坛高0.4m，宽0.8m，侧面用大理石包围，长方形BCDE是花坛截面，如图3．调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同，水柱落在花坛的上方DE边上（大理石厚度不计），达到给花坛喷灌的效果．
问题解决
任务1 确定水柱的形状 在图2中，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的表达式．
任务2 确定喷灌器的位置 求出喷灌器OA与围墙的距．
任务3 拟定喷头升降方案 调整喷水口的高度，使水柱可以喷灌花坛，求喷水口距离地面高度的最小值．
【答案】解：任务1：如图2，以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设抛物线解析式为y＝a（x-2）2+0.45，
把A（0，0.25）代入得：0.25＝a（0﹣2）2+0.45，
解得：a＝- ，
∴抛物线的表达式为y＝- （x-2）2+0.45；
任务2：令y＝0，得- （x-2）2+0.45＝0，
解得：x1＝5，x2＝-1（舍去），
∴B（5，0），
∴OB＝5，
∴喷灌器OA与围墙的距离为5m；
任务3：如图3，
由题意得：CD＝0.4m，BC＝0.8m，
∴D（4.2，0.4），E（5，0.4），
设y＝- （x-2）2+k，
把D（4.2，0.4）代入得：0.4＝- （4.2-2）2+k，
解得：k＝0.642，
∴y＝- （x-2）2+0.642，
当x＝0时，y＝0.442，
∴OAmin＝0.442m，
设y＝- （x-2）2+k′，
把E（5，0.4）代入得，0.4＝- （5-2）2+k′，
解得：k′＝0.85，
∴y＝- （x-2）2+0.85，
当x＝0时，y＝- （0-2）2+0.85＝0.65，
∴OAmax＝0.65m，
∴0.442m≤OA≤0.65m，
∴喷水口距离地面高度的最小值为0.442m．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）如图2，以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的函数表达式；
（2）令y＝0，即得- （x-2）2+0.45＝0，解之可求得点B坐标，求得OB的长方程的解，即可得到喷灌器OA与围墙的距离；
（3）由题意可得D（4.2，0.4），E（5，0.4），分别代入y＝-（x-2）2+k，求得k的最小值和最大值，再令x＝0，分别求得OA的最小值和最大值，即可解决问题.
四、综合题
17．（2023·巴中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值．
（3）若点为抛物线的对称轴上一动点，将抛物线向左平移个单位长度后，为平移后抛物线上一动点在的条件下求得的点，是否能与、、构成平行四边形？若能构成，求出点坐标；若不能构成，请说明理由．
【答案】（1）解：抛物线的顶点横坐标为，
抛物线的对称轴为直线．
点的坐标为，
抛物线与轴的另一交点坐标为．
将，，代入得：，
解得：，
抛物线的表达式为
（2）解：直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
，且，
当时，有最大值，最大值为
（3）解：，
抛物线向左平移个单位长度后的表达式为．
当时，，
点的坐标为
假设存在以，，，为顶点的平行四边形，设点的坐标为，点的坐标为．
当为对角线时，对角线，互相平分，
，
解得：，
点的坐标为；
当为对角线时，对角线，互相平分，
，
解得：，
点的坐标为；
当为对角线时，对角线，互相平分，
，
解得：，
点的坐标为
综上所述，存在以，，，为顶点的平行四边形，点的坐标为或或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先根据对称轴为1，求得抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），根据待定系数法求出抛物线的表达式即可；
（2）用含有m的代数式表示出AN+MN，整理得出关于m的二次函数关系式，根据函数图象的顶点坐标，求得函数AN+MN的最大值，并求出此时m的之即可；
（3）在（2）的条件下求得点，根据平行四边形的行知，分类求得符合条件的点Q的坐标即可。
18．（2023·长沙）我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的二次函数与互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；
（2）对于任意非零实数r，s，点与点始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“美美与共”函数．
①求函数的图像的对称轴；
②函数的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“美美与共”函数的图像顶点分别为点A，点B，函数的图像与x轴交于不同两点C，D，函数的图像与x轴交于不同两点E，F．当时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．
【答案】（1）解：由题意可知：，
∴．
答：k的值为，m的值为3，n的值为2．
（2）解：①∵点与点始终在关于x的函数的图像上运动，
∴对称轴为，
∴，
∴，
∴对称轴为．
答：函数的图像的对称轴为．
②，令，解得，
∴过定点，．
答：函数y2的图像过定点，．
（3）解：由题意可知，，
∴，
∴， ，
∵且，
∴；
①若，则，
要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，
则为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②若，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，
综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；正方形的性质；偶次幂的非负性；算数平方根的非负性；绝对值的非负性；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据非负性即可得到，进而结合题意即可求解；
