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2023-2024学年初中数学八年级上册 17.4 一元二次方程的应用 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八下·江州期末）某商场销售一种商品，原销售价为100元，为减少库存，经过两次降价，现销售价为81元，如果每次降价率都为x，则根据题意所列的方程正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
2．（2023·无锡） 2020年一2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·富锦模拟）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的个主干上长出个枝干，每个枝干上再长出个小分支若在一个主干上的主干，枝干和小分支的数量之和是个，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·江北期末）某放射性元素经2天后，质量衰变为原来的．若设这种放射性元素质量的日平均减少率为，则可列出方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·定远期中）为响应国家“双减政策”，某校2021年第三季度平均每周作业时长为600分钟，经过2021年第四季度和2022年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为350分钟．设每季度平均每周作业时长的下降率为a，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023八下·包河期中）某商品一月份售价100元，二月份涨价，三月份再次涨价后售价132元，下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023八下·北京市期中）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020九上·遵化期末）已知 ， ， 是1，3，4中的任意一个数（ ， ， 互不相等），当方程 的解均为整数时，以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形一定是（ ）
A．轴对称图形 B．中心对称图形
C．轴对称图形或中心对称图形 D．非轴对称图形或中心对称图形
二、填空题
9．（2023·无锡）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 尺．
10．（2023八下·蒙城期中）某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则所列方程为__ ．
11．（2023八下·包河期中）在学校劳动实践基地里有一块长20米、宽10米的长方形菜地，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道（如图中阴影部分所示），剩下部分种植蔬菜，已知种植蔬菜的面积为171平方米，则小道的宽为 米．
12．（2023·邵阳）某校截止到年底，校园绿化面积为平方米．为美化环境，该校计划年底绿化面积达到平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为 ．
13．（2023七下·顺义期中）有一个正方形的花园，如果它的边长增加，那么花园面积将增加，则原花园的面积为 ．
三、解答题
14．（2022八下·临淄期中）如图，在直角梯形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位的速度运动，动点从点出发，沿射线的方向以每秒1个单位的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动的时间为（秒），当为何值时，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形？
15．（2023八下·嘉兴期末）嘉海学校八年级开展社会实践活动，下表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题．
嘉海学校社会实践记录表
团队名称 遇数临风 活动时间
班级人员 王嘉、马俊、张宁 地点 城南蔬菜超市
实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠．
调研信息 青菜的进价为2元/千克．
青菜售价为元/千克时，每天可销售千克．
每千克每涨价元，每天少销售5千克．
解决问题 问题1 某天超市正好销售千克的青菜，则获利多少元？
问题2 若超市想一天销售青菜获利元，则青菜的售价为多少元/千克？
四、综合题
16．（2022九上·莒南期中）如图，在ABC中，∠B＝90°，AB=6cm，AC=10cm，点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，P、Q两点同时出发，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为t．
（1）几秒后四边形APQC的面积是19平方厘米；
（2）若用S表示四边形APQC的面积，经过多长时间S取得最小值，并求出S的最小值．
17．（2020·山西模拟）阅读下列材料，并完成相应的任务．
古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量论》一书中给出了利用三角形三边之长求面积的公式﹣﹣﹣﹣海伦公式S＝ （其中a，b，c是三角形的三边长， ，S为三角形的面积），并给出了证明
例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：
∵a＝3，b＝4，c＝5
∴ ＝6
∴S＝ ＝ ＝6
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在△ABC中，BC＝7，AC＝8，AB＝9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）如图，AD、BE为△ABC的两条角平分线，它们的交点为I，求△ABI的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：第一次降价后的价格为100×(1-x)，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为100×(1-x)×(1-x)，则列出的方程是100×(1-x)2=81.
故答案为：C
【分析】由题意可得第一次降价后的价格为100×(1-x)，第二次降价后的价格为100×(1-x)×(1-x)，结合降到现销售价81元就可列出方程.
2．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：2020年人均可支配收入为5.76万元，
2021年人均可支配收入为万元，
2022年人均可支配收入为万元，
可列方程，
故答案为：A.
【分析】根据条件所给等量关系列出一元二次方程即可.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意可得1+x+x2=57，
解得x=7或-8（舍去）.
故答案为：C.
【分析】根据枝干和小分支的数量之和是57个可得1+x+x2=57，求解即可.
