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2023-2024学年初中数学七年级上册 9.19 多项式除以单项式 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023七下·东阳期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022八上·路南期中）长方形的面积是3a2－3ab＋6a，一边长为3a，则它的另一条边长为（ ）
A．2a－b＋2 B．a－b＋2 C．3a－b＋2 D．4a－b＋2
3．（2022·台湾）计算多项式除以后，得到的余式为何？（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．（2023七下·江州期末）下列计算正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
5．（2023七下·晋中期末）小马虎在下面的计算中只做对了一道题，你认为他做对的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023七下·武功期中）已知-4a与一个多项式的积是 ，则这个多项式是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023七下·余江期中）某同学在计算加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出原题正确的计算结果是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023七下·定远期中）若，则括号内应填的代数式是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023七下·杭州期中）计算： ．
10．（2023八上·汉阴期末）长方形的面积是3x2y2－3xy＋6y，宽为3y，则长方形的长是 .
11．（2023七下·光明期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：，则所指的多项式为 ．
12．（2023七下·青岛期中）一个长方形花坛的面积为，若它的一边长为，则它的另一边长为 ．
13．（2023七下·即墨期中）长方形的面积为，长为，则它的周长为 ．
三、计算题
14．（2023七下·云岩期中）计算：
（1）
（2）
四、解答题
15．小明在做一个多项式除以a的题时，由于粗心误认为乘a，结果是8a4b-4a3+2a2，那么你能知道正确的结果是多少吗？
五、综合题
16．（2023七下·武功期中）学习了《整式的乘除》这一章之后，小明联想到小学除法运算时，会碰到余数的问题，那么类比多项式除法也会出现余式的问题．例如，如果一个多项式（设该多项式为A）除以 的商为 ，余式为 ，那么这个多项式是多少？他通过类比小学除法的运算法则：被除数＝除数×商＋余数，推理出多项式除法法则：被除式＝除式×商＋余式．
请根据以上材料，解决下列问题：
（1）请你帮小明求出多项式A；
（2）小明继续探索，如果一个多项式除以3x的商为 ，余式为 ，请你根据以上法则求出该多项式．
17．（2022七下·南浔期末）小伟同学的错题本上有一题练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了（污染处用字母Ｍ和Ｎ表示），污染后的习题如下：
（1）请你帮小伟复原被污染的Ｍ和Ｎ处的代数式，并写出练习题的正确答案；
（2）爱动脑的小芳同学把练习题的正确答案与代数式ｘ2ｙ＋ｘｙ＋ｙ相加，请帮小芳求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解？若能，请分解因式；若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解： .
故答案为：A.
【分析】根据因数等于积除以另一个因式列出式子，进而根据多项式除以单项式的法则计算即可.
2．【答案】B
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】∵长方形面积是3a2-3ab+6a，一边长为3a，
∴它的另一边长是：（3a2-3ab+6a）÷3a=a-b+2，
故答案为：B.
【分析】利用长方形的面积公式可得（3a2-3ab+6a）÷3a，再利用多项式除以单项式的计算方法求解即可。
3．【答案】D
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：，
余式为，
故答案为：D.
【分析】利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得解.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；多项式除以单项式；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、(x-3)2=x2-6x+9，故错误；
B、(-2a2)3=-8a6，故错误；
C、a3÷a=a2，故错误；
D、(a2+ab)÷a=a+b，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式可判断A；幂的乘方：底数不变，指数相乘；积的乘方：先对每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断B；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断C；根据多项式与单项式的除法法则即可判断D.
5．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；多项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、，此项错误，故不符合题意；
B、 ， 此项错误，故不符合题意；
C、， 此项错误，故不符合题意；
D、 ，此项正确，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、多项式除以单项式、完全平方公式及积的乘方分别计算，再判断即可.
6．【答案】D
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵-4a与一个多项式的积是，
∴这个多项式为：
故答案为：D.
【分析】-4a与一个多项式的积为，则直接利用整式的除法运算法则得出答案.
7．【答案】A
【知识点】整式的加减运算；多项式除以单项式
【解析】【解答】这个多项式为：（）÷（）=-x2+x-1，
∴原题的结果为：-x2+x-1+（）=，
故答案为：A.
【分析】先利用多项式除以单项式的计算方法求出原多项式，再利用整式的加法计算即可。
8．【答案】B
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】÷xy＝x+3，
故答案为：B
【分析】直接用多项式除以单项式xy即可得到答案
9．【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：原式=2a2-3.
故答案为：2a2-3.