（2）①先根据点与点始终在关于x的函数的图像上运动结合题意即可得到对称轴为，进而结合题意进行化简即可求解；
②先根据题意得到，进而令即可求解；
（3）先根据题意得到，进而得到， ，再二次函数与坐标轴的交点即可得到；然后分类讨论：①若，则，要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，则为等腰直角三角形，在根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质结合题意即可得到；②若，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，最后总结即可求解。
19．（2023·东营）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
【答案】（1）解：设抛物线的函数表达式为．
∵当时，，
∴点C的坐标为．
将点C坐标代入表达式，得，
解得．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：由抛物线的对称性得：，
∴．
当时，．
∴矩形的周长为
．
∵，
∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为．
（3）解：连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接．
∵直线平分矩形的面积，
∴直线过点P．．
由平移的性质可知，四边形是平行四边形，
∴．
∵四边形是矩形，
∴P是的中点．
∴．
当时，点A的坐标为，
∴．
∴抛物线平移的距离是4．
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的性质；矩形的性质；平移的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据题意设抛物线的函数表达式为，再求出点C的坐标，将点C的坐标代入即可解出a，进而即可求解；
（2）根据二次函数的对称性即可得到，进而得到，当时，，进而根据矩形周长公式即可得到矩形的周长为，再根据二次函数的最值即可求解；
（3）连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，根据平移的性质即可得到四边形是平行四边形，进而根据平行四边形的性质得到，再根据矩形的性质即可得到P是的中点，进而得到，再求出点A的坐标，进而得到CH的长即可求解。
20．（2023·威海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，顶点坐标为．抛物线交轴于点，顶点坐标为．
（1）连接，求线段的长；
（2）点在抛物线上，点在抛物线上．比较大小： ；
（3）若点在抛物线上，，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可得：，，
∴；
（2）
（3）解：∵，
∴点P离对称轴更近，
∴，
∴，
∴；
∴或
∴或．
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】
（2）解：由题意得：设抛物线 ： ，抛物线 ： ，
由（1）得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
把 代入抛物线 得： ，
把 代入抛物线 得： ，
∵ ，
∴ ；
【分析】（1）直接根据题意即可求解；
（2）设抛物线 ： ，抛物线 ： ，由（1）得： ， ，进而得到 ，再把 代入抛物线 ， 代入抛物线 结合题意进行比较即可求解；
（3）先根据题意结合二次函数的性质即可得到点P离对称轴更近，进而得到，从而得到；再分类讨论列出不等式组，进而即可求解。
1 / 12023年九年级上册数学人教版单元分层测试 第二十二章 二次函数 B卷
一、选择题
1．（2023八下·金东期末）将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·大连）已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．2
3．（2023·日照）在平面直角坐标系中，抛物线，满足，已知点，，在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·贵州）已知，二次数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2023·河南）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2023·广东）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·巴中）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，设，，则下列结论正确的个数为（ ）
．．当线段长取最小值时，则的面积为．若点，则．
A． B． C． D．
8．（2023·新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
9．（2023·牡丹江）将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
10．（2023·泰州）二次函数的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是 （填一个值即可）
11．（2023·巴中）规定：如果两个函数的图象关于轴对称，那么称这两个函数互为“函数”例如：函数与互为“函数”若函数的图象与轴只有一个交点，则它的“函数”图象与轴的交点坐标为 ．
12．（2023·徐汇模拟）如图，抛物线：与抛物线：组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果，那么抛物线的表达式是 ．
13．（2023·绍兴）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形.若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 .
