2023-2024学年初中数学八年级上册 16.2 最简二次根式和同类二次根式 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2022八上·新城月考）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，则符合条件的正整数a有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：，
∵二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，
∴且，
即，
∴①当，即a=30时，，
②当，即a=24时，，
③当，即a=14时，，
则符合条件的正整数a有3个.
故答案为：C.
【分析】=，根据二次根式有意义的条件可得32-a≥0且a>0，求出a的范围，然后分别令32-a=2、32-a=22×2、32-a=32×2，求出a的值即可.
2．（2021八上·巴中期末）下列说法正确的是（ ）
A．1的平方根是1
B．（﹣4）2的算术平方根是4
C． ＝±3
D． 是最简二次根式
【答案】B
【知识点】平方根；算术平方根；最简二次根式
【解析】【解答】解：解：A、1的平方根是
，此项说法错误；
B、
的算术平方根是4，此项说法正确；
C、
，此项错误；
D、
，所以
不是最简二次根式，此项说法错误.
故答案为：B.
【分析】根据平方根的概念可判断A；根据算术平方根的概念可判断B、C；根据最简二次根式的概念可判断D.
3．（2021八上·平谷期末）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是（ ）
A．a＝1 B．a＝－1 C．a＝2 D．a＝－2
【答案】A
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式
∴a+1=2a
解得：a=1
故答案为：A
【分析】根据题意先求出a+1=2a，再计算求解即可。
4．（2021八上·承德期末）下列二次根式化为最简二次根式后能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：，，，
∴能与合并的是；
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式、同底二次根式的性质判断即可。
5．（2021八上·郑州期末）下列计算正确的是（ ）
A． ＝±4 B． C． D．
【答案】D
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；二次根式的性质与化简；同类二次根式
【解析】【解答】解：
，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项错误，不符合题意；
和
不是同类二次根式不能合并，故C选项错误，不符合题意；
，故D选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】A选项的左边是求16的算术平方根，右边是16的平方根，而一个正数的正的平方根才是它的算术平方根，据此可判断A；首先将带分数化为假分数，然后开方计算可判断B；几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数完全相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式，合并同类二次根式的时候，只需要将同类二次根式的系数相加减，二次根式部分不变，但不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断C；一个数的立方的立方根等于它本身，据此可判断D.
6．（2021八上·杨浦期中）与根式 不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．﹣2
【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、 ，与 是同类二次根式；
B、 ，与 是同类二次根式；
C、 ，与 不是同类二次根式；
D、 ，与 是同类二次根式；
故答案为：C．
【分析】将各选项中的二次根式化为最简二次根式，与的被开方数相同即得结论.
7．如果最简根式 与 是同类二次根式，那么使 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤10 B．x≥10
C．x＜10 D．x＞10
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；同类二次根式
【解析】【解答】由题意3a-8=17-2a，所以a=5，所以4a-2x=20-2x≥0，所以x≤10，即得A．
【分析】利用最简二次根式的定义求得a的数值，代入 ，利用二次根式有意义的条件求解x的范围是一个基本的解题思想．
8．下列二次根式中，最简二次根式是( ).
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】解答：最简二次根式应满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.A选项中被开方数含开得尽方的因数4；B选项中的被开方数含开得尽方的因式 ；D选项中的被开方数含开得尽方的因式 .故答案应选择C
分析：充分掌握最简二次根式的内涵与外延，用于具体题目的具体分析
二、填空题
9．（2021八上·上海月考）在二次根式 ； ； ； ； ； ； 中是最简二次根式的是 ．
【答案】 ， ，
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： ，不是最简二次根式；
，是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
，是最简二次根式；
，是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
∴是最简二次根式的有： ， ， ，
故答案为： ， ， ．
【分析】 如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式。那么，这个根式叫做最简二次根式。 根据最简二次根式的定义一一判断即可。
10．（2023八下·南昌期中）下列是最简二次根式的有 ．
①；②；③；④．
【答案】②④
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：①，被开方中含有能开方的因数，它不是最简二次根式；②它是最简二次根式；③被开方数中含有分母，它不是最简二次根式；④符合最简二次根式特征，是最简二次根式。
故第1空答案为：②④
【分析】根据最简二次根式的条件分别进行判断，即可得出答案。
11．（2023八下·汝南月考）若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为 .
【答案】3
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】，
最简二次根式与是同类二次根式，
，
，
故答案为：3.
【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义求出a的值.
12．（2019八上·浦东期中）化简 .
【答案】 .
【知识点】二次根式有意义的条件；最简二次根式
【解析】【解答】根据二次根式的定义知， ，
∴ ，
∴ = .
