2023-2024学年初中数学七年级上册 10.6 整数指数幂及其运算 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023七下·郑州期中）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七下·文成期中）若，则代数式的值为（ ）
A． 8 B． C．16 D．
3．（2023·天河模拟）下列运算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．（2023七下·宿迁期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023七下·南山期中）下列计算正确的是（ ）
A．a3·a3＝a5 B．（π－3.14）0＝1
C．（）－1＝－2 D．x20÷x2＝x10
6．（2023七下·金寨期中）下列关于幂的运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023七下·威海期中）若，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023七下·石家庄期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（ ）
结论 Ⅰ ：若n的值为5，则y的值为1；
结论Ⅱ：的值为定值；
结论Ⅲ：若，则y的值为4或1．
A．Ⅰ ，Ⅲ均对 B．Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅱ错，Ⅲ对 D．Ⅰ ，Ⅱ均错
二、填空题
9．（2023七下·槐荫期中）计算： ．
10．（2023·枣庄）计算 ．
11．（2023七下·盐都期中）如果，，那么a、b的大小关系为 ．
12．（2023·长丰模拟） ．
13．（2019八上·武冈期中）若 ，则 。
三、计算题
14．（2019七上·杨浦月考）已知 ，求 的值.
四、解答题
15．已知代数式：①4β+1，②，③﹣2，④0，又设k=2n且α，β，n为整数，
（1）讨论n的正负性，判断①、②、③、④这4个代数式中与k相等的可能性？
（2）进一步说明4β+1与两个代数式相等的可能性．
五、综合题
16．（2022七上·新城月考）已知P＝A·B-M．
（1）若A＝(-3)0，B＝，M＝|-1|，求P的值；
（2）若A＝3，B＝x，M＝5x-1，且P≤3，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出解集．
17．（2020七下·镇江月考）
（1）观察：，，我们发现 ；
（2）仿照（1），请你通过计算，判断 与 之间的关系；
（3）我们可以发现： （）m（ab≠0）；
（4）计算： .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；负整数指数幂；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、2ab-ab=ab，故A错误；
B、x3·x2=x5，故B错误；
C、(x3)2=x6，故C错误；
D、1÷x-2=1÷=x2，故D正确.
故答案为：D.
【分析】合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断B；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断C；根据负整数指数幂的运算性质可判断D.
2．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；负整数指数幂
【解析】【解答】解：∵(x-m)(x-n)=x2-(m+n)x+mn=x2+2x-4，
∴m+n=-2，mn=-4，
∴(mn)m+n=(-2)-4==.
故答案为：D.
【分析】根据多项式与多项式的乘法法则可得(x-m)(x-n)=x2-(m+n)x+mn，结合已知条件可得m+n、mn的值，然后利用负整数指数幂的运算性质进行计算.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；负整数指数幂；同类项
【解析】【解答】解：A、x2·x3=x5，故A错误；
B、2与不是同类项，不能合并，故B错误；
C、(a-2)2=a2-4a+4，故C错误；
D、2-3==，故D正确.
故答案为：D.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断A；根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同的项可判断B；根据完全平方公式可判断C；根据负整数指数幂的运算性质可判断D.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；负整数指数幂；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、a2-a2=0，故错误；
B、a2·a3=a5，故错误；
C、(a3)3=a9，故错误；
D、a2÷a3=a-1=，故正确.
故答案为：D.
【分析】合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断B；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断C；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断D.
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】A、a3·a3＝a3+3=a6，A不符合题意；
B、，B符合题意；
C、（）－1 =2，C不符合题意；
D、x20÷x2＝x18，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用同底数幂的乘法、0指数幂、负指数幂和同底数幂的除法逐项判断即可。
6．【答案】B
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；幂的乘方
【解析】【解答】A、∵，∴A不符合题意；
B、∵，∴B符合题意；
C、∵，∴C不符合题意；
D、∵，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用有理数的乘方、0指数幂、负指数幂及幂的乘方逐项判断即可。
7．【答案】B
【知识点】有理数大小比较；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解： ，，，
∵4＞1＞，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】根据负整数指数幂、零指数幂分别计算求出a、b、c的值，再比较即可.
