2023-2024学年初中数学七年级上册 10.5 可以化成一元一次方程的分式方程 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023·兰州）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：由题意得，
解得x=1，
经检验，x=1为原方程的解，
故答案为：A
【分析】根据题意解分式方程即可。
2．（2023·日照）若关于的方程解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：解得，
∵关于的方程解为正数，
∴，
∴且，
故答案为：D
【分析】先解方程即可得到，再根据题意结合分式有意义的条件即可得到m的取值范围。
3．（2023七下·宁波期末）若关于x的分式方程有增根，则a的值是（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
【答案】A
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解： ，
方程两边同时乘以（x+1）约去分母，
得x-1=a-2（x+1），
解得，
∵此方程有增根，
∴x+1=0，即，
解得a=-2.
故答案为：A.
【分析】将a作为常数，根据解分式方程的步骤求出x的值，再根据分式方程有增根（增根就是使最简公分母为0的根），可得关于字母a的方程，求解即可.
4．（2023七下·鄞州期末）关于的方程有增根，则，的值为（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】C
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解： ，
去分母，得，
方程有增根，
，
把代入方程，得，
，
故答案为：C.
【分析】利用增根的定义求出方程的解，再将解代入去分母后的整式解方程即可.
5．（2023八下·南溪期中）若整数a使关于x的分式方程的解为非负整数，且使关于y的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．24 B．12 C．6 D．4
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
∴不等式组的解集为10≤y＜2a-3，
∵关于y的不等式组至多有3个整数解，
∴2a-3≤13，
∴a≤8，
∵，
∴1-x+a=x-3，
解得，
∵关于x的分式方程的解为非负整数，
∴，
∴a≥-4且a≠2，
∴-4≤a≤8且a≠2，且a为偶数，
∴符合条件的所有整数a为-4，-2，0，4，6，8，
∴-4-2+0+4+6+8=12，
故答案为：B
【分析】先解出一元一次不等式组，再结合题意即可得到a≤8；再解分式方程，结合题意即可得到a≥-4且a≠2，进而得到-4≤a≤8且a≠2，且a为偶数，再根据题意即可求解。
6．（2022九上·铜梁开学考）如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的所有整数的和是
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由 得： ，
由 得： ．
不等式组无解，
且 ．
，
，
，
．
方程有正整数解，
， 且n+1≠2 ，
∴n＞-1，且n≠1，
∵2≤n≤
∴整数n有2，3，
∴复合条件的所有整数n的和是5.
故答案为：C．
【分析】根据不等式无解可推出，解分式方程可得，由方程有正整数解，可确定n值，继而得解.
7．（2021·陆良模拟）若整数a使关于x的不等式组 无解，且使关于x的分式方程 有整数解，那么所有满足条件的a的值的积是（ ）
A．2 B．3 C． D．8
【答案】C
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式 得x≥5，
解不等式 ，得： ，
∵不等式组无解，
∴ ，
解方程 得 ，
∵分式方程有整数解，
∴ =±1、±3，
解得：a=3或5或-1或1，
又a＜5，所以a只能为-1、1或3
∴所有满足条件的a值的积为 =-3，
故答案为：C．
【分析】解题关键熟练掌握解不等式组和分式方程的基本技能，求出符合条件的a值。注意使分母为0的x值是为增根，舍去。
8．（2021八下·郑州期中）如果关于x的分式方程
＝1+
有正整数解，且关于y的一元一次不等式组
的解集为y≤a，则所有满足条件的整数a的和为（ ）
A．8 B．7 C．3 D．2
【答案】D
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：不等式组整理得：
，
由解集为y≤a，得到a＜5，
分式方程去分母得：x﹣a+2x﹣5＝x﹣2，即2x＝a+3，
解得：x＝
，
∵x＝
<
=4，由x为正整数解，且x≠2
∴x＝﹣1，3，
若x＝1，则
＝1，得a＝﹣1；
若x＝3，则
＝3，得a＝3.
