2023-2024学年初中数学七年级上册 10.4 分式的加减 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023·武汉）已知，计算的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（2023·衡水模拟）以下是代数式排乱的化简步骤：
①；
②；
③；
④．
则正确化简步骤的顺序是（ ）
A．①→③→④→② B．③→①→④→②
C．③→④→①→② D．①→④→③→②
3．（2023·石家庄月考）若为正整数，则下列运算结果不是负数（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·宣州模拟）已知a、b、c满足a＋c＝b，且，则下列结论错误的是（ ）
A．若b＞c＞0，则a＞0 B．若c＝1，则a（a－1）＝1
C．若a2－c2＝2，则ac＝2 D．若bc＝1，则a＝1
5．（2022七下·杭州期末）若，为实数且满足，，设，，有以下2个结论：若，则；若，则下列判断正确的是（ ）
A．①对②错 B．①错②对 C．①②都错 D．①②都对
6．（2021八下·乐山期中）已知实数x、y、z满足 ，则 的值（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
7．（2020八上·兰陵期末）如果 ， ， 是正数，且满足 ， ，那么 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．
8．已知a＋ ＝ ，则a－ 的值为（ ）
A．±2 B．8 C． D．±
二、填空题
9．（2023·绥化）化简： .
10．（2023七下·龙口期中）已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，则y与x之间的函数关系式为 ．
11．（2023·永嘉模拟）计算： ．
12．（2022八上·丰台期末）欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域，在初等数学中也留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式：
（其中a，b，c均不为零，且两两互不相等）．
（1）当时，常数p的值为 ．
（2）利用欧拉公式计算： ．
13．若 ，则 的值为
三、计算题
14．（2023八下·玄武期末）先化简，再求值：，其中.
四、解答题
15．（2023八下·龙岗月考）先化简，再求值：，再从不等式的整数解中选择一个适当的数代入求值．
16．（2023八下·文山期末）先化简，再求值：，其中是，，中的一个合适的数．
五、综合题
17．
（1）【探索】
①如果
，则
.
②如果
，则
.
（2）【总结】如果
(其中a，b，c为常数)，则m= .
（3）【应用】利用上述结论解决：若代数式 的值为整数，求满足条件的整数 的值.
18．（2021·镇江模拟）阅读材料：
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.
例如：已知 ，求 的值.
解：原式 .
问题解决：
（1）已知 .
①代数式 的值为 ▲ ；
②求证： .
（2）若x满足 ，求 的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：原式= ，
∵x2-x-1=0，
∴x+1=x2，
∴原式=.
故答案为：A
【分析】先利用分式的减法法则将括号里的运算通分计算，再将分式除法转化为乘法运算，约分化简，然后将方程转化为x+1=x2，整体代入求值即可.
2．【答案】C
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】
解：
③
④
①
②
故答案为：C
【分析】
根据分式的运算方法可得出正确的顺序
3．【答案】B
【知识点】分式的基本性质；分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解：A、∵x为正整数，
∴，
∴，不符合题意；
B、∵，
又∵x为正整数，
∴x-1≥0，符合题意；
C：∵，
又∵x为正整数，
∴-x＜0，不符合题意；
D：∵，
又∵x为正整数，
∴1-x≤0，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据分式的加减乘除法则计算求解即可。
4．【答案】D
【知识点】分式的基本性质；分式的加减法
【解析】【解答】解：A、∵b＞c＞0， 且 a＋c＝b，
∴b-c＞0，a=b-c，
∴a＞0，
∴选项A不符合题意；
B、∵c=1，a+c=b，
∴b=a+1，
∵，
∴，
∴a+1+a=a(a+1)，
∴a(a-1)=1，
∴选项B不符合题意；
C、∵a2－c2＝2，a＋c＝b，，
∴（a-c)(a+c)=2，，
∴（a-c)b=2，ab=ac+bc，
∴，ac=ab-bc=b(a-c），
∴ac=2，
∴选项C不符合题意；
D、∵bc=1， a＋c＝b，且，
∴ab=ac+bc=ac+1，a=b-c，
∴a(b-c）=1，
∴a2=1，
∴a=±1，
∴选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用分式的加减法法则，分式的性质等计算求解即可。
5．【答案】D
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算
【解析】【解答】解：，
当时，，即，
故①正确；
，
当时，，
，，
，
，
，
，
，
故②正确.
