2023-2024学年初中数学七年级上册 10.2 分式的基本性质 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八下·通许期末）在分式中，把的值分别变为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．变为原来的2倍
C．变为原来的 D．变为原来的4倍
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：在分式中，把a、b的值分别变为原来的2倍，得，故分式的值变为原来的.
故答案为：C.
【分析】在分式中，把a、b的值分别变为原来的2倍，得，利用分式的基本性质化简后即可判断.
2．（2023八下·高陵月考）若把分式中x和y的值都扩大3倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的9倍
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：把分式中x和y的值都扩大3倍，得，故分式的值不变.
故答案为：A.
【分析】把分式中x和y的值都扩大3倍，得，由分式的基本性质对其进行约分，然后进行判断.
3．（2023八下·南海期中）把分式中的、都扩大到原来的8倍，那么此分式的值（ ）
A．是原来的8倍 B．是原来的4倍 C．是原来的 D．不变
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：把分式中的m、n都扩大到原来的8倍，得，故分式的值扩大8倍.
故答案为：A.
【分析】把分式中的m、n都扩大到原来的8倍，得，然后约分，再进行判断.
4．（2023七下·浦江月考）如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．缩小3倍 B．不变 C．扩大3倍 D．扩大9倍
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：把分式中的x，y都扩大3倍，可得，故分式的值扩大3倍.
故答案为：C.
【分析】把分式中的x，y都扩大3倍，可得，然后给分子、分母同时除以3，再进行判断.
5．（2023·麒麟模拟）代数式化简结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：A
【分析】根据方式的性质进行化简即可求解。
6．（2019七上·杨浦月考）若 的值为 ,则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】代数式求值；分式的基本性质
【解析】【解答】由题意得： ，则 = .
故答案为：C.
【分析】利用整体思想进行求解即可.
7．已知，则的值等于
A．6 B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】把代数式的分子、分母同时除以可得，再整体代入求解.
当时，
故选A.
【点评】计算题是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.
8．将甲、乙、丙三个正分数化为最简分数后，其分子分别为6、15、10，其分母的最小公倍数为360．判断甲、乙、丙三数的大小关系为何？（ ）
A．乙＞甲＞丙 B．乙＞丙＞甲 C．甲＞乙＞丙 D．甲＞丙＞乙
【答案】A
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：360=2×2×2×3×3×5；
因为6=2×3，
所以化简后的甲的分母中不含有因数2、3，只能为5，
即化简后的甲为 ；
因为15=3×5，
所以化简后的乙的分母中不含有因数3、5，只能为2，4或8；
因为10=2×5，
所以化简后的丙的分母中不含有因数2、5，只能为3或9；
因为化简后的三个数的分母的最小公倍数为360，甲的分母为5，
所以乙、丙的最小公倍数是360÷5=72，
⑴当乙的分母是2时，丙的分母是9时，
乙、丙的最小公倍数是：2×9=18，
它不满足乙、丙的最小公倍数是72；
⑵当乙的分母是4时，丙的分母是9时，
乙、丙的最小公倍数是：4×9=36，
它不满足乙、丙的最小公倍数是72；
所以乙的分母只能是8，丙的分母只能是9，
此时乙、丙的最小公倍数是：8×9=72，
所以化简后的乙是 ，丙是 ，
因为 ，
所以乙＞甲＞丙．
故答案为：A．
【分析】首先将360分解质因数，根据甲，乙和丙化为最简分数后的分子，可以对他们的分母情况进行假设排除，即甲的分母只能为5；乙为2，4或8；丙为3和9。根据化简之后的乙和丙的分母情况进行分来讨论，从而得出三个数的具体数值，进行大小的比较即可。
二、填空题
9．（2023八下·宿迁期中）不改变分式的值，将分式的分子与分母的最高次项的系数化为正整数所得结果为 ．
【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：原式= ；
故答案为：.
【分析】利用分式的基本性质分子分母同乘以-3即得结论.
10．（2023八下·兴化月考），和的最简公分母是 .
【答案】
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：三个分式的分母分别为、、，且3、1、2的最小公倍数为6，
三个分式的最简公分母为.
故答案为：.
【分析】最简公分母：各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此解答.
11．（2023八下·宜宾月考） 的最简公分母是 .
【答案】6x2y（x-y）
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：
∴ 的最简公分母是6x2y（x-y）.
故答案为：6x2y（x-y）.
【分析】最简公分母的定义：各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此解答.
