2023-2024学年初中数学八年级上册 17.2 一元二次方程的解法 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2022八下·乐清月考）用配方法将方程x2﹣4x﹣1＝0变形为（x﹣2）2＝m，则m的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2022八上·闵行期中）下列选项中的数是一元二次方程的根的是（ ）
A． B．5 C． D．4
3．（2021八上·奉贤期中）用配方法解方程ax2+bx+c＝0（a≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021八上·青羊期中）一元二次方程配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020八上·浦东月考）用配方法解一元二次方程x2-4x-9=0，可变形为（ ）
A．(x-2)2=9 B．(x-2)2=13 C．(x+2)2=9 D．(x+2)2=13
6．（2020八上·松江月考）在使用“配方法”解一元二次方程x2+3x=1时，方程两边应同时加上（ ）
A． B． C． D．-
7．（2019八上·徐汇期中）方程 的根为（ ）
A． B．
C． ， D． ，
8．（2019八上·长宁期中）方程 的解是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2021八上·浦东期中）当 时，代数式 的值等于 ．
10．（2022八上·青浦期中）等腰三角形的一边长为2，另外两边长是方程的两个根，则此三角形的周长为 ．
11．（2020九上·简阳月考）阅读理解：对于 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
理解运用：如果 ，那么 ，
即有 或 ，
因此，方程 和 的所有解就是方程 的解.
解决问题：求方程 的解为 .
12．（2020八下·柯桥期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则 的值为 .
13．（2017八上·平邑期末）若分式 的值为0，则x的值为 .
三、计算题
14．（2020八上·西湖期末）解方程或求值:
（1）
（2）
四、解答题
15．（2022八上·嘉定期中）用配方法解方程：3x2＋5x-1＝0
16．（2022八上·苍南月考）设关于x的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值.
五、综合题
17．（2022八上·莱州期中）化简：
（1）
（2）化简代数式：，再从，，2，3，中选取一个喜欢的数值代入，并求出代数式的值．
18．（2021八下·鼓楼期末）
（1）用配方法解一元二次方程除了课本的方法，也可以用下面的配方方式：
将 两边同时乘以 并移项，得到 ，两边再同时加上 ，得（ ▲ ）2 .请用这样的方法解方程： ；
（2）华裔数学家罗博深在2019年提出了一种全新的一元二次方程解法，对于 ，将等式左边进行因式分解，得到以下形式：
（从这里可以看出方程的解为 ， ）
即
因为 ，所以 、 的平均数为 ，不妨设 ， ，
利用 ，得 ，所以 ，即能求出 的值.
举例如下：解一元二次方程 ，由于 ，所以方程的两个根为 ，而 ，解得 ，所以方程的解为 ， .
请运用以上方法解如下方程① ；②
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x=1，
x2﹣4x+4=1+4，
∴（x-2）2=5.
∴m=5
故答案为：B.
【分析】利用配方法，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左边转化为平方形式，即可求出m的值.
2．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
移项得，
因式分解得，
所以或，
解得或．
故答案为：C．
【分析】利用十字相乘法解出方程，即可判断.
3．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】利用配方法的计算步骤及注意事项求解并判断即可。
4．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项得：
故答案为：A.
【分析】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上9，再对左边的式子利用完全平方公式分解即可.
5．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2-4x-9=0，
∴ x2-4x=9，
∴ x2-4x+4=9+4，
∴（x-2）2=13.
故答案为：B.
【分析】根据配方法的步骤，先把方程化成x2-4x=9的形式，两边同时加上4，把左边写成完全平方的形式，即可求解.
