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2023-2024学年初中数学八年级上册 17.1 一元二次方程的概念 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八下·嘉兴期末）下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八下·南浔期末）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·宁波期末）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·肇源月考）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3，5 B．3，1 C．， D．3，
5．（2023八下·龙口期中）方程是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．一 B． C．. D．
6．（2023八下·鄞州期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x-2y=0 B．-x=1 C．2x2=x-1 D．2x2+3y=2
7．（2023八下·温州期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x2+3x= B．2(x-1)+x=2 C．x2=2+3x D．x2-xy-4=0
8．（2022九上·聊城期末）下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥．一元二次方程共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2023·东区模拟）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
10．一元二次方程的一次项系数为 ．
11．（2023八下·金寨期中）关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ．
12．（2023·九台模拟）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围为 ．
13．（2023八下·蚌埠期中）若关于的方程是一元二次方程，则 ．
三、解答题
14．（2023八下·怀宁期中）若是关于的一元二次方程，求的值．
15．（2022九上·惠阳月考）把方程 先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
四、综合题
16．向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1） +（m﹣2）x﹣1=0提出了下列问题：
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
17．已知关于x的方程（k+1）x+（k-3）x-1=0
（1）当k取何值时，它是一元一次方程？
（2）当k取何值时，它是一元二次方程？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据一元二次方程的概念可得：x2+x=0属于一元二次方程.
故答案为：B.
【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程，据此判断.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、只含有一个未知数且未知数最高次数为2，未知数前系数不为0，满足一元二次方程的定义，A选项符合题意；
B、含有两个未知数，不满足一元二次方程的定义，B选项不符合题意；
C、只含有一个未知数，但未知数最高次数为1，不满足一元二次方程的定义，C选项不符合题意；
D、将原方程化简得：，只含有一个未知数，但未知数最高次数为3，不满足一元二次方程的定义，D选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的定义：一元二次方程式是含有一个未知数，且未知数最高次数为2，未知数前系数不为0的方程，逐项分析即可.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、2x-1=4x+3，移项、合并同类项，得2x+4=0，含有一个未知数，未知数项的最高次数是1次，所以此方程是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B、2x2+y-1=0，含有两个未知数，且未知数项的最高次数是2次，所以此是二元二次方程，故此选项不符合题意；
C、2x2-1=3，移项合并同类项，得2x2-4=0，含有一个未知数，且未知数项的最高次数是2次，所以此是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、ax2+bx+c=0，当a=0，b≠0时，此方程是关于x的一元一次方程，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】只含有一个未知数，未知数项的最高次数为2次，且二次项的系数不为0的整式方程，就是一元二次方程，据此一一判断得出答案.
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵3x2=5x-1，
∴3x2-5x+1=0，
∴二次项系数和一次项系数分别为3、-5.
故答案为：D.
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）.其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】∵方程（m-1）x2+2x+3=0是关于x的一元二次方程，
∴m-1≠0，
∴m≠1．
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程的定义得到m-1≠0，解不等式即可．
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、x-2y=0是二元一次方程，故A不符合题意；
B、是分式方程，故B不符合题意；
C、 2x2=x-1是一元二次方程，故C符合题意；
D、 2x2+3y=2是二元二次方程，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用一元二次方程的定义：含有一个未知数，且含未知数项的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，再对各选项逐一判断.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、 方程x2+3x= 是分式方程，故A不符合题意；
B、2(x-1)+x=2即3x-2=2是一元一次方程，故B不符合题意；
C、方程 x2=2+3x是一元二次方程，故C符合题意；
D、方程x2-xy-4=0是二元二次方程，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用一元二次方程的定义：含有一个未知数，且含未知数项的最高次数是2的整式方程，再对各选项逐一判断.
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：①满足概念，是一元二次方程；
②满足概念，是一元二次方程；
③含有分式，不满足概念，不是一元二次方程；
④满足概念，是一元二次方程；
⑤含有两个变量，不满足概念，不是一元二次方程；
⑥，化简后为，不含二次项，不满足概念，不是一元二次方程；
一元二次方程有①②④，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可。
9．【答案】a＞1且a≠2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：
∵关于x的一元二次方程
(a-2)x2+2x-1=0有两个不相等的实数根，
∴a-2≠0，
△=22-4×(a-2)×(-1)=4a-4＞0，
解得：a＞1且a≠2
【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组，从而得到a的取值范围。
10．【答案】－3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： 方程的一次项系数为-3；
故答案为：-3.
【分析】一元二次方程的一般形式（a≠0），其中二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，据此解答即可.
11．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴m-2≠0，，
∴m=-2，
故答案为：-2.