故答案为： .
【分析】先根据二次根式的定义确定出a的取舍范围，再根据二次根式的性质进行化简即可.
三、计算题
13．（2021八上·港南期末）
（1）计算： ．
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】（1）解：原式 ，
；
（2）解：原式
，
当 时，原式 ；
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；最简二次根式
【解析】【分析】（1）先利用负整数指数幂和0指数幂的意义计算，然后去绝对值、去括号，再合并同类二次根式和进行有理数的加减法运算即可得出结果；
（2）先由分式的混合运算将分式进行约分化简，最后代值计算即可.
四、解答题
14．已知最简二次根式 与 是同类二次根式，求关于x的方程（a﹣2）x2+2x﹣3=0的解．
【答案】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴a2﹣a=4a﹣6，
解得：a=2或a=3，
当a=2时，关于x的方程为2x﹣3=0，
解得：x= ，
当a=3时，关于x的方程为x2+2x﹣3=0，
解得；x=1，x=﹣3，
∴关于x的方程（a﹣2）x2+2x﹣3=0的解：x=1、x=﹣3或x=
【知识点】同类二次根式
【解析】【分析】根据同类二次根式的定义知2a2﹣a=4a﹣2，据此可以求得a的值；然后将其代入所求的方程（a﹣2）x2+2x﹣3=0并解方程即可．
五、综合题
15．（2020八下·江阴月考）如果最简二次根式 与 是同类二次根式.
（1）求出a的值；
（2）若a≤x≤2a，化简：|x﹣2|+ .
【答案】（1）解：4a-5=13-2a，
解得a=3.
（2）解： ≤x≤
= = =
【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式
【解析】【分析】（1）同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式，由此可列等式，求解即可；
（2）由二次根式的性质可对式子化简，再利用去绝对值符号法则：非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数可求解.
16．（2019八下·随县期中）若最简二次根式 和 是同类二次根式.
（1）求x、y的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）解：由题意得：3x-10=2 ， 2x+y-5=x-3y+11，
解得x=4，y=3.
（2）解：当x=4，y=3时 = =5
【知识点】同类二次根式
【解析】【分析】(1)、根据同类二次根式得出x和y的二元一次方程组，从而得出x和y的值；(2)、将x和y的值代入代数式得出答案.
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一、选择题
1．（2022八上·新城月考）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，则符合条件的正整数a有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2021八上·巴中期末）下列说法正确的是（ ）
A．1的平方根是1
B．（﹣4）2的算术平方根是4
C． ＝±3
D． 是最简二次根式
3．（2021八上·平谷期末）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是（ ）
A．a＝1 B．a＝－1 C．a＝2 D．a＝－2
4．（2021八上·承德期末）下列二次根式化为最简二次根式后能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021八上·郑州期末）下列计算正确的是（ ）
A． ＝±4 B． C． D．
6．（2021八上·杨浦期中）与根式 不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．﹣2
7．如果最简根式 与 是同类二次根式，那么使 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤10 B．x≥10
C．x＜10 D．x＞10
8．下列二次根式中，最简二次根式是( ).
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2021八上·上海月考）在二次根式 ； ； ； ； ； ； 中是最简二次根式的是 ．
10．（2023八下·南昌期中）下列是最简二次根式的有 ．
①；②；③；④．
11．（2023八下·汝南月考）若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为 .
12．（2019八上·浦东期中）化简 .
三、计算题
13．（2021八上·港南期末）
（1）计算： ．
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
四、解答题
14．已知最简二次根式 与 是同类二次根式，求关于x的方程（a﹣2）x2+2x﹣3=0的解．
五、综合题
15．（2020八下·江阴月考）如果最简二次根式 与 是同类二次根式.
（1）求出a的值；
（2）若a≤x≤2a，化简：|x﹣2|+ .
16．（2019八下·随县期中）若最简二次根式 和 是同类二次根式.
（1）求x、y的值；
（2）求 的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：，
∵二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，
∴且，
即，
∴①当，即a=30时，，
②当，即a=24时，，
③当，即a=14时，，
则符合条件的正整数a有3个.
故答案为：C.
【分析】=，根据二次根式有意义的条件可得32-a≥0且a>0，求出a的范围，然后分别令32-a=2、32-a=22×2、32-a=32×2，求出a的值即可.
2．【答案】B
【知识点】平方根；算术平方根；最简二次根式
【解析】【解答】解：解：A、1的平方根是
，此项说法错误；
B、
的算术平方根是4，此项说法正确；
C、
，此项错误；
D、
，所以
不是最简二次根式，此项说法错误.
故答案为：B.