6．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：用配方法解一元二次方程 时，应当在方程的两边同时加上 ，即 ．
故答案为： ．
【分析】方程两边加上一次项一半的平方，计算即可得到结果．
7．【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵（4x-1）2=1，
∴4x-1=1或4x-1=-1，
解得： ， ,
故答案为：C．
【分析】两边直接开平方法求解可得．
8．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
整理得：x2-x-2=0，
（x+1）（x-2）=0，
∴x+1=0或x-2=0，
即x1=-1，x2=2
故答案为：D．
【分析】观察方程的特点：应用因式分解法解这个一元二次方程．
9．【答案】-1或-3
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
，
配方得： ，即 ，
开方得： ，
解得： ， ．
故答案为：-1或-3．
【分析】根据题意列出方程，再利用十字相乘法求解即可。
10．【答案】10
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意当等腰三角形的腰为2时，
方程有一根等于2，
则，
解得：，
即原方程为，
解得，，
∵不能构成三角形不符合题意；
当等腰三角形的底为2时，
方程的两个根相等，
∴，
解得：，
当时，原方程为，
解得，
则等腰三角形的周长为，
当时，原方程为，
解得，不符合题意；
综上所述：等腰三角形的周长为，
故答案为：10．
【分析】①当等腰三角形的腰为2时，可知方程有一根等于2；②当等腰三角形的底为2时，可知方程的两个根相等，可得△=0，据此分别解答即可.
11．【答案】x=2或 或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵
，
∴方程 可化为 =0，
∴x－2=0或 ，
解得： 或 或 ，
∴方程 的解为 或 或 ，
故答案为： 或 或 .
【分析】利用阅读材料直接进行解方程即可.
12．【答案】4或1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：整理（x﹣1）（mx﹣n）＝0得：mx2﹣（m+n）x+n＝0，
∵（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，
∴[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，
∴m2﹣ mn+n2＝0，即2m2﹣5mn+2n2＝0，
∴（2m﹣n）（m﹣2n）＝0，
∴2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，
∴m＝ n或m＝2n，
∴ 的值为4或1.
故答案为：4或1.
【分析】将方程（x﹣1）（mx﹣n）＝0整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，整理后即可得出2m2﹣5mn+2n2＝0，即可求得2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，进而求得 的值为4或1.
13．【答案】-2
【知识点】分式的值为零的条件；解含绝对值符号的一元一次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得： ，解得x=-2．故答案为：-2．
【分析】根据题意由分式的值为0，得到分子=0，分母≠0，即-2=0和x2 5x+6≠0，求出它们的公共解.
14．【答案】（1）解： ，
=0或 =0
解得：
（2）解：原式= = = =1
【知识点】二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）用因式分解法解方程，左边利用十字相乘法，将方程分解为两个因式的乘积，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可；
（2）先将第二个因式分母的被开方数改写成一个完全平方式，再利用二次根式的性质化简，接着将第二个因式进行分母有理化、最后根据二次根式的乘除法法则计算即可.
15．【答案】解： 3x2+5x-1＝0，
3x2+5x＝1，
x2+ x＝
∴
∴x1＝ ，x2＝ ．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用配方法求解一元二次方程即可。
16．【答案】解：原方程化为，即，
，
即，两式相减得
，
整理后可得，
即.
当，即时，k不存在；
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，.
综上所述，当时，方程的两根都是整数.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】 原方程化为[(k-2)x+k+2][(k-4)x+k-2]=0，表示出x，将两式相减并整理可得x2(x1+3)=-2=(-1)×2=(-2)×1，然后分别令x2=-1、x1+3=2；x2=2、x1+3=-1；x2=-2、x1+3=1；x2=1、x1+3=-2，求出x1、x2、k的值，结合两根均为整数可得k的值.
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
=
，
要使分式有意义，则且且，
不能为2，，3，
当时，原式．
【知识点】分式的乘除法；分式的化简求值
【解析】【分析】（1）利用分式的混合运算的计算方法求解即可；
（2）先利用分式的混合运算的计算方法化简，再将x的值代入计算即可。
18．【答案】（1）解：2ax+b； ，
两边同时乘以12再加25，移项得：
.
.
，
（2）解：① .
.
方程的两个根为 ，
而 ，解得 ，
， .
② .
两边同时除以3得： ，
.
方程的两个根为 ，
而 解得 ，
， .
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴ ，
故答案为：
【分析】（1）利用完全平方公式将等号左边因式分解即可得出结论； 将方程两边同时乘以12再加25，然后移项，再将方程左边写成完全平方式，然后利用直接开平方法解方程即可；
（2）①模仿例题解方程即可；② 先将方程两边同时除以3 ，再仿照例题解方程即可.