三、解答题
14．（2021·河西模拟）如图所示，在抛物线上选定两点，我们把过这两点的线段和这条抛物线所围成的图形称作抛物线弓形．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与直线 相交于点O和点A， 截得的抛物线弓形的曲线上有一点P．
（Ⅰ）当 时，解答下列问题：
①求A点的坐标；
②连接 ， ，求 面积的最大值；
③当 的面积最大时，直线 也截得一个更小的抛物线弓形，同理在这个更小的抛物线弓形曲线上也有一点 ，连接 ， ，当 的面积最大时，求这个 的最大面积与②中 的最大面积的比值；
（Ⅱ）将（Ⅰ）中 的条件去掉后，其它条件不变，则 的最大面积与 的最大面积的比值是否变化？请说明理由．
15．（2020·滨海模拟）如图，抛物线 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．点A坐标的为 ，点C的坐标为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为线段 上一点（点M不与点A、B重合），过点M作i轴的垂线，与直线 交于点E，与抛物线交于点P，过点P作 交抛物线于点Q，过点Q作 轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形 的周长最大时，求 的面积；
（3）在（2）的条件下，当矩形 的周长最大时，连接 ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线 交于点G（点G在点F的上方）．若 ，求点F的坐标．
16．（2022九上·温州月考）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷灌器喷水口的升降方案
素材1 随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．图1中某庭院内有一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱成抛物线形．图2是该喷灌器OA喷水时的截面示意图，喷水口A点离地高度为0.25m，喷出的水柱在离喷水口水平距离为2m处达到最高，高度为0.45m，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界B点处．
素材2 为了美化庭院，准备在庭院内沿围墙建花坛种植绣球花，花坛高0.4m，宽0.8m，侧面用大理石包围，长方形BCDE是花坛截面，如图3．调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同，水柱落在花坛的上方DE边上（大理石厚度不计），达到给花坛喷灌的效果．
问题解决
任务1 确定水柱的形状 在图2中，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的表达式．
任务2 确定喷灌器的位置 求出喷灌器OA与围墙的距．
任务3 拟定喷头升降方案 调整喷水口的高度，使水柱可以喷灌花坛，求喷水口距离地面高度的最小值．
四、综合题
17．（2023·巴中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值．
（3）若点为抛物线的对称轴上一动点，将抛物线向左平移个单位长度后，为平移后抛物线上一动点在的条件下求得的点，是否能与、、构成平行四边形？若能构成，求出点坐标；若不能构成，请说明理由．
18．（2023·长沙）我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的二次函数与互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；
（2）对于任意非零实数r，s，点与点始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“美美与共”函数．
①求函数的图像的对称轴；
②函数的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“美美与共”函数的图像顶点分别为点A，点B，函数的图像与x轴交于不同两点C，D，函数的图像与x轴交于不同两点E，F．当时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．
19．（2023·东营）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
20．（2023·威海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，顶点坐标为．抛物线交轴于点，顶点坐标为．
（1）连接，求线段的长；
（2）点在抛物线上，点在抛物线上．比较大小： ；
（3）若点在抛物线上，，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=x2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为y=(x+3)2+2-4=(x+3)2-2.
故答案为：A.
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规则进行解答.
2．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵y=x2-2x-1=(x-1)2-2，
∴抛物线开口向上，当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大.
当x=0时，y=-1；当x=3时，y=2，
∴函数的最大值为2.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的性质可得：当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大，然后求出x=0、3对应的y的值，再进行比较即可.
3．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：解不等式组得-3a＜b＜-a，a＞0，
∴对称轴，
∴离对称轴最近，离对称轴最远，
∴，
故答案为：D
【分析】先解不等式组即可得到对称轴的取值范围，再根据二次函数的图象与性质结合离对称轴最近，离对称轴最远即可求解。
4．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意得a＞0，，
∴b＜0，
∴点位于第四象限，
故答案为：D
【分析】根据二次函数的图象和性质即可判断a和b的大小，进而根据象限内点坐标的特征即可求解。
5．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数图象的开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a<0，->0，
∴b>0，
∴一次函数y=x+b的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数图象的开口向下，对称轴在y轴右侧可得a<0，->0，据此可得b的符号，然后根据一次函数的图象与系数的关系进行解答.
6．【答案】B
【知识点】正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接AC，交y轴于点D，
∵正方形ABCO，
∴AC⊥BO，AD=OD=OB，
当x=0时y=c，
∴点B（0，c），
∴AD=OD=c，
∴点A，
∴，
∵c≠0，
解之：ac=-2.
故答案为：B
【分析】连接AC，交y轴于点D，利用正方形的性质可知AC⊥BO，AD=OD=OB，利用函数解析式求出点B的坐标，可得到点A的坐标，再将点A的坐标代入函数解析式，可求出ac的值.
