2023-2024学年初中数学八年级上册 17.3 一元二次方程根的判别式 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八下·蜀山期中）若一元二次方程有解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
2．（2023·河南）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
3．（2023·聊城）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
4．（2023·滨州）一元二次方程根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能判定
5．（2023·广元）关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．（2023八下·定远期中）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
7．（2020九上·齐齐哈尔月考）对于一元二次方程 下列说法：①当 时，则方程 一定有一根为 ；②若 则方程 一定有两个不相等的实数根；③若c是方程 的一个根，则一定有 ；④若 ，则方程 有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④
8．（2019九上·和平期中）已知关于x的一元二次方程 与 ，下列判断错误的是（ ）
A．若方程 有两个实数根，则方程 也有两个实数根；
B．如果m是方程 的一个根，那么 是 的一个根；
C．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1；
D．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1或-1.
二、填空题
9．（2023八下·拱墅期中）已知关于x的一元二次方程（a-3）x2-8x+9＝0．
（1）若方程的一个根为x＝-1，则a的值为 ；
（2）若方程有实数根，则满足条件的正整数a的值为 ．
10．（2023·荆州模拟）若一元二次方程满足且有两个相等实数根，则a与c的关系是 ．
11．（2023八下·缙云期中）对于代数式（，a，b，c为常数）①若，则有两个相等的实数根；②存在三个实数，使得；③若与方程的解相同，则，以上说法正确的是 ．
12．（2023·金华）如图是一块矩形菜地ABCD，AB=a（m），AD=b（m），面积为.现将边AB增加1m.
（1）如图1，若a=5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，则b的值是 .
（2）如图2，若边AD增加2m，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为，则s的值是 .
13．（2021·大庆模拟）若关于x的一元二次方程 各项系数满足 ，则此方程的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当 时，有两个相等的实数根；③当a，c同号时，方程有两个正的实数根；④当a，b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正确的个数是 个．
14．（2020八上·宁波开学考）已知实数 满足 ，则 的值是 .
三、计算题
15．（2023·杭州）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①；②；③；④．
四、解答题
16．（2023九上·府谷期末）已知矩形ABCD两邻边AB、BC的长是关于x的方程的两个实数根.当m为何值时，矩形ABCD的两邻边AB、BC的长相等.
17．（2023九上·韩城期末）已知关于x的方程有两个实数根，，求的取值范围.
五、综合题
18．（2023·官渡模拟）已知抛物线的顶点在轴上．
（1）求的值；
（2）求的值．
19．（2022八上·奉贤期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”.例如x2=4和（x-2）（x+3）=0有且只有一个相同的实数根x=2，所以这两个方程为“同伴方程”.
（1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有 ：（只填写序号即可）
①②x2+4x+4=0 ③
（2）关于x的一元二次方程x2-2x=0与x2+x+m-1=0为“同伴方程”，求m的值；
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)同时满足a-b+c=0和9a+3b+c=0，且与
（x-n）（x+3）=0互为“同伴方程”，求n的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有解，
∴，
∴且，
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程的定义结合一元二次方程根的判别式即可求解。
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵x2+mx-8=0，
∴△=m2+32>0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根.确定a，b，c的值，代入公式判断出△的符号即可得出结论.
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有实数解，
∴，
∴且，
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根与判别式的关系结合题意即可求解。
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系结合题意即可求解。
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： ，
∵△=b2-4ac=（-3）2-4×2×=-3＜0，
∴此方程无实数根；
故答案为：C.
【分析】先计算根的判别式△=b2-4ac，当△＞0时，方程由有个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根，据此判断即可.