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 17.2 一元二次方程的解法 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2022八下·乐清月考）用配方法将方程x2﹣4x﹣1＝0变形为（x﹣2）2＝m，则m的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x=1，
x2﹣4x+4=1+4，
∴（x-2）2=5.
∴m=5
故答案为：B.
【分析】利用配方法，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左边转化为平方形式，即可求出m的值.
2．（2022八上·闵行期中）下列选项中的数是一元二次方程的根的是（ ）
A． B．5 C． D．4
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
移项得，
因式分解得，
所以或，
解得或．
故答案为：C．
【分析】利用十字相乘法解出方程，即可判断.
3．（2021八上·奉贤期中）用配方法解方程ax2+bx+c＝0（a≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】利用配方法的计算步骤及注意事项求解并判断即可。
4．（2021八上·青羊期中）一元二次方程配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项得：
故答案为：A.
【分析】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上9，再对左边的式子利用完全平方公式分解即可.
5．（2020八上·浦东月考）用配方法解一元二次方程x2-4x-9=0，可变形为（ ）
A．(x-2)2=9 B．(x-2)2=13 C．(x+2)2=9 D．(x+2)2=13
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2-4x-9=0，
∴ x2-4x=9，
∴ x2-4x+4=9+4，
∴（x-2）2=13.
故答案为：B.
【分析】根据配方法的步骤，先把方程化成x2-4x=9的形式，两边同时加上4，把左边写成完全平方的形式，即可求解.
6．（2020八上·松江月考）在使用“配方法”解一元二次方程x2+3x=1时，方程两边应同时加上（ ）
A． B． C． D．-
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：用配方法解一元二次方程 时，应当在方程的两边同时加上 ，即 ．
故答案为： ．
【分析】方程两边加上一次项一半的平方，计算即可得到结果．
7．（2019八上·徐汇期中）方程 的根为（ ）
A． B．
C． ， D． ，
【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵（4x-1）2=1，
∴4x-1=1或4x-1=-1，
解得： ， ,
故答案为：C．
【分析】两边直接开平方法求解可得．
8．（2019八上·长宁期中）方程 的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
整理得：x2-x-2=0，
（x+1）（x-2）=0，
∴x+1=0或x-2=0，
即x1=-1，x2=2
故答案为：D．
【分析】观察方程的特点：应用因式分解法解这个一元二次方程．
二、填空题
9．（2021八上·浦东期中）当 时，代数式 的值等于 ．
【答案】-1或-3
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
，
配方得： ，即 ，
开方得： ，
解得： ， ．
故答案为：-1或-3．
【分析】根据题意列出方程，再利用十字相乘法求解即可。
10．（2022八上·青浦期中）等腰三角形的一边长为2，另外两边长是方程的两个根，则此三角形的周长为 ．
【答案】10
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意当等腰三角形的腰为2时，
方程有一根等于2，
则，
解得：，
即原方程为，
解得，，
∵不能构成三角形不符合题意；
当等腰三角形的底为2时，
方程的两个根相等，
∴，
解得：，
当时，原方程为，
解得，
则等腰三角形的周长为，
当时，原方程为，
解得，不符合题意；
综上所述：等腰三角形的周长为，
故答案为：10．
【分析】①当等腰三角形的腰为2时，可知方程有一根等于2；②当等腰三角形的底为2时，可知方程的两个根相等，可得△=0，据此分别解答即可.
11．（2020九上·简阳月考）阅读理解：对于 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
理解运用：如果 ，那么 ，
即有 或 ，
因此，方程 和 的所有解就是方程 的解.
解决问题：求方程 的解为 .
【答案】x=2或 或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵
，
∴方程 可化为 =0，
∴x－2=0或 ，
解得： 或 或 ，
∴方程 的解为 或 或 ，
故答案为： 或 或 .
【分析】利用阅读材料直接进行解方程即可.
12．（2020八下·柯桥期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则 的值为 .