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵直线y=kx+1与抛物线交于A（x1，y1）、B（x2，y2），∴x1，x2是方程的两个根，方程可整理为：x2-4kx-4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=-4；y1，y2是方程的两个根，方程可整理为：y2-（4k2+2）x+1=0，∴y1+y2=4k2+2，y1y2=1；∴①正确；②正确；③，∴AB=4（k2+1），∴当k=0时，AB的最小值为4，此时，△AOB的面积为：，∴③正确；④点N（0，-1），∴，∴，∴kANKBN=-k2-1，∴当k=0时，AN⊥BN，当k≠0时，AN不垂直BN，所以④不正确，所以结论正确的个数有3个。
故答案为：C.
【分析】根据函数图象交点坐标与方程之间的关系，可以得出关于x、关于y的方程，利用根与系数之间的关系得出x1与x2，y1与y2之间的关系，从而使问题得到解决。
8．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】①根据图象可知：当时，直线在抛物线的上方，∴，故①正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根，∴是方程的一个解，故②正确；
③将点（-2，5）、（3，0）分别代入可得：，解得，∴抛物线的解析式为，当x=-1时，，当x=4时，，∴，故③正确；
④由③可知：（-2，5）与点（4，5）关于对称轴对称，∴对称轴为直线，将x=1代入抛物线可得，∴当-2综上所述，正确的有①②③，
故答案为：B.
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
9．【答案】2或4
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=(x+3)2向下平移1个单位长度，再向右平移m个单位长度后，得到的新抛物线
为y=(x+3-m)2-1.
将（0，0）代入可得(3-m)2=1，
解得m=2或4，
∴应向右平移2或4个单位长度.
故答案为：2或4.
【分析】将抛物线y=(x+3)2向下平移1个单位长度，再向右平移m个单位长度后，得到的新抛物线
为y=(x+3-m)2-1，然后将（0，0）代入求出m的值即可.
10．【答案】（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：设二次函数与x轴交点的横坐标分别为、，
当时，方程 的两个根为、，
，，
函数图象与x轴有一个交点在y轴右侧，
∴x1与x2异号，
，
∴n=-3.
故答案为：-3.
【分析】通过方程的思想解决函数问题是本题的解题关键，利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，进而判定函数与x轴交点横坐标的正负性，即可求得n的取值范围，从而得出答案.
11．【答案】（3，0）或（4，0）
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：因为函数的图象与x轴只有一个交点，所以可以分成两种情况讨论：①当k=0时，为一次函数，它的解析式为：y=-x-3，∴它的"Y函数"为：y=x-3，令y=0，则：x-3=0，∴x=3，此时它的"Y函数"图象与x轴的交点坐标为：（3，0）；②当k≠0时，是二次函数，因为图象与x轴只有一个交点，所以方程有两个相等的实数根，，∴k=-1，所以此时二次函数解析式为：，它的顶点坐标为：（-4，0），所以它的"Y函数"图象的顶点坐标为（4，0），即与x轴的交点坐标为（4，0）。综上所述，"Y函数"图象与x轴的交点坐标为（3，0）或（4，0）。
故答案为：（3，0）或（4，0）.
【分析】分成两种情况①当k=0时，为一次函数，根据新定义得出"Y函数"图象与x轴的交点坐标即可；
②当k≠0时，，根据图象与x轴只有一个交点，得出方程有两个相等实数根，根据根的判别式等于0求出此时函数解析式，得出它的顶点坐标，且顶点在x轴上，根据定义求得"Y函数"图象与x轴的交点坐标即可。
12．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理
【解析】【解答】解：由题可得：令y=0，则x2+2x -3=0，
解得x1= 1，x2=-3，
∴A(-3，0)，B(1，0)，
∵当x=0时，y =x2+2x-3 =-3，
∴C (0，-3)，
∵当x =0时，y =ax2+bx+c=c，
∴D (0，c)，
∴CD=c+3，
∴BD =，
∵BD = CD，
∴，
解得：，
∴抛物线C2： ，
将A(-3，0)，B(1，0)代入得：，
解得：，
∴抛物线的表达式是，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出(-3，0)，B(1，0)，再利用勾股定理和待定系数法求解即可。
13．【答案】或
【知识点】矩形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由题意易得点A（3，0），
将x=0代入y=（x-2）2得y=4，
∴点C（0，4），
∵四边形OABC是矩形，
∴点B（3，4），
函数y=x2+bx+c(0≤x≤3）的对称轴直线为，
分类讨论：①如图所示，当对称轴在y轴的左侧，且图象经过点O（0，0）及B（3，4），
由图象可得，解得b=；
②如图所示，当对称轴在AB右侧，且图象经过点A（3，0）及C（0，3），
由图象可得，解得b=；
③如图所示，当对称轴直线在y轴右侧，且在AB左侧时，
由图象可得，
解得此种情况不符合题意，舍去；
综上b的值为或.