12．（2019七下·温州期末）如图，在长方形ABCD中，AB=10，BC=13．E，F，G，H分别是线段AB，BC，CD，AD上的定点．现分别以BE，BF为边作长方形BEQF，以DG为边作正方形DGIH．若长方形BEQF与正方形DGIH的重合部分恰好是一个正方形，且BE=DG，Q，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，S3．若 ，则S3= ．
【答案】
【知识点】列式表示数量关系；分式的约分
【解析】【解答】解：设DG=a, 则HD=a, GC=DC-DG=10-a,
AE=AB-BE=10-a, AH=AD-HD=13-a,
则S1=AH×AE=(13-a)(10-a),
S2=GC×GC=(10-a)(10-a),
，
(a≠10),
∴,
∴70-7a=39-3a,
∴4a=31,
∴,
∴GC=10-a=10-=,
∴重合部分的正方形边长是10-2×=,
∴
故答案为：.
【分析】设DG为a, 把HD、AE、CG和AE用含a的代数式表示出来，列出S1和S2的表达式， 根据 ，求出a值，则GC可求，S3的边长可求，则面积也可求。
13．（2019八上·河间期末）阅读下面的材料，并解答问题：
分式 （ ）的最大值是多少？
解： ，
因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以 的最大值是 ，所以 的最大值是4，即 （x≥0）的最大值是4．
根据上述方法，试求分式 的最大值是 .
【答案】5
【知识点】代数式求值；分式的基本性质
【解析】【解答】解：
所以： 的最小值是
的最大值是
的最大值是
的最大值是
故答案为：5
【分析】根据题意：有 结合 的最小值是 1， 从而可得答案．
三、解答题
14．（2021八下·郑州期中）阅读下面材料，并解答问题.
将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.
解：由分母为x2﹣1，可设x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b.
则x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b＝x4﹣x2+ax2﹣a+b＝x4+（a﹣1）x2﹣a+b
∴ ，∴
∴ ＝ ＝ ﹣ ＝（x2+2）﹣
这样，分式 被拆分成了一个整式x2+2与一个分式﹣ 的和.
根据上述作法，将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.
【答案】解：
＝
＝x2+7﹣ .
【知识点】分式的通分
【解析】【分析】由分母为x2-1，可设x4+6x2-8= (x2-1) (x2-a) +b，按照题意，求出a和b的值，即可把分式
拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式.
15．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数．
（1） （2）．
【答案】解：（1）原式=；
（2）原式=．
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】（1）分式的分子分母都乘以90，可得答案；
（2）分式的分子分母都乘以12，可得答案．
四、综合题
16．（2023七下·慈溪期中）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，
例如：．
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：分式是 分式填“真”或“假”；
把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和差的形式：
．
（2）把分式化成一个整式与一个真分式的和差的形式，并求取何整数时，这个分式的值为整数．
（3）一个三位数，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数，十位数字与的百位数字相同，个位数字与的十位数字相同若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数．
【答案】（1）真；x；
（2）解：
，
为整数，要使这个分式的值为整数，即2能被整除，
或或或；
（3）解：设的百位数字为，十位数字为，则的个位数字为，的十位数字为，个位数字为，
，，
，
由题意可得，，，且，均为整数，
这个三位数的平方能被这个两位数整除，
为整数，即为整数，
当时，，没有满足题意的值，
当时，，没有满足题意的值，
当时，，，
当时，，没有满足题意的值，
综上，满足条件的两位数为36．
【知识点】分式的基本性质；整除的意义
【解析】【解答】解：（1）①分子的次数小于分母的次数，
分式是真分式；
故答案为：真；
，
故答案为：，；
【分析】（1）①直接根据真分数、假分数的概念进行判断；
②原式=，然后化简即可；
（2）原式= =，结合分式的值为整数可得x-3=±1或±2，求解即可；
（3）设m的百位数字为a，十位数字为b，则m的个位数字为2a，n的十位数字为a，个位数字为b，则m=100a+10b+2a，n=10a+b，=，由题意可得为整数，分别令a=1、2、3、4，求出b的值，进而可得满足条件的两位数n的值.
