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一、基础知识
（一）因式分解公式
1．因式分解法若一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，x
2－9＝0，这个方程可变 ( http: / / www.21cnjy.com )形为(x＋3)(x－3)＝0，要(x＋3)(x－3)等于0，必须并且只需(x＋3)等于0或(x－3)等于0，因此，解方程(x＋3)(x－3)＝0就相当于解方程x＋3＝0或x－3＝0了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
2．因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论根据是：若A·B＝0，A＝0或B＝0。
二、重难点分析
本课教学重点：因式分解法的灵活应用
在一元二次方程的四种解法中，公式法是 ( http: / / www.21cnjy.com )主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．而在以后的学习中，会常常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法．
本题教学难点： 因式分解法中的公式
公式的特点：左边为二项式，是两个数的完全平方的差，右边是这两个数的和与差的积，运用这个公式可以把形式是平方差的二项式分解因式。
公式的特点：左边为三项式，其中首末 ( http: / / www.21cnjy.com )两项是两个数的平方和的形式，中间一项是这两个数的积的2倍（加上相应的符号），右边是这两个数之和（或差）的平方，运用完全平方公式可将符合公式左边特点的三项式分解因式。
典例精析：
例1.用因式分解法解下列方程：
(1)y2＋7y＋6＝0； (2)t(2t－1)＝3(2t－1)； (3)(2x－1)(x－1)＝1．
例2.用适当方法解下列方程：
(1)(1－x)2＝；(2)x2－6x－19＝0；
(3)3x2＝4x＋1；(4)y2－15＝2y；
(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0；
(6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2．
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例3.解关于x的方程：(a2－b2)x2－4abx＝a2－b2．
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三、感悟中考
1．（2013年天津） 关于x的一元二次方程x2﹣5x+p=0的两实根都是整数，则整数p的取值可以有（ ）
A． 2个 B． 4个 C． 6个 D． 无数个
【答案】D
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2.（2013年甘肃）经计算整式x+1与x﹣4的积为x2﹣3x﹣4，则一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的所有根是（ ）
A． x1=﹣1，x2=﹣4 B． x1=﹣1，x2=4 C． x1=1，x2=4 D． x1=1，x2=﹣4
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四、专项训练
（一）基础练习
1．方程x（x﹣2）=x的根是 ．
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解得：x1=0，x2=3．
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2. 小华在解一元二次方程x2﹣4x=0时，只得出一个根是x=4，则被他漏掉的一个根x= ．
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3. 如果方程ax2﹣bx﹣6=0与方程ax2+2bx﹣15=0有一个公共根是3，求a、b的值，并分别求两个方程的另外一个根．
【答案】解：把x=3分别代入两个方程，
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（二）提升练习
4．已知x2－xy－2y2＝0，且x≠0，y≠0，求代数式的值．
【答案】解：由x2－xy－2y2＝0，得(x－2y)(x＋y)＝0，∴x－2y＝0或x＋y＝0，∴x＝2y或x＝－y．
当x＝2y时，．
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5.关于x的一元二次方程x2﹣5x+p=0的两实根都是整数，则整数p的取值可以有（ ）
A． 2个 B． 4个 C． 6个 D． 无数个
【答案】D
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6,.若关于x的多项式x2﹣px﹣6含有因式x﹣3，则实数p的值为（ ）
A． ﹣5 B． 5 C． ﹣1 D． 1
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一、基础知识
（一）公式法
公式表达了用配方法解一般的一元二次方程的结果。解一个具体的一元二次方程时，把各项系数直接带入求根公式，可避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
步骤：
1.化方程为一般式：
2.确定判别式，计算；
3.若Δ>0，该方程在实数范围内有两个不相等的实数根：；
若Δ=0，该方程在实数范围内有两个相等的实数根:；
若Δ<0，该方程在实数域内无解。
二、重难点分析
本课教学重点：公式法的使用
当Δ≥0时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式,由求根公式可知，一元二次方程的根不可能多于两个。
本题教学难点： 公式法的推导
任何一元二次方程组都能写成一般形式：.
移项，得.
二次项系数化1，得.