∴和为：﹣1+3＝2.
满足条件的整数a的和为2.
故答案为：D.
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正整数解，确定出a的值，求出之和即可.
二、填空题
9．（2023·北京）方程的解为 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：由题意得，
解得x=1，
故答案为：x=1
【分析】根据题意直接解分式方程即可求解。
10．（2023七下·江州期末）若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是 ．
【答案】m<-1且m≠-2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：给方程两边同时乘以x-1，得2x+m=x-1，
∴x=-m-1.
∵方程的解是正数，
∴-m-1>0且-m-1≠1，
∴m<-1且m≠-2.
故答案为：m<-1且m≠-2.
【分析】给方程两边同时乘以x-1，得2x+m=x-1，则x=-m-1，由方程的解是正数可得-m-1>0且-m-1≠1，求解即可.
11．（2023八下·定边期末）若关于x的分式方程的解为，则 .
【答案】6
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：给方程两边同时乘以(x-1)(x+1)，得x(x+1)=m(x-1).
∵方程的解为x=2，
∴2×3=m(2-1)，
∴m=6.
故答案为：6.
【分析】给方程两边同时乘以(x-1)(x+1)，得x(x+1)=m(x-1)，然后将x=2代入计算就可求出m的值.
12．（2023八下·惠来期末）若关于的方程无解，则的值是 ．
【答案】3或1
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：给方程两边同时乘以(x-1)，得mx=x-1+3，
∴mx-x=2，
∴x=.
∵分式方程无解，
∴x-1=0或m-1=0，
∴=1或m=1，
∴m=3或1.
故答案为：3或1.
【分析】给方程两边同时乘以(x-1)，得mx=x-1+3，则x=，由分式方程无解可得x-1=0或m-1=0，据此求解.
13．（2021七下·浦江期末）已知 ＝ ，则 ＝ ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵ ＝ ，
∴x2-x+1=7x，
∴x2+1=8x，
∵x=0，无解，
∴x+=8，
∴ ，
故答案为： .
【分析】将分式方程化为整式方程，由于x≠0，两边同除以x可得x+=8，再将原式分子分母同除以x2，利用完全平方式变形代值计算即可得出结果.
三、计算题
14．（2019七上·杨浦月考）解方程：
【答案】解：
检验：把 代入最简公分母，最简公分母不等于0，
所以，原分式方程的解为 .
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】因为 , ,所以最简公分母为： ，若采取去分母的通常方法，运量较大，由于 ，故即可得出以下解法.
四、解答题
15．（2023·临安模拟）解分式方程：
小明同学是这样解答的：
解：去分母，得：．
去括号，得：．
移项，合并同类项，得：．
两边同时除以，得：．
经检验，是原方程的解．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【答案】解：有错误，理由如下：
分式方程两边同时乘以
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项，得：，
两边同时除以，得：．
经检验，是原方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】观察小明的解答过程可知第一步出错，先将两方程转化为 ，再在方程的两边同时乘以（x-2） ，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可.
16．（2022七下·桐城期末）先化简，再求值：，其中x是分式方程的解．
【答案】解：
＝÷
＝
＝x-2，
∵
∴，
解得，x＝6，
检验：当x＝6时，x-2≠0，
∴方程的解是x＝6，
当x＝6时，原式＝6-2＝4．
【知识点】分式的基本性质；分式的约分；分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】先化简再求值，因式分解先考虑提公因式法；分式通分；有分式除法的先依照法则转变成乘法；本题x值没有直接给，通过分式方程求取，求解后一定要验根。
五、综合题
17．（2020七上·广水期末）观察下面的变形规律：
……
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想 ；
（2）计算：.
（3）分母中含有未知数的方程叫做分式方程.如.
解法如下：
通分，得，
化简，得，
去分母，得14×6=21x，
解得x=4
分式方程要检验，当x=4时，原方程的分母不为0，所以x=4是原方程的解.