综上所述，结论①②都正确.
故答案为：D.
【分析】根据异分母分式减法法则可得M-N=，当ab=1时，M-N=0，据此判断①；根据分式的混合运算法则可得MN=，当a+b=0时，a=-b，MN=<0，据此判断②.
6．【答案】B
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】因为 ，所以x+y+z≠0，
里边同乘x+y+z得，，
故答案为：B
【分析】考查分式的化简求值，根据分式的基本性质里边同时乘x，y，z，可以让分子出现x 、y 、z 的形式，为了方便与分母约分化简，所以同时乘x+y+z然后化简整理即可。
7．【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵a，b，c是正数，且满足a+b+c=1，
∴a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，
∴
=
=
=
=2
故答案为：C
【分析】先根据题意得到a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，再代入原式计算即可。
8．【答案】D
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴==.
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式的变形将化成的形式，再将已知代入即可. 解题的关键是掌握完全平方公式的几种变形形式.
9．【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=()·
=·
=·
=
故答案为：.
【分析】对括号中、外分式的分母进行分解，然后通分，再将除法化为乘法，约分即可对原式进行化简.
10．【答案】y=3x+5
【知识点】分式的混合运算；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意得，
∴y=3x+5，
故答案为：y=3x+5
【分析】先根据等可能事件的概率即可列出，再进行化简即可求解。
11．【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：.
【分析】根据同分母分式加法法则可得原式=，然后约分即可.
12．【答案】（1）0
（2）6063
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）当时，
，
故答案为0
（2）令，则
故答案为∶ 6063．
【分析】（1）将r=0代入可得，再通分化简即可；
（2）根据所求式子的特点，可知，再结合公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ .
将 代入 中，
∴原式
故答案为： .
【分析】将已知条件变形成代入到 中，逐步降低x的次数，最后同时除以公因式约分，即可求解.
14．【答案】解：
.
当时，原式.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】对第一个分式的分子、分母进行分解，对括号中的式子进行通分，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行化简，接下来将a的值代入计算即可.
15．【答案】解：原式
，
不等式的整数解有，0，1，
∵0，1，
∴当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分子、分母进行分解，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行化简，接下来根据分式有意义的条件从-1≤x≤1的整数中选择一个代入计算即可.
16．【答案】解：原式
，
要使分式有意义，必须，，
即和，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，最后 ，，中选取一个使分式有意义的值代入计算即可.
17．【答案】（1）1；-13
（2）b-ac
（3）解： .
因为x为整数且 为整数，
∴
∴ 或0
【知识点】分式的值；分式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）①将已知等式整理，得
，
即3x＋4=3x+3+m，解得m=1.故答案为1.
②将已知等式整理，得
，
即5x-3=5x＋10＋m，
解得m=-13.
故答案为-13.
（2）将已知等式整理可得
∴ax+b=ax+ac+m
解之：m=b-ac.
【分析】（1）①将方程右边通分可得到
，利用方程左右两边的分母相同，则分子相同，可得到关于x，m的方程，解方程求出m的值；②将方程右边通分可得到
，利用方程左右两边的分母相同，则分子相同，可得到关于x，m的方程，解方程求出m的值.
（2）将方程右边通分可得到
，由此可得到ax+b=ax+ac+m，解方程取出m的值.
（3）将代数式转化为
，再根据此代数式为整数，可知x-1=±1，然后解方程求出x的值.
18．【答案】（1）解：①1；
②证明：∵xy=1，
∴ =1，
∴
=
=
=
=
=1.
（2）解：设 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ =4043-2ab=1，
解得：ab=2021，
∴ =2021
【知识点】完全平方公式及运用；分式的加减法
【解析】【解答】解：（1）①∵xy=1，
∴
=
=
=
=1.
故答案为：1.
【分析】（1）①将1=xy代入分式，再利用分式减法法则进行计算，然后约分即可；②利用xy=1，可得到x2021y2021=1，再将分式通分计算，可证得结论；
（2）设2021-x=a，2020-x=b，可求出a-b的值；根据 ，可得到a2+b2的值 然后求出（a-b）2=1，整体代入求出ab的值，即可求解.