6．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①∵，
∴-b=a+c，
∴，①正确；
②∵方程有两个不相等的实根，
∴-4ac＞0，
∴，
∴方程必有两个不相等的实根，②正确；
③∵c是方程的一个根，
∴，
当c=0时，不成立，③错误；
④∵，
∴，
∵是一元二次方程的根，
∴成立，④正确；
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、完全平方公式结合题意即可求解。
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），
△＝b2 4ac，
①将x＝ 1代入方程ax2＋bx＋c＝0，得a b＋c＝0，即b＝a＋c．故①符合题意．
②若ab＞0，bc＜0，则ac＜0，则△＝b2 4ac＞0，即方程ax2＋bx＋c＝0一定有两个不相等的实数根．故②符合题意．
③将x＝c代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ac2＋bc＋c＝0，得c＝0或ac＋b＋1＝0．故③不符合题意．
④若b＝2a＋3c，△＝b2 4ac＝（2a＋3c）2 4ac =4（a＋c）2＋5c2＞0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．故④符合题意．
所以正确的是①②④，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根的意义及根的判别式，逐项分析判断即可．
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A．∵方程ax2+bx+c=0有两个实数根，∴△1=b2﹣4ac≥0．
∵△2=b2﹣4ac≥0，∴方程cx2+bx+a=0也有两个实数根，不符合题意；
B．∵m是方程ax2+bx+c=0的一个根，∴am2+bm+c=0，∴ ，∴ 是cx2+bx+a=0的一个根，故不符合题意；
C．由题意知，a≠c，设相等的根是m，则am2+bm+c=0①，cm2+bm+a=0②，①﹣②得am2﹣cm2+c﹣a=0，整理得：（a﹣c）（m2﹣1）=0．
∵a≠c，∴m2﹣1=0，∴m=±1，故C符合题意，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据根的判别式和一元二次方程的解的定义即可得到结论．
9．【答案】（1）-14
（2）4，2，1
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：（1）∵方程的一个根为x=-1，
∴a-3≠0且a-3+8+9=0，
解得a=-14.
故答案为：-14.
（2）∵方程没有实数根，
∴(-8)2-4(a-3)×9<0且a-3≠0，
∴a<且a≠3，
∴正整数a的值为1、2、4.
故答案为：1、2、4.
【分析】（1）根据方程根的概念，将x=-1代入方程中进行求解可得a的值；
（2）由题意可得(-8)2-4(a-3)×9<0且a-3≠0，求出a的范围，进而可得正整数a的值.
10．【答案】a=c
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 方程有两个相等实数根 ，
∴△=b2-4ac=0，
∵a+b+c=0，∴b=-a-c，
∴（-a-c）2-4ac=0，
∴（a+c）2=0，
∴a=c；
故答案为：a=c.
【分析】由方程有两个相等实数根 ，可得△=b2-4ac=0，由a+b+c=0得b=-a-c，将b=-a-c代入b2-4ac=0中，整理化简即可求解.
11．【答案】①③
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①∵b2-4ac=0，∴方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，故①正确；
②∵一元二次方程ax2+bx+c=k，最多有两个解，故②错误；
③∵方程（x+2）（x-3）=0的解为x1=-2，x2=3，
将x=-2代入ax2+bx+c+2=0得4a-2b+c+2=0，
∴4a-2b+c=-2，故③正确.
故答案为：①③.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此可对①进行判断；根据一元二次方程的对称性对②进行判断；根据一元二次方程解的定义对③进行判断.
12．【答案】（1）6m
（2）()m2
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：（1）当a=5时，S=ab=5b，
新矩形的长为5+1=6m，宽为（b-1）m，面积为6（b-1），
∴5b=6（b-1），
解得b=6；
故答案为：6m；
（2）∵S=ab，
∴b=
由题意得新矩形的长为（a+1）m，宽为b+2=（+2）m，面积为（a+1）（+2），
∴2s=（a+1）（+2），
整理得2a2+（2-s）a+s=0，
∵ 有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s，
∴△=（2-s）2-4×2s=0，
整理得s2-12s+4=0，
解得，，
∵新矩形的长增加2，宽增加1后得到的矩形面积是原矩形面积的2倍，
∴原矩形面积应该大于2，
∴s=()m2.
故答案为：()m2.
