2023-2024学年初中数学七年级上册 10.1 分式的意义 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八下·鄠邑期末）若分式的值为0，则的值为（ ）
A． B．2 C．－2 D．4
【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解： ∵分式的值为0，
∴x2-4=0且x-2≠0，
解之：x=±2且x≠2，
∴x=-2.
故答案为：C
【分析】利用分式值为0，则分子为0且分母不为0，可得到关于x的方程和不等式，求解即可.
2．（2023七下·海曙期末）如果把分式中的值都变为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．变为原来的2倍 B．不变
C．变为原来的 D．变为原来的4倍
【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：由题意可知，原式=
=
=
=2
故答案为：A.
【分析】按部就班，根据题目，完成分式的改变，并得到结论.
3．（2023七下·海曙期末）为整数，符合条件的整数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件；分式的值
【解析】【解答】解：当x≥0时，原式==2-，
则当 x=0或x=4时，原式为整数；
当x＜0时，原式==-2-，
则x＜0时无解.
故答案为A.
【分析】阅读题干，对绝对值可采取分类讨论，再根据题意化简求值.
4．（2023八下·深圳期末）要使分式有意义，a应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式有意义，
∴a+3≠0，
解之：a≠3.
故答案为：D
【分析】利用分式有意义的条件：分母不等于0，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集.
5．（2023七下·启东月考）已知，，都不为零，且，则式子的值为（ ）
A． B． C．- D．-
【答案】A
【知识点】分式的值；三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①-②得：2x-4z=0，解得x=2z，
把x=2z代入②得：y=z，
把x=2z，y=z代入原式==；
故答案为：A.
【分析】先解方程组得x=2z，y=z，再将其代入原式中进行化简即可.
6．（2023七下·义乌期末）若分式有意义，则x的值不能取（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使分式 有意义，则，
，
故答案为：B.
【分析】分式中字母的取值不能使分母为零.
7．（2021八上·滑县期末）对于非负整数x，使得 是一个正整数，则符合条件x的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
为非负整数， 是一个正整数，
的所有可能取值为 ，
即符合条件x的个数有4个.
故答案为：B.
【分析】可变形为，然后根据是一个正整数就可得到x的值.
8．（2019七下·蔡甸期末）已知三个数 满足 ， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴2（ ）＝18，
∴ ＝9，
∴ .
故答案为：A.
【分析】先将条件式化简，然后根据分式的运算法则即可求出答案.
二、填空题
9．（2023八下·福田期末）当 时，分式的值为0.
【答案】=-1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：要使分式的值为0，
则，
，
故答案为：=-1.
【分析】当分子为零分母不为零时，分式的值为零.
10．（2023·北京）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得x-2≠0，
∴x≠2，
故答案为：
【分析】根据分式有意义的条件结合题意即可求解。
11．（2023·双柏模拟）若，则 ．
【答案】0或1
【知识点】完全平方公式及运用；分式的值
【解析】【解答】由题知：分两种情况讨论
当a=0时，==0
当a≠0时：a3+3a2+a=0
a（a2+3a+1）=0
即：a2+3a+1=0
两边同除a得： a+=-3
（a+）2=9
∴a2+=（a+）-2=7
=
故答案为0或1
【分析】分a2+3a+1=0或a=0两种情况讨论，
当a≠0时，两边同时除a得： a+=-3，再根据完全平方式变形a2+=（a+）-2=7求解。
12．（2022七下·绍兴期中）某段高速公路全长280公里，交警部门在高速公路上距入口3千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔5公里处设置一块限速标志牌；此外交警部门还在距离入口10千米处设置了摄像头，并在以后每隔16千米处都设置一个摄像头（如图），则在此段高速公路上，离入口 千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头．
【答案】58，138，218
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：设第n个限速标志牌和第m个摄像头刚好在同一位置，
∴3+5n=10+16m，得
∵m、n为正整数，且
∴m为3，8或13，则10+16m=58，138或218
故答案为：58，138，218
【分析】分别用式子表示限速标志牌距入口的距离，以及摄像头距入口的距离，构成等式，利用分式来求解正整数问题，即可.
13．请写出一个同时满足下列条件的分式：
（ 1 ）分式的值不可能为0；（2）分式有意义时，的取值范围是x≠±2；（3）当x=0时，分式的值为-1.你所写的分式为 .
【答案】
【知识点】分式的定义；分式有意义的条件；分式的值
【解析】【解答】解：（1）分式的分子不等于零；（2）分式有意义时，x的取值范围是x≠±2，即当x=±2时，分式的分母等于零；（3）当x=0时，分式的值为﹣1，即把x=0代入后，分式的分子、分母互为相反数．
所以满足条件的分式可以是： ；
【分析】开放性的命题，答案不唯一：由 分式的值不可能为0 ，得出分式的分子不等于零，故分子可以是一个非0常数，或者一个非负数加一个正数；由分式有意义时，x的取值范围是x≠±2，即当x=±2时，分式的分母等于零；得出分母可以是x2-4或者∣x∣-2;再由当x=0时，分式的值为﹣1，即把x=0代入后，分式的分子、分母互为相反数，从而得出答案。
三、解答题
14．（2022八下·抚州期末）已知＝5，求的值．
【答案】解：∵
∴＝5，即a-b＝5ab，
∴
．
【知识点】分式的值
【解析】【分析】 根据可得a-b＝5ab，再将其代入代数式可得，从而得解。
15．（2022八下·长沙竞赛）已知实数a，b，c满足 ， ，求 的值.
