2023-2024学年初中数学八年级上册 17.3 一元二次方程根的判别式 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八下·江州期末）下列方程中有实数根的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 由题意可得，
A、22-4×1×5<0 无实数根，故A选项不符合题意；
B、12 -4×2×1<0 无实数根，故B选项不符合题意；
C、12 -4×（-1）×3＞0有实数根，故C选项符合题意；
D、（-2）2 -4×1×4＜0无实数根，故D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当>0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当<0时，方程没有实数根.
2．（2023八下·宁波期末）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac＞0，即（-2）2-4×1×k＞0，
解得k＜1.
故答案为：B.
【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根可得根的判别式b2-4ac＞0，据此列出不等式，求解即可.
3．（2023八下·拱墅期末）关于x的方程x2-ax-2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 关于x的方程x2-ax-2＝0中，二次项的系数为1，一次项的系数为-a，常数项为-2，
∴△=（-a）2-4×1×（-2）=a2+8，
∵a2≥0，
∴a2+8＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根.
故答案为：B.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当△=b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当△=b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当△=b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此算出根的判别式“△”的值，并结合偶数次幂的非负性即可判断得出答案.
4．（2023·北京）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴m=，
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
5．（2023·兰州）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴b2-4c=0，
∴，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意得到b2-4c=0，进而代入即可求解。
6．（2023八下·福州期末）若关于的一元二次方程有实数解，则的取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+p=0有实数解，
∴△=-4p≥0，
∴p≤0.
故答案为：A.
【分析】由题意可得△=b2-4ac≥0，代入求解可得p的范围.
7．（2023八下·上海市期中）在下列方程中，有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】立方根及开立方；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：
A、，故方程无实数根，A不符合题意；
B、移项得，故方程无实数根，B不符合题意；
C、解得x=1，经检验x=1不为原方程的解，故方程无实数根，C不符合题意；
D、解得x=-1，故方程有实数根，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与判别式、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、立方根即可求解。
8．（2023八下·江北期末）已知实数满足，设，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴将两个等式相加得，，
∴，
∵
∴将看作常数，则，
∵方程有实数解，
∴，
∵，
∴时，为最大，
∴.
故答案为：C.
【分析】将已知条件进行转化得到与的数量关系，利用一元二次方程与根的关系，即可求出最大值，从而求出最大值.
二、填空题
9．（2023八下·江州期末）若一元二次方程x2-6x+m-1=0有两个相等的实数根，则m= ．
【答案】10
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 关于的方程x2-6x+m-1=0有两个相等的实数根且根据一元二次方程根的判别式可知，a=1，b=-6，c=m-1.
解得m=10.
故答案为：10.
【分析】当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根。根据以上就可以求出答案.
10．（2023七下·虹口期末）已知关于的一元二次方程有两个相等实数根，则 ．
【答案】0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵已知关于的一元二次方程有两个相等实数根 ，∴ 0.
故第1空答案为：0.
【分析】直接根据 一元二次方程根的判别式与方程的根的情况之间的关系，得出判别式的值即可。
11．（2023八下·萧山期末）关于的一元二次方程的根的情况为 ．
【答案】方程有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
，
，
方程有两个不相等的实数根，
故答案为：方程有两个不相等的实数根.
【分析】对于ax2+bx+c=0，当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；
当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当b2-4ac<0时，方程没有实数根.
12．（2023·张家界）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】m＞-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
解得m＞-1，
故答案为：m＞-1
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
13．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
14．（2023·贵州）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴k=，
故答案为：
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
三、计算题
15．（2023九上·成都期末）
（1）解方程；
（2）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值．
【答案】（1）解：∵ ，
∴ 或 0
∴ 或
（2）解：∵方程有两个相等的实数根．
∴
∴
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）观察方程特点：方程右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法求出方程的解.
（2）利用方程有两个相等的实数根，可知b2-4ac=0，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
四、解答题
16．（2023八下·蒙城期中）有甲、乙两位同学，根据“关于x的一元二次方程kx2-（k+2）x+2=0”（k为实数）这一已知条件，他们各自提出了一个问题考查对方，问题如下：
甲：你能不解方程判断方程实数根的情况吗？
乙：若方程有两个不相等的正整数根，你知道整数k的值等于多少吗？请你帮助两人解决上述问题．
【答案】解：甲：∵kx2-（k+2）x+2=0（k为实数）是关于x的一元二次方程，
∴k≠0，
∵△=（k+2）2-4k×2=（k-2）2≥0，
∴方程有实数根；
乙：kx2-（k+2）x+2=0，
（x-1）（kx-2）=0，
x-1=0，或kx-2=0，
解得x1=1，x2=，
∵方程有两个不相等的正整数根，且k为整数，
∴k=1或2，
∵k=2时，x1=x2=1，两根相等，不合题意舍去，
∴k=1．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】甲：先根据一元二次方程的定义即可得到k≠0，进而根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解；乙：先运用十字相乘法因式分解即可得到x1=1，x2=，进而根据题意结合一元二次方程的根即可求解。
17．（2023九上·福州模拟）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围.
