2023-2024学年初中数学八年级上册 17.2 一元二次方程的解法 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八下·江州期末）方程x2=4x的根是（ ）.
A． B． C． D．
2．（2023八下·慈溪期末）把一元二次方程配方可得（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·蒙城期中）方程的根是（ ）
A．x1＝，x2＝ B．x1＝1，x2＝
C．x1＝x2＝ D．x1＝，x2＝5
4．（2023八下·嘉兴期末）一元二次方程配方后，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·萧山期末）方程的根是（ ）
A． B．
C．， D．，
6．（2023八下·江北期末）用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八下·肇源月考）在长度为1的线段上有一点P．满足，则长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·新疆）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022·绥化）设与为一元二次方程的两根，则的值为 ．
10．（2023八下·肇源月考）方程的根为 ．
11．（2023八下·上海市期中）如果关于x的方程有实数解，那么a的取值范围是 ．
12．（2023七下·江北期中）方程的解是 ．
13．（2023八下·鄞州期中）解一元二次方程x2+2x-1＝0，配方得到（x+1）2＝a，则a的值为 ．
14．（2023八下·滨江期中）若，则 ．
三、计算题
15．（2023·无锡）
（1）解方程：
（2）解不等式组：
四、解答题
16．（2023七下·榆树期末）利用平方根的意义求方程（x-1）2＝4中x的值．
17．（2023八下·嘉兴期末）在解一元二次方程时，小王的解答如下：
解：方程两边同时除以得：； 移项得：； 解得：．
小王的解题过程是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，写出正确解答．
五、综合题
18．（2023·天河模拟）已知代数式．
（1）化简A；
（2）若m是方程的根，求A的值．
19．（2023八下·新昌月考）选择适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2= 4x
∴x2-4x=0
∴x(x-4)=0
∴x=0或x-4=0
∴x1=4，x2=0
故答案为： C.
【分析】将右边的式子移至左边，然后分解因式可得x(x-4)=0，据此求解.
2．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：首先将二次项的系数化为1，
得，
再移项得，
在方程的左右两边都加上一次项系数的一半的平方，得到，
根据完全平方公式得到，
故答案为：C.
【分析】本题主要考查配方法的应用，首先先移项，然后再加上一次项系数的一半的平方，整理后即可得到答案.
3．【答案】A
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得，
∴x1＝，x2＝，
故答案为：A
【分析】运用直接开平方法解一元二次方程即可求解。
4．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2-4x-5=0，
∴x2-4x=5，
∴x2-4x+4=4+5，
∴(x-2)2=9.
故答案为：B.
【分析】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上4，再对左边的式子利用完全平方公式分解即可.
5．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
，，
故答案为：D.
【分析】先对方程进行移项，再利用提取公因式法分解方程求解.
6．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、可变形为，错误；
B、可变形为，正确；
C、可变形为，错误；
D、可变形为，错误.
故答案为：B.
【分析】根据完全平方公式将一元二次方程进行转化即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程；线段的计算
【解析】【解答】解：设BP=x，则AP=1-x.
∵AP2=BP·AB，
∴(1-x)2=x，
∴x2-3x+1=0，
∴x=，
∴x=（负值舍去）.
故答案为：A.
【分析】设BP=x，则AP=1-x，由已知条件可知AP2=BP·AB，则(1-x)2=x，求解即可.
8．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】利用配方法求解一元二次方程的计算方法求解即可。
9．【答案】20
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵
△=9-4=5＞0，
∴，，
∴=，
故答案为：20；
【分析】先求出一元二次方程的解，再将其代入计算即可。
10．【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵(x-3)2=3(x-3)，
∴(x-3)2-3(x-3)=0，
∴(x-3)(x-3-3)=0，
∴x-3=0或x-6=0，
∴x1=3，x2=6.
故答案为：x1=3，x2=6.
【分析】首先移项，然后分解因式可得(x-3)(x-3-3)=0，据此求解.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
当a-2≠0时，，
∵关于x的方程有实数解，
∴a-2＞0，
∴a＞2，
故答案为：
【分析】先将方程变换为，进而根据直接开平方法解方程即可求解。
12．【答案】，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
x2=8，
x2=16，
解得x1=4，x2=-4；
【分析】先将方程整理为x2=16，利用直接开平方法解方程即可.
13．【答案】2
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2+2x-1=0，
∴x2+2x=1，
∴x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2，
∴a=2.
故答案为：2.
【分析】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上1，再对左边的式子利用完全平方公式分解即可对方程进行配方，据此可得a的值.