【答案】解：∵ ，
∴ ，两边同时平方得 ，
即 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
同理可得 ， ，
原式=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= .
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的值
【解析】【分析】根据a+b+c=0得a+b=-c，两边同时平方得2ab=c2-(a2+b2)，结合a2+b2+c2=1得ab=c2-，同理得ac=b2-，bc=a2-，待求式可变形为，据此计算.
四、综合题
16．求下列各分式的值.
（1） ，其中 ；
（2） ，其中 ；
（3） ，其中 ；
（4） ，其中 .
【答案】（1）解：把 代入 ，得
（2）解：当 时，
（3）解：当 时，
（4）解：当 时，
【知识点】分式的值
【解析】【分析】直接把x的值代入原式，再计算求值即可；
17．（2021七下·北仑期中）阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y=12有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由2x+3y=12，得：y= ，根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程2x+3y=12的正整数解为 ．问题：
（1）请你直接写出方程3x﹣y=6的一组正整数解 ．
（2）若 为自然数，则满足条件的正整数x的值有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
（3）
2020－2021学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费48元，问有哪几种购买方案？
【答案】（1）
（2）B
（3）解：设购买笔记本x本，钢笔y支.
3x+5y=48
所以，方案为：
x y
方案一 1 9
方案一 6 6
方案一 11 3
【知识点】分式的值；二元一次方程的解
【解析】【解答】（1）∵x、y为正整数
∴方程3x﹣y=6的正整数解如下表所示，
x 3 4 5 6 7 8 ...
y 3 6 9 12 15 18 ...
（2）∵ 为自然数
∴12能整除x-3
又∵x-3＞0
∴x-3=1，或2、3、4、6、12
∴正整数x的值有6个.
故答案为：B.
【分析】(1)把握住x、y都是正整数，列举取值，当x=1时，或x=2时等等，选择合适的解即可.
（2） 为自然数，说明x-3=1，或2、3、4、6、12，所以x=4，或5、6、7、9、15.
（3）根据题意列二元一次方程，因为笔记本和钢笔的数量都是正整数，所以，可以通过列举求解.
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一、选择题
1．（2023八下·鄠邑期末）若分式的值为0，则的值为（ ）
A． B．2 C．－2 D．4
2．（2023七下·海曙期末）如果把分式中的值都变为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．变为原来的2倍 B．不变
C．变为原来的 D．变为原来的4倍
3．（2023七下·海曙期末）为整数，符合条件的整数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
4．（2023八下·深圳期末）要使分式有意义，a应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023七下·启东月考）已知，，都不为零，且，则式子的值为（ ）
A． B． C．- D．-
6．（2023七下·义乌期末）若分式有意义，则x的值不能取（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
7．（2021八上·滑县期末）对于非负整数x，使得 是一个正整数，则符合条件x的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
8．（2019七下·蔡甸期末）已知三个数 满足 ， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八下·福田期末）当 时，分式的值为0.
10．（2023·北京）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
11．（2023·双柏模拟）若，则 ．
12．（2022七下·绍兴期中）某段高速公路全长280公里，交警部门在高速公路上距入口3千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔5公里处设置一块限速标志牌；此外交警部门还在距离入口10千米处设置了摄像头，并在以后每隔16千米处都设置一个摄像头（如图），则在此段高速公路上，离入口 千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头．
13．请写出一个同时满足下列条件的分式：
（ 1 ）分式的值不可能为0；（2）分式有意义时，的取值范围是x≠±2；（3）当x=0时，分式的值为-1.你所写的分式为 .
三、解答题
14．（2022八下·抚州期末）已知＝5，求的值．
15．（2022八下·长沙竞赛）已知实数a，b，c满足 ， ，求 的值.
四、综合题
16．求下列各分式的值.
（1） ，其中 ；
（2） ，其中 ；
（3） ，其中 ；
（4） ，其中 .
17．（2021七下·北仑期中）阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y=12有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由2x+3y=12，得：y= ，根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程2x+3y=12的正整数解为 ．问题：
（1）请你直接写出方程3x﹣y=6的一组正整数解 ．
（2）若 为自然数，则满足条件的正整数x的值有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
（3）
2020－2021学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费48元，问有哪几种购买方案？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解： ∵分式的值为0，
∴x2-4=0且x-2≠0，
解之：x=±2且x≠2，
∴x=-2.
故答案为：C
【分析】利用分式值为0，则分子为0且分母不为0，可得到关于x的方程和不等式，求解即可.
2．【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：由题意可知，原式=
=
=
=2
故答案为：A.
【分析】按部就班，根据题目，完成分式的改变，并得到结论.