【答案】解：方程是一元二次方程，
，且，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
解得：，
的取值范围是且.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得a≠0且△=b2-4ac>0，代入求解可得a的范围.
五、综合题
18．（2023·荆州）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当时，用配方法解方程．
【答案】（1）解：依题意得：
（2）解：当k=1时，原方程变为：，则有：
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）由一元二次方程有两个不相等的实数根可得k≠0且△=b2-4ac>0，代入求解可得k的范围；
（2）当k=1时，方程为x2-6x-5=0，然后利用配方法进行求解.
19．（2023八下·金华期中）已知关于x的方程．
（1）当方程一个根为x=3时，求m的值.
（2）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根.
（3）若等腰△ABC的一腰长，另两边b、c恰好是这个方程的两个根．则△ABC的面积为 ．
【答案】（1）解：把x=3代入方程得：9-3（m+1）+2（m-1）=0，
解得m=4；
（2）证明：∵
∴无论m取何值，这个方程总有实数根.
（3）.
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【解答】（3）解：∵△ABC是等腰三角形，
∴b=c或b、c中有一个等于a，即值为6，
①当b=c时，△=（m-3）2=0， 解得m=3，
∴方程为x2-4x+4=0， 解得x1=x2=2，
即b=c=2，
∵2、2、6不能组成三角形，故舍去；
②当b、c中有一个等于6时，将x=6代入原方程得：36-6（m+1）+2（m-1）=0， 解得m=7，
方程为x2-8x+12=0，
解得x1=2，x2=6，
∴三边为2，6，6，
∴△ABC底边上的高为，
∴ △ABC的面积为×2×=；
故答案为：.
【分析】（1）把x=3代入方程即可求出m值；
（2）计算出△=m-3）2≥0，据此即可判断；
（3）由△ABC是等腰三角形，可得b=c或b、c中有一个等于a，即值为6，分两种情况分别求出三边的长，再利用三角形的面积公式即可求解.
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 17.3 一元二次方程根的判别式 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八下·江州期末）下列方程中有实数根的是（ ）.
A． B． C． D．
2．（2023八下·宁波期末）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
3．（2023八下·拱墅期末）关于x的方程x2-ax-2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．（2023·北京）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．9
5．（2023·兰州）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
6．（2023八下·福州期末）若关于的一元二次方程有实数解，则的取值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八下·上海市期中）在下列方程中，有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八下·江北期末）已知实数满足，设，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
9．（2023八下·江州期末）若一元二次方程x2-6x+m-1=0有两个相等的实数根，则m= ．
10．（2023七下·虹口期末）已知关于的一元二次方程有两个相等实数根，则 ．
11．（2023八下·萧山期末）关于的一元二次方程的根的情况为 ．
12．（2023·张家界）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
13．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
14．（2023·贵州）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ．
三、计算题
15．（2023九上·成都期末）
（1）解方程；
（2）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值．
四、解答题
16．（2023八下·蒙城期中）有甲、乙两位同学，根据“关于x的一元二次方程kx2-（k+2）x+2=0”（k为实数）这一已知条件，他们各自提出了一个问题考查对方，问题如下：
甲：你能不解方程判断方程实数根的情况吗？
乙：若方程有两个不相等的正整数根，你知道整数k的值等于多少吗？请你帮助两人解决上述问题．
17．（2023九上·福州模拟）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围.
五、综合题
18．（2023·荆州）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当时，用配方法解方程．
19．（2023八下·金华期中）已知关于x的方程．
（1）当方程一个根为x=3时，求m的值.
（2）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根.
（3）若等腰△ABC的一腰长，另两边b、c恰好是这个方程的两个根．则△ABC的面积为 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 由题意可得，
A、22-4×1×5<0 无实数根，故A选项不符合题意；
B、12 -4×2×1<0 无实数根，故B选项不符合题意；
C、12 -4×（-1）×3＞0有实数根，故C选项符合题意；
D、（-2）2 -4×1×4＜0无实数根，故D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当>0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当<0时，方程没有实数根.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac＞0，即（-2）2-4×1×k＞0，
解得k＜1.
故答案为：B.
【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根可得根的判别式b2-4ac＞0，据此列出不等式，求解即可.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 关于x的方程x2-ax-2＝0中，二次项的系数为1，一次项的系数为-a，常数项为-2，
∴△=（-a）2-4×1×（-2）=a2+8，
∵a2≥0，
∴a2+8＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根.
