2023-2024学年初中数学八年级上册 16.1 二次根式 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．式子成立的条件是（ ）
A．且 B．且 C． D．
2．（2023八下·凤山期末）已知2，3，是某三角形三边的长，则的值为（ ）
A． B．6 C．4 D．
3．（2020九上·偃师期中）与根式 的值相等的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022七上·咸阳月考）下列的取值中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（ ）
A．6 B．3 C．1 D．-2
5．（2022八上·将乐期中）实数在数轴上的位置如图所示，请化简：=（ ）
A． B． C． D．
6．（2022八上·泗县期中）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．x取什么值时，有意义 （ ）
A．x＞ B．x= C．x≥ D．x≥-
8．（2020八上·深圳期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 ，设x= ，易知 > ，故x>0，由x2= = =2，解得x= ，即 。根据以上方法，化简 后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5- D．5-3
二、填空题
9．（2023·黄冈）请写出一个正整数m的值使得是整数； ．
10．（2022八下·乐清期末）要使二次根式有意义，则x的值可以是 （写出一个即可）
11．（2019七下·巴南月考）若有理数a和b在数轴上所表示的点分别在原点的右边和左边，则 = .
12．（2023七下·普陀期末）比较大小： ．（填“”，“”或“”）
13．（2022八上·石景山期末）要使式子有意义，则可取的一个数是 ．
14．（2020七上·景德镇期中）化简 ＝
三、解答题
15．（2021八上·平谷期末）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
化简：
16．（2021八上·成都月考）已知，求代数式的值．
四、综合题
17．（2023八下·大化期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简：
解：隐含条件，解得：
∴
∴原式
（1） 【启发应用】
按照上面的解法，试化简；
（2） 【类比迁移】
实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：；
（3）已知a，b，c为的三边长．化简：．
18．（2021八上·方城期末）阅读材料：基本不等式 ，当且仅当 时，等号成立.其中我们把 叫做正数a、b的算术平均数， 叫做正数a、b的几何平均数，它是解决最大 小 值问题的有力工具.
例如：在 的条件下，当x为何值时， 有最小值，最小值是多少？
解 ，
，即是
，
当且仅当 时，即 时， 有最小值，最小值为2.
请根据阅读材料解答下列问题：
（1）若 ，函数 ，当x为何值时，函数有最值，并求出其最值，
（2）当 时，式子 成立吗？请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】由二次根式的定义及性质知；1-x0且 x0 解得。
选C
【分析】熟知定义性质，由已知易求之，在解答过程中需注意的是分母不能为0，本题难度小，属于基础题。
2．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】解：2，3，是某三角形三边的长，
，
，，
，
故答案为：C.
【分析】先利用三角形的三边关系判断m的取值范围，再通过二次根式的性质计算结果.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意可得x是负数，
所以 = ，
故答案为：D.
【分析】根据根号内的代数式可判断x＜0，然后根据二次根式的性质“”可化简.
4．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得
x-4≥0，
解之：x≥4.
∵6＞4，
故答案为：A
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集根据其解集，可得答案.
5．【答案】C
【知识点】实数在数轴上的表示；实数大小的比较；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴可知：，，
∴原式.
故答案为：C.
【分析】由数轴可得a<06．【答案】B
【知识点】立方根及开立方；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、根据算术平方根定义，故该选项不符合题意；
B、根据立方根定义及性质，，故该选项符合题意；
C、根据算术平方根定义，，故该选项不符合题意；
D、根据平方根定义，，故该选项不符合题意，
故答案为：B．
【分析】利用立方根和平方根的计算方法逐项判断即可。
7．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．
【解答】依题意得4+5x≥0，
解得x≥ ．
故选D．
【点评】此题主要考查了当代数式是二次根式时，被开方数为非负数这一知识点．
8．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】设x=,易知，故x＜0，由x2==，解得x=..，=
故答案为：D
【分析】将利用平方再开方的方式化简，进行分母有理化，最后用二次根式运算法则即可求出答案。
9．【答案】8
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵是整数，
∴正整数m的值可能为8.
故答案为：8.
【分析】根据二次根式的性质进行解答.
10．【答案】3（答案不唯一，即可）
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 二次根式有意义
∴x-2≥0
解之：x≥2，
∴x的值可以是3.
故答案为：3.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
11．【答案】－a
【知识点】实数在数轴上的表示；二次根式的性质与化简；实数的绝对值
【解析】【解答】根据题意得：a＞0，b＜0，即a﹣b＞0，则原式=|b|﹣|a﹣b|=﹣b﹣a+b=﹣a.
