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基础知识
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
二者可合并为：一条直线①过圆心②垂直 ( http: / / www.21cnjy.com )于一条弦③平分这条弦④平分弦所对的劣弧⑤平分弦所对的优弧，这五个条件只需知道两个，即可得出另外三个（平分弦时，直径除外）
二、重难点分析
本课教学重点：垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。
本课教学难点：垂径定理及其性质的应用。
理解垂径定理的关键是：圆的轴对称性。
三、典例精析：
例1：（2013 徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为（ ）
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A．10 B．8 C．5 D．3
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.
例2．如图，以AB为直径的半圆O上有两 ( http: / / www.21cnjy.com )点D、E， ED与BA的延长线交于点C，且有DC=OE，若∠C=20°，则∠EOB的度数是 。
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( http: / / www.21cnjy.com )四、感悟中考
1、（2014·泸州）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a ）(a>3),半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（ ）
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A． 4 B． C． D．
( http: / / www.21cnjy.com )【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．
2、（2014 厦门）已知A， ( http: / / www.21cnjy.com )B，C，D是⊙O上的四个点．（1）如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求证：AC⊥BD；（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB=2，DC=4，求⊙O的半径．
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【点评】此题综合运用了圆周角定理的推论、垂径定理的推论、等弧对等弦以及勾股定理。学会作辅助线是解题的关键
五、专项训练。
（一）基础练习
1、（2013 绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（ ）
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A．4m B．5m C．6m D．8m
( http: / / www.21cnjy.com )2、（2013 嘉兴）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2 B．8 C．2 D．2
( http: / / www.21cnjy.com )【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
3、（2013 南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=∠BOD，则⊙O的半径为（ ）
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A．4 B．5 C．4 D．3
( http: / / www.21cnjy.com )（2013 内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为 ．
( http: / / www.21cnjy.com )（二）提升练习
（2013甘肃兰州）如图是一圆柱形输水 ( http: / / www.21cnjy.com )管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
( http: / / www.21cnjy.com )2、（2013 泸州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（ ）
A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用。注意本题的两种情况。( http: / / www.21cnjy.com )
基础知识
通过观察实验，使学生了解圆心角的概念.
通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然 ( http: / / www.21cnjy.com )后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题，进一步理解和体会研究几何图形的各种方法.
2.掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等，以及它们在解题中的应用．
2、定义和定理：
（1）圆心角：在纸上任意画一个圆，任意画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这样的角就是圆心角.
（2）定理：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．
二、重难点分析
本课教学重点：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．
本课教学难点：探索定理和推导及其应用．激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.
三、典例精析：
例1：如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（ ）
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A．cm B．cm C．cm D．4cm
( http: / / www.21cnjy.com )例2．如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成立的是（ ）
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A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE
( http: / / www.21cnjy.com )四、感悟中考
1、（2014 贵港）如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．51° B．56° C．68° D．78
( http: / / www.21cnjy.com )【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
2、（2014 江北区模拟）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，则⊙O的周长为（ ）
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A．5πcmB． 6πcm C．9πcm D．8πcm
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【点评】本题考查旋转的性质以及等边三角形的判定和性质，注意掌握图形旋转前后的关系。
五、专项训练。
（一）基础练习
1、（2013台湾）如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若=62°，则的度数为何？（ ）
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A．56° B．58° C．60° D．62°
【答案】A
【考点】圆心角、弧、弦的关系；平行线的性质．
( http: / / www.21cnjy.com )2、（2013 常州）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC= ．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )3、（2013 普陀区模拟）如图，在⊙O中，AD、BC相交于点E，OE平分∠AEC．
（1）求证：AB=CD；
（2）如果⊙O的半径为5，AD⊥CB，DE=1，求AD的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )∴OM=ME
( http: / / www.21cnjy.com )4、如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC=CD．
（1）求证：OC∥BD；
（2）若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC的形状．
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( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )（二）提升练习
1、如图，AD是⊙O的直径．
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（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是 °，∠B2的度数
是 °
（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；
（3）如图③，垂直于AD的n条弦B ( http: / / www.21cnjy.com )1C1，B2C2，B3C3，…，BnCn把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠Bn的度数（只需直接写出答案）．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )【点评】本题是把求圆周角的度数的问题转化为求弧的度数的问题，依据是圆周角等于所对弧的度数的一半．
已知Rt△ABC中，∠ACB=90° ( http: / / www.21cnjy.com )，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．
（Ⅰ）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2=AM2+BN2；
（思路点拨：考虑MN2=AM2+BN2 ( http: / / www.21cnjy.com )符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN=BN，∠MDN=90°就可以了．请你完成证明过程．）
（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
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( http: / / www.21cnjy.com )【解答】（Ⅰ）证明：∵将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN
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【点评】此题的关键是辅助线， ( http: / / www.21cnjy.com )让MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，转化为在直角三角形中解决．做几何题加辅助线是关键，所以学生要尽可能多的从题中总结，加辅助线的规律．( http: / / www.21cnjy.com )
基础知识
圆的有关概念：
圆：在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合。其中，定点为圆心，定长为半径。
弦：连接圆上任意两点的线段。经过圆心的弦是直径。
弧：圆上任意两点间的部分叫弧。圆上任一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧角做优弧，小于半圆的弧叫劣弧。
圆的性质：
同圆或等圆中：半径、直径都相等。
圆有无数条弦，其中最长的弦为直径。