故答案为：或.
【分析】由题意易得点A（3，0），将x=0代入代入y=（x-2）2得y=4，故点C（0，4）根据矩形的性质得点B（3，4），利用对称轴直线公式可得函数y=x2+bx+c(0≤x≤3）的对称轴直线为x=-2b，然后分类讨论：①如图所示，当对称轴在y轴的左侧，且图象经过点O（0，0）及B（3，4），②如图所示，当对称轴在AB右侧，且图象经过点A（3，0）及C（0，3），③如图所示，当对称轴直线在y轴右侧，且在AB左侧时，分别画出示意图，由图象得出混合组，求解即可得出答案.
14．【答案】解：（Ⅰ）①当 时，抛物线解析式为 ，
解方程组 ，解得 ，
∴ ；
②设过点P与 平行的直线为 ，
由 得 ，由 ，可得 ，
∴ ，
∴ ，
此时 面积最大值为 ．
③由②直线 的解析式 ，
设与 平行的直线为 ，
由 得 ，由 ，可得 ，
∴ 面积最大值为 ，
∴ 的面积与 的面积的比 ．
（Ⅱ）不变．
理由： 与直线 交点为 和 ，
设过点P与 平行的直线为 ，
由 得 ，由 ，可得 ，
∴ ，
∴ ，此时 面积最大值为 ．
由 ，
设与 平行的直线为 ，
由 得 ，由 ，可得 ，
∴ 面积最大值为 ，
∴ 的面积与 的面积的比 ．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（Ⅰ）①先求出
，再计算求解即可；
②先求出
， 再求出
， 最后求三角形的面积即可；
③先求出
， 再求出
面积最大值为 ， 最后求解即可；
（Ⅱ）利用一元二次方程根的判别式和三角形的面积公式进行求解即可。
15．【答案】（1）解:依题意
解得
所以
（2）
抛物线的对称轴是直线
， ，其中
∵P、Q关于直线 对称
设Q的横坐标为a
则
∴
∴
∴ ，
∴周长
当 时，d取最大值，此时，
∴
设直线 的解析式为
则 ，解得
∴设直线 的解析式为
将 代入 ，得
∴ ，
∴
∴
（3）由（2）知，当矩形 的周长最大时， 此时点 ，与点C重合，
∴
∵
∴
过D作 轴于K，
则 ，
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴
设 ，则
∴ ，解得 ，
当 时，
当 时， ．
∴ 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点A、C的坐标代入解析式求解即可；
（2）设
， ， 利用轴对称性得到
，可求出
， ，则利用x表示矩形PMNQ的周长，由二次函数的性质可求出当矩形PMNQ的周长最大时，点P的坐标，即可求出点E、M的坐标，由三角形面积公式求解即可；
（3）先求出点D的坐标，即可求出DQ=
，可得FG=4， 设 ，则 ，由两点之间的距离公式计算即可。
16．【答案】解：任务1：如图2，以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设抛物线解析式为y＝a（x-2）2+0.45，
把A（0，0.25）代入得：0.25＝a（0﹣2）2+0.45，
解得：a＝- ，
∴抛物线的表达式为y＝- （x-2）2+0.45；
任务2：令y＝0，得- （x-2）2+0.45＝0，
解得：x1＝5，x2＝-1（舍去），
∴B（5，0），
∴OB＝5，
∴喷灌器OA与围墙的距离为5m；
任务3：如图3，
由题意得：CD＝0.4m，BC＝0.8m，
∴D（4.2，0.4），E（5，0.4），
设y＝- （x-2）2+k，
把D（4.2，0.4）代入得：0.4＝- （4.2-2）2+k，
解得：k＝0.642，
∴y＝- （x-2）2+0.642，
当x＝0时，y＝0.442，
∴OAmin＝0.442m，
设y＝- （x-2）2+k′，
把E（5，0.4）代入得，0.4＝- （5-2）2+k′，
解得：k′＝0.85，
∴y＝- （x-2）2+0.85，
当x＝0时，y＝- （0-2）2+0.85＝0.65，
∴OAmax＝0.65m，
∴0.442m≤OA≤0.65m，
∴喷水口距离地面高度的最小值为0.442m．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）如图2，以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的函数表达式；
（2）令y＝0，即得- （x-2）2+0.45＝0，解之可求得点B坐标，求得OB的长方程的解，即可得到喷灌器OA与围墙的距离；
（3）由题意可得D（4.2，0.4），E（5，0.4），分别代入y＝-（x-2）2+k，求得k的最小值和最大值，再令x＝0，分别求得OA的最小值和最大值，即可解决问题.