【分析】（1）当a=5时，分别根据矩形的面积计算方法表示出原矩形ABCD及新矩形的面积，由两个矩形的面积相等建立方程，求解可得b的值；
（2）由矩形的面积计算公式得S=ab，则b=，由题意得新矩形的长为（a+1）m，宽为b+2=（+2）m，面积为（a+1）（+2），根据新矩形的面积等于原矩形面积的2倍建立方程可得关于字母s与a的方程，由有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s可得关于字母a的方程中根的判别式的值为0，从而建立出关于字母s的方程，求解并根据原矩形的面积一定大于2可得答案.
13．【答案】3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：因为a+b+c＝0，所以b＝﹣a﹣c，
△＝b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2-4ac=（a﹣c）2≥0，方程一定有实数根，
当a＝c时，△＝0，有两个相等的实数根，故①不符合题意，②符合题意；
当a、c同号时，根据一元二次方程根与系数的关系，两根的积是 ＞0，则方程有两个同号的实数根，又∵b＝﹣a﹣c，显然a、b异号，两根之和为﹣ ＞0．则两根一定都是正数，故③符合题意．
当a，b同号时，∵b＝﹣a﹣c，显然a与a+c异号，故a、c异号，两根的积是 ＜0，方程有两个异号实数根．故④符合题意．
故答案为：3．
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号以及根与系数的关系即可以。
14．【答案】18
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵x=6-y，
∴x+y=6，
∵z2=xy-9，
∴xy=z2+9，
∴x、y是方程a2-6a+z2+9=0的两根，
∴△=(-6)2-4×(z2+9)≥0，
∴-z2≥0，
∴z=0，
∴△=0，
∴x=y，
∴x=6-x，
∴x=3， y=3，
∴ .
故答案为：18.
【分析】先通过变形可知，x、y是方程a2-6a+z2+9=0的两根， 利用△=≥0列式可得z=0，方程有两个相等的实数根，从而求出x、y的值，则值可求。
15．【答案】解：中，
①时，，方程有两个相等的实数根；
②时，，方程有两个不相等的实数根；
③时，，方程有两个不相等的实数根；
④时，，方程没有实数根；
因此可选择②或③．
选择②时，
，
，
，
，；
选择③时，
，
，
，
，．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】首先由给的b、c的值，算出判别式△=b2-4ac的值，再由一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，判断出②③两个方程都有两个不相等的实数根，从而将所选的方程利用求根公式法求解即可.
16．【答案】解：∵，
∴关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
即当时，矩形ABCD的两邻边AB、BC的长相等.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】由题意可得AB=BC，则方程有两个相等的实数根，然后根据△=b2-4ac=0可得m的值.
17．【答案】解：∵关于 的方程 有两个实数根 、 ，
∴ ，
∴ ，
故 的取值范围是 .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】利用一元二次方程有两个实数根，可得到b2-4ac≥0，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
18．【答案】（1）解：的顶点在x轴上，
∴方程有两个相等的实数根，
，即，
，
，．
（2）解：，
，
，，
，
，
，
，
．
【知识点】代数式求值；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）先根据题意结合一元二次方程根与判别式的关系即可得到a的值；
（2）先根据题意得到，，再将代数式化简即可求解。
19．【答案】（1）解：①②
（2）解：一元二次方程 x2-2x=0的解为，
当相同的根是x=0时，m-1=0，解得：m=1，
当相同的根是x=2时，4+2+m-1=0，解得：m=-5，
综上所述： m=1或-5.
（3）解：∵关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)同时满足a-b+c=0和9a+3b+c=0，
∴关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个根是，
∴（x-n）（x+3）=0 的两个根是，
∵ 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)同时满足a-b+c=0和9a+3b+c=0，且与（x-n）（x+3）=0互为“同伴方程”，
∴n=-1或3.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解析】解：（1）①，
解得：，
②，
解得：，
③，
，
解得：，
∴属于“同伴方程”的有①②.
故答案为：①②.
