一、基础知识
1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边 ( http: / / www.21cnjy.com )的比相等的三角形叫做相似三角形。△ABC和△DEF相似，记作△ABC∽△DEF，其中我们把对应边的比叫做相似比。（相似比等于1时，两个三角形全等。）
注意：①用“∽”表示两个图形相似时，对应的顶点应该写在对应的位置上。
②相似比带有顺序性，如：△ABC∽△A’B’C’，则，反过来△A’B’C’与
△ABC的相似比为。
2、相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。
3、相似三角形的判定方法一：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似。
重难点分析
本节课的重点和难点是相似三角形的判定方法一：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似。
因为DE∥BC,所以如下图中的△ABC∽△DEF。
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例1：如图，已知在平行四边形ABCD中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE,
DE与BC相交于点F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比。
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( http: / / www.21cnjy.com )例2：如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD于点E．
（1）求证：△CDE∽△FAE．（2）当E是AD的中点且BC=2CD时，求证：∠F=∠BCF．
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( http: / / www.21cnjy.com )三、中考感悟
1、（2014 甘肃白银、临夏）如图，边长 ( http: / / www.21cnjy.com )为1的正方形ABCD中，点E在CB延长线上，连接ED交AB于点F，AF=x（0.2≤x≤0.8），EC=y．则在下面函数图象中，大致能反映y与x之闻函数关系的是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )2、（2014南宁） 如图10，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G.
(1) 求证：△ADE≌△CFE；
(2) 若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长.
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( http: / / www.21cnjy.com )四、专项训练
基础练习
1、如图，BC∥FG∥ED,则图中共有相似三角形（ ）
A 1对 B 2对 C 3对 D 4对
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( http: / / www.21cnjy.com )2、如图，在中，EF∥AB,DE∶EA=2∶3，EF=4，则CD的长为（ ）
A. B. 8 C. 10 D.16
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3、如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框 ( http: / / www.21cnjy.com )AB在地面上的影长DE=1.8m，窗户下檐到地面的距离BC=1m，EC=1.2m，那么窗户的高AB为（ ）
A 1.5m B 1.6m C 1.86m D 2.16m
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( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )4、如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD于点E．
（1）求证：△CDE∽△FAE．（2）当E是AD的中点且BC=2CD时，求证：∠F=∠BCF．
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( http: / / www.21cnjy.com )5、小明正在攀登一个如图所示的攀登架,DE和BC是两根互相平行的固定架,DE=10 m,BC=18 m,小明从底部固定点B开始攀登,攀行8米,遇上第二个固定点D,小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A
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( http: / / www.21cnjy.com )（二）提升练习
6、如图,过梯形ABCD对角线AC,BD的交点O作EF∥AD,分别交两腰AB,DC于E,F两点,则图中的相似三角形共有( )
A.7对 B.6对 C.5对 D.4对
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( http: / / www.21cnjy.com )7、如图在△ABC中，DE∥BC,AD=EC,DB=1cm,AE=4cm,BC=5cm,则DE的长为_________。 ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )基础知识
相似三角形的判定（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
如图，在△ABC和△A’B’C’中，如果
那么△ABC∽△A’B’C’。
二、重难点分析
本节课的重点和难点是相似三角形的判定方法——三组对应边的比相等的两个三角形相似，并能利用其解决问题。
例：如图，已知,试证明∠BAD=∠CAE。
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( http: / / www.21cnjy.com )三、中考感悟
1、（2014 长沙模拟）如图，在正方形网格上，与△ABC相似的三角形是（ ）
A. △AFD B. △AED C. △FED D. 不能确定
( http: / / www.21cnjy.com )四、专项训练
（一）基础练习
1、依据下列条件，判定△ABC与△A′ ( http: / / www.21cnjy.com )B′C′是不是相似，并说明为什么。AB=4 cm,BC=6 cm,AC=8 cm,A′B′=12 cm,B′C′=18 cm,A′C′=24 cm.
( http: / / www.21cnjy.com )2、如图，在△ABC中，点D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且AD=3，AE=6，DE=5，BD=15，CE=3，BC=15，根据以上条件，你认为∠B=∠AED吗？
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3、一个三角形的三边之比是2:5:6，和它相似的另一个三角形的最大边为24cm，则它的最小边为 。
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4、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
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① ② ③ ④
A.①和② B.②和③ C.①和③ D.②和④
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5、已知在Rt△ABC中，∠C=90 ( http: / / www.21cnjy.com ),AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90 ,DF=3，EF=4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？
( http: / / www.21cnjy.com )形相似，应看三角形的三组对应边的比是否相等，而不是两边。
6、要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？
( http: / / www.21cnjy.com )【点评】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的三边对应成比例．
（二）提升练习
7、如图，若A,B,C,P,Q,甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC,则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）。
A 甲 B 乙 C 丙 D 丁
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根据题意，△ABC的三边之比为∶∶，
( http: / / www.21cnjy.com )8、在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点.以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A1B1C1，使ΔA1B1C1与格点三角形ABC相似(相似比不为1).