受第（1）问启发，请你解方程：
【答案】（1）
（2）
（3）原方程变形为：，
整理得：，
解得：
当时，原方程的分母不为0，
所以是原方程的解.
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）
；
【分析】（1）由已知的等式可得规律：=；
（2）由（1）中的规律可得原式=1-+-+-+…+-=1-=；
（3）由题意先将方程左边通分，再去分母可得关于x的一元一次方程，解方程求得x的值，再检验即可求解.
18．（2021八下·崇州期中）对于两个不等的非零实数a，b，若分式 的值为0，则x＝a或x＝b.
因为 ，所以关于x的方程x+ ＝a+b的两个解分别为x1＝a，x2＝b.
利用上面建构的模型，解决下列问题：
（1）若方程x+ ＝q的两个解分别为x1＝﹣1，x2＝4.则p＝ ，q＝ ；（直接写出结论）
（2）已知关于x的方程2x+ ＝2n的两个解分别为x1，x2（x1＜x2）.求 的值.
【答案】（1）﹣4；3
（2）解：∵2x+ ＝2n，
∴2x+1+ ＝2n+1，
2x+1+ ＝（n+2）+（n﹣1），
∴2x+1＝n+2或2x+1＝n﹣1，
x＝ 或 ，
∵x1＜x2，
∴x1＝ ，x2＝ ，
∴原式＝
＝
＝1.
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：（1）∵方程x+ ＝q的两个解分别为x1＝﹣1、x2＝4，
∴p＝﹣1×4＝﹣4，q＝﹣1+4＝3，
故答案为：﹣4，3；
【分析】（1）将x1＝﹣1、x2＝4代入原方程即可求解；
（2）先求出2x+1+ ＝（n+2）+（n﹣1），进而得到2x+1＝n+2或2x+1＝n﹣1，解出x的代表式，将x1、x2的值代入原式即可求解.
1 / 12023-2024学年初中数学七年级上册 10.5 可以化成一元一次方程的分式方程 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023·兰州）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·日照）若关于的方程解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
3．（2023七下·宁波期末）若关于x的分式方程有增根，则a的值是（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
4．（2023七下·鄞州期末）关于的方程有增根，则，的值为（ ）
A． B．4 C． D．2
5．（2023八下·南溪期中）若整数a使关于x的分式方程的解为非负整数，且使关于y的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．24 B．12 C．6 D．4
6．（2022九上·铜梁开学考）如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的所有整数的和是
A．7 B．6 C．5 D．4
7．（2021·陆良模拟）若整数a使关于x的不等式组 无解，且使关于x的分式方程 有整数解，那么所有满足条件的a的值的积是（ ）
A．2 B．3 C． D．8
8．（2021八下·郑州期中）如果关于x的分式方程
＝1+
有正整数解，且关于y的一元一次不等式组
的解集为y≤a，则所有满足条件的整数a的和为（ ）
A．8 B．7 C．3 D．2
二、填空题
9．（2023·北京）方程的解为 ．
10．（2023七下·江州期末）若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是 ．
11．（2023八下·定边期末）若关于x的分式方程的解为，则 .
12．（2023八下·惠来期末）若关于的方程无解，则的值是 ．
13．（2021七下·浦江期末）已知 ＝ ，则 ＝ ．
三、计算题
14．（2019七上·杨浦月考）解方程：
四、解答题
15．（2023·临安模拟）解分式方程：
小明同学是这样解答的：
解：去分母，得：．
去括号，得：．
移项，合并同类项，得：．
两边同时除以，得：．
经检验，是原方程的解．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
16．（2022七下·桐城期末）先化简，再求值：，其中x是分式方程的解．
五、综合题
17．（2020七上·广水期末）观察下面的变形规律：
……
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想 ；
（2）计算：.
（3）分母中含有未知数的方程叫做分式方程.如.