8．【答案】B
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得：，
②-①得：2x=n-m，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∵m+n=8，
∴当n=5时，m=3，
∴，
∴结论Ⅰ正确；
∵①+②得：4x+4y=8，
∴x+y=2，
∴结论Ⅱ正确；
∴当x=1时，y=1，满足 ，
∴m-3n=0，
∴m=3n，
∴m=6，n=2，
∴当x=-2，y=4时，满足，
当x=-1时，则y=3，
∴m=-1+2×3=5，n=-1×3+2×3=3，
∴m-3n=5-3×3=-4，满足，
综上所述：当 时，y的值为4或3或1，
∴结论Ⅲ错误；
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出，再利用二元一次方程的解，零指数幂和负整数指数幂等计算求解即可。
9．【答案】
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】根据负整数指数幂进行运算即可求解。
10．【答案】3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】，
故答案为：3.
【分析】先利用0指数幂和负指数幂的性质化简，再计算即可。
11．【答案】
【知识点】有理数大小比较；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：∵a=(-3)0=1，b=()-1=3，1<3，
∴a故答案为：a【分析】根据0次幂以及负整数指数幂的运算性质求出a、b的值，然后进行比较.
12．【答案】-1
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】原式=3-4=-1
故答案为：-1
【分析】根据开方运算和负指数幂求解即可
13．【答案】-2或3
【知识点】零指数幂；幂的乘方
【解析】【解答】(1) 任何不为零的数的零次幂等于1，
∴ ，
解得： ，(2) 1的任何次幂都是1，
∴ ，
解得： ，(3) ﹣1的偶次幂等于1
∴ ，且 为偶数，
解得：无解，
故答案为：﹣2或3．
【分析】根据任何不为零的数的零次幂等于1，1的任何次幂都是1，﹣1的偶次幂等于1进行计算即可．
14．【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
，
，
.
【知识点】代数式求值；分式的化简求值；负整数指数幂
【解析】【分析】根据题意求出 ，然后根据负整数指数幂的性质变形，再利用分式的运算法则进行化简，然后整体代入求值即可.
15．【答案】解：（1）因为：①4β+1=22β+2，②=21﹣2α，k=2n且α，β，n为整数，
所以k=2n不能等于0，也不能等于﹣2，
所以①、②、③、④这4个代数式中与k相等的可能性只能是①和②；
（2）不能，理由如下：
因为：①4β+1=22β+2，②=21﹣2α，
若代数式相等时，则有2β+2=1﹣2α，
可得2（α+β）=﹣1，
所以当α，β为整数，其2倍不能是﹣1，
所以4β+1与两个代数式不能相等．
【知识点】同底数幂的乘法；负整数指数幂；幂的乘方
【解析】【分析】将几个代数式进行整理得出：①4β+1=22β+2，②=21﹣2α，再比较即可．
16．【答案】（1）解：由题意得，A＝1，B＝-2，M＝1，
∴P＝1×(-2)-1＝-3；
（2）解：由题意得，P＝A·B-M＝3x- (5x-1)＝-2x+1．
∵P≤3，
∴-2x+1≤3，
解得：x≥-1；
在数轴上表示如图所示．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；整式的加减运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质分别求出A、B、M的值，继而求出P值；
（2）先求出P＝A·B-M＝-2x+1，由P≤3得-2x+1≤3，求出解集并在数轴上表示出来即可.
17．【答案】（1）=
（2）∵，，
∴= ；
（3）=
（4）解:
【知识点】同底数幂的乘法；负整数指数幂；积的乘方
【解析】【分析】（1）（2）根据有理数乘方运算的方法及负指数的意义计算出结果后，就会发现，它们的值相等；
（3）通过观察即可发现：若果底数互为倒数，指数互为相反数的两个式子计算的结果是相等的，从而即可得出答案；
（4）首先根据（3）的结论将转化为，然后根据同底数幂的乘法法则的逆用将变形为，进而再利用积的乘方法则的逆用即可简化运算算出结果.