14．【答案】或
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2-4xy-y2=0，
∴()2--1=0，
∴(-2)2=5，
∴-2=±，
∴=2+或2-.
故答案为：2+或2-.
【分析】给两边同时除以y2可得()2--1=0，然后配方可得(-2)2=5，再利用直接开平方法进行计算.
15．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴
解得：，；
（2）解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
【知识点】公式法解一元二次方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】(1)利用求根公式计算一元二次方程的解.
(2)先分别计算各个不等式的解，再求不等式组的解集.
16．【答案】解：∵（x-1）2＝4，由平方根的意义可知：
∴x-1＝±2，
∴x-1＝2或x-1＝-2，
解得：x＝3或x＝-1
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据平方根的意义求出 x-1＝±2， 再解方程求解即可。
17．【答案】解：小王的解题过程错误，正确过程如下：
或，
解得：或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】首先移项，然后提取公因式(5x-3)可得(5x-3)(5x-3-1)=0，据此求解.
18．【答案】（1）解：
（2）解：解方程，得，，
由题意知：，解得，
∵m是方程的根，
∴，（舍去）
∴
【知识点】分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据同分母分式减法法则对前面括号中的式子进行计算，根据多项式与多项式的乘法法则对后面括号中的式子进行计算，然后合并同类项即可；
（2）根据因式分解法可得方程的解，由分式有意义的条件可得m≠2，据此将另一个解代入（1）化简后的式子中进行计算.
19．【答案】（1）解：，
移项得：，
提取公因式得：，
，，
，；
（2）解：，
移项得：，
因式分解得：，
，，
，；
（3）解：，
系数化为1得：，
开平方得：，
，，
，；
（4）解：
移项得：，
因式分解得：，
，
；
（5）解：，
移项得：，
去括号得：，
化简得：，
因式分解得：，
，，
，.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）首先移项，然后分解因式可得x(x-3)=0，据此求解；
（2）首先移项，然后因式分解可得(x-2)(x-4)=0，据此求解；
（3）给两边同时初一，再利用直接开平方法进行计算；
（4）首先将方程化为一般形式，然后利用完全平方公式进行分解，进而进行计算；
（5）将右边的式子移至左边，然后将方程化为一般形式，因式分解可得(-3x-1)(x+3)=0，据此求解.
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 17.2 一元二次方程的解法 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八下·江州期末）方程x2=4x的根是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2= 4x
∴x2-4x=0
∴x(x-4)=0
∴x=0或x-4=0
∴x1=4，x2=0
故答案为： C.
【分析】将右边的式子移至左边，然后分解因式可得x(x-4)=0，据此求解.
2．（2023八下·慈溪期末）把一元二次方程配方可得（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：首先将二次项的系数化为1，
得，
再移项得，
在方程的左右两边都加上一次项系数的一半的平方，得到，
根据完全平方公式得到，
故答案为：C.
【分析】本题主要考查配方法的应用，首先先移项，然后再加上一次项系数的一半的平方，整理后即可得到答案.
3．（2023八下·蒙城期中）方程的根是（ ）
A．x1＝，x2＝ B．x1＝1，x2＝
C．x1＝x2＝ D．x1＝，x2＝5
【答案】A
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得，
∴x1＝，x2＝，
故答案为：A
【分析】运用直接开平方法解一元二次方程即可求解。
4．（2023八下·嘉兴期末）一元二次方程配方后，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2-4x-5=0，
∴x2-4x=5，
∴x2-4x+4=4+5，
∴(x-2)2=9.
故答案为：B.
【分析】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上4，再对左边的式子利用完全平方公式分解即可.
5．（2023八下·萧山期末）方程的根是（ ）
A． B．
C．， D．，
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
，，
故答案为：D.
【分析】先对方程进行移项，再利用提取公因式法分解方程求解.
6．（2023八下·江北期末）用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、可变形为，错误；
B、可变形为，正确；
C、可变形为，错误；
D、可变形为，错误.
故答案为：B.
【分析】根据完全平方公式将一元二次方程进行转化即可求出答案.
7．（2023八下·肇源月考）在长度为1的线段上有一点P．满足，则长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程；线段的计算
【解析】【解答】解：设BP=x，则AP=1-x.
∵AP2=BP·AB，
∴(1-x)2=x，
∴x2-3x+1=0，
∴x=，
∴x=（负值舍去）.
故答案为：A.
【分析】设BP=x，则AP=1-x，由已知条件可知AP2=BP·AB，则(1-x)2=x，求解即可.