【分析】（1）利用“同伴方程”的定义一一判断即可；
（2）先求出，再分类讨论求解即可；
（3）先求出（x-n）（x+3）=0 的两个根是，再求解即可。
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 17.3 一元二次方程根的判别式 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八下·蜀山期中）若一元二次方程有解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有解，
∴，
∴且，
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程的定义结合一元二次方程根的判别式即可求解。
2．（2023·河南）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵x2+mx-8=0，
∴△=m2+32>0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根.确定a，b，c的值，代入公式判断出△的符号即可得出结论.
3．（2023·聊城）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有实数解，
∴，
∴且，
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根与判别式的关系结合题意即可求解。
4．（2023·滨州）一元二次方程根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能判定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系结合题意即可求解。
5．（2023·广元）关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： ，
∵△=b2-4ac=（-3）2-4×2×=-3＜0，
∴此方程无实数根；
故答案为：C.
【分析】先计算根的判别式△=b2-4ac，当△＞0时，方程由有个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根，据此判断即可.
6．（2023八下·定远期中）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①∵，
∴-b=a+c，
∴，①正确；
②∵方程有两个不相等的实根，
∴-4ac＞0，
∴，
∴方程必有两个不相等的实根，②正确；
③∵c是方程的一个根，
∴，
当c=0时，不成立，③错误；
④∵，
∴，
∵是一元二次方程的根，
∴成立，④正确；
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、完全平方公式结合题意即可求解。
7．（2020九上·齐齐哈尔月考）对于一元二次方程 下列说法：①当 时，则方程 一定有一根为 ；②若 则方程 一定有两个不相等的实数根；③若c是方程 的一个根，则一定有 ；④若 ，则方程 有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），
△＝b2 4ac，
①将x＝ 1代入方程ax2＋bx＋c＝0，得a b＋c＝0，即b＝a＋c．故①符合题意．
②若ab＞0，bc＜0，则ac＜0，则△＝b2 4ac＞0，即方程ax2＋bx＋c＝0一定有两个不相等的实数根．故②符合题意．
③将x＝c代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ac2＋bc＋c＝0，得c＝0或ac＋b＋1＝0．故③不符合题意．
④若b＝2a＋3c，△＝b2 4ac＝（2a＋3c）2 4ac =4（a＋c）2＋5c2＞0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．故④符合题意．
所以正确的是①②④，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根的意义及根的判别式，逐项分析判断即可．
8．（2019九上·和平期中）已知关于x的一元二次方程 与 ，下列判断错误的是（ ）
A．若方程 有两个实数根，则方程 也有两个实数根；
B．如果m是方程 的一个根，那么 是 的一个根；
C．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1；
D．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1或-1.
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A．∵方程ax2+bx+c=0有两个实数根，∴△1=b2﹣4ac≥0．
∵△2=b2﹣4ac≥0，∴方程cx2+bx+a=0也有两个实数根，不符合题意；
B．∵m是方程ax2+bx+c=0的一个根，∴am2+bm+c=0，∴ ，∴ 是cx2+bx+a=0的一个根，故不符合题意；
C．由题意知，a≠c，设相等的根是m，则am2+bm+c=0①，cm2+bm+a=0②，①﹣②得am2﹣cm2+c﹣a=0，整理得：（a﹣c）（m2﹣1）=0．
∵a≠c，∴m2﹣1=0，∴m=±1，故C符合题意，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据根的判别式和一元二次方程的解的定义即可得到结论．
二、填空题
9．（2023八下·拱墅期中）已知关于x的一元二次方程（a-3）x2-8x+9＝0．
（1）若方程的一个根为x＝-1，则a的值为 ；
（2）若方程有实数根，则满足条件的正整数a的值为 ．
【答案】（1）-14
（2）4，2，1
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：（1）∵方程的一个根为x=-1，
∴a-3≠0且a-3+8+9=0，
解得a=-14.
故答案为：-14.
（2）∵方程没有实数根，
∴(-8)2-4(a-3)×9<0且a-3≠0，
∴a<且a≠3，
∴正整数a的值为1、2、4.