解法如下：
通分，得，
化简，得，
去分母，得14×6=21x，
解得x=4
分式方程要检验，当x=4时，原方程的分母不为0，所以x=4是原方程的解.
受第（1）问启发，请你解方程：
18．（2021八下·崇州期中）对于两个不等的非零实数a，b，若分式 的值为0，则x＝a或x＝b.
因为 ，所以关于x的方程x+ ＝a+b的两个解分别为x1＝a，x2＝b.
利用上面建构的模型，解决下列问题：
（1）若方程x+ ＝q的两个解分别为x1＝﹣1，x2＝4.则p＝ ，q＝ ；（直接写出结论）
（2）已知关于x的方程2x+ ＝2n的两个解分别为x1，x2（x1＜x2）.求 的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：由题意得，
解得x=1，
经检验，x=1为原方程的解，
故答案为：A
【分析】根据题意解分式方程即可。
2．【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：解得，
∵关于的方程解为正数，
∴，
∴且，
故答案为：D
【分析】先解方程即可得到，再根据题意结合分式有意义的条件即可得到m的取值范围。
3．【答案】A
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解： ，
方程两边同时乘以（x+1）约去分母，
得x-1=a-2（x+1），
解得，
∵此方程有增根，
∴x+1=0，即，
解得a=-2.
故答案为：A.
【分析】将a作为常数，根据解分式方程的步骤求出x的值，再根据分式方程有增根（增根就是使最简公分母为0的根），可得关于字母a的方程，求解即可.
4．【答案】C
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解： ，
去分母，得，
方程有增根，
，
把代入方程，得，
，
故答案为：C.
【分析】利用增根的定义求出方程的解，再将解代入去分母后的整式解方程即可.
5．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
∴不等式组的解集为10≤y＜2a-3，
∵关于y的不等式组至多有3个整数解，
∴2a-3≤13，
∴a≤8，
∵，
∴1-x+a=x-3，
解得，
∵关于x的分式方程的解为非负整数，
∴，
∴a≥-4且a≠2，
∴-4≤a≤8且a≠2，且a为偶数，
∴符合条件的所有整数a为-4，-2，0，4，6，8，
∴-4-2+0+4+6+8=12，
故答案为：B
【分析】先解出一元一次不等式组，再结合题意即可得到a≤8；再解分式方程，结合题意即可得到a≥-4且a≠2，进而得到-4≤a≤8且a≠2，且a为偶数，再根据题意即可求解。
6．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由 得： ，
由 得： ．
不等式组无解，
且 ．
，
，
，
．
方程有正整数解，
， 且n+1≠2 ，
∴n＞-1，且n≠1，
∵2≤n≤
∴整数n有2，3，
∴复合条件的所有整数n的和是5.
故答案为：C．
【分析】根据不等式无解可推出，解分式方程可得，由方程有正整数解，可确定n值，继而得解.
7．【答案】C
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式 得x≥5，
解不等式 ，得： ，
∵不等式组无解，
∴ ，
解方程 得 ，
∵分式方程有整数解，
∴ =±1、±3，
解得：a=3或5或-1或1，
又a＜5，所以a只能为-1、1或3
∴所有满足条件的a值的积为 =-3，
故答案为：C．
【分析】解题关键熟练掌握解不等式组和分式方程的基本技能，求出符合条件的a值。注意使分母为0的x值是为增根，舍去。
8．【答案】D
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：不等式组整理得：
，
由解集为y≤a，得到a＜5，
分式方程去分母得：x﹣a+2x﹣5＝x﹣2，即2x＝a+3，
解得：x＝
，
∵x＝
<
=4，由x为正整数解，且x≠2
∴x＝﹣1，3，
若x＝1，则
＝1，得a＝﹣1；
若x＝3，则
＝3，得a＝3.
∴和为：﹣1+3＝2.
满足条件的整数a的和为2.
故答案为：D.
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正整数解，确定出a的值，求出之和即可.