1 / 12023-2024学年初中数学七年级上册 10.4 分式的加减 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023·武汉）已知，计算的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：原式= ，
∵x2-x-1=0，
∴x+1=x2，
∴原式=.
故答案为：A
【分析】先利用分式的减法法则将括号里的运算通分计算，再将分式除法转化为乘法运算，约分化简，然后将方程转化为x+1=x2，整体代入求值即可.
2．（2023·衡水模拟）以下是代数式排乱的化简步骤：
①；
②；
③；
④．
则正确化简步骤的顺序是（ ）
A．①→③→④→② B．③→①→④→②
C．③→④→①→② D．①→④→③→②
【答案】C
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】
解：
③
④
①
②
故答案为：C
【分析】
根据分式的运算方法可得出正确的顺序
3．（2023·石家庄月考）若为正整数，则下列运算结果不是负数（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分式的基本性质；分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解：A、∵x为正整数，
∴，
∴，不符合题意；
B、∵，
又∵x为正整数，
∴x-1≥0，符合题意；
C：∵，
又∵x为正整数，
∴-x＜0，不符合题意；
D：∵，
又∵x为正整数，
∴1-x≤0，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据分式的加减乘除法则计算求解即可。
4．（2023·宣州模拟）已知a、b、c满足a＋c＝b，且，则下列结论错误的是（ ）
A．若b＞c＞0，则a＞0 B．若c＝1，则a（a－1）＝1
C．若a2－c2＝2，则ac＝2 D．若bc＝1，则a＝1
【答案】D
【知识点】分式的基本性质；分式的加减法
【解析】【解答】解：A、∵b＞c＞0， 且 a＋c＝b，
∴b-c＞0，a=b-c，
∴a＞0，
∴选项A不符合题意；
B、∵c=1，a+c=b，
∴b=a+1，
∵，
∴，
∴a+1+a=a(a+1)，
∴a(a-1)=1，
∴选项B不符合题意；
C、∵a2－c2＝2，a＋c＝b，，
∴（a-c)(a+c)=2，，
∴（a-c)b=2，ab=ac+bc，
∴，ac=ab-bc=b(a-c），
∴ac=2，
∴选项C不符合题意；
D、∵bc=1， a＋c＝b，且，
∴ab=ac+bc=ac+1，a=b-c，
∴a(b-c）=1，
∴a2=1，
∴a=±1，
∴选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用分式的加减法法则，分式的性质等计算求解即可。
5．（2022七下·杭州期末）若，为实数且满足，，设，，有以下2个结论：若，则；若，则下列判断正确的是（ ）
A．①对②错 B．①错②对 C．①②都错 D．①②都对
【答案】D
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算
【解析】【解答】解：，
当时，，即，
故①正确；
，
当时，，
，，
，
，
，
，
，
故②正确.
综上所述，结论①②都正确.
故答案为：D.
【分析】根据异分母分式减法法则可得M-N=，当ab=1时，M-N=0，据此判断①；根据分式的混合运算法则可得MN=，当a+b=0时，a=-b，MN=<0，据此判断②.
6．（2021八下·乐山期中）已知实数x、y、z满足 ，则 的值（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】因为 ，所以x+y+z≠0，
里边同乘x+y+z得，，
故答案为：B
【分析】考查分式的化简求值，根据分式的基本性质里边同时乘x，y，z，可以让分子出现x 、y 、z 的形式，为了方便与分母约分化简，所以同时乘x+y+z然后化简整理即可。
7．（2020八上·兰陵期末）如果 ， ， 是正数，且满足 ， ，那么 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．
【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵a，b，c是正数，且满足a+b+c=1，
∴a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，
∴
=
=
=
=2
故答案为：C
【分析】先根据题意得到a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，再代入原式计算即可。
8．已知a＋ ＝ ，则a－ 的值为（ ）
A．±2 B．8 C． D．±
【答案】D
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴==.
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式的变形将化成的形式，再将已知代入即可. 解题的关键是掌握完全平方公式的几种变形形式.
二、填空题
9．（2023·绥化）化简： .
【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=()·
=·
=·
=
故答案为：.
【分析】对括号中、外分式的分母进行分解，然后通分，再将除法化为乘法，约分即可对原式进行化简.