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一、选择题
1．（2023七下·郑州期中）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；负整数指数幂；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、2ab-ab=ab，故A错误；
B、x3·x2=x5，故B错误；
C、(x3)2=x6，故C错误；
D、1÷x-2=1÷=x2，故D正确.
故答案为：D.
【分析】合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断B；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断C；根据负整数指数幂的运算性质可判断D.
2．（2023七下·文成期中）若，则代数式的值为（ ）
A． 8 B． C．16 D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；负整数指数幂
【解析】【解答】解：∵(x-m)(x-n)=x2-(m+n)x+mn=x2+2x-4，
∴m+n=-2，mn=-4，
∴(mn)m+n=(-2)-4==.
故答案为：D.
【分析】根据多项式与多项式的乘法法则可得(x-m)(x-n)=x2-(m+n)x+mn，结合已知条件可得m+n、mn的值，然后利用负整数指数幂的运算性质进行计算.
3．（2023·天河模拟）下列运算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；负整数指数幂；同类项
【解析】【解答】解：A、x2·x3=x5，故A错误；
B、2与不是同类项，不能合并，故B错误；
C、(a-2)2=a2-4a+4，故C错误；
D、2-3==，故D正确.
故答案为：D.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断A；根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同的项可判断B；根据完全平方公式可判断C；根据负整数指数幂的运算性质可判断D.
4．（2023七下·宿迁期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；负整数指数幂；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、a2-a2=0，故错误；
B、a2·a3=a5，故错误；
C、(a3)3=a9，故错误；
D、a2÷a3=a-1=，故正确.
故答案为：D.
【分析】合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断B；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断C；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断D.
5．（2023七下·南山期中）下列计算正确的是（ ）
A．a3·a3＝a5 B．（π－3.14）0＝1
C．（）－1＝－2 D．x20÷x2＝x10
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】A、a3·a3＝a3+3=a6，A不符合题意；
B、，B符合题意；
C、（）－1 =2，C不符合题意；
D、x20÷x2＝x18，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用同底数幂的乘法、0指数幂、负指数幂和同底数幂的除法逐项判断即可。
6．（2023七下·金寨期中）下列关于幂的运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；幂的乘方
【解析】【解答】A、∵，∴A不符合题意；
B、∵，∴B符合题意；
C、∵，∴C不符合题意；
D、∵，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用有理数的乘方、0指数幂、负指数幂及幂的乘方逐项判断即可。
7．（2023七下·威海期中）若，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数大小比较；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解： ，，，
∵4＞1＞，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】根据负整数指数幂、零指数幂分别计算求出a、b、c的值，再比较即可.
8．（2023七下·石家庄期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（ ）
结论 Ⅰ ：若n的值为5，则y的值为1；
结论Ⅱ：的值为定值；
结论Ⅲ：若，则y的值为4或1．
A．Ⅰ ，Ⅲ均对 B．Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅱ错，Ⅲ对 D．Ⅰ ，Ⅱ均错
【答案】B
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得：，
②-①得：2x=n-m，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∵m+n=8，
∴当n=5时，m=3，
∴，
∴结论Ⅰ正确；
∵①+②得：4x+4y=8，
∴x+y=2，
∴结论Ⅱ正确；
∴当x=1时，y=1，满足 ，
∴m-3n=0，
∴m=3n，
∴m=6，n=2，
∴当x=-2，y=4时，满足，
当x=-1时，则y=3，
∴m=-1+2×3=5，n=-1×3+2×3=3，
∴m-3n=5-3×3=-4，满足，
综上所述：当 时，y的值为4或3或1，
∴结论Ⅲ错误；
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出，再利用二元一次方程的解，零指数幂和负整数指数幂等计算求解即可。
二、填空题
9．（2023七下·槐荫期中）计算： ．
【答案】
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】根据负整数指数幂进行运算即可求解。
10．（2023·枣庄）计算 ．
【答案】3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】，
故答案为：3.