圆是轴对称图形，对称轴为直径所在的直线，有无数条。圆是中心对称图形，并且无论绕圆心旋转多少度，都可以和原图形重合。
二、重难点分析
本课教学重点：弦和弧的概念、弧的表示方法和点与圆的位置关系．
本课教学难点：点和圆的位置关系及判定。通过日常生活在生产中的实例引导学生对学习圆的兴趣。
三、典例精析：
例1：（2014 长春二模）如图，AB是 ( http: / / www.21cnjy.com )⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（ ）
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A．70° Ｂ．60° Ｃ．50° Ｄ．40°
∴∠DAO=∠AOC=70°
( http: / / www.21cnjy.com )例2．如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC=OE，若∠C=20°，则∠EOB的度数是 。
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( http: / / www.21cnjy.com )四、感悟中考
１、（2013 温州）在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作
，如图所示．若AB=4，AC=2，S1-S2=，则S3-S4的值是（ ）
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Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
( http: / / www.21cnjy.com )2、如图，已知同心圆O，大圆的半径AO、BO分别交小圆于C、D，试判断四边形ABDC的形状．并说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )∠A
( http: / / www.21cnjy.com )五、专项训练。
（一）基础练习
1、已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD．
求证：△OAC≌△OBD．
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( http: / / www.21cnjy.com )2、如图，AB、CD为⊙O中两条直径，点E、F在直径CD上，且CE=DF．求证：AF=BE．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )【点评】本题考查圆的基本性质、全等三角形判定。找到三角形全等的条件为本题关键。
如图：A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=50°，∠OBC=40°，求∠OAC的度数．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )【点评】本题考查的是圆的基本性质。等腰三角形性质。三角形内角和的性质。找对三角形和正确利用等腰三角形的性质是本题的关键。
如图，已知OA、OB是⊙O的两条半径，C、D为OA、OB上的两点，且AC=BD．求证：AD=BC．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )【点评】本题考查圆的基本性质、全等三角形判定。根据性质找到全等三角形判定的条件是关键。
（二）提升练习
如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB=a，那么⊙O的周长l=πa．
计算：（1）把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长l2＝πa＝l；
（2）把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长l3= ；
（3）把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长l4= ；
（4）把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长ln= ；
结论：把大圆的直径分成n条相等的线段，以每 ( http: / / www.21cnjy.com )条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的 ．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．
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( http: / / www.21cnjy.com )【点评】本题考查了圆的周长公式和圆的面积公式．
2、如图，直线AB经过⊙O的圆心，与⊙O相 ( http: / / www.21cnjy.com )交于点A、B，点C在⊙O上，且∠AOC=30°，点P是直线AB上的一个动点（与O不重合），直线PC与⊙O相交于点Q，问：点P在直线AB的什么位置上时，QP=QO？这样的点P共有几个？并相应地求出∠OCP的度数．
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( http: / / www.21cnjy.com )∵OC=OQ
∴∠OQP=①
∵OQ=PQ
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【点评】此题主要考查了菱形 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定以及旋转的性质和直角三角形斜边上的中线等性质，得出△DFC和△ADC是等边三角形，从而得到AD=DF=FC=CA是解题关键．基础知识
1、理解圆周角的概念掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；理解圆周角概念,理解圆周用与圆心角的异同;
2.掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的特征;
3.能灵活运用圆周角的性质解决问题;
圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.(注意两点:1.角的顶点在圆上;2.角的两边都与圆相交,二者缺一不可.)
圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
推论1：同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。（也是圆周角定理的逆定理，要通过圆心角来转换）
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。
二、重难点分析
本课教学重点：圆周角与圆心角的关系,圆周角的性质和直径所对圆周角的特征.
本课教学难点：发现并证明圆周角定理.
三、典例精析：
例1：（2014 齐齐哈尔）如图，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD=60°，则∠CAD的度数等于（ ）
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A．15° B．20° C．25° D．30°
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例2．
(2014年天津市)已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
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（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
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【点评】本题综合考查了圆 ( http: / / www.21cnjy.com )周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形．
四、感悟中考
1、（2014 牡丹江）如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是( )
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Ａ．30° B．45° C．60° D．75°
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【点评】本题可直接根据圆周角的性质和等边三角形性质来解答。
2、（2014 齐齐哈尔）如图，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD=60°，则∠CAD的度数等于（ ）
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Ａ．15° B．20° C．25° D．30°
( http: / / www.21cnjy.com )五、专项训练。
（一）基础练习
1、（2013济宁）如图，以等边三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（ ）
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A．4 B． C．6 D．
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故选B
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【点评】此题考查了切线的性质，等边三角形的性质，含30°直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
2、（2013 嘉兴）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（ ）
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A．2 B．８ Ｃ．2 Ｄ．2
在Rt△BCE中
( http: / / www.21cnjy.com )3、（2013泰安）如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（ ）
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A．60° B．70° C．120° D．140°
( http: / / www.21cnjy.com )4、（2013 南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=∠BOD，则⊙O的半径为（ ）
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A．4 B．5 C．4 D．3
( http: / / www.21cnjy.com )（二）提升练习
（2013 呼和浩特）在 ( http: / / www.21cnjy.com )平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为 ．
( http: / / www.21cnjy.com )以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C
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( http: / / www.21cnjy.com )【点评】本题难度较大．由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口，也是本题的难点所在．
2、（2013 资阳）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．
（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；
（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．
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【点评】本题考查了垂径定理，勾股定 ( http: / / www.21cnjy.com )理的应用，翻折的变换的性质，以及圆周角定理，（1）作辅助线构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形是解题的关键，（2）根据同弧所对的圆周角相等求解是解题的关键．