【答案】4或1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：整理（x﹣1）（mx﹣n）＝0得：mx2﹣（m+n）x+n＝0，
∵（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，
∴[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，
∴m2﹣ mn+n2＝0，即2m2﹣5mn+2n2＝0，
∴（2m﹣n）（m﹣2n）＝0，
∴2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，
∴m＝ n或m＝2n，
∴ 的值为4或1.
故答案为：4或1.
【分析】将方程（x﹣1）（mx﹣n）＝0整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，整理后即可得出2m2﹣5mn+2n2＝0，即可求得2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，进而求得 的值为4或1.
13．（2017八上·平邑期末）若分式 的值为0，则x的值为 .
【答案】-2
【知识点】分式的值为零的条件；解含绝对值符号的一元一次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得： ，解得x=-2．故答案为：-2．
【分析】根据题意由分式的值为0，得到分子=0，分母≠0，即-2=0和x2 5x+6≠0，求出它们的公共解.
三、计算题
14．（2020八上·西湖期末）解方程或求值:
（1）
（2）
【答案】（1）解： ，
=0或 =0
解得：
（2）解：原式= = = =1
【知识点】二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）用因式分解法解方程，左边利用十字相乘法，将方程分解为两个因式的乘积，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可；
（2）先将第二个因式分母的被开方数改写成一个完全平方式，再利用二次根式的性质化简，接着将第二个因式进行分母有理化、最后根据二次根式的乘除法法则计算即可.
四、解答题
15．（2022八上·嘉定期中）用配方法解方程：3x2＋5x-1＝0
【答案】解： 3x2+5x-1＝0，
3x2+5x＝1，
x2+ x＝
∴
∴x1＝ ，x2＝ ．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用配方法求解一元二次方程即可。
16．（2022八上·苍南月考）设关于x的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值.
【答案】解：原方程化为，即，
，
即，两式相减得
，
整理后可得，
即.
当，即时，k不存在；
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，.
综上所述，当时，方程的两根都是整数.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】 原方程化为[(k-2)x+k+2][(k-4)x+k-2]=0，表示出x，将两式相减并整理可得x2(x1+3)=-2=(-1)×2=(-2)×1，然后分别令x2=-1、x1+3=2；x2=2、x1+3=-1；x2=-2、x1+3=1；x2=1、x1+3=-2，求出x1、x2、k的值，结合两根均为整数可得k的值.
五、综合题
17．（2022八上·莱州期中）化简：
（1）
（2）化简代数式：，再从，，2，3，中选取一个喜欢的数值代入，并求出代数式的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
=
，
要使分式有意义，则且且，
不能为2，，3，
当时，原式．
【知识点】分式的乘除法；分式的化简求值
【解析】【分析】（1）利用分式的混合运算的计算方法求解即可；
（2）先利用分式的混合运算的计算方法化简，再将x的值代入计算即可。
18．（2021八下·鼓楼期末）
（1）用配方法解一元二次方程除了课本的方法，也可以用下面的配方方式：
将 两边同时乘以 并移项，得到 ，两边再同时加上 ，得（ ▲ ）2 .请用这样的方法解方程： ；
（2）华裔数学家罗博深在2019年提出了一种全新的一元二次方程解法，对于 ，将等式左边进行因式分解，得到以下形式：
（从这里可以看出方程的解为 ， ）
即
因为 ，所以 、 的平均数为 ，不妨设 ， ，
利用 ，得 ，所以 ，即能求出 的值.
举例如下：解一元二次方程 ，由于 ，所以方程的两个根为 ，而 ，解得 ，所以方程的解为 ， .
请运用以上方法解如下方程① ；②
【答案】（1）解：2ax+b； ，
两边同时乘以12再加25，移项得：
.
.
，
（2）解：① .
.
方程的两个根为 ，
而 ，解得 ，
， .
② .
两边同时除以3得： ，
.
方程的两个根为 ，
而 解得 ，
， .
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴ ，
故答案为：
【分析】（1）利用完全平方公式将等号左边因式分解即可得出结论； 将方程两边同时乘以12再加25，然后移项，再将方程左边写成完全平方式，然后利用直接开平方法解方程即可；
（2）①模仿例题解方程即可；② 先将方程两边同时除以3 ，再仿照例题解方程即可.
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