17．（2020八上·昌平月考）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： ，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
例如： ， 像这样的分式是假分式；像 ， 这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如： ； ，解决下列问题：
（1）将分式 化为整式与真分式的和的形式为： （直接写出结果即可）
（2）如果分式 的值为整数，求 的整数值
【答案】（1）
（2）解：原式
因为 的值是整数，分式的值也是整数，
所以 或 ，
所以 、 、0、 ．
所以分式的值为整数， 的值可以是： 、 、0、 ．
【知识点】分式的值；分式的基本性质
【解析】【解答】解：（1）
故答案为： ；
【分析】（1）根据“真分式”定义，仿照例题解答即可；
（2）先把分式化为真分式为，由于x的值是整数，分式的值也是整数，可得 或
1 / 12023-2024学年初中数学七年级上册 10.2 分式的基本性质 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八下·通许期末）在分式中，把的值分别变为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．变为原来的2倍
C．变为原来的 D．变为原来的4倍
2．（2023八下·高陵月考）若把分式中x和y的值都扩大3倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的9倍
3．（2023八下·南海期中）把分式中的、都扩大到原来的8倍，那么此分式的值（ ）
A．是原来的8倍 B．是原来的4倍 C．是原来的 D．不变
4．（2023七下·浦江月考）如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．缩小3倍 B．不变 C．扩大3倍 D．扩大9倍
5．（2023·麒麟模拟）代数式化简结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2019七上·杨浦月考）若 的值为 ,则 的值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则的值等于
A．6 B． C． D．
8．将甲、乙、丙三个正分数化为最简分数后，其分子分别为6、15、10，其分母的最小公倍数为360．判断甲、乙、丙三数的大小关系为何？（ ）
A．乙＞甲＞丙 B．乙＞丙＞甲 C．甲＞乙＞丙 D．甲＞丙＞乙
二、填空题
9．（2023八下·宿迁期中）不改变分式的值，将分式的分子与分母的最高次项的系数化为正整数所得结果为 ．
10．（2023八下·兴化月考），和的最简公分母是 .
11．（2023八下·宜宾月考） 的最简公分母是 .
12．（2019七下·温州期末）如图，在长方形ABCD中，AB=10，BC=13．E，F，G，H分别是线段AB，BC，CD，AD上的定点．现分别以BE，BF为边作长方形BEQF，以DG为边作正方形DGIH．若长方形BEQF与正方形DGIH的重合部分恰好是一个正方形，且BE=DG，Q，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，S3．若 ，则S3= ．
13．（2019八上·河间期末）阅读下面的材料，并解答问题：
分式 （ ）的最大值是多少？
解： ，
因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以 的最大值是 ，所以 的最大值是4，即 （x≥0）的最大值是4．
根据上述方法，试求分式 的最大值是 .
三、解答题
14．（2021八下·郑州期中）阅读下面材料，并解答问题.
将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.
解：由分母为x2﹣1，可设x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b.
则x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b＝x4﹣x2+ax2﹣a+b＝x4+（a﹣1）x2﹣a+b
∴ ，∴
∴ ＝ ＝ ﹣ ＝（x2+2）﹣
这样，分式 被拆分成了一个整式x2+2与一个分式﹣ 的和.
根据上述作法，将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.
15．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数．
（1） （2）．
四、综合题
16．（2023七下·慈溪期中）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，
例如：．
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：分式是 分式填“真”或“假”；
把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和差的形式：
．
（2）把分式化成一个整式与一个真分式的和差的形式，并求取何整数时，这个分式的值为整数．
（3）一个三位数，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数，十位数字与的百位数字相同，个位数字与的十位数字相同若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数．
17．（2020八上·昌平月考）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： ，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
例如： ， 像这样的分式是假分式；像 ， 这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如： ； ，解决下列问题：
（1）将分式 化为整式与真分式的和的形式为： （直接写出结果即可）
（2）如果分式 的值为整数，求 的整数值
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：在分式中，把a、b的值分别变为原来的2倍，得，故分式的值变为原来的.
故答案为：C.
【分析】在分式中，把a、b的值分别变为原来的2倍，得，利用分式的基本性质化简后即可判断.
2．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：把分式中x和y的值都扩大3倍，得，故分式的值不变.
故答案为：A.
【分析】把分式中x和y的值都扩大3倍，得，由分式的基本性质对其进行约分，然后进行判断.
3．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：把分式中的m、n都扩大到原来的8倍，得，故分式的值扩大8倍.
故答案为：A.
【分析】把分式中的m、n都扩大到原来的8倍，得，然后约分，再进行判断.
4．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：把分式中的x，y都扩大3倍，可得，故分式的值扩大3倍.
故答案为：C.
【分析】把分式中的x，y都扩大3倍，可得，然后给分子、分母同时除以3，再进行判断.
5．【答案】A
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：A
【分析】根据方式的性质进行化简即可求解。
6．【答案】C
【知识点】代数式求值；分式的基本性质
【解析】【解答】由题意得： ，则 = .
故答案为：C.
【分析】利用整体思想进行求解即可.
7．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】把代数式的分子、分母同时除以可得，再整体代入求解.
当时，
故选A.
【点评】计算题是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.
