2023-2024学年初中数学八年级上册 17.4 一元二次方程的应用 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八下·香坊期末）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】 解：根据题意得，
第一次降价后的价格是100(1-x)，第二次降价后的价格是100(1-x)2，
列方程可得：100(1-x)2=64，
故选：A.
【分析】 设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格×（1-降价的百分率）列方程可得答案。
2．（2023八下·温州期中）如图，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道面积是30．设观花道的直角边为x，则可列方程为（ ）
A．（10+x）（9+x）＝30 B．（10+x）（9+x）＝60
C．（10-x）（9-x）＝30 D．（10-x）（9-x）＝60
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设观花道的直角边为x ，观察图形，可知油菜花田地的面积是60，可列方程：
（10-x）（9-x）=10×9-30，即（10-x）（9-x）=60，
故答案为：D.
【分析】根据题意，可将观花道两侧的油菜花田地平移，得到一个新的矩形，新矩形的长为（10-x）m，宽为（9-x）m，再根据油菜花田地的面积为60m2，列出方程。
3．（2023·石家庄月考）红星电池厂2022年1～5月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得：，
故答案为：B.
【分析】根据题意找出等量关系，列方程求解即可。
4．（2022八上·黄冈开学考）长方形ABCD的面积是15，它的长与宽的比为3：1，则该长方形的宽为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长方形的宽为x，长为3x，
根据题意得3x2=15，
解得x=或x=-（不符合题意，舍去），
∴ 该长方形的宽为.
故答案为：D.
【分析】设长方形的宽为x，长为3x，根据题意列出方程，解方程求出x的值，即可得出答案.
5．（2023八上·绍兴月考）如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽应该满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】设道路的宽为x米，
.
故答案为：D.
【分析】 设道路的宽为x米，将六块草地拼成一个长方形，长为（40-2x）米，宽为（26-x）米，利用长方形面积公式即可得到方程.
6．（2021八上·台山期末）一个正方形的边长增加3cm，它的面积就增加99cm2，这个正方形的边长为（ ）
A．14cm B．15cm C．16cm D．17cm
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这个正方形的边长为x，
则（x＋3）2＝x2＋99，
解得：x＝15cm．
故答案为：B．
【分析】设这个正方形的边长为x，根据题意列出方程，解之即可。
7．（2020八上·唐山期末）若制作的一个长方体底面积为 24 ，长、宽、高的比为4:2:1 ，则此长方体的体积为（ ）
A．216 B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设长方体的高为x，则长为4x，宽为2x，由题意得:
4x×2x＝24
解得x＝ ，x＝- （舍去）
这个长方体的高 cm
长方体的体积为:24× =24
故答案选：C
【分析】设出长宽高，利用底面积，求出高，最后再求出体积
8．（2021八下·青冈期末）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为81元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．100(1 x)2 ＝81 B．81(1 x)2 ＝100
C．100(1－2x)＝81 D．81(1－2x)＝100
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得，100(1 x)2 ＝81，
故答案为：A．
【分析】根据对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为81元， 列方程即可。
二、填空题
9．（2023八下·浦江月考）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为242万元，如果每月比上月增长的百分数相同，设平均每月的增长率为x，则可列方程 ．
【答案】200（1+x）2＝242
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得：200（1+x）2=242；
故填：200（1+x）2=242.
【分析】根据题目条件即可得出关于x的一元二次方程.
10．（2022八上·黄浦月考）为了降低药品的价格，物价部门对原价是a元的某药品，连续两次以相同的百分率x降价，那么两次降价后的价格为 元（用含a和x的代数式表示）．
【答案】a（1-x）2
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：第一次降价后的价格为：a（1-x）元，
则第二次降价后的价格为：a（1-x）（1-x）＝a（1-x）2元，
故答案为：a（1-x）2．
【分析】根据题意直接列出代数式即可。
11．（2022八上·闵行期中）一种型号的电视，原来每台售价7500元，经过两次降价后，现在每台售价为4800元，如果每次降价的百分率相同，设每次降价百分率为x，那么根据题意可列出方程： ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：每次降价百分率为x，
．
故答案为：．
【分析】根据原来每台售价×（1-每次降价百分率）2= 现在每台售价，列出方程即可.
12．（2022八上·青浦期中）某商品原价100元，经过连续两次涨价，现价为225元，则这个平均价格增长率为 ．
【答案】50%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均增长率为x，
，（舍去）；
，
故答案为：．
【分析】设平均增长率为x，根据商品原价×（1+平均增长率）2=商品现价列出方程并解之即可.
13．（2022八上·嘉定期中）有一件商品，由原售价连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知原售价是875元，降价两次后的售价是560元，若每次下降的百分率是，由题意列出关于的方程： ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意可列方程为 ；
故答案为 ．
【分析】根据题意直接列出方程即可。
三、解答题
14．（2022八上·青浦期中）某平台网店销售医用外科口罩，每盒售价元，每星期可卖盒，为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期多卖盒，已知该款口罩每盒成本价为元，若该网店想一星期获利元，且尽快减少库存，那么这星期预期销售多少盒口罩？
【答案】解：设该网店降价x元，
则根据题意可得：，
整理得：，
解得：，
∵尽快减少库存，
∴当降价元时，这星期预期销售盒口罩，
答：这星期预期销售盒口罩．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设该网店降价x元，则每盒利润=60-x-40，销售量=300+30x，根据总利润=每盒利润×销售量，列出方程并解之即可.
