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2023-2024学年初中数学七年级上册 9.19 多项式除以单项式 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023七下·江州期末）下列计算正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
2．（2023七下·晋中期末）小马虎在下面的计算中只做对了一道题，你认为他做对的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023七下·武功期中）已知-4a与一个多项式的积是 ，则这个多项式是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023七下·余江期中）某同学在计算加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出原题正确的计算结果是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023七下·定远期中）若，则括号内应填的代数式是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023七下·瓯海期中）计算，那么M=（ ）．
A．-3x B． C． D．
7．（2023·交城模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023七下·西安月考）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2023七下·光明期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：，则所指的多项式为 ．
10．（2023七下·青岛期中）一个长方形花坛的面积为，若它的一边长为，则它的另一边长为 ．
11．（2023七下·即墨期中）长方形的面积为，长为，则它的周长为 ．
12．（2023七下·威海期中）若一个多项式与的乘积为，则这个多项式为 ．
三、计算题
13．（2023七下·云岩期中）计算：
（1）
（2）
四、解答题
14．小明在做一个多项式除以a的题时，由于粗心误认为乘a，结果是8a4b-4a3+2a2，那么你能知道正确的结果是多少吗？
15．已知x2﹣2x﹣7=0，求（x﹣2）2+（x+3）（x﹣3）的值．
五、综合题
16．（2020七下·鼓楼期中）
（类比学习）
小明同学类比除法240 16=15的竖式计算，想到对二次三项式x2+3x+2进行因式分解的方法：
即(x2+3x+2) (x+1)=x+2，所以x2+3x+2=(x+1)(x+2).
（1）（初步应用）
小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：x2+□x+6=(x+2)(x+☆)，（其中□、☆代表两个被污染的系数），他列出了下列竖式：
得出□= ，☆= .
（2）（深入研究）
小明用这种方法对多项式x2+2x2-x-2进行因式分解，进行到了：x3+2x2-x-2=(x+2)(*).（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式x3+2x2-x-2因式分解.
17．（2020七下·沙坪坝月考）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下：
①把被除式、除式按某个字母作降幂接列，井把所块的项用零补齐；
②用除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；
③用商式的一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项；
④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除.
例如：计算（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1），可用竖式除法如图：
所以6x4﹣7x3﹣x2﹣1除以2x+1，商式为3x3﹣5x2﹣2x﹣1，余式为0.
根据阅读材料，请回答下列问题：
（1）（x3﹣4x2+7x﹣5）÷（x﹣2）的商是 ，余式是 ；
（2）x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，求a，b的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；多项式除以单项式；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、(x-3)2=x2-6x+9，故错误；
B、(-2a2)3=-8a6，故错误；
C、a3÷a=a2，故错误；
D、(a2+ab)÷a=a+b，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式可判断A；幂的乘方：底数不变，指数相乘；积的乘方：先对每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断B；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断C；根据多项式与单项式的除法法则即可判断D.
2．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；多项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、，此项错误，故不符合题意；
B、 ， 此项错误，故不符合题意；
C、， 此项错误，故不符合题意；
D、 ，此项正确，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、多项式除以单项式、完全平方公式及积的乘方分别计算，再判断即可.
3．【答案】D
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵-4a与一个多项式的积是，
∴这个多项式为：
故答案为：D.
【分析】-4a与一个多项式的积为，则直接利用整式的除法运算法则得出答案.
4．【答案】A
【知识点】整式的加减运算；多项式除以单项式
【解析】【解答】这个多项式为：（）÷（）=-x2+x-1，
∴原题的结果为：-x2+x-1+（）=，
故答案为：A.
【分析】先利用多项式除以单项式的计算方法求出原多项式，再利用整式的加法计算即可。
5．【答案】B
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】÷xy＝x+3，
故答案为：B
【分析】直接用多项式除以单项式xy即可得到答案
6．【答案】C
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵-x5+3x3-M=（x4-x2+2x）×（-3x）=-x5+3x3-6x2，
∴M=6x2.
故答案为：C.
【分析】根据被除式等于商乘以除式将等式变形，进而根据多项式乘以单项式的法则化简，即可比较得出答案.
7．【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；多项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A. ，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，符合题意；
D. ，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用单项式乘单项式、合并同类项、积的乘方、幂的乘方及多项式除以单项式的计算方法逐项判断即可。
8．【答案】C
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；单项式除以单项式；多项式除以单项式
【解析】【解答】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据单项式与多项式的乘法法则可判断A；根据多项式与多项式的乘法法则可判断B；根据单项式与单项式的除法法则可判断C；根据多项式与单项式的除法法则可判断D.
9．【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：所指的多项式为=(4x2-6xy+2x)÷2x=2x-3y+1.
故答案为：2x-3y+1.
【分析】由题意可得：所指的多项式为=(4x2-6xy+2x)÷2x，然后根据多项式与单项式的除法法则进行计算.
