第1章勾股定理 自主提升练习题 2023—2024学年北师大版数学八年级上册（含答案）

2023-2024学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》
单元自主提升训练题（附答案）
一、单选题
1．在中，的对应边分别是，则下列式子成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各组数中，是勾股数的一组是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
3．直角三角形两直角边分别为和，则其斜边的高为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，点D是上的一点，且，则的值为（ ）
A．4 B．9 C．16 D．25
5．如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C的面积依次为4，8，6，则正方形D的面积为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
6．如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，使点落在对角线上的点处，则的长为（　　）
A． B． C． D．
7．小明同学经常要测量学校旗杆的高度，他发现旗杆的绳子刚好垂到地面上，当他把绳子下端拉开5m后，发现这时绳子的下端正好距地面1m，学校旗杆的高度是（ ）
A．13m B．21m C．10m D．17m
8．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是，高是，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，中，，若是的高线，则 ．
10．如图，在中，，将按如图方式折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为 ．
11．如图所示，一棵高的树被风刮断了，树顶落在离树根处，则折断处的高度为 ．
12．如图，四边形是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且．若a与b之间的距离是2，b与c之间的距离是7，则正方形的面积是 ．
13．一轮船以海里时的速度从港向东北方向航行，另一艘船同时以海里时的速度从港向西北方向航行，经过小时后，它们相距 海里．
14．如图，小方格都是边长为1的正方形，则中边上的高是 ．
15．如图，露在水面的鱼线长为3m，钓鱼者把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为4m，若的长为1m，则钓鱼竿的长为 m．
16．如图：长方形的边沿折叠， 使点落在上的点处， 已知，的面积是， 则的值为
三、解答题
17．绿都农场有一块菜地如图所示，现测得AB＝12m，BC＝13m，CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，求这块菜地的面积．
18．已知：如图，在中，于点D，E为AC上一点，且，．
(1)求证：；
(2)已知，，求AF的长．
19．《九章算术》是我国古代的一部数学专注，是“算经十书”中最重要的一种，它收录了246个与生产、生活实践有关的实际问题，是我国古代劳动人民智慧的结晶．在的第九章“勾股”中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．（葭即芦苇，一丈等于十尺）．这道题的意思是：有一个水池子，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向水池的一边，它的顶端刚好到达池边的水面，水深和芦苇的长度分别是多少尺？
20．如图，梯子斜靠在竖直的墙上，为，为．
(1)求梯子的长；
(2)梯子的顶端A沿墙下滑到点C，梯子底端B外移到点D，求的长．
21．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
(1)如图，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到__________，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】
(2)如图，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；
【深入探究】
(3)如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有__________（填“＞、、＜”）
(4)如图，点、、、、都在同一条直线上，四边形、、都是正方形，若该图形总面积是16，正方形的面积是4，则的面积是__________．
参考答案
1．解：∵在中，的对应边分别是，
∴为斜边，为直角边，
∴，
故选：A．
2．解：A．选项所以A选项不是勾股数，
B．选项所以B选项是勾股数
C．选项但是3个数都不是整数，所以C选项不是勾股数，
D．选项所以D选项不是勾股数，
故选B．
3．解：∵直角三角形的两条直角边分别为，，，
∴斜边为，
设斜边上的高为，则
，解得．
故选：D．
4．解：在中，①，
在中，②，
①②得：
故选：C．
5．解：由题意：，，
∵正方形A、B、C的面积依次为4、8、6，
∴，
∴，故D正确．
故选：D．
6．解：，，
，
，
根据折叠可得：，
，
设，则，，
在中：，
解得：，
故选：．
7．解：如图，已知，，，米，米，
设米．
在中，
∵，
∴，
∴，
∴米，
故选：A．
8．解：如图，当直吸管下端恰好位于罐底的圆周上时，
∵，，
∴由勾股定理得：，
∴；
当直吸管下端恰好位于罐底的中心时，则罐体内直吸管长为罐体的高，即为，
∴，
综上所述，直吸管露在罐外部分的长度范围为．
故选：A
9．解：∵中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
10．解：由折叠的性质可得，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
11．解：由题意得：，，，
，
设 ，则，
∴，
解得：，
米，
折断处的高度为．
故答案为：5．
12．解：如图：过A作直线b于M，过D作直线c于N，
则，
∵，直线c，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵a与b之间的距离是2，b与c之间的距离是7，
∴，
在中，由勾股定理得：，
即正方形的面积为53，
故答案为：53．
13．解：如图，由题意可知
，
在中
故它们相距30海里．
故答案为：30
14．解：设上的高为，
而，
∴，
∵，
∴，
解得：
故答案为：
15．解：设，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：5．
16．解：∵四边形是长方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由折叠的性质：，
∴，
∴．
故答案为：．
17．解： 如图，连接AC，
∵CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，
∴AC＝
＝
＝5m．
∴SRt△ADC＝＝6m2．
在△CAB中，AC＝5m，AB＝12m，BC＝13m，
∴，
∴△CAB为直角三角形，且∠CAB＝90°，
∴SRt△CAB＝＝30m2，
∴菜地的面积＝S△CAB－S△ADC＝24 m2．
18．（1）证明：∵于点，
∴，
在与中，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
在中，，
∴，
∴．
19．解：∵水面边长为10尺，芦苇在正中央，
∴BD=5，
由题意可得：AB=1，设BC=x，则AC=CD=x+1，
在△BCD中，，
即，
解得：x=12，
∴AC=x+1=13，
即水深为12尺，芦苇13尺．
20．（1）解：在中，
由勾股定理得：
．
（2）解：由题意得：，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴．
21．（1）解：∵，
∴；
（2）证明：分别过点和点作于点，于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，，，
∴ ，
∴，
同理可证，
∴．
∵，，
∴，
在和中，
，，，
∴ ，
∴，
即点是的中点；
（3）解：如图所示，过点D作交AF于O，过点E作交OD延长线于N，过点C作交OD延长线于M．
∵四边形与四边形都是正方形，
∴，，，
∵，，
∴，，，
又∵，
∴，
在和中，
，，，
∴ ，
∴，．
同理可以证明，
∴，，
∴．
又∵，，，
∴ ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即；
（4）解：同（3）中的方法可以证明，且， ．
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵图形总面积是16，正方形KCMG的面积是4，
∴，
∴，
∴．