【分析】利用多项式除以单项式的法则，用多项式的每一项分别去除以单项式计算即可.
10．【答案】x2y－x＋2
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：根据题意列得：（3x2y2-3xy+6y）÷3y=x2y-x+2.
故答案为：x2y-x+2.
【分析】由于长方形的面积等于长乘宽，故用面积除以宽即可得出长，从而利用多项式除以单项式的法则即可算出答案.
11．【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：所指的多项式为=(4x2-6xy+2x)÷2x=2x-3y+1.
故答案为：2x-3y+1.
【分析】由题意可得：所指的多项式为=(4x2-6xy+2x)÷2x，然后根据多项式与单项式的除法法则进行计算.
12．【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵一个长方形花坛的面积为，它的一边长为，
∴它的另一边长为，
故答案为：
【分析】根据题意运用代数式相除即可求解。
13．【答案】8a﹣6b+2
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：由题意得长方形的宽为，
∴它的周长为，
故答案为：8a﹣6b+2
【分析】先根据长方形的面积公式即可求出长方形的宽，进而即可求出周长。
14．【答案】（1）解：
；
（2）解：
【知识点】多项式乘多项式；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）利用多项式乘多项式法则计算求解即可；
（2）利用多项式除单项式法则计算求解即可。
15．【答案】解：原多项式为（8a4b-4a3+2a2）÷（a）=16a3b-8a2+4a，正确结果为（16a3b-8a2+4a）÷（a）=32a2b-16a+8.
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【分析】先根据错误的结果除以 a 求出原来的多项式，所得的结果除以 a ，即可得出结果.
16．【答案】（1）解：由题意得， ；
（2）解：由题意可得该多项式为：
．
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）由题意已知除式，商和余式，根据多项式除法法则“被除式=除式×商＋余式”列式计算即可；
（2）题二解答方法与题一相同即：根据多项式除法法则“被除式=除式×商＋余式”列式计算即可.
17．【答案】（1）解：，
，
∴正确答案为.
（2）解：由（1）可知正确答案为，
∴两个代数式和==；
能因式分解，分解如下：
.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）根据多项式除以单项式运算法则，即多项式的每一项分别除以单项式，再把所得结果相加，得，，再把N的值代入结果，即可求解；
（2）由（1）得正确答案为，再把两代数式相加求和，整理为，再将结果提取公因式y，得，再利用完全平方公式彻底分解为，即可求解.
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2023-2024学年初中数学七年级上册 9.19 多项式除以单项式 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023七下·东阳期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解： .
故答案为：A.
【分析】根据因数等于积除以另一个因式列出式子，进而根据多项式除以单项式的法则计算即可.
2．（2022八上·路南期中）长方形的面积是3a2－3ab＋6a，一边长为3a，则它的另一条边长为（ ）
A．2a－b＋2 B．a－b＋2 C．3a－b＋2 D．4a－b＋2
【答案】B
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】∵长方形面积是3a2-3ab+6a，一边长为3a，
∴它的另一边长是：（3a2-3ab+6a）÷3a=a-b+2，
故答案为：B.
【分析】利用长方形的面积公式可得（3a2-3ab+6a）÷3a，再利用多项式除以单项式的计算方法求解即可。
3．（2022·台湾）计算多项式除以后，得到的余式为何？（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：，
余式为，
故答案为：D.
【分析】利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得解.
4．（2023七下·江州期末）下列计算正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；多项式除以单项式；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、(x-3)2=x2-6x+9，故错误；
B、(-2a2)3=-8a6，故错误；
C、a3÷a=a2，故错误；
D、(a2+ab)÷a=a+b，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式可判断A；幂的乘方：底数不变，指数相乘；积的乘方：先对每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断B；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断C；根据多项式与单项式的除法法则即可判断D.
5．（2023七下·晋中期末）小马虎在下面的计算中只做对了一道题，你认为他做对的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；多项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、，此项错误，故不符合题意；
B、 ， 此项错误，故不符合题意；
C、， 此项错误，故不符合题意；
D、 ，此项正确，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、多项式除以单项式、完全平方公式及积的乘方分别计算，再判断即可.
6．（2023七下·武功期中）已知-4a与一个多项式的积是 ，则这个多项式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵-4a与一个多项式的积是，
∴这个多项式为：
故答案为：D.
【分析】-4a与一个多项式的积为，则直接利用整式的除法运算法则得出答案.
7．（2023七下·余江期中）某同学在计算加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出原题正确的计算结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】整式的加减运算；多项式除以单项式
【解析】【解答】这个多项式为：（）÷（）=-x2+x-1，
∴原题的结果为：-x2+x-1+（）=，
故答案为：A.