10．【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵一个长方形花坛的面积为，它的一边长为，
∴它的另一边长为，
故答案为：
【分析】根据题意运用代数式相除即可求解。
11．【答案】8a﹣6b+2
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：由题意得长方形的宽为，
∴它的周长为，
故答案为：8a﹣6b+2
【分析】先根据长方形的面积公式即可求出长方形的宽，进而即可求出周长。
12．【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：（ ）÷ =
故答案为： .
【分析】根据一个因式=积÷另一个因式进行列式，再利用多项式除以单项式法则进行计算即可.
13．【答案】（1）解：
；
（2）解：
【知识点】多项式乘多项式；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）利用多项式乘多项式法则计算求解即可；
（2）利用多项式除单项式法则计算求解即可。
14．【答案】解：原多项式为（8a4b-4a3+2a2）÷（a）=16a3b-8a2+4a，正确结果为（16a3b-8a2+4a）÷（a）=32a2b-16a+8.
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【分析】先根据错误的结果除以 a 求出原来的多项式，所得的结果除以 a ，即可得出结果.
15．【答案】解：原式=x2﹣4x+4+x2﹣9
=2x2﹣4x﹣5，
∵x2﹣2x﹣7=0
∴x2﹣2x=7．
∴原式=2（x2﹣2x）﹣5=9．
【知识点】代数式求值；多项式除以单项式
【解析】【分析】本题应先将原式去括号、合并同类项，将原式化为2x2﹣4x﹣5，再将已知x2﹣2x﹣7=0化为x2﹣2x=7，再整体代入即可．
16．【答案】（1）5；3
（2）解：∵ ，
∴ .
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：[初步应用]∵多项式x2+□x+6能被x+2整除，
∴ ， ，
∴☆= 3，□=5，
故答案为：5，3；
【分析】[初步应用]列出竖式结合已知可得： ， ，求出□与☆即可.
[深入研究]列出竖式可得x3+2x2-x-2÷(x+2)，即可将多项式x3+2x2-x-2因式分解.
17．【答案】（1）x2﹣2x+3；1
（2）解：由题意得：
∵x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，
∴a﹣2＝﹣6，b＝﹣6，
即：a＝﹣4，b＝﹣6.
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：（1）（x3﹣4x2+7x﹣5）÷（x﹣2）＝x2﹣2x+3……1
故答案为：x2﹣2x+3，1.
【分析】（1）根据整式除法的竖式计算方法，进行计算即可；（2）根据整式除法的竖式计算方法，要使x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，即余式为0，可以得到a、b的值.
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2023-2024学年初中数学七年级上册 9.19 多项式除以单项式 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023七下·江州期末）下列计算正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；多项式除以单项式；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、(x-3)2=x2-6x+9，故错误；
B、(-2a2)3=-8a6，故错误；
C、a3÷a=a2，故错误；
D、(a2+ab)÷a=a+b，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式可判断A；幂的乘方：底数不变，指数相乘；积的乘方：先对每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断B；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断C；根据多项式与单项式的除法法则即可判断D.
2．（2023七下·晋中期末）小马虎在下面的计算中只做对了一道题，你认为他做对的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；多项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、，此项错误，故不符合题意；
B、 ， 此项错误，故不符合题意；
C、， 此项错误，故不符合题意；
D、 ，此项正确，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、多项式除以单项式、完全平方公式及积的乘方分别计算，再判断即可.
3．（2023七下·武功期中）已知-4a与一个多项式的积是 ，则这个多项式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵-4a与一个多项式的积是，
∴这个多项式为：
故答案为：D.
【分析】-4a与一个多项式的积为，则直接利用整式的除法运算法则得出答案.
4．（2023七下·余江期中）某同学在计算加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出原题正确的计算结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】整式的加减运算；多项式除以单项式
【解析】【解答】这个多项式为：（）÷（）=-x2+x-1，
∴原题的结果为：-x2+x-1+（）=，
故答案为：A.
【分析】先利用多项式除以单项式的计算方法求出原多项式，再利用整式的加法计算即可。
5．（2023七下·定远期中）若，则括号内应填的代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】÷xy＝x+3，
故答案为：B
【分析】直接用多项式除以单项式xy即可得到答案
6．（2023七下·瓯海期中）计算，那么M=（ ）．
A．-3x B． C． D．
【答案】C
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵-x5+3x3-M=（x4-x2+2x）×（-3x）=-x5+3x3-6x2，
∴M=6x2.
故答案为：C.
【分析】根据被除式等于商乘以除式将等式变形，进而根据多项式乘以单项式的法则化简，即可比较得出答案.
7．（2023·交城模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；多项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A. ，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，符合题意；
D. ，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用单项式乘单项式、合并同类项、积的乘方、幂的乘方及多项式除以单项式的计算方法逐项判断即可。
8．（2023七下·西安月考）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；单项式除以单项式；多项式除以单项式
【解析】【解答】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据单项式与多项式的乘法法则可判断A；根据多项式与多项式的乘法法则可判断B；根据单项式与单项式的除法法则可判断C；根据多项式与单项式的除法法则可判断D.