17．【答案】（1）解：抛物线的顶点横坐标为，
抛物线的对称轴为直线．
点的坐标为，
抛物线与轴的另一交点坐标为．
将，，代入得：，
解得：，
抛物线的表达式为
（2）解：直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
，且，
当时，有最大值，最大值为
（3）解：，
抛物线向左平移个单位长度后的表达式为．
当时，，
点的坐标为
假设存在以，，，为顶点的平行四边形，设点的坐标为，点的坐标为．
当为对角线时，对角线，互相平分，
，
解得：，
点的坐标为；
当为对角线时，对角线，互相平分，
，
解得：，
点的坐标为；
当为对角线时，对角线，互相平分，
，
解得：，
点的坐标为
综上所述，存在以，，，为顶点的平行四边形，点的坐标为或或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先根据对称轴为1，求得抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），根据待定系数法求出抛物线的表达式即可；
（2）用含有m的代数式表示出AN+MN，整理得出关于m的二次函数关系式，根据函数图象的顶点坐标，求得函数AN+MN的最大值，并求出此时m的之即可；
（3）在（2）的条件下求得点，根据平行四边形的行知，分类求得符合条件的点Q的坐标即可。
18．【答案】（1）解：由题意可知：，
∴．
答：k的值为，m的值为3，n的值为2．
（2）解：①∵点与点始终在关于x的函数的图像上运动，
∴对称轴为，
∴，
∴，
∴对称轴为．
答：函数的图像的对称轴为．
②，令，解得，
∴过定点，．
答：函数y2的图像过定点，．
（3）解：由题意可知，，
∴，
∴， ，
∵且，
∴；
①若，则，
要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，
则为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②若，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，
综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；正方形的性质；偶次幂的非负性；算数平方根的非负性；绝对值的非负性；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据非负性即可得到，进而结合题意即可求解；
（2）①先根据点与点始终在关于x的函数的图像上运动结合题意即可得到对称轴为，进而结合题意进行化简即可求解；
②先根据题意得到，进而令即可求解；
（3）先根据题意得到，进而得到， ，再二次函数与坐标轴的交点即可得到；然后分类讨论：①若，则，要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，则为等腰直角三角形，在根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质结合题意即可得到；②若，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，最后总结即可求解。
19．【答案】（1）解：设抛物线的函数表达式为．
∵当时，，
∴点C的坐标为．
将点C坐标代入表达式，得，
解得．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：由抛物线的对称性得：，
∴．
当时，．
∴矩形的周长为
．
∵，
∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为．
（3）解：连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接．
∵直线平分矩形的面积，
∴直线过点P．．
由平移的性质可知，四边形是平行四边形，
∴．
∵四边形是矩形，
∴P是的中点．
∴．
当时，点A的坐标为，
∴．
∴抛物线平移的距离是4．
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的性质；矩形的性质；平移的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据题意设抛物线的函数表达式为，再求出点C的坐标，将点C的坐标代入即可解出a，进而即可求解；
（2）根据二次函数的对称性即可得到，进而得到，当时，，进而根据矩形周长公式即可得到矩形的周长为，再根据二次函数的最值即可求解；
（3）连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，根据平移的性质即可得到四边形是平行四边形，进而根据平行四边形的性质得到，再根据矩形的性质即可得到P是的中点，进而得到，再求出点A的坐标，进而得到CH的长即可求解。
20．【答案】（1）解：由题意可得：，，
∴；
（2）
（3）解：∵，
∴点P离对称轴更近，
∴，
∴，
∴；
∴或
∴或．
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】
（2）解：由题意得：设抛物线 ： ，抛物线 ： ，
由（1）得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
把 代入抛物线 得： ，
把 代入抛物线 得： ，
∵ ，
∴ ；
【分析】（1）直接根据题意即可求解；
（2）设抛物线 ： ，抛物线 ： ，由（1）得： ， ，进而得到 ，再把 代入抛物线 ， 代入抛物线 结合题意进行比较即可求解；
（3）先根据题意结合二次函数的性质即可得到点P离对称轴更近，进而得到，从而得到；再分类讨论列出不等式组，进而即可求解。
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