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( http: / / www.21cnjy.com )一、基础知识
相似三角形的判定（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
如图，在△ABC和△DEF中，如果∠A=∠D, ∠B=∠E，那么△ABC∽△DEF。
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重难点分析
本节课的重难点是三角形相似的判定判定方法：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
这是我们在解题中证明三角形相似最常用的方法之一，要牢固掌握。
三、中考感悟
1、（2014 四川巴中）如图，已知 ( http: / / www.21cnjy.com )在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．
（1）求证：△BGD∽△DMA；
（2）求证：直线MN是⊙O的切线．
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( http: / / www.21cnjy.com )（2）连结OD．由三角形中位线的性质得出OD∥AC，根据垂直于同一直线的两直线平行得出AC∥BG， ( http: / / www.21cnjy.com )2、（2014 襄阳）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D．
（1）求证：△ADP∽△BDA；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AD=2，PD=1，求线段BC的长．
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（3）利用△ADP∽△BDA，得出==，求出BP的长，进而得出△ADP∽△CAP，则=，则AP2=CP PD求出AP的长，即可得出答案．
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（3）解：∵△ADP∽△BDA，
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四、专项训练
（一）基础练习
1、下列各组图形中，两个图形不一定相似的是（ ）
A.有一个角是35 的两个等腰三角形
B.两个等腰直角三角形
C.有一个角是105 的两个等腰三角形
D.两个等边三角形
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )2、如图，在△ABC中，∠C=90 ,CD⊥AB,垂足为D，则图中相似三角形共有（ ）
A.4对 B.3对 C.2对 D.1对
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( http: / / www.21cnjy.com )3、在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点， 若∠AEF=90°，则一定有 ( )
(A) ΔADE∽ΔAEF (B) ΔECF∽ΔAEF (C)ΔADE∽ΔECF (D) ΔAEF∽ΔABF
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( http: / / www.21cnjy.com )4、如图所示，⊙O中，弦AB，CD相交于P点，则下列结论正确的是( )
A．PA·AB＝PC·PB B．PA·PB＝PC·PD C．PA·AB＝PC·CD D．PA∶PB＝PC∶PD
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( http: / / www.21cnjy.com )（二）提升练习
5、如图，已知AD、BE是△ABC的两条高，试说明AD·BC=BE·AC
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( http: / / www.21cnjy.com )6、如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F， 若AB=4，AD=6，AE=8，求DF的长．
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【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，以及矩形的性质等知识点，难度中等．
7、如图所示，在⊙O中，CD过圆心O，且CD⊥AB于D， 弦CF交AB于E．
求证：CB2＝CF·CE．
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( http: / / www.21cnjy.com )8、已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，
以AD为直径的半圆与BC相切于E点．求证：AB·CD＝BE·EC．
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【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质,作出辅助线，是解决本题的关键。基础知识
相似三角形的判定（三）：如果两个三角形两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
如图在△ABC与△DEF中，∠B=∠E,，可判定△ABC∽△DEF。
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重难点分析
本节课的重难点是三角形相似的判定判定方法：如果两个三角形两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
注意：在利用该方法时，相等的角必须是已知两对应边的夹角，才能使这两个三角形相似，不要错误地认为是任意一角对应相等，两个三角形就相似。
例：如图所示，已知在正方形ABCD中，P是BC上的一点，且BP=3PC,Q是CD的中点。
求证：△ADQ∽△QCP.
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( http: / / www.21cnjy.com )∴DQ=QC=a
( http: / / www.21cnjy.com )三、中考感悟
1、（2014 宿迁）如图，在直角梯形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）
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A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
( http: / / www.21cnjy.com )∴满足条件的点P的个数是3个，
【答案】C
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键．
2、（2014 武汉）如图，Rt△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；
（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．
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∴t=，
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )∴PQ的中点在△ABC的一条中位线上．
【点评】此题考查了相似形综合，用到的知识 ( http: / / www.21cnjy.com )点是相似三角形的判定与性质、中位线的性质等，关键是画出图形作出辅助线构造相似三角形，注意分两种情况讨论．
四、专项训练
（一）基础练习
1、如图四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O,且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形，若
OA∶OC=OB∶OD,则下列结论中一定正确的是（ ）.
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A．①与②相似 B．①与③相似 C．①与④相似 D．②与④相似
( http: / / www.21cnjy.com )2、能判定△ABC相似与△A|B|C|的条件是（ ）
A. B., 且
C.,且 D.,且
( http: / / www.21cnjy.com )3、如图，若AC2= ,则△ADC∽△ACB。
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( http: / / www.21cnjy.com )4、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90 ，AB＝BE＝EF＝FC。求证：△AEF∽△CEA。
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5、已知在△ABC中，∠C=90 ，D、E分别是AB、AC边上的点，AD·AB=AE·AC，问DE与AB垂直吗？
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( http: / / www.21cnjy.com )6、如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD,AB=6，BC=4，AC=5，CD=7.5.
求：AD的长。
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( http: / / www.21cnjy.com )（二）提升练习
7、如图，在△ABC中，AD,AE分别是BC,AC边上的高，∠C=60 .
求证：（1）△DCE∽△ACB.
(2)DE=AB.
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( http: / / www.21cnjy.com )8、如图，在Rt△ABC中，∠C=90 ，BC=8cm,AC=6cm,点P从B点出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点Q从C点出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动，若点P、Q从B、C两点同时出发，经过多少秒以C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？
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( http: / / www.21cnjy.com )【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，答案分两种情况，容易忽略第二种情况，在解题时要考虑周全。