【分析】先利用0指数幂和负指数幂的性质化简，再计算即可。
11．（2023七下·盐都期中）如果，，那么a、b的大小关系为 ．
【答案】
【知识点】有理数大小比较；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：∵a=(-3)0=1，b=()-1=3，1<3，
∴a故答案为：a【分析】根据0次幂以及负整数指数幂的运算性质求出a、b的值，然后进行比较.
12．（2023·长丰模拟） ．
【答案】-1
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】原式=3-4=-1
故答案为：-1
【分析】根据开方运算和负指数幂求解即可
13．（2019八上·武冈期中）若 ，则 。
【答案】-2或3
【知识点】零指数幂；幂的乘方
【解析】【解答】(1) 任何不为零的数的零次幂等于1，
∴ ，
解得： ，(2) 1的任何次幂都是1，
∴ ，
解得： ，(3) ﹣1的偶次幂等于1
∴ ，且 为偶数，
解得：无解，
故答案为：﹣2或3．
【分析】根据任何不为零的数的零次幂等于1，1的任何次幂都是1，﹣1的偶次幂等于1进行计算即可．
三、计算题
14．（2019七上·杨浦月考）已知 ，求 的值.
【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
，
，
.
【知识点】代数式求值；分式的化简求值；负整数指数幂
【解析】【分析】根据题意求出 ，然后根据负整数指数幂的性质变形，再利用分式的运算法则进行化简，然后整体代入求值即可.
四、解答题
15．已知代数式：①4β+1，②，③﹣2，④0，又设k=2n且α，β，n为整数，
（1）讨论n的正负性，判断①、②、③、④这4个代数式中与k相等的可能性？
（2）进一步说明4β+1与两个代数式相等的可能性．
【答案】解：（1）因为：①4β+1=22β+2，②=21﹣2α，k=2n且α，β，n为整数，
所以k=2n不能等于0，也不能等于﹣2，
所以①、②、③、④这4个代数式中与k相等的可能性只能是①和②；
（2）不能，理由如下：
因为：①4β+1=22β+2，②=21﹣2α，
若代数式相等时，则有2β+2=1﹣2α，
可得2（α+β）=﹣1，
所以当α，β为整数，其2倍不能是﹣1，
所以4β+1与两个代数式不能相等．
【知识点】同底数幂的乘法；负整数指数幂；幂的乘方
【解析】【分析】将几个代数式进行整理得出：①4β+1=22β+2，②=21﹣2α，再比较即可．
五、综合题
16．（2022七上·新城月考）已知P＝A·B-M．
（1）若A＝(-3)0，B＝，M＝|-1|，求P的值；
（2）若A＝3，B＝x，M＝5x-1，且P≤3，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出解集．
【答案】（1）解：由题意得，A＝1，B＝-2，M＝1，
∴P＝1×(-2)-1＝-3；
（2）解：由题意得，P＝A·B-M＝3x- (5x-1)＝-2x+1．
∵P≤3，
∴-2x+1≤3，
解得：x≥-1；
在数轴上表示如图所示．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；整式的加减运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质分别求出A、B、M的值，继而求出P值；
（2）先求出P＝A·B-M＝-2x+1，由P≤3得-2x+1≤3，求出解集并在数轴上表示出来即可.
17．（2020七下·镇江月考）
（1）观察：，，我们发现 ；
（2）仿照（1），请你通过计算，判断 与 之间的关系；
（3）我们可以发现： （）m（ab≠0）；
（4）计算： .
【答案】（1）=
（2）∵，，
∴= ；
（3）=
（4）解:
【知识点】同底数幂的乘法；负整数指数幂；积的乘方
【解析】【分析】（1）（2）根据有理数乘方运算的方法及负指数的意义计算出结果后，就会发现，它们的值相等；
（3）通过观察即可发现：若果底数互为倒数，指数互为相反数的两个式子计算的结果是相等的，从而即可得出答案；
（4）首先根据（3）的结论将转化为，然后根据同底数幂的乘法法则的逆用将变形为，进而再利用积的乘方法则的逆用即可简化运算算出结果.
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