【分析】根据一元二次方程的定义先求出m-2≠0，，再求出m的值即可作答。
12．【答案】 且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴ 且 ，
故答案为： 且
【分析】根据一元二次方程的根的个数和一元二次方程的定义即可求解。
13．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由关于x的方程是一元二次方程，得
|k|+1=2且k-1≠0．
解得k=-1．
故答案为：-1．
【分析】利用一元二次方程的定义可得|k|+1=2且k-1≠0，再求出k的值即可。
14．【答案】解：由题意得：，，
解不等式得：，
解方程得：，，
∴的值为3．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】利用一元二次方程的定义可得 ，， 再求出k的值即可。
15．【答案】解：去括号，得
移项、合并同类项，得
二次项系数化为 1，得
所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为 1，16，0．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】先将方程化为一般式，再利用二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可。
16．【答案】（1）解：根据一元二次方程的定义可得 ，解得m=1，此时方程为2x2-x-1=0，解得x1=1，x2=- ；
（2）解：由题可知m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程
当m2+1=1时，解得m=0，此时方程为-x-1=0，解得x=-1，
当m+1=0时，解得m=-1，此时方程为-3x-1=0，解得x=- ．
【知识点】一元一次方程的定义；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义，未知数的最高次项的次数为2，系数不能为0，列出混合组，求解得出m的值，将m的值代入方程，解出方程即可得出x的值；
（2）根据一元一次方程的定义，m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程，分别求解得出m的值，代入原方程，再解即可得出x的值。
17．【答案】（1）解：若关于x的方程（k+1）x+（k-3）x-1=0是一元一次方程，则
或 ，解得k=-1或k=0，
所以当k=-1或k=0时，关于x的方程（k+1）x+（k-3）x-1=0是一元一次方程.
（2）解：若关于x的方程（k+1）x+（k-3）x-1=0是一元二次方程，则
，解得k=1，
所以当k=1时，关于x的方程（k+1）x+（k-3）x-1=0是一元二次方程.
【知识点】一元一次方程的定义；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】(1)根据一元一次方程的一次项系数不等于0，x最高项次数为1，分别列关于k的方程，联立求解即可；
(2)根据一元二次方程的二次项系数不等于0，x最高项次数为2，分别列关于k的方程，联立求解即可.
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2023-2024学年初中数学八年级上册 17.1 一元二次方程的概念 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八下·嘉兴期末）下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据一元二次方程的概念可得：x2+x=0属于一元二次方程.
故答案为：B.
【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程，据此判断.
2．（2023八下·南浔期末）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、只含有一个未知数且未知数最高次数为2，未知数前系数不为0，满足一元二次方程的定义，A选项符合题意；
B、含有两个未知数，不满足一元二次方程的定义，B选项不符合题意；
C、只含有一个未知数，但未知数最高次数为1，不满足一元二次方程的定义，C选项不符合题意；
D、将原方程化简得：，只含有一个未知数，但未知数最高次数为3，不满足一元二次方程的定义，D选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的定义：一元二次方程式是含有一个未知数，且未知数最高次数为2，未知数前系数不为0的方程，逐项分析即可.
3．（2023八下·宁波期末）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、2x-1=4x+3，移项、合并同类项，得2x+4=0，含有一个未知数，未知数项的最高次数是1次，所以此方程是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B、2x2+y-1=0，含有两个未知数，且未知数项的最高次数是2次，所以此是二元二次方程，故此选项不符合题意；
C、2x2-1=3，移项合并同类项，得2x2-4=0，含有一个未知数，且未知数项的最高次数是2次，所以此是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、ax2+bx+c=0，当a=0，b≠0时，此方程是关于x的一元一次方程，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】只含有一个未知数，未知数项的最高次数为2次，且二次项的系数不为0的整式方程，就是一元二次方程，据此一一判断得出答案.
4．（2023八下·肇源月考）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3，5 B．3，1 C．， D．3，
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵3x2=5x-1，
∴3x2-5x+1=0，
∴二次项系数和一次项系数分别为3、-5.
故答案为：D.
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）.其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.
5．（2023八下·龙口期中）方程是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．一 B． C．. D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】∵方程（m-1）x2+2x+3=0是关于x的一元二次方程，
∴m-1≠0，
∴m≠1．
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程的定义得到m-1≠0，解不等式即可．
6．（2023八下·鄞州期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x-2y=0 B．-x=1 C．2x2=x-1 D．2x2+3y=2
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、x-2y=0是二元一次方程，故A不符合题意；
B、是分式方程，故B不符合题意；
C、 2x2=x-1是一元二次方程，故C符合题意；
D、 2x2+3y=2是二元二次方程，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用一元二次方程的定义：含有一个未知数，且含未知数项的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，再对各选项逐一判断.