故答案为：﹣a.
【分析】根据点在数轴上的位置，可得a＞0，b＜0，即a﹣b＞0，然后利二次根式的性质及绝对值的性质进行化简并计算即可.
12．【答案】
【知识点】实数大小的比较；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，∵18＜19，∴.
故第1空答案为：＜。
【分析】先把外边的正因数3移到根号下边得，再比较被开方数的大小即可。
13．【答案】2（答案不唯一）
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得：，
∴可取2．
故答案为：2（答案不唯一）
【分析】利用二次根式有意义的条件可得，再求出x的取值范围即可。
14．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
=
=
=
=
故答案为： ．
【分析】本题的关键在于将被开方数转化成完全平方数，再利用二次根式的性质求解即可。
15．【答案】解：由数轴知：
∴，
∴
＝－b－（a－b）－（c－a）－（－c）
＝－b－a＋b＋a－c＋c
＝0
【知识点】实数大小的比较；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】先求出 ， ，再化简求值即可。
16．【答案】解： ， ， ．
，
．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据已知条件求出b2-4ac的值，然后结合二次根式的性质化简即可.
17．【答案】（1）解：隐含条件解得：，
，
原式
；
（2）解：观察数轴得隐含条件：，，，
，，
原式
；
（3）解：由三角形三边之间的关系可得隐含条件：，，，，
，，，
原式
．
【知识点】实数在数轴上的表示；二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得，从而得出x-3＜0，根据二次根式的性质化简即可；
（2）由数轴可知，，，从而得出，，根据二次根式的性质及绝对值进行化简即可；
（3）由三角形的三边关系可得，，，根据二次根式的性质化简即可.
18．【答案】（1）解： ，
，
，
当且仅当 ，即 时， 有最小值，最小值为
（2）解：式子不成立.
理由： ， ， ，
，
当且仅当 ，即 时， 有最小值，且最小值为2，
， 不等式不能取等号，
亦即不等式 不成立.
【知识点】二次根式的性质与化简；不等式的性质
【解析】【分析】（1）由于x＞0，可得2x＞0，根据材料可得当且仅当 ，即 时， 有最小值 ，据此即得结论；
（2）不成立.理由：由 ，可得 ， ，根据材料可得 ，从而得出当且仅当 ，即 时， 有最小值 ，由于x＞0，据此式不成立.
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一、选择题
1．式子成立的条件是（ ）
A．且 B．且 C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】由二次根式的定义及性质知；1-x0且 x0 解得。
选C
【分析】熟知定义性质，由已知易求之，在解答过程中需注意的是分母不能为0，本题难度小，属于基础题。
2．（2023八下·凤山期末）已知2，3，是某三角形三边的长，则的值为（ ）
A． B．6 C．4 D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】解：2，3，是某三角形三边的长，
，
，，
，
故答案为：C.
【分析】先利用三角形的三边关系判断m的取值范围，再通过二次根式的性质计算结果.
3．（2020九上·偃师期中）与根式 的值相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意可得x是负数，
所以 = ，
故答案为：D.
【分析】根据根号内的代数式可判断x＜0，然后根据二次根式的性质“”可化简.
4．（2022七上·咸阳月考）下列的取值中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（ ）
A．6 B．3 C．1 D．-2
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得
x-4≥0，
解之：x≥4.
∵6＞4，
故答案为：A
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集根据其解集，可得答案.
5．（2022八上·将乐期中）实数在数轴上的位置如图所示，请化简：=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数在数轴上的表示；实数大小的比较；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴可知：，，
∴原式.
故答案为：C.
【分析】由数轴可得a<06．（2022八上·泗县期中）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】立方根及开立方；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、根据算术平方根定义，故该选项不符合题意；
B、根据立方根定义及性质，，故该选项符合题意；
C、根据算术平方根定义，，故该选项不符合题意；
D、根据平方根定义，，故该选项不符合题意，
故答案为：B．
【分析】利用立方根和平方根的计算方法逐项判断即可。
7．x取什么值时，有意义 （ ）
A．x＞ B．x= C．x≥ D．x≥-
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．
【解答】依题意得4+5x≥0，
解得x≥ ．
故选D．
【点评】此题主要考查了当代数式是二次根式时，被开方数为非负数这一知识点．
8．（2020八上·深圳期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 ，设x= ，易知 > ，故x>0，由x2= = =2，解得x= ，即 。根据以上方法，化简 后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5- D．5-3
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】设x=,易知，故x＜0，由x2==，解得x=..，=
故答案为：D
【分析】将利用平方再开方的方式化简，进行分母有理化，最后用二次根式运算法则即可求出答案。
二、填空题
9．（2023·黄冈）请写出一个正整数m的值使得是整数； ．
【答案】8
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵是整数，
∴正整数m的值可能为8.