二、填空题
9．（2023七下·光明期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：，则所指的多项式为 ．
【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：所指的多项式为=(4x2-6xy+2x)÷2x=2x-3y+1.
故答案为：2x-3y+1.
【分析】由题意可得：所指的多项式为=(4x2-6xy+2x)÷2x，然后根据多项式与单项式的除法法则进行计算.
10．（2023七下·青岛期中）一个长方形花坛的面积为，若它的一边长为，则它的另一边长为 ．
【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵一个长方形花坛的面积为，它的一边长为，
∴它的另一边长为，
故答案为：
【分析】根据题意运用代数式相除即可求解。
11．（2023七下·即墨期中）长方形的面积为，长为，则它的周长为 ．
【答案】8a﹣6b+2
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：由题意得长方形的宽为，
∴它的周长为，
故答案为：8a﹣6b+2
【分析】先根据长方形的面积公式即可求出长方形的宽，进而即可求出周长。
12．（2023七下·威海期中）若一个多项式与的乘积为，则这个多项式为 ．
【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：（ ）÷ =
故答案为： .
【分析】根据一个因式=积÷另一个因式进行列式，再利用多项式除以单项式法则进行计算即可.
三、计算题
13．（2023七下·云岩期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
【知识点】多项式乘多项式；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）利用多项式乘多项式法则计算求解即可；
（2）利用多项式除单项式法则计算求解即可。
四、解答题
14．小明在做一个多项式除以a的题时，由于粗心误认为乘a，结果是8a4b-4a3+2a2，那么你能知道正确的结果是多少吗？
【答案】解：原多项式为（8a4b-4a3+2a2）÷（a）=16a3b-8a2+4a，正确结果为（16a3b-8a2+4a）÷（a）=32a2b-16a+8.
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【分析】先根据错误的结果除以 a 求出原来的多项式，所得的结果除以 a ，即可得出结果.
15．已知x2﹣2x﹣7=0，求（x﹣2）2+（x+3）（x﹣3）的值．
【答案】解：原式=x2﹣4x+4+x2﹣9
=2x2﹣4x﹣5，
∵x2﹣2x﹣7=0
∴x2﹣2x=7．
∴原式=2（x2﹣2x）﹣5=9．
【知识点】代数式求值；多项式除以单项式
【解析】【分析】本题应先将原式去括号、合并同类项，将原式化为2x2﹣4x﹣5，再将已知x2﹣2x﹣7=0化为x2﹣2x=7，再整体代入即可．
五、综合题
16．（2020七下·鼓楼期中）
（类比学习）
小明同学类比除法240 16=15的竖式计算，想到对二次三项式x2+3x+2进行因式分解的方法：
即(x2+3x+2) (x+1)=x+2，所以x2+3x+2=(x+1)(x+2).
（1）（初步应用）
小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：x2+□x+6=(x+2)(x+☆)，（其中□、☆代表两个被污染的系数），他列出了下列竖式：
得出□= ，☆= .
（2）（深入研究）
小明用这种方法对多项式x2+2x2-x-2进行因式分解，进行到了：x3+2x2-x-2=(x+2)(*).（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式x3+2x2-x-2因式分解.
【答案】（1）5；3
（2）解：∵ ，
∴ .
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：[初步应用]∵多项式x2+□x+6能被x+2整除，
∴ ， ，
∴☆= 3，□=5，
故答案为：5，3；
【分析】[初步应用]列出竖式结合已知可得： ， ，求出□与☆即可.
[深入研究]列出竖式可得x3+2x2-x-2÷(x+2)，即可将多项式x3+2x2-x-2因式分解.
17．（2020七下·沙坪坝月考）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下：
①把被除式、除式按某个字母作降幂接列，井把所块的项用零补齐；
②用除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；
③用商式的一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项；
④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除.
例如：计算（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1），可用竖式除法如图：
所以6x4﹣7x3﹣x2﹣1除以2x+1，商式为3x3﹣5x2﹣2x﹣1，余式为0.
根据阅读材料，请回答下列问题：
（1）（x3﹣4x2+7x﹣5）÷（x﹣2）的商是 ，余式是 ；
（2）x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，求a，b的值.
【答案】（1）x2﹣2x+3；1
（2）解：由题意得：
∵x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，
∴a﹣2＝﹣6，b＝﹣6，
即：a＝﹣4，b＝﹣6.
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：（1）（x3﹣4x2+7x﹣5）÷（x﹣2）＝x2﹣2x+3……1
故答案为：x2﹣2x+3，1.
【分析】（1）根据整式除法的竖式计算方法，进行计算即可；（2）根据整式除法的竖式计算方法，要使x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，即余式为0，可以得到a、b的值.
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