3．【答案】B
【知识点】分式有意义的条件；分式的值
【解析】【解答】解：当x≥0时，原式==2-，
则当 x=0或x=4时，原式为整数；
当x＜0时，原式==-2-，
则x＜0时无解.
故答案为A.
【分析】阅读题干，对绝对值可采取分类讨论，再根据题意化简求值.
4．【答案】D
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式有意义，
∴a+3≠0，
解之：a≠3.
故答案为：D
【分析】利用分式有意义的条件：分母不等于0，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集.
5．【答案】A
【知识点】分式的值；三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①-②得：2x-4z=0，解得x=2z，
把x=2z代入②得：y=z，
把x=2z，y=z代入原式==；
故答案为：A.
【分析】先解方程组得x=2z，y=z，再将其代入原式中进行化简即可.
6．【答案】B
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使分式 有意义，则，
，
故答案为：B.
【分析】分式中字母的取值不能使分母为零.
7．【答案】B
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
为非负整数， 是一个正整数，
的所有可能取值为 ，
即符合条件x的个数有4个.
故答案为：B.
【分析】可变形为，然后根据是一个正整数就可得到x的值.
8．【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴2（ ）＝18，
∴ ＝9，
∴ .
故答案为：A.
【分析】先将条件式化简，然后根据分式的运算法则即可求出答案.
9．【答案】=-1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：要使分式的值为0，
则，
，
故答案为：=-1.
【分析】当分子为零分母不为零时，分式的值为零.
10．【答案】
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得x-2≠0，
∴x≠2，
故答案为：
【分析】根据分式有意义的条件结合题意即可求解。
11．【答案】0或1
【知识点】完全平方公式及运用；分式的值
【解析】【解答】由题知：分两种情况讨论
当a=0时，==0
当a≠0时：a3+3a2+a=0
a（a2+3a+1）=0
即：a2+3a+1=0
两边同除a得： a+=-3
（a+）2=9
∴a2+=（a+）-2=7
=
故答案为0或1
【分析】分a2+3a+1=0或a=0两种情况讨论，
当a≠0时，两边同时除a得： a+=-3，再根据完全平方式变形a2+=（a+）-2=7求解。
12．【答案】58，138，218
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：设第n个限速标志牌和第m个摄像头刚好在同一位置，
∴3+5n=10+16m，得
∵m、n为正整数，且
∴m为3，8或13，则10+16m=58，138或218
故答案为：58，138，218
【分析】分别用式子表示限速标志牌距入口的距离，以及摄像头距入口的距离，构成等式，利用分式来求解正整数问题，即可.
13．【答案】
【知识点】分式的定义；分式有意义的条件；分式的值
【解析】【解答】解：（1）分式的分子不等于零；（2）分式有意义时，x的取值范围是x≠±2，即当x=±2时，分式的分母等于零；（3）当x=0时，分式的值为﹣1，即把x=0代入后，分式的分子、分母互为相反数．
所以满足条件的分式可以是： ；
【分析】开放性的命题，答案不唯一：由 分式的值不可能为0 ，得出分式的分子不等于零，故分子可以是一个非0常数，或者一个非负数加一个正数；由分式有意义时，x的取值范围是x≠±2，即当x=±2时，分式的分母等于零；得出分母可以是x2-4或者∣x∣-2;再由当x=0时，分式的值为﹣1，即把x=0代入后，分式的分子、分母互为相反数，从而得出答案。
14．【答案】解：∵
∴＝5，即a-b＝5ab，
∴
．
【知识点】分式的值
【解析】【分析】 根据可得a-b＝5ab，再将其代入代数式可得，从而得解。
15．【答案】解：∵ ，
∴ ，两边同时平方得 ，
即 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
同理可得 ， ，
原式=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= .
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的值
【解析】【分析】根据a+b+c=0得a+b=-c，两边同时平方得2ab=c2-(a2+b2)，结合a2+b2+c2=1得ab=c2-，同理得ac=b2-，bc=a2-，待求式可变形为，据此计算.
16．【答案】（1）解：把 代入 ，得
（2）解：当 时，
（3）解：当 时，
（4）解：当 时，
【知识点】分式的值
【解析】【分析】直接把x的值代入原式，再计算求值即可；
17．【答案】（1）
（2）B
（3）解：设购买笔记本x本，钢笔y支.
3x+5y=48
所以，方案为：
x y
方案一 1 9
方案一 6 6
方案一 11 3
【知识点】分式的值；二元一次方程的解
【解析】【解答】（1）∵x、y为正整数
∴方程3x﹣y=6的正整数解如下表所示，
x 3 4 5 6 7 8 ...
y 3 6 9 12 15 18 ...
（2）∵ 为自然数
∴12能整除x-3
又∵x-3＞0
∴x-3=1，或2、3、4、6、12
∴正整数x的值有6个.
故答案为：B.
【分析】(1)把握住x、y都是正整数，列举取值，当x=1时，或x=2时等等，选择合适的解即可.
（2） 为自然数，说明x-3=1，或2、3、4、6、12，所以x=4，或5、6、7、9、15.
（3）根据题意列二元一次方程，因为笔记本和钢笔的数量都是正整数，所以，可以通过列举求解.
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