【分析】先利用多项式除以单项式的计算方法求出原多项式，再利用整式的加法计算即可。
8．（2023七下·定远期中）若，则括号内应填的代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】÷xy＝x+3，
故答案为：B
【分析】直接用多项式除以单项式xy即可得到答案
二、填空题
9．（2023七下·杭州期中）计算： ．
【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：原式=2a2-3.
故答案为：2a2-3.
【分析】利用多项式除以单项式的法则，用多项式的每一项分别去除以单项式计算即可.
10．（2023八上·汉阴期末）长方形的面积是3x2y2－3xy＋6y，宽为3y，则长方形的长是 .
【答案】x2y－x＋2
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：根据题意列得：（3x2y2-3xy+6y）÷3y=x2y-x+2.
故答案为：x2y-x+2.
【分析】由于长方形的面积等于长乘宽，故用面积除以宽即可得出长，从而利用多项式除以单项式的法则即可算出答案.
11．（2023七下·光明期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：，则所指的多项式为 ．
【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：所指的多项式为=(4x2-6xy+2x)÷2x=2x-3y+1.
故答案为：2x-3y+1.
【分析】由题意可得：所指的多项式为=(4x2-6xy+2x)÷2x，然后根据多项式与单项式的除法法则进行计算.
12．（2023七下·青岛期中）一个长方形花坛的面积为，若它的一边长为，则它的另一边长为 ．
【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵一个长方形花坛的面积为，它的一边长为，
∴它的另一边长为，
故答案为：
【分析】根据题意运用代数式相除即可求解。
13．（2023七下·即墨期中）长方形的面积为，长为，则它的周长为 ．
【答案】8a﹣6b+2
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：由题意得长方形的宽为，
∴它的周长为，
故答案为：8a﹣6b+2
【分析】先根据长方形的面积公式即可求出长方形的宽，进而即可求出周长。
三、计算题
14．（2023七下·云岩期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
【知识点】多项式乘多项式；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）利用多项式乘多项式法则计算求解即可；
（2）利用多项式除单项式法则计算求解即可。
四、解答题
15．小明在做一个多项式除以a的题时，由于粗心误认为乘a，结果是8a4b-4a3+2a2，那么你能知道正确的结果是多少吗？
【答案】解：原多项式为（8a4b-4a3+2a2）÷（a）=16a3b-8a2+4a，正确结果为（16a3b-8a2+4a）÷（a）=32a2b-16a+8.
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【分析】先根据错误的结果除以 a 求出原来的多项式，所得的结果除以 a ，即可得出结果.
五、综合题
16．（2023七下·武功期中）学习了《整式的乘除》这一章之后，小明联想到小学除法运算时，会碰到余数的问题，那么类比多项式除法也会出现余式的问题．例如，如果一个多项式（设该多项式为A）除以 的商为 ，余式为 ，那么这个多项式是多少？他通过类比小学除法的运算法则：被除数＝除数×商＋余数，推理出多项式除法法则：被除式＝除式×商＋余式．
请根据以上材料，解决下列问题：
（1）请你帮小明求出多项式A；
（2）小明继续探索，如果一个多项式除以3x的商为 ，余式为 ，请你根据以上法则求出该多项式．
【答案】（1）解：由题意得， ；
（2）解：由题意可得该多项式为：
．
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）由题意已知除式，商和余式，根据多项式除法法则“被除式=除式×商＋余式”列式计算即可；
（2）题二解答方法与题一相同即：根据多项式除法法则“被除式=除式×商＋余式”列式计算即可.
17．（2022七下·南浔期末）小伟同学的错题本上有一题练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了（污染处用字母Ｍ和Ｎ表示），污染后的习题如下：
（1）请你帮小伟复原被污染的Ｍ和Ｎ处的代数式，并写出练习题的正确答案；
（2）爱动脑的小芳同学把练习题的正确答案与代数式ｘ2ｙ＋ｘｙ＋ｙ相加，请帮小芳求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解？若能，请分解因式；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：，
，
∴正确答案为.
（2）解：由（1）可知正确答案为，
∴两个代数式和==；
能因式分解，分解如下：
.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）根据多项式除以单项式运算法则，即多项式的每一项分别除以单项式，再把所得结果相加，得，，再把N的值代入结果，即可求解；
（2）由（1）得正确答案为，再把两代数式相加求和，整理为，再将结果提取公因式y，得，再利用完全平方公式彻底分解为，即可求解.
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