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2023-2024学年初中数学八年级上册 16.1 二次根式 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八上·宁波期末）要使得代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·平昌期末）要使式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八上·凤阳期末）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
4．（2022八上·沈阳期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八上·福州期末）下列运算正确的是（ ）
A．＝±2 B．（）2＝4
C．＝﹣4 D．（﹣）2＝﹣4
6．（2022八上·将乐期中）要使二次根式有意义，x的值可以是（ ）
A．3 B．1 C．0 D．-1
7．（2022八上·延庆期末）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022八上·海港期末）若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八上·如东期末）若二次根式在实数范围有意义，则的取值范围是 .
10．（2023八上·镇海区期末）使二次根式有意义的x的取值范围是 .
11． ， ．
12．（2022八上·顺义期末）已知是二次根式，则x的取值范围是 ．
13．（2022八上·宝应期中）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ．
三、计算题
14．（2023八上·镇海区期末）计算：
（1）；
（2）.
四、解答题
15．（2022八上·奉贤期中）已知x，y为实数，且，求的平方根。
16．（2021八上·苏州期中）已知 ，求 的值.
五、综合题
17．（2021八上·通川期中）阅读材料：把根式 进行化简，若能找到两个数 ， ，使 且 ，则把 变成 开方，从而使得 化简.
例如：化简 .
解： ，
.
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
（1） ；
（2） .
18．（2021八上·兴平期中）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：；再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简： ， ；
（2）若，且a，m，n为正整数，求a的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得x-2≥0，解得x≥2.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数列出不等式，求解即可.
2．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵要使有意义，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即2-x≥0，求解即可.
3．【答案】B
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据分式有意义的条件可得，解得，
根据二次根式有意义的条件可得，解得，
综上所述，自变量x的取值范围是且，
故答案为：B．
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可。
4．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式有意义，
，
解得，
故答案为：B．
【分析】利用二次根式有意义的条件可得，再求出x的取值范围即可。
5．【答案】B
【知识点】算术平方根；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、＝2，此选项错误；
B、（）2＝4，此选项正确；
C、＝4，此选项错误；
D、（﹣）2=4，此选项错误.
故答案为：B.
【分析】一个正数x的平方等于a，这个正数x就是a的算术平方根，常用符号表示为：（a＞0），据此判断A；根据（a≥0），据此判断B；根据可判断C；根据偶次幂的非负性可判断D.
6．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可知：，
∴，
∴符合要求的为A，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数列出不等式，求解得出x的取值范围，进而一一判断即可得出答案.
7．【答案】B
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A.∵
∴此选项不符合题意；
B.，此选项符合题意；
C.∵
∴此选项不符合题意；
D.∵
∴此选项不符合题意
故答案为：B
【分析】利用立方根、二次根式的性质逐项判断即可。
8．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
即
解得．
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的性质可得，再求出x的取值范围即可。
9．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围有意义，
∴，
解得：.
故答案为：.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数建立不等式，求解即可.
10．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义
∴，
解得：，
故答案为：.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，则x+3≥0，求解即可.
11．【答案】3；
【知识点】立方根及开立方；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： .
故答案为：3；.
【分析】根据“及”分别进行化简即可.
12．【答案】x≥3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：依题意得：x﹣3≥0，
解得x≥3．
故答案是：x≥3.
【分析】利用二次根式有意义的条件可得x﹣3≥0，再求出x的取值范围即可。
13．【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，且该式为整数，n也是整数，
∴n最小为2，
故答案为：2.
【分析】将化成，可得n的最小值为2.
14．【答案】（1）解：
；
（2）解：
.
【知识点】实数的运算；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）先计算乘方及将二次根式化简，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据二次根式的性质将各个二次根式化简，再进行有理数的加减法运算得出答案.
15．【答案】解：∵，
∴x-27≥0，27-x≥0，
∴x=27
∴y=
∴
即xy的平方根为±3.
【知识点】平方根；二次根式有意义的条件
【解析】【分析】根据题意先求出x-27≥0，27-x≥0，再求出x=27，最后计算求解即可。
16．【答案】解：∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ .
【知识点】立方根及开立方；二次根式有意义的条件
【解析】【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数分别列不等式求出x值，再代入原式计算，即可解答.
17．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ .
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）7+可变形为(2+)2，然后根据二次根式的性质进行计算；
（2）5-可变形为2，然后根据二次根式的性质进行计算.
18．【答案】（1）；
（2）解：∵ ，
， ，
∴
又∵a，m，n为正整数，
， 或 ， ，
∴当 ， 时， ；
当 ， 时， ．
综上所述，a的值为46或14．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1） ；
．
故答案为： ， ；
【分析】（1）模仿题干提供的方法构造完全平方式，然后根据二次根式的性质化简即可；
（2）根据已知条件结合完全平方公式可得a+=m2+5n2+mn，则a=m2+5n2，6=2mn，求出mn的值，结合 a，m，n为正整数可得m、n、a的值.