故答案为：B.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当△=b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当△=b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当△=b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此算出根的判别式“△”的值，并结合偶数次幂的非负性即可判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴m=，
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴b2-4c=0，
∴，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意得到b2-4c=0，进而代入即可求解。
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+p=0有实数解，
∴△=-4p≥0，
∴p≤0.
故答案为：A.
【分析】由题意可得△=b2-4ac≥0，代入求解可得p的范围.
7．【答案】D
【知识点】立方根及开立方；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：
A、，故方程无实数根，A不符合题意；
B、移项得，故方程无实数根，B不符合题意；
C、解得x=1，经检验x=1不为原方程的解，故方程无实数根，C不符合题意；
D、解得x=-1，故方程有实数根，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与判别式、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、立方根即可求解。
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴将两个等式相加得，，
∴，
∵
∴将看作常数，则，
∵方程有实数解，
∴，
∵，
∴时，为最大，
∴.
故答案为：C.
【分析】将已知条件进行转化得到与的数量关系，利用一元二次方程与根的关系，即可求出最大值，从而求出最大值.
9．【答案】10
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 关于的方程x2-6x+m-1=0有两个相等的实数根且根据一元二次方程根的判别式可知，a=1，b=-6，c=m-1.
解得m=10.
故答案为：10.
【分析】当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根。根据以上就可以求出答案.
10．【答案】0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵已知关于的一元二次方程有两个相等实数根 ，∴ 0.
故第1空答案为：0.
【分析】直接根据 一元二次方程根的判别式与方程的根的情况之间的关系，得出判别式的值即可。
11．【答案】方程有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
，
，
方程有两个不相等的实数根，
故答案为：方程有两个不相等的实数根.
【分析】对于ax2+bx+c=0，当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；
当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当b2-4ac<0时，方程没有实数根.
12．【答案】m＞-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
解得m＞-1，
故答案为：m＞-1
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
13．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
14．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴k=，
故答案为：
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
15．【答案】（1）解：∵ ，
∴ 或 0
∴ 或
（2）解：∵方程有两个相等的实数根．
∴
∴
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）观察方程特点：方程右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法求出方程的解.
（2）利用方程有两个相等的实数根，可知b2-4ac=0，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
16．【答案】解：甲：∵kx2-（k+2）x+2=0（k为实数）是关于x的一元二次方程，
∴k≠0，
∵△=（k+2）2-4k×2=（k-2）2≥0，
∴方程有实数根；
乙：kx2-（k+2）x+2=0，
（x-1）（kx-2）=0，
x-1=0，或kx-2=0，
解得x1=1，x2=，
∵方程有两个不相等的正整数根，且k为整数，
∴k=1或2，
∵k=2时，x1=x2=1，两根相等，不合题意舍去，
∴k=1．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】甲：先根据一元二次方程的定义即可得到k≠0，进而根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解；乙：先运用十字相乘法因式分解即可得到x1=1，x2=，进而根据题意结合一元二次方程的根即可求解。
17．【答案】解：方程是一元二次方程，
，且，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
解得：，
的取值范围是且.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得a≠0且△=b2-4ac>0，代入求解可得a的范围.
18．【答案】（1）解：依题意得：
（2）解：当k=1时，原方程变为：，则有：
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）由一元二次方程有两个不相等的实数根可得k≠0且△=b2-4ac>0，代入求解可得k的范围；
（2）当k=1时，方程为x2-6x-5=0，然后利用配方法进行求解.
19．【答案】（1）解：把x=3代入方程得：9-3（m+1）+2（m-1）=0，
解得m=4；
（2）证明：∵
∴无论m取何值，这个方程总有实数根.
（3）.
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【解答】（3）解：∵△ABC是等腰三角形，
∴b=c或b、c中有一个等于a，即值为6，
①当b=c时，△=（m-3）2=0， 解得m=3，
∴方程为x2-4x+4=0， 解得x1=x2=2，
即b=c=2，
∵2、2、6不能组成三角形，故舍去；
②当b、c中有一个等于6时，将x=6代入原方程得：36-6（m+1）+2（m-1）=0， 解得m=7，
方程为x2-8x+12=0，
解得x1=2，x2=6，
∴三边为2，6，6，
∴△ABC底边上的高为，
∴ △ABC的面积为×2×=；
故答案为：.
【分析】（1）把x=3代入方程即可求出m值；
（2）计算出△=m-3）2≥0，据此即可判断；
（3）由△ABC是等腰三角形，可得b=c或b、c中有一个等于a，即值为6，分两种情况分别求出三边的长，再利用三角形的面积公式即可求解.
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