9．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：由题意得，
解得x=1，
故答案为：x=1
【分析】根据题意直接解分式方程即可求解。
10．【答案】m<-1且m≠-2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：给方程两边同时乘以x-1，得2x+m=x-1，
∴x=-m-1.
∵方程的解是正数，
∴-m-1>0且-m-1≠1，
∴m<-1且m≠-2.
故答案为：m<-1且m≠-2.
【分析】给方程两边同时乘以x-1，得2x+m=x-1，则x=-m-1，由方程的解是正数可得-m-1>0且-m-1≠1，求解即可.
11．【答案】6
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：给方程两边同时乘以(x-1)(x+1)，得x(x+1)=m(x-1).
∵方程的解为x=2，
∴2×3=m(2-1)，
∴m=6.
故答案为：6.
【分析】给方程两边同时乘以(x-1)(x+1)，得x(x+1)=m(x-1)，然后将x=2代入计算就可求出m的值.
12．【答案】3或1
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：给方程两边同时乘以(x-1)，得mx=x-1+3，
∴mx-x=2，
∴x=.
∵分式方程无解，
∴x-1=0或m-1=0，
∴=1或m=1，
∴m=3或1.
故答案为：3或1.
【分析】给方程两边同时乘以(x-1)，得mx=x-1+3，则x=，由分式方程无解可得x-1=0或m-1=0，据此求解.
13．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵ ＝ ，
∴x2-x+1=7x，
∴x2+1=8x，
∵x=0，无解，
∴x+=8，
∴ ，
故答案为： .
【分析】将分式方程化为整式方程，由于x≠0，两边同除以x可得x+=8，再将原式分子分母同除以x2，利用完全平方式变形代值计算即可得出结果.
14．【答案】解：
检验：把 代入最简公分母，最简公分母不等于0，
所以，原分式方程的解为 .
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】因为 , ,所以最简公分母为： ，若采取去分母的通常方法，运量较大，由于 ，故即可得出以下解法.
15．【答案】解：有错误，理由如下：
分式方程两边同时乘以
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项，得：，
两边同时除以，得：．
经检验，是原方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】观察小明的解答过程可知第一步出错，先将两方程转化为 ，再在方程的两边同时乘以（x-2） ，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可.
16．【答案】解：
＝÷
＝
＝x-2，
∵
∴，
解得，x＝6，
检验：当x＝6时，x-2≠0，
∴方程的解是x＝6，
当x＝6时，原式＝6-2＝4．
【知识点】分式的基本性质；分式的约分；分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】先化简再求值，因式分解先考虑提公因式法；分式通分；有分式除法的先依照法则转变成乘法；本题x值没有直接给，通过分式方程求取，求解后一定要验根。
17．【答案】（1）
（2）
（3）原方程变形为：，
整理得：，
解得：
当时，原方程的分母不为0，
所以是原方程的解.
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）
；
【分析】（1）由已知的等式可得规律：=；
（2）由（1）中的规律可得原式=1-+-+-+…+-=1-=；
（3）由题意先将方程左边通分，再去分母可得关于x的一元一次方程，解方程求得x的值，再检验即可求解.
18．【答案】（1）﹣4；3
（2）解：∵2x+ ＝2n，
∴2x+1+ ＝2n+1，
2x+1+ ＝（n+2）+（n﹣1），
∴2x+1＝n+2或2x+1＝n﹣1，
x＝ 或 ，
∵x1＜x2，
∴x1＝ ，x2＝ ，
∴原式＝
＝
＝1.
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：（1）∵方程x+ ＝q的两个解分别为x1＝﹣1、x2＝4，
∴p＝﹣1×4＝﹣4，q＝﹣1+4＝3，
故答案为：﹣4，3；
【分析】（1）将x1＝﹣1、x2＝4代入原方程即可求解；
（2）先求出2x+1+ ＝（n+2）+（n﹣1），进而得到2x+1＝n+2或2x+1＝n﹣1，解出x的代表式，将x1、x2的值代入原式即可求解.
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