故答案为：1、2、4.
【分析】（1）根据方程根的概念，将x=-1代入方程中进行求解可得a的值；
（2）由题意可得(-8)2-4(a-3)×9<0且a-3≠0，求出a的范围，进而可得正整数a的值.
10．（2023·荆州模拟）若一元二次方程满足且有两个相等实数根，则a与c的关系是 ．
【答案】a=c
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 方程有两个相等实数根 ，
∴△=b2-4ac=0，
∵a+b+c=0，∴b=-a-c，
∴（-a-c）2-4ac=0，
∴（a+c）2=0，
∴a=c；
故答案为：a=c.
【分析】由方程有两个相等实数根 ，可得△=b2-4ac=0，由a+b+c=0得b=-a-c，将b=-a-c代入b2-4ac=0中，整理化简即可求解.
11．（2023八下·缙云期中）对于代数式（，a，b，c为常数）①若，则有两个相等的实数根；②存在三个实数，使得；③若与方程的解相同，则，以上说法正确的是 ．
【答案】①③
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①∵b2-4ac=0，∴方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，故①正确；
②∵一元二次方程ax2+bx+c=k，最多有两个解，故②错误；
③∵方程（x+2）（x-3）=0的解为x1=-2，x2=3，
将x=-2代入ax2+bx+c+2=0得4a-2b+c+2=0，
∴4a-2b+c=-2，故③正确.
故答案为：①③.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此可对①进行判断；根据一元二次方程的对称性对②进行判断；根据一元二次方程解的定义对③进行判断.
12．（2023·金华）如图是一块矩形菜地ABCD，AB=a（m），AD=b（m），面积为.现将边AB增加1m.
（1）如图1，若a=5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，则b的值是 .
（2）如图2，若边AD增加2m，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为，则s的值是 .
【答案】（1）6m
（2）()m2
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：（1）当a=5时，S=ab=5b，
新矩形的长为5+1=6m，宽为（b-1）m，面积为6（b-1），
∴5b=6（b-1），
解得b=6；
故答案为：6m；
（2）∵S=ab，
∴b=
由题意得新矩形的长为（a+1）m，宽为b+2=（+2）m，面积为（a+1）（+2），
∴2s=（a+1）（+2），
整理得2a2+（2-s）a+s=0，
∵ 有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s，
∴△=（2-s）2-4×2s=0，
整理得s2-12s+4=0，
解得，，
∵新矩形的长增加2，宽增加1后得到的矩形面积是原矩形面积的2倍，
∴原矩形面积应该大于2，
∴s=()m2.
故答案为：()m2.
【分析】（1）当a=5时，分别根据矩形的面积计算方法表示出原矩形ABCD及新矩形的面积，由两个矩形的面积相等建立方程，求解可得b的值；
（2）由矩形的面积计算公式得S=ab，则b=，由题意得新矩形的长为（a+1）m，宽为b+2=（+2）m，面积为（a+1）（+2），根据新矩形的面积等于原矩形面积的2倍建立方程可得关于字母s与a的方程，由有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s可得关于字母a的方程中根的判别式的值为0，从而建立出关于字母s的方程，求解并根据原矩形的面积一定大于2可得答案.
13．（2021·大庆模拟）若关于x的一元二次方程 各项系数满足 ，则此方程的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当 时，有两个相等的实数根；③当a，c同号时，方程有两个正的实数根；④当a，b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正确的个数是 个．
【答案】3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：因为a+b+c＝0，所以b＝﹣a﹣c，
△＝b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2-4ac=（a﹣c）2≥0，方程一定有实数根，
当a＝c时，△＝0，有两个相等的实数根，故①不符合题意，②符合题意；
当a、c同号时，根据一元二次方程根与系数的关系，两根的积是 ＞0，则方程有两个同号的实数根，又∵b＝﹣a﹣c，显然a、b异号，两根之和为﹣ ＞0．则两根一定都是正数，故③符合题意．
当a，b同号时，∵b＝﹣a﹣c，显然a与a+c异号，故a、c异号，两根的积是 ＜0，方程有两个异号实数根．故④符合题意．
故答案为：3．
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号以及根与系数的关系即可以。
14．（2020八上·宁波开学考）已知实数 满足 ，则 的值是 .