故答案为：8.
【分析】根据二次根式的性质进行解答.
10．（2022八下·乐清期末）要使二次根式有意义，则x的值可以是 （写出一个即可）
【答案】3（答案不唯一，即可）
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 二次根式有意义
∴x-2≥0
解之：x≥2，
∴x的值可以是3.
故答案为：3.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
11．（2019七下·巴南月考）若有理数a和b在数轴上所表示的点分别在原点的右边和左边，则 = .
【答案】－a
【知识点】实数在数轴上的表示；二次根式的性质与化简；实数的绝对值
【解析】【解答】根据题意得：a＞0，b＜0，即a﹣b＞0，则原式=|b|﹣|a﹣b|=﹣b﹣a+b=﹣a.
故答案为：﹣a.
【分析】根据点在数轴上的位置，可得a＞0，b＜0，即a﹣b＞0，然后利二次根式的性质及绝对值的性质进行化简并计算即可.
12．（2023七下·普陀期末）比较大小： ．（填“”，“”或“”）
【答案】
【知识点】实数大小的比较；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，∵18＜19，∴.
故第1空答案为：＜。
【分析】先把外边的正因数3移到根号下边得，再比较被开方数的大小即可。
13．（2022八上·石景山期末）要使式子有意义，则可取的一个数是 ．
【答案】2（答案不唯一）
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得：，
∴可取2．
故答案为：2（答案不唯一）
【分析】利用二次根式有意义的条件可得，再求出x的取值范围即可。
14．（2020七上·景德镇期中）化简 ＝
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
=
=
=
=
故答案为： ．
【分析】本题的关键在于将被开方数转化成完全平方数，再利用二次根式的性质求解即可。
三、解答题
15．（2021八上·平谷期末）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
化简：
【答案】解：由数轴知：
∴，
∴
＝－b－（a－b）－（c－a）－（－c）
＝－b－a＋b＋a－c＋c
＝0
【知识点】实数大小的比较；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】先求出 ， ，再化简求值即可。
16．（2021八上·成都月考）已知，求代数式的值．
【答案】解： ， ， ．
，
．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据已知条件求出b2-4ac的值，然后结合二次根式的性质化简即可.
四、综合题
17．（2023八下·大化期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简：
解：隐含条件，解得：
∴
∴原式
（1） 【启发应用】
按照上面的解法，试化简；
（2） 【类比迁移】
实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：；
（3）已知a，b，c为的三边长．化简：．
【答案】（1）解：隐含条件解得：，
，
原式
；
（2）解：观察数轴得隐含条件：，，，
，，
原式
；
（3）解：由三角形三边之间的关系可得隐含条件：，，，，
，，，
原式
．
【知识点】实数在数轴上的表示；二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得，从而得出x-3＜0，根据二次根式的性质化简即可；
（2）由数轴可知，，，从而得出，，根据二次根式的性质及绝对值进行化简即可；
（3）由三角形的三边关系可得，，，根据二次根式的性质化简即可.
18．（2021八上·方城期末）阅读材料：基本不等式 ，当且仅当 时，等号成立.其中我们把 叫做正数a、b的算术平均数， 叫做正数a、b的几何平均数，它是解决最大 小 值问题的有力工具.
例如：在 的条件下，当x为何值时， 有最小值，最小值是多少？
解 ，
，即是
，
当且仅当 时，即 时， 有最小值，最小值为2.
请根据阅读材料解答下列问题：
（1）若 ，函数 ，当x为何值时，函数有最值，并求出其最值，
（2）当 时，式子 成立吗？请说明理由.
【答案】（1）解： ，
，
，
当且仅当 ，即 时， 有最小值，最小值为
（2）解：式子不成立.
理由： ， ， ，
，
当且仅当 ，即 时， 有最小值，且最小值为2，
， 不等式不能取等号，
亦即不等式 不成立.
【知识点】二次根式的性质与化简；不等式的性质
【解析】【分析】（1）由于x＞0，可得2x＞0，根据材料可得当且仅当 ，即 时， 有最小值 ，据此即得结论；
（2）不成立.理由：由 ，可得 ， ，根据材料可得 ，从而得出当且仅当 ，即 时， 有最小值 ，由于x＞0，据此式不成立.
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