4．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得，某放射性元素经1天后的质量为，
某放射性元素经2天后的质量为，
∵某放射性元素经2天后的质量为原来的，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据等量关系质量衰为原来的，列一元二次方程即可求解.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设每季度平均每周作业时长的下降率为a，由题意得，
故答案为：C
【分析】设每季度平均每周作业时长的下降率为a，根据“某校2021年第三季度平均每周作业时长为600分钟，经过2021年第四季度和2022年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为350分钟”即可列出方程，进而即可求解。
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：A
【分析】根据“某商品一月份售价100元，二月份涨价，三月份再次涨价后售价132元”即可列出方程，进而即可求解。
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，根据题意得，
故答案为：D
【分析】设竹子折断处离地面x尺，根据图片结合“竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远”即可列出方程，进而即可求解。
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：∵方程ax2-bx+c=0的解均为整数
∴△=b2 4ac≥0
∵已知a，b，c是1，3，4中的任意一个数（a，b，c互不相等），
当b=1时，△=1-4×4×3＜0，不符合题意；
当b=3时，△=9-4×1×3＜0，不符合题意；
当b=4时，△=16-4×1×3=4＞0，符合题意．
∴b=4，a=1，c=3或b=4，a=3，c=1；
当b=4，a=1，c=3时，方程ax2-bx+c=0的解
∴x1=3，x2=1，两个根均为整数，符合题意；
当b=4，a=3，c=1时，方程ax2-bx+c=0的解
∴x1=1，x2= ，不符合题意，故舍去；
∴当b=4，a=1，c=3时，方程ax2-bx+c=0的解为x1=3，x2=1，
∵以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形有两种情况：
①1，1作对边，3.3作对边，
此时多边形为平行四边形，为中心对称图形；
②1，1作邻边，3.3作邻边，1与3也相邻
此时多边形为筝形，为轴对称图形．
∴以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形一定是中心对称图形或轴对称图形．
故答案为：C．
【分析】先根据一元二次方程由整数解，可得出△=b2 4ac≥0，再对a、b、c分别取值试算，从而得出b=4，a=1，c=3或b=4，a=3，c=1时方程有解，再分类计算出方程的根，两者均为整数时符合要求，则此时围成的多边形机器性质也可作出判断，从而得解。
9．【答案】8
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设竿长尺，门宽尺，门高尺，
得，
(舍去)，，
，
门高8尺，
故答案为：8.
【分析】先根据条件表示出竿、门宽、门高的尺寸，再通过勾股定理解出答案.
10．【答案】x（49+1-2x）=200
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，由题意得x（49+1-2x）=200，
故答案为：x（49+1-2x）=200
【分析】设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，根据“学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）”记录列出一元二次方程，进而即可求解。
11．【答案】1
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设小道的宽为am，由题意得（20-a）（10-a）=171，
解得a=1或a=29（舍去）
∴小道的宽为1米，
故答案为：1
【分析】设小道的宽为am，进而即可将剩下部分可合成长为（20-a）米，宽为（10-a）米的长方形，进而即可列出方程，解方程即可求解。
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设这两年绿化面积的年平均增长率为，由题意得，
故答案为：
【分析】设这两年绿化面积的年平均增长率为，由题意即可得到2023年底绿化面积为1000（1+x），则2024年底绿化面积为，进而即可求解。
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设原正方形的 边长是 x米，则增加后的边长是（x+2）米
由题意得
x=2
则原花园的面积为 4
故填：4
【分析】设原正方形的 边长是 x米，根据正方形的面积公式即可求出。
14．【答案】解：过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．
由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，
由PQ2=BQ2得t2+122=（16﹣t）2，解得t=；
②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16﹣2t）2+122，由PB2=BQ2得（16﹣2t）2+122=（16﹣t）2，即3t2﹣32t+144=0，
此时，△=（﹣32）2﹣4×3×144=﹣704＜0，所以此方程无解，
∴BP≠BQ．
③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16﹣2t）2+122得t1=，t2=16（不合题意，舍去）．
综上所述，当t=或t=时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，再分类讨论：①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16﹣2t）2+122，③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16﹣2t）2+122，再分别求解即可。
15．【答案】解：问题1：设售价为元/千克，
则获利：（元），
答：某天超市正好销售千克的青菜，则获利元；
问题2：设青菜的售价为x元/千克，超市会一天销售青菜获利元，
，，
答：若超市想一天销售青菜获利元，则青菜的售价为3元/千克或4元/千克．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】问题1：设售价为x元/千克，由题意可得每天的销售量减少(5×)千克，根据开始每天的销售量-减少的销售量=实际的销售量可得关于x的方程，求出x的值，然后根据(售价-进价)×销售量=利润进行计算；
问题2：设青菜的售价为x元/千克，超市会一天销售青菜获利100元，根据(售价-进价)×销售量=利润可得关于x的方程，求解即可.
16．【答案】（1）解：由题意得：
，
令，
解得或（不符合题意，舍去）．
秒后四边形的面积是19平方厘米．
（2）解：由（1）得，
时，S取最小值为15平方厘米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设t秒后四边形APQC的面积是19平方厘米 ，可得PB=6-t，BQ=2t，根据四边形APQC的面积=△ABC的面积-△BPQ的面积=19，列出关于t的方程并解之即可；
（2） 由（1）得 ，利用二次函数的性质即可求解.