15．（2022八上·闵行期中）某小区为了美化环境，准备在一块长50米，宽42米的长方形场地上修筑内外宽度相等且互相垂直的道路，余下的部分作为草坪（图中阴影部分），若草坪的面积是1920平方米，求道路的宽度．
【答案】解：设道路的宽度为x米，
由题意得，
∴，
解得或（不符合题意，舍去）
∴道路的宽度为2米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设道路的宽度为x米，则余下部分可合成一个长为(50-x)米，宽为（42-x）米的矩形，根据“ 草坪的面积是1920平方米 ”列出方程并解之即可.
四、综合题
16．（2022八下·宁海期末）2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？
【答案】（1）解：设月平均增长率为x，
由题意，得：，
解得：（舍去）
答：月平均增长率是20%.
（2）解：设售价应降低a元，则每天可售出（20+2a）件，
由题意，得：（100﹣60﹣a）（20+2a）＝1200，
整理，得：a2﹣30a+200＝0，
解得：a1＝10，a2＝20．
∵要尽量减少库存，
∴a＝20.
答：售价应降低20元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设月平均增长率为x，根据一月销售量×（1+x）2=3月销售量，代入数据即可列出关于x的一元二次方程，解之即可求解；
（2）设售价应降低a元，则每天可售出（20+2a）件，根据总利润=单件利润×销售数量，得（100﹣60﹣a）（20+2a）＝1200， 解之得a1＝10，a2＝20，再由要尽量减少库存， 则售价应降低20元.
17．（2023八上·镇海区期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意得：
，
解得，（不合题意，舍去）.
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）解：设该品牌头盔的实际售价为y元/个，依题意得：
，
整理得，
解得（不合题意，舍去），，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程，进而利用直接开平方法求解并检验即可得出答案；
（2） 设该品牌头盔的实际售价为y元/个 ，则每个头盔的利润为（y-30）元每个，每月的销售数量为[600-10(y-40)]个，根据单个头盔的利润×每月的销售数量=当月的总利润建立方程，求解并检验即可.
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 17.4 一元二次方程的应用 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八下·香坊期末）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023八下·温州期中）如图，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道面积是30．设观花道的直角边为x，则可列方程为（ ）
A．（10+x）（9+x）＝30 B．（10+x）（9+x）＝60
C．（10-x）（9-x）＝30 D．（10-x）（9-x）＝60
3．（2023·石家庄月考）红星电池厂2022年1～5月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022八上·黄冈开学考）长方形ABCD的面积是15，它的长与宽的比为3：1，则该长方形的宽为（ ）
A．1 B． C． D．
5．（2023八上·绍兴月考）如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽应该满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021八上·台山期末）一个正方形的边长增加3cm，它的面积就增加99cm2，这个正方形的边长为（ ）
A．14cm B．15cm C．16cm D．17cm
7．（2020八上·唐山期末）若制作的一个长方体底面积为 24 ，长、宽、高的比为4:2:1 ，则此长方体的体积为（ ）
A．216 B． C． D．
8．（2021八下·青冈期末）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为81元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．100(1 x)2 ＝81 B．81(1 x)2 ＝100
C．100(1－2x)＝81 D．81(1－2x)＝100
二、填空题
9．（2023八下·浦江月考）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为242万元，如果每月比上月增长的百分数相同，设平均每月的增长率为x，则可列方程 ．
10．（2022八上·黄浦月考）为了降低药品的价格，物价部门对原价是a元的某药品，连续两次以相同的百分率x降价，那么两次降价后的价格为 元（用含a和x的代数式表示）．
11．（2022八上·闵行期中）一种型号的电视，原来每台售价7500元，经过两次降价后，现在每台售价为4800元，如果每次降价的百分率相同，设每次降价百分率为x，那么根据题意可列出方程： ．
12．（2022八上·青浦期中）某商品原价100元，经过连续两次涨价，现价为225元，则这个平均价格增长率为 ．
13．（2022八上·嘉定期中）有一件商品，由原售价连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知原售价是875元，降价两次后的售价是560元，若每次下降的百分率是，由题意列出关于的方程： ．
三、解答题
14．（2022八上·青浦期中）某平台网店销售医用外科口罩，每盒售价元，每星期可卖盒，为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期多卖盒，已知该款口罩每盒成本价为元，若该网店想一星期获利元，且尽快减少库存，那么这星期预期销售多少盒口罩？
15．（2022八上·闵行期中）某小区为了美化环境，准备在一块长50米，宽42米的长方形场地上修筑内外宽度相等且互相垂直的道路，余下的部分作为草坪（图中阴影部分），若草坪的面积是1920平方米，求道路的宽度．
四、综合题
16．（2022八下·宁海期末）2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？
17．（2023八上·镇海区期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】 解：根据题意得，
第一次降价后的价格是100(1-x)，第二次降价后的价格是100(1-x)2，
列方程可得：100(1-x)2=64，
故选：A.