10．（2023七下·龙口期中）已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，则y与x之间的函数关系式为 ．
【答案】y=3x+5
【知识点】分式的混合运算；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意得，
∴y=3x+5，
故答案为：y=3x+5
【分析】先根据等可能事件的概率即可列出，再进行化简即可求解。
11．（2023·永嘉模拟）计算： ．
【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：.
【分析】根据同分母分式加法法则可得原式=，然后约分即可.
12．（2022八上·丰台期末）欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域，在初等数学中也留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式：
（其中a，b，c均不为零，且两两互不相等）．
（1）当时，常数p的值为 ．
（2）利用欧拉公式计算： ．
【答案】（1）0
（2）6063
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）当时，
，
故答案为0
（2）令，则
故答案为∶ 6063．
【分析】（1）将r=0代入可得，再通分化简即可；
（2）根据所求式子的特点，可知，再结合公式求解即可.
13．若 ，则 的值为
【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ .
将 代入 中，
∴原式
故答案为： .
【分析】将已知条件变形成代入到 中，逐步降低x的次数，最后同时除以公因式约分，即可求解.
三、计算题
14．（2023八下·玄武期末）先化简，再求值：，其中.
【答案】解：
.
当时，原式.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】对第一个分式的分子、分母进行分解，对括号中的式子进行通分，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行化简，接下来将a的值代入计算即可.
四、解答题
15．（2023八下·龙岗月考）先化简，再求值：，再从不等式的整数解中选择一个适当的数代入求值．
【答案】解：原式
，
不等式的整数解有，0，1，
∵0，1，
∴当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分子、分母进行分解，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行化简，接下来根据分式有意义的条件从-1≤x≤1的整数中选择一个代入计算即可.
16．（2023八下·文山期末）先化简，再求值：，其中是，，中的一个合适的数．
【答案】解：原式
，
要使分式有意义，必须，，
即和，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，最后 ，，中选取一个使分式有意义的值代入计算即可.
五、综合题
17．
（1）【探索】
①如果
，则
.
②如果
，则
.
（2）【总结】如果
(其中a，b，c为常数)，则m= .
（3）【应用】利用上述结论解决：若代数式 的值为整数，求满足条件的整数 的值.
【答案】（1）1；-13
（2）b-ac
（3）解： .
因为x为整数且 为整数，
∴
∴ 或0
【知识点】分式的值；分式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）①将已知等式整理，得
，
即3x＋4=3x+3+m，解得m=1.故答案为1.
②将已知等式整理，得
，
即5x-3=5x＋10＋m，
解得m=-13.
故答案为-13.
（2）将已知等式整理可得
∴ax+b=ax+ac+m
解之：m=b-ac.
【分析】（1）①将方程右边通分可得到
，利用方程左右两边的分母相同，则分子相同，可得到关于x，m的方程，解方程求出m的值；②将方程右边通分可得到
，利用方程左右两边的分母相同，则分子相同，可得到关于x，m的方程，解方程求出m的值.
（2）将方程右边通分可得到
，由此可得到ax+b=ax+ac+m，解方程取出m的值.
（3）将代数式转化为
，再根据此代数式为整数，可知x-1=±1，然后解方程求出x的值.
18．（2021·镇江模拟）阅读材料：
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.
例如：已知 ，求 的值.
解：原式 .
问题解决：
（1）已知 .
①代数式 的值为 ▲ ；
②求证： .
（2）若x满足 ，求 的值.
【答案】（1）解：①1；
②证明：∵xy=1，
∴ =1，
∴
=
=
=
=
=1.
（2）解：设 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ =4043-2ab=1，
解得：ab=2021，
∴ =2021
【知识点】完全平方公式及运用；分式的加减法
【解析】【解答】解：（1）①∵xy=1，
∴
=
=
=
=1.
故答案为：1.
【分析】（1）①将1=xy代入分式，再利用分式减法法则进行计算，然后约分即可；②利用xy=1，可得到x2021y2021=1，再将分式通分计算，可证得结论；
（2）设2021-x=a，2020-x=b，可求出a-b的值；根据 ，可得到a2+b2的值 然后求出（a-b）2=1，整体代入求出ab的值，即可求解.
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