题干纠为：像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：；再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
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2023-2024学年初中数学八年级上册 16.1 二次根式 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八上·宁波期末）要使得代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得x-2≥0，解得x≥2.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数列出不等式，求解即可.
2．（2023八上·平昌期末）要使式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵要使有意义，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即2-x≥0，求解即可.
3．（2021八上·凤阳期末）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据分式有意义的条件可得，解得，
根据二次根式有意义的条件可得，解得，
综上所述，自变量x的取值范围是且，
故答案为：B．
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可。
4．（2022八上·沈阳期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式有意义，
，
解得，
故答案为：B．
【分析】利用二次根式有意义的条件可得，再求出x的取值范围即可。
5．（2023八上·福州期末）下列运算正确的是（ ）
A．＝±2 B．（）2＝4
C．＝﹣4 D．（﹣）2＝﹣4
【答案】B
【知识点】算术平方根；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、＝2，此选项错误；
B、（）2＝4，此选项正确；
C、＝4，此选项错误；
D、（﹣）2=4，此选项错误.
故答案为：B.
【分析】一个正数x的平方等于a，这个正数x就是a的算术平方根，常用符号表示为：（a＞0），据此判断A；根据（a≥0），据此判断B；根据可判断C；根据偶次幂的非负性可判断D.
6．（2022八上·将乐期中）要使二次根式有意义，x的值可以是（ ）
A．3 B．1 C．0 D．-1
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可知：，
∴，
∴符合要求的为A，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数列出不等式，求解得出x的取值范围，进而一一判断即可得出答案.
7．（2022八上·延庆期末）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A.∵
∴此选项不符合题意；
B.，此选项符合题意；
C.∵
∴此选项不符合题意；
D.∵
∴此选项不符合题意
故答案为：B
【分析】利用立方根、二次根式的性质逐项判断即可。
8．（2022八上·海港期末）若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
即
解得．
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的性质可得，再求出x的取值范围即可。
二、填空题
9．（2023八上·如东期末）若二次根式在实数范围有意义，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围有意义，
∴，
解得：.
故答案为：.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数建立不等式，求解即可.
10．（2023八上·镇海区期末）使二次根式有意义的x的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义
∴，
解得：，
故答案为：.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，则x+3≥0，求解即可.
11． ， ．
【答案】3；
【知识点】立方根及开立方；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： .
故答案为：3；.
【分析】根据“及”分别进行化简即可.
12．（2022八上·顺义期末）已知是二次根式，则x的取值范围是 ．
【答案】x≥3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：依题意得：x﹣3≥0，
解得x≥3．
故答案是：x≥3.
【分析】利用二次根式有意义的条件可得x﹣3≥0，再求出x的取值范围即可。
13．（2022八上·宝应期中）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ．
【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，且该式为整数，n也是整数，
∴n最小为2，
故答案为：2.
【分析】将化成，可得n的最小值为2.
三、计算题
14．（2023八上·镇海区期末）计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：
；
（2）解：
.
【知识点】实数的运算；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）先计算乘方及将二次根式化简，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据二次根式的性质将各个二次根式化简，再进行有理数的加减法运算得出答案.
四、解答题
15．（2022八上·奉贤期中）已知x，y为实数，且，求的平方根。
【答案】解：∵，
∴x-27≥0，27-x≥0，
∴x=27
∴y=
∴
即xy的平方根为±3.
【知识点】平方根；二次根式有意义的条件
【解析】【分析】根据题意先求出x-27≥0，27-x≥0，再求出x=27，最后计算求解即可。
16．（2021八上·苏州期中）已知 ，求 的值.
【答案】解：∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ .
【知识点】立方根及开立方；二次根式有意义的条件
【解析】【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数分别列不等式求出x值，再代入原式计算，即可解答.
五、综合题
17．（2021八上·通川期中）阅读材料：把根式 进行化简，若能找到两个数 ， ，使 且 ，则把 变成 开方，从而使得 化简.
例如：化简 .
解： ，
.
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ .
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）7+可变形为(2+)2，然后根据二次根式的性质进行计算；
（2）5-可变形为2，然后根据二次根式的性质进行计算.
18．（2021八上·兴平期中）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：；再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简： ， ；
（2）若，且a，m，n为正整数，求a的值．
【答案】（1）；
（2）解：∵ ，
， ，
∴
又∵a，m，n为正整数，
， 或 ， ，
∴当 ， 时， ；
当 ， 时， ．
综上所述，a的值为46或14．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1） ；
．
故答案为： ， ；
【分析】（1）模仿题干提供的方法构造完全平方式，然后根据二次根式的性质化简即可；
（2）根据已知条件结合完全平方公式可得a+=m2+5n2+mn，则a=m2+5n2，6=2mn，求出mn的值，结合 a，m，n为正整数可得m、n、a的值.
题干纠为：像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：；再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
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