8．【答案】A
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：360=2×2×2×3×3×5；
因为6=2×3，
所以化简后的甲的分母中不含有因数2、3，只能为5，
即化简后的甲为 ；
因为15=3×5，
所以化简后的乙的分母中不含有因数3、5，只能为2，4或8；
因为10=2×5，
所以化简后的丙的分母中不含有因数2、5，只能为3或9；
因为化简后的三个数的分母的最小公倍数为360，甲的分母为5，
所以乙、丙的最小公倍数是360÷5=72，
⑴当乙的分母是2时，丙的分母是9时，
乙、丙的最小公倍数是：2×9=18，
它不满足乙、丙的最小公倍数是72；
⑵当乙的分母是4时，丙的分母是9时，
乙、丙的最小公倍数是：4×9=36，
它不满足乙、丙的最小公倍数是72；
所以乙的分母只能是8，丙的分母只能是9，
此时乙、丙的最小公倍数是：8×9=72，
所以化简后的乙是 ，丙是 ，
因为 ，
所以乙＞甲＞丙．
故答案为：A．
【分析】首先将360分解质因数，根据甲，乙和丙化为最简分数后的分子，可以对他们的分母情况进行假设排除，即甲的分母只能为5；乙为2，4或8；丙为3和9。根据化简之后的乙和丙的分母情况进行分来讨论，从而得出三个数的具体数值，进行大小的比较即可。
9．【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：原式= ；
故答案为：.
【分析】利用分式的基本性质分子分母同乘以-3即得结论.
10．【答案】
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：三个分式的分母分别为、、，且3、1、2的最小公倍数为6，
三个分式的最简公分母为.
故答案为：.
【分析】最简公分母：各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此解答.
11．【答案】6x2y（x-y）
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：
∴ 的最简公分母是6x2y（x-y）.
故答案为：6x2y（x-y）.
【分析】最简公分母的定义：各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此解答.
12．【答案】
【知识点】列式表示数量关系；分式的约分
【解析】【解答】解：设DG=a, 则HD=a, GC=DC-DG=10-a,
AE=AB-BE=10-a, AH=AD-HD=13-a,
则S1=AH×AE=(13-a)(10-a),
S2=GC×GC=(10-a)(10-a),
，
(a≠10),
∴,
∴70-7a=39-3a,
∴4a=31,
∴,
∴GC=10-a=10-=,
∴重合部分的正方形边长是10-2×=,
∴
故答案为：.
【分析】设DG为a, 把HD、AE、CG和AE用含a的代数式表示出来，列出S1和S2的表达式， 根据 ，求出a值，则GC可求，S3的边长可求，则面积也可求。
13．【答案】5
【知识点】代数式求值；分式的基本性质
【解析】【解答】解：
所以： 的最小值是
的最大值是
的最大值是
的最大值是
故答案为：5
【分析】根据题意：有 结合 的最小值是 1， 从而可得答案．
14．【答案】解：
＝
＝x2+7﹣ .
【知识点】分式的通分
【解析】【分析】由分母为x2-1，可设x4+6x2-8= (x2-1) (x2-a) +b，按照题意，求出a和b的值，即可把分式
拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式.
15．【答案】解：（1）原式=；
（2）原式=．
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】（1）分式的分子分母都乘以90，可得答案；
（2）分式的分子分母都乘以12，可得答案．
16．【答案】（1）真；x；
（2）解：
，
为整数，要使这个分式的值为整数，即2能被整除，
或或或；
（3）解：设的百位数字为，十位数字为，则的个位数字为，的十位数字为，个位数字为，
，，
，
由题意可得，，，且，均为整数，
这个三位数的平方能被这个两位数整除，
为整数，即为整数，
当时，，没有满足题意的值，
当时，，没有满足题意的值，
当时，，，
当时，，没有满足题意的值，
综上，满足条件的两位数为36．
【知识点】分式的基本性质；整除的意义
【解析】【解答】解：（1）①分子的次数小于分母的次数，
分式是真分式；
故答案为：真；
，
故答案为：，；
【分析】（1）①直接根据真分数、假分数的概念进行判断；
②原式=，然后化简即可；
（2）原式= =，结合分式的值为整数可得x-3=±1或±2，求解即可；
（3）设m的百位数字为a，十位数字为b，则m的个位数字为2a，n的十位数字为a，个位数字为b，则m=100a+10b+2a，n=10a+b，=，由题意可得为整数，分别令a=1、2、3、4，求出b的值，进而可得满足条件的两位数n的值.
17．【答案】（1）
（2）解：原式
因为 的值是整数，分式的值也是整数，
所以 或 ，
所以 、 、0、 ．
所以分式的值为整数， 的值可以是： 、 、0、 ．
【知识点】分式的值；分式的基本性质
【解析】【解答】解：（1）
故答案为： ；
【分析】（1）根据“真分式”定义，仿照例题解答即可；
（2）先把分式化为真分式为，由于x的值是整数，分式的值也是整数，可得 或
1 / 1