配方即
∵a≠0
∴4a2>0
的值有三种情况：
（1）
得∴
（2)
得
（3)
∴实数范围内，此方程无解
典例精析：
例1．阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣，x1 x2=．根据该材料填空：已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则+的值为（ ）
A． 4 B． 6 C． 8 D． 10
( http: / / www.21cnjy.com )例2. 已知a、b、c是△ABC三边长且方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+a﹣b=0有两相等的实数根，则这个三角形是（ ）
A． 等腰三角形 B． 等边三角形 C． 不等边三角形 D． 直角三角形
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即：4（b﹣a）2﹣4（c﹣b）（a﹣b）=0，
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三、感悟中考
1．（2013年河北）若x1、x2是一元二次方程2x2﹣3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是（ ）
A． B． C． D． 7
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2. （2013年嘉兴）如图，等腰△ABC中，底边BC=a，∠A=36°，∠ABC的平分线交AC于D，∠BCD的平分线交BD于E，设k=，则DE=（ ）
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A．k2a B．k3a C． D．
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四、专项训练。
（一）基础练习
1．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+x+n﹣2=mx的两个实数根，且x1＜0，x2﹣3x1＜0，则（ ）
A． B． C． D．
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2.已知a，b是关于x的一元二次方程x2+nx﹣1=0的两实数根，则式子的值是（ ）
A． n2+2 B． ﹣n2+2 C． n2﹣2 D． ﹣n2﹣2
【答案】D
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3. 若方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是什么？
( http: / / www.21cnjy.com )（二）提升练习
4．已知x为实数，且，则x2+3x的值为（ ）
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5.设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+x+n﹣2=mx的两个实数根，且x1＜0，x2﹣3x1＜0，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
( http: / / www.21cnjy.com )6.已知a，b是关于x的一元二次方程x2+nx﹣1=0的两实数根，则式子的值是（ ）
A． n2+2 B． ﹣n2+2 C． n2﹣2 D． ﹣n2﹣2
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7.已知关于x的方程x2﹣px+q=0的两个根分别是0和﹣2，则p和q的值分别是（ ）
A． p=﹣2，q=0 B． p=2，q=0 C． p=，q=0 D． p=﹣，q=0
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一、基础知识
（一）配方法
解一元二次方程时，在方程的左侧加上一次项 ( http: / / www.21cnjy.com )系数一半的平方，再减去这个数，使得含有未知数的项在一个完全平方公式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解或直接开方，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。
注意：用配方解一元二次方程时，当方程左侧配方时，一定要注意在两侧都加上一次项系数一半的平方。
（二）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
1.在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；
2.把原方程变为的形式；
3.若，用直接开平方法求出x的值，若，原方程无解。
（二）用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
当一元二次方程的形式为时，用配方法解一元二次方程的步骤：
先把二次项的系数化为1，方程的左右两边同时除以二次项的系数；
移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程的形式；
若，用直接开平方法或因式分解法求出x的值。
二、重难点分析
本课教学重点：配方法
配方法 过程如下: 1.将此一元二次方程化 ( http: / / www.21cnjy.com )为ax︿2+bx+c=0的形式(此一元换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究
本题教学难点：对一元二次方程如何配方
在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程的形式，这是解决配方的关键一步。
典例精析：
例1．将方程x2+8x+9=0左边变成完全平方式后，方程是（ ）
A． （x+4）2=7 B． （x+4）2=25 C． （x+4）2=﹣9 D． （x+4）2=﹣7
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例2．方程（x﹣5）（x+2）=1的根为（ ）
A． 5 B． ﹣2 C． ﹣2或5 D． 以上均不对
( http: / / www.21cnjy.com )例3．（2012 宁波模拟）用配方法将代数式a2+4a﹣5变形，结果正确的是（ ）
A． （a+2）2﹣1 B． （a+2）2﹣5 C． （a+2）2+4 D． （a+2）2﹣9
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三、感悟中考
1．（2013广东）将方程x2﹣2x=1进行配方，可得（ ）
A． （x+1）2=2 B． （x﹣2）2=5 C． （x﹣1）2=2 D． （x﹣1）2=1
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2．（2014年黑龙江大庆）用配方法解方程x2﹣4x=5时，方程的两边同时加上 ，使得方程左边配成一个完全平方式．
【答案】4
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )四、专项训练
（一）基础练习
1. 用配方法将二次三项式a2﹣4a+5变形，结果是（ ）
A． （a﹣2）2+1 B． （a+2）2﹣1 C． （a+2）2+1 D． （a﹣2）2﹣1
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2.填空：x2+3x+ =（x+ ）2．
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3.用配方法解方程：2x2+1=3x．
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4.将二次三项式x2+6x+7进行配方，正确的结果应为（ ）
A． （x+3）2+2 B． （x﹣3）2+2 C． （x+3）2﹣2 D． （x﹣3）2﹣2
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5.代数式x2﹣4x+5的最小值为（ ）
A． 0 B． 1 C． 5 D． 没有最小值
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6.用配方法解方程x2+x=2，应把方程的两边同时（ ）
A．加 B．加 C．减 D．减
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（二）提升练习
7.在实数范围内定义运算“ ”，其法则为：a b=a2﹣b2，求方程（4 3） x=24的解．
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一、基础知识
（一）韦达定理
对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理。
剖析：它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。
二、重难点分析
本课教学重点： 韦达定理应用
一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。
本题教学难点： 韦达定理逆定理
根据韦达定理逆定理推断推断一元二次方程的系数，是学习难点，需要在学习过程中，根据，，判断则是的两根。
典例精析：
例1．已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程
（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？
在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。
【答案】解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，
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例2．不解方程，判别方程两根的符号。
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三、感悟中考
1．（2014年甘肃白银）已知、是方程的两个实数根，求的值。
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2．（2014年黑龙江大庆）已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。
【答案】解：设两方程的相同根为， 根据根的意义，
有
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四、专项训练。
（一）基础练习
1.如果关于的方程的两根之差为2，那么 。
( http: / / www.21cnjy.com )2．已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则 。
【答案】
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )3．已知关于的方程的两根为，且，则 。
( http: / / www.21cnjy.com )4．已知是方程的两个根，那么： ；
； 。
( http: / / www.21cnjy.com )则。
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5.关于x的一元二次方程x2+kx﹣1=0的根的情况是（ ）
A． 有两个不相等的同号实数根 B． 有两个不相等的异号实数根
C． 有两个相等的实数根 D． 没有实数根
【答案】B
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6.一元二次方程x2﹣5x+6=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2等于（ ）
A． 5 B． 6 C． ﹣5 D． ﹣6
【答案】A
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7.已知方程x2﹣5x+2=0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1 x2的值为（ ）
A． ﹣7 B． ﹣3 C． 7 D． 3
【答案】D
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8.设a，b是方程x2+x﹣2009=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A． 2006 B． 2007 C． 2008 D． 2009
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（二）提升练习
9.已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。
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