7．（2023八下·温州期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x2+3x= B．2(x-1)+x=2 C．x2=2+3x D．x2-xy-4=0
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、 方程x2+3x= 是分式方程，故A不符合题意；
B、2(x-1)+x=2即3x-2=2是一元一次方程，故B不符合题意；
C、方程 x2=2+3x是一元二次方程，故C符合题意；
D、方程x2-xy-4=0是二元二次方程，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用一元二次方程的定义：含有一个未知数，且含未知数项的最高次数是2的整式方程，再对各选项逐一判断.
8．（2022九上·聊城期末）下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥．一元二次方程共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：①满足概念，是一元二次方程；
②满足概念，是一元二次方程；
③含有分式，不满足概念，不是一元二次方程；
④满足概念，是一元二次方程；
⑤含有两个变量，不满足概念，不是一元二次方程；
⑥，化简后为，不含二次项，不满足概念，不是一元二次方程；
一元二次方程有①②④，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可。
二、填空题
9．（2023·东区模拟）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】a＞1且a≠2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：
∵关于x的一元二次方程
(a-2)x2+2x-1=0有两个不相等的实数根，
∴a-2≠0，
△=22-4×(a-2)×(-1)=4a-4＞0，
解得：a＞1且a≠2
【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组，从而得到a的取值范围。
10．一元二次方程的一次项系数为 ．
【答案】－3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： 方程的一次项系数为-3；
故答案为：-3.
【分析】一元二次方程的一般形式（a≠0），其中二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，据此解答即可.
11．（2023八下·金寨期中）关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ．
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴m-2≠0，，
∴m=-2，
故答案为：-2.
【分析】根据一元二次方程的定义先求出m-2≠0，，再求出m的值即可作答。
12．（2023·九台模拟）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围为 ．
【答案】 且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴ 且 ，
故答案为： 且
【分析】根据一元二次方程的根的个数和一元二次方程的定义即可求解。
13．（2023八下·蚌埠期中）若关于的方程是一元二次方程，则 ．
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由关于x的方程是一元二次方程，得
|k|+1=2且k-1≠0．
解得k=-1．
故答案为：-1．
【分析】利用一元二次方程的定义可得|k|+1=2且k-1≠0，再求出k的值即可。
三、解答题
14．（2023八下·怀宁期中）若是关于的一元二次方程，求的值．
【答案】解：由题意得：，，
解不等式得：，
解方程得：，，
∴的值为3．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】利用一元二次方程的定义可得 ，， 再求出k的值即可。
15．（2022九上·惠阳月考）把方程 先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】解：去括号，得
移项、合并同类项，得
二次项系数化为 1，得
所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为 1，16，0．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】先将方程化为一般式，再利用二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可。
四、综合题
16．向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1） +（m﹣2）x﹣1=0提出了下列问题：
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
【答案】（1）解：根据一元二次方程的定义可得 ，解得m=1，此时方程为2x2-x-1=0，解得x1=1，x2=- ；
（2）解：由题可知m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程
当m2+1=1时，解得m=0，此时方程为-x-1=0，解得x=-1，
当m+1=0时，解得m=-1，此时方程为-3x-1=0，解得x=- ．
【知识点】一元一次方程的定义；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义，未知数的最高次项的次数为2，系数不能为0，列出混合组，求解得出m的值，将m的值代入方程，解出方程即可得出x的值；
（2）根据一元一次方程的定义，m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程，分别求解得出m的值，代入原方程，再解即可得出x的值。
17．已知关于x的方程（k+1）x+（k-3）x-1=0
（1）当k取何值时，它是一元一次方程？
（2）当k取何值时，它是一元二次方程？
【答案】（1）解：若关于x的方程（k+1）x+（k-3）x-1=0是一元一次方程，则
或 ，解得k=-1或k=0，
所以当k=-1或k=0时，关于x的方程（k+1）x+（k-3）x-1=0是一元一次方程.
（2）解：若关于x的方程（k+1）x+（k-3）x-1=0是一元二次方程，则
，解得k=1，
所以当k=1时，关于x的方程（k+1）x+（k-3）x-1=0是一元二次方程.
【知识点】一元一次方程的定义；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】(1)根据一元一次方程的一次项系数不等于0，x最高项次数为1，分别列关于k的方程，联立求解即可；
(2)根据一元二次方程的二次项系数不等于0，x最高项次数为2，分别列关于k的方程，联立求解即可.
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