【分析】根据平方根的概念可判断A；根据算术平方根的概念可判断B、C；根据最简二次根式的概念可判断D.
3．【答案】A
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式
∴a+1=2a
解得：a=1
故答案为：A
【分析】根据题意先求出a+1=2a，再计算求解即可。
4．【答案】B
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：，，，
∴能与合并的是；
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式、同底二次根式的性质判断即可。
5．【答案】D
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；二次根式的性质与化简；同类二次根式
【解析】【解答】解：
，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项错误，不符合题意；
和
不是同类二次根式不能合并，故C选项错误，不符合题意；
，故D选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】A选项的左边是求16的算术平方根，右边是16的平方根，而一个正数的正的平方根才是它的算术平方根，据此可判断A；首先将带分数化为假分数，然后开方计算可判断B；几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数完全相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式，合并同类二次根式的时候，只需要将同类二次根式的系数相加减，二次根式部分不变，但不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断C；一个数的立方的立方根等于它本身，据此可判断D.
6．【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、 ，与 是同类二次根式；
B、 ，与 是同类二次根式；
C、 ，与 不是同类二次根式；
D、 ，与 是同类二次根式；
故答案为：C．
【分析】将各选项中的二次根式化为最简二次根式，与的被开方数相同即得结论.
7．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；同类二次根式
【解析】【解答】由题意3a-8=17-2a，所以a=5，所以4a-2x=20-2x≥0，所以x≤10，即得A．
【分析】利用最简二次根式的定义求得a的数值，代入 ，利用二次根式有意义的条件求解x的范围是一个基本的解题思想．
8．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】解答：最简二次根式应满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.A选项中被开方数含开得尽方的因数4；B选项中的被开方数含开得尽方的因式 ；D选项中的被开方数含开得尽方的因式 .故答案应选择C
分析：充分掌握最简二次根式的内涵与外延，用于具体题目的具体分析
9．【答案】 ， ，
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： ，不是最简二次根式；
，是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
，是最简二次根式；
，是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
∴是最简二次根式的有： ， ， ，
故答案为： ， ， ．
【分析】 如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式。那么，这个根式叫做最简二次根式。 根据最简二次根式的定义一一判断即可。
10．【答案】②④
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：①，被开方中含有能开方的因数，它不是最简二次根式；②它是最简二次根式；③被开方数中含有分母，它不是最简二次根式；④符合最简二次根式特征，是最简二次根式。
故第1空答案为：②④
【分析】根据最简二次根式的条件分别进行判断，即可得出答案。
11．【答案】3
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】，
最简二次根式与是同类二次根式，
，
，
故答案为：3.
【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义求出a的值.
12．【答案】 .
【知识点】二次根式有意义的条件；最简二次根式
【解析】【解答】根据二次根式的定义知， ，
∴ ，
∴ = .
故答案为： .
【分析】先根据二次根式的定义确定出a的取舍范围，再根据二次根式的性质进行化简即可.
13．【答案】（1）解：原式 ，
；
（2）解：原式
，
当 时，原式 ；
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；最简二次根式
【解析】【分析】（1）先利用负整数指数幂和0指数幂的意义计算，然后去绝对值、去括号，再合并同类二次根式和进行有理数的加减法运算即可得出结果；
（2）先由分式的混合运算将分式进行约分化简，最后代值计算即可.
14．【答案】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴a2﹣a=4a﹣6，
解得：a=2或a=3，
当a=2时，关于x的方程为2x﹣3=0，
解得：x= ，
当a=3时，关于x的方程为x2+2x﹣3=0，
解得；x=1，x=﹣3，
∴关于x的方程（a﹣2）x2+2x﹣3=0的解：x=1、x=﹣3或x=
【知识点】同类二次根式
【解析】【分析】根据同类二次根式的定义知2a2﹣a=4a﹣2，据此可以求得a的值；然后将其代入所求的方程（a﹣2）x2+2x﹣3=0并解方程即可．
15．【答案】（1）解：4a-5=13-2a，
解得a=3.
（2）解： ≤x≤
= = =
【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式
【解析】【分析】（1）同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式，由此可列等式，求解即可；
（2）由二次根式的性质可对式子化简，再利用去绝对值符号法则：非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数可求解.
16．【答案】（1）解：由题意得：3x-10=2 ， 2x+y-5=x-3y+11，
解得x=4，y=3.
（2）解：当x=4，y=3时 = =5
【知识点】同类二次根式
【解析】【分析】(1)、根据同类二次根式得出x和y的二元一次方程组，从而得出x和y的值；(2)、将x和y的值代入代数式得出答案.
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