【分析】 设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格×（1-降价的百分率）列方程可得答案。
2．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设观花道的直角边为x ，观察图形，可知油菜花田地的面积是60，可列方程：
（10-x）（9-x）=10×9-30，即（10-x）（9-x）=60，
故答案为：D.
【分析】根据题意，可将观花道两侧的油菜花田地平移，得到一个新的矩形，新矩形的长为（10-x）m，宽为（9-x）m，再根据油菜花田地的面积为60m2，列出方程。
3．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得：，
故答案为：B.
【分析】根据题意找出等量关系，列方程求解即可。
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长方形的宽为x，长为3x，
根据题意得3x2=15，
解得x=或x=-（不符合题意，舍去），
∴ 该长方形的宽为.
故答案为：D.
【分析】设长方形的宽为x，长为3x，根据题意列出方程，解方程求出x的值，即可得出答案.
5．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】设道路的宽为x米，
.
故答案为：D.
【分析】 设道路的宽为x米，将六块草地拼成一个长方形，长为（40-2x）米，宽为（26-x）米，利用长方形面积公式即可得到方程.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这个正方形的边长为x，
则（x＋3）2＝x2＋99，
解得：x＝15cm．
故答案为：B．
【分析】设这个正方形的边长为x，根据题意列出方程，解之即可。
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设长方体的高为x，则长为4x，宽为2x，由题意得:
4x×2x＝24
解得x＝ ，x＝- （舍去）
这个长方体的高 cm
长方体的体积为:24× =24
故答案选：C
【分析】设出长宽高，利用底面积，求出高，最后再求出体积
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得，100(1 x)2 ＝81，
故答案为：A．
【分析】根据对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为81元， 列方程即可。
9．【答案】200（1+x）2＝242
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得：200（1+x）2=242；
故填：200（1+x）2=242.
【分析】根据题目条件即可得出关于x的一元二次方程.
10．【答案】a（1-x）2
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：第一次降价后的价格为：a（1-x）元，
则第二次降价后的价格为：a（1-x）（1-x）＝a（1-x）2元，
故答案为：a（1-x）2．
【分析】根据题意直接列出代数式即可。
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：每次降价百分率为x，
．
故答案为：．
【分析】根据原来每台售价×（1-每次降价百分率）2= 现在每台售价，列出方程即可.
12．【答案】50%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均增长率为x，
，（舍去）；
，
故答案为：．
【分析】设平均增长率为x，根据商品原价×（1+平均增长率）2=商品现价列出方程并解之即可.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意可列方程为 ；
故答案为 ．
【分析】根据题意直接列出方程即可。
14．【答案】解：设该网店降价x元，
则根据题意可得：，
整理得：，
解得：，
∵尽快减少库存，
∴当降价元时，这星期预期销售盒口罩，
答：这星期预期销售盒口罩．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设该网店降价x元，则每盒利润=60-x-40，销售量=300+30x，根据总利润=每盒利润×销售量，列出方程并解之即可.
15．【答案】解：设道路的宽度为x米，
由题意得，
∴，
解得或（不符合题意，舍去）
∴道路的宽度为2米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设道路的宽度为x米，则余下部分可合成一个长为(50-x)米，宽为（42-x）米的矩形，根据“ 草坪的面积是1920平方米 ”列出方程并解之即可.
16．【答案】（1）解：设月平均增长率为x，
由题意，得：，
解得：（舍去）
答：月平均增长率是20%.
（2）解：设售价应降低a元，则每天可售出（20+2a）件，
由题意，得：（100﹣60﹣a）（20+2a）＝1200，
整理，得：a2﹣30a+200＝0，
解得：a1＝10，a2＝20．
∵要尽量减少库存，
∴a＝20.
答：售价应降低20元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设月平均增长率为x，根据一月销售量×（1+x）2=3月销售量，代入数据即可列出关于x的一元二次方程，解之即可求解；
（2）设售价应降低a元，则每天可售出（20+2a）件，根据总利润=单件利润×销售数量，得（100﹣60﹣a）（20+2a）＝1200， 解之得a1＝10，a2＝20，再由要尽量减少库存， 则售价应降低20元.
17．【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意得：
，
解得，（不合题意，舍去）.
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）解：设该品牌头盔的实际售价为y元/个，依题意得：
，
整理得，
解得（不合题意，舍去），，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程，进而利用直接开平方法求解并检验即可得出答案；
（2） 设该品牌头盔的实际售价为y元/个 ，则每个头盔的利润为（y-30）元每个，每月的销售数量为[600-10(y-40)]个，根据单个头盔的利润×每月的销售数量=当月的总利润建立方程，求解并检验即可.
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