【答案】18
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵x=6-y，
∴x+y=6，
∵z2=xy-9，
∴xy=z2+9，
∴x、y是方程a2-6a+z2+9=0的两根，
∴△=(-6)2-4×(z2+9)≥0，
∴-z2≥0，
∴z=0，
∴△=0，
∴x=y，
∴x=6-x，
∴x=3， y=3，
∴ .
故答案为：18.
【分析】先通过变形可知，x、y是方程a2-6a+z2+9=0的两根， 利用△=≥0列式可得z=0，方程有两个相等的实数根，从而求出x、y的值，则值可求。
三、计算题
15．（2023·杭州）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①；②；③；④．
【答案】解：中，
①时，，方程有两个相等的实数根；
②时，，方程有两个不相等的实数根；
③时，，方程有两个不相等的实数根；
④时，，方程没有实数根；
因此可选择②或③．
选择②时，
，
，
，
，；
选择③时，
，
，
，
，．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】首先由给的b、c的值，算出判别式△=b2-4ac的值，再由一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，判断出②③两个方程都有两个不相等的实数根，从而将所选的方程利用求根公式法求解即可.
四、解答题
16．（2023九上·府谷期末）已知矩形ABCD两邻边AB、BC的长是关于x的方程的两个实数根.当m为何值时，矩形ABCD的两邻边AB、BC的长相等.
【答案】解：∵，
∴关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
即当时，矩形ABCD的两邻边AB、BC的长相等.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】由题意可得AB=BC，则方程有两个相等的实数根，然后根据△=b2-4ac=0可得m的值.
17．（2023九上·韩城期末）已知关于x的方程有两个实数根，，求的取值范围.
【答案】解：∵关于 的方程 有两个实数根 、 ，
∴ ，
∴ ，
故 的取值范围是 .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】利用一元二次方程有两个实数根，可得到b2-4ac≥0，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
五、综合题
18．（2023·官渡模拟）已知抛物线的顶点在轴上．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：的顶点在x轴上，
∴方程有两个相等的实数根，
，即，
，
，．
（2）解：，
，
，，
，
，
，
，
．
【知识点】代数式求值；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）先根据题意结合一元二次方程根与判别式的关系即可得到a的值；
（2）先根据题意得到，，再将代数式化简即可求解。
19．（2022八上·奉贤期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”.例如x2=4和（x-2）（x+3）=0有且只有一个相同的实数根x=2，所以这两个方程为“同伴方程”.
（1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有 ：（只填写序号即可）
①②x2+4x+4=0 ③
（2）关于x的一元二次方程x2-2x=0与x2+x+m-1=0为“同伴方程”，求m的值；
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)同时满足a-b+c=0和9a+3b+c=0，且与
（x-n）（x+3）=0互为“同伴方程”，求n的值.
【答案】（1）解：①②
（2）解：一元二次方程 x2-2x=0的解为，
当相同的根是x=0时，m-1=0，解得：m=1，
当相同的根是x=2时，4+2+m-1=0，解得：m=-5，
综上所述： m=1或-5.
（3）解：∵关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)同时满足a-b+c=0和9a+3b+c=0，
∴关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个根是，
∴（x-n）（x+3）=0 的两个根是，
∵ 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)同时满足a-b+c=0和9a+3b+c=0，且与（x-n）（x+3）=0互为“同伴方程”，
∴n=-1或3.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解析】解：（1）①，
解得：，
②，
解得：，
③，
，
解得：，
∴属于“同伴方程”的有①②.
故答案为：①②.
【分析】（1）利用“同伴方程”的定义一一判断即可；
（2）先求出，再分类讨论求解即可；
（3）先求出（x-n）（x+3）=0 的两个根是，再求解即可。
1 / 1