8．（2023·新疆）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】利用配方法求解一元二次方程的计算方法求解即可。
二、填空题
9．（2022·绥化）设与为一元二次方程的两根，则的值为 ．
【答案】20
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵
△=9-4=5＞0，
∴，，
∴=，
故答案为：20；
【分析】先求出一元二次方程的解，再将其代入计算即可。
10．（2023八下·肇源月考）方程的根为 ．
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵(x-3)2=3(x-3)，
∴(x-3)2-3(x-3)=0，
∴(x-3)(x-3-3)=0，
∴x-3=0或x-6=0，
∴x1=3，x2=6.
故答案为：x1=3，x2=6.
【分析】首先移项，然后分解因式可得(x-3)(x-3-3)=0，据此求解.
11．（2023八下·上海市期中）如果关于x的方程有实数解，那么a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
当a-2≠0时，，
∵关于x的方程有实数解，
∴a-2＞0，
∴a＞2，
故答案为：
【分析】先将方程变换为，进而根据直接开平方法解方程即可求解。
12．（2023七下·江北期中）方程的解是 ．
【答案】，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
x2=8，
x2=16，
解得x1=4，x2=-4；
【分析】先将方程整理为x2=16，利用直接开平方法解方程即可.
13．（2023八下·鄞州期中）解一元二次方程x2+2x-1＝0，配方得到（x+1）2＝a，则a的值为 ．
【答案】2
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2+2x-1=0，
∴x2+2x=1，
∴x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2，
∴a=2.
故答案为：2.
【分析】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上1，再对左边的式子利用完全平方公式分解即可对方程进行配方，据此可得a的值.
14．（2023八下·滨江期中）若，则 ．
【答案】或
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2-4xy-y2=0，
∴()2--1=0，
∴(-2)2=5，
∴-2=±，
∴=2+或2-.
故答案为：2+或2-.
【分析】给两边同时除以y2可得()2--1=0，然后配方可得(-2)2=5，再利用直接开平方法进行计算.
三、计算题
15．（2023·无锡）
（1）解方程：
（2）解不等式组：
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴
解得：，；
（2）解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
【知识点】公式法解一元二次方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】(1)利用求根公式计算一元二次方程的解.
(2)先分别计算各个不等式的解，再求不等式组的解集.
四、解答题
16．（2023七下·榆树期末）利用平方根的意义求方程（x-1）2＝4中x的值．
【答案】解：∵（x-1）2＝4，由平方根的意义可知：
∴x-1＝±2，
∴x-1＝2或x-1＝-2，
解得：x＝3或x＝-1
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据平方根的意义求出 x-1＝±2， 再解方程求解即可。
17．（2023八下·嘉兴期末）在解一元二次方程时，小王的解答如下：
解：方程两边同时除以得：； 移项得：； 解得：．
小王的解题过程是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，写出正确解答．
【答案】解：小王的解题过程错误，正确过程如下：
或，
解得：或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】首先移项，然后提取公因式(5x-3)可得(5x-3)(5x-3-1)=0，据此求解.
五、综合题
18．（2023·天河模拟）已知代数式．
（1）化简A；
（2）若m是方程的根，求A的值．
【答案】（1）解：
（2）解：解方程，得，，
由题意知：，解得，
∵m是方程的根，
∴，（舍去）
∴
【知识点】分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据同分母分式减法法则对前面括号中的式子进行计算，根据多项式与多项式的乘法法则对后面括号中的式子进行计算，然后合并同类项即可；
（2）根据因式分解法可得方程的解，由分式有意义的条件可得m≠2，据此将另一个解代入（1）化简后的式子中进行计算.
19．（2023八下·新昌月考）选择适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【答案】（1）解：，
移项得：，
提取公因式得：，
，，
，；
（2）解：，
移项得：，
因式分解得：，
，，
，；
（3）解：，
系数化为1得：，
开平方得：，
，，
，；
（4）解：
移项得：，
因式分解得：，
，
；
（5）解：，
移项得：，
去括号得：，
化简得：，
因式分解得：，
，，
，.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）首先移项，然后分解因式可得x(x-3)=0，据此求解；
（2）首先移项，然后因式分解可得(x-2)(x-4)=0，据此求解；
（3）给两边同时初一，再利用直接开平方法进行计算；
（4）首先将方程化为一般形式，然后利用完全平方公式进行分解，进而进行计算；
（5）将右边的式子移至左边，然后将方程化为一般形式，因式分解可得(-3x-1)(x+3)=0，据此求解.
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