17．【答案】（1）解：∵BC＝7，AC＝8，AB＝9，
∴p＝ （a+b+c）＝ （7+8+9）＝12，
∴S＝ ＝ ＝12 ；
答：△ABC面积是12 ；
（2）解：如图，过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分别为点F、G、H， ∵AD、BE分别为△ABC的角平分线，
∴IF＝IH＝IG，
∵S△ABC＝S△ABI+S△ACI+S△BCI，
∴ （9 IF+8 IF+7 IF）＝12 ，
解得IF＝ ，
故S△ABI＝ AB FI＝ ×9× ＝ ．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【分析】（1）把a、b、c的长代入求出p，再代入S计算即可得解；（2）过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分别为点F、G、H，根据角平分线的性质定理可得：IF＝IH＝IG，并根据三角形面积计算IF的长，根据三角形面积公式可得结论．
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2023-2024学年初中数学八年级上册 17.4 一元二次方程的应用 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八下·江州期末）某商场销售一种商品，原销售价为100元，为减少库存，经过两次降价，现销售价为81元，如果每次降价率都为x，则根据题意所列的方程正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：第一次降价后的价格为100×(1-x)，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为100×(1-x)×(1-x)，则列出的方程是100×(1-x)2=81.
故答案为：C
【分析】由题意可得第一次降价后的价格为100×(1-x)，第二次降价后的价格为100×(1-x)×(1-x)，结合降到现销售价81元就可列出方程.
2．（2023·无锡） 2020年一2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：2020年人均可支配收入为5.76万元，
2021年人均可支配收入为万元，
2022年人均可支配收入为万元，
可列方程，
故答案为：A.
【分析】根据条件所给等量关系列出一元二次方程即可.
3．（2023·富锦模拟）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的个主干上长出个枝干，每个枝干上再长出个小分支若在一个主干上的主干，枝干和小分支的数量之和是个，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意可得1+x+x2=57，
解得x=7或-8（舍去）.
故答案为：C.
【分析】根据枝干和小分支的数量之和是57个可得1+x+x2=57，求解即可.
4．（2023八下·江北期末）某放射性元素经2天后，质量衰变为原来的．若设这种放射性元素质量的日平均减少率为，则可列出方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得，某放射性元素经1天后的质量为，
某放射性元素经2天后的质量为，
∵某放射性元素经2天后的质量为原来的，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据等量关系质量衰为原来的，列一元二次方程即可求解.
5．（2023八下·定远期中）为响应国家“双减政策”，某校2021年第三季度平均每周作业时长为600分钟，经过2021年第四季度和2022年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为350分钟．设每季度平均每周作业时长的下降率为a，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设每季度平均每周作业时长的下降率为a，由题意得，
故答案为：C
【分析】设每季度平均每周作业时长的下降率为a，根据“某校2021年第三季度平均每周作业时长为600分钟，经过2021年第四季度和2022年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为350分钟”即可列出方程，进而即可求解。
6．（2023八下·包河期中）某商品一月份售价100元，二月份涨价，三月份再次涨价后售价132元，下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：A
【分析】根据“某商品一月份售价100元，二月份涨价，三月份再次涨价后售价132元”即可列出方程，进而即可求解。
7．（2023八下·北京市期中）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，根据题意得，
故答案为：D
【分析】设竹子折断处离地面x尺，根据图片结合“竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远”即可列出方程，进而即可求解。
8．（2020九上·遵化期末）已知 ， ， 是1，3，4中的任意一个数（ ， ， 互不相等），当方程 的解均为整数时，以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形一定是（ ）
A．轴对称图形 B．中心对称图形
C．轴对称图形或中心对称图形 D．非轴对称图形或中心对称图形
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：∵方程ax2-bx+c=0的解均为整数
∴△=b2 4ac≥0
∵已知a，b，c是1，3，4中的任意一个数（a，b，c互不相等），
当b=1时，△=1-4×4×3＜0，不符合题意；
当b=3时，△=9-4×1×3＜0，不符合题意；
当b=4时，△=16-4×1×3=4＞0，符合题意．
∴b=4，a=1，c=3或b=4，a=3，c=1；
当b=4，a=1，c=3时，方程ax2-bx+c=0的解
∴x1=3，x2=1，两个根均为整数，符合题意；
当b=4，a=3，c=1时，方程ax2-bx+c=0的解
∴x1=1，x2= ，不符合题意，故舍去；
∴当b=4，a=1，c=3时，方程ax2-bx+c=0的解为x1=3，x2=1，
∵以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形有两种情况：
①1，1作对边，3.3作对边，
此时多边形为平行四边形，为中心对称图形；
②1，1作邻边，3.3作邻边，1与3也相邻
此时多边形为筝形，为轴对称图形．
∴以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形一定是中心对称图形或轴对称图形．
故答案为：C．
【分析】先根据一元二次方程由整数解，可得出△=b2 4ac≥0，再对a、b、c分别取值试算，从而得出b=4，a=1，c=3或b=4，a=3，c=1时方程有解，再分类计算出方程的根，两者均为整数时符合要求，则此时围成的多边形机器性质也可作出判断，从而得解。
二、填空题
9．（2023·无锡）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 尺．
【答案】8
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设竿长尺，门宽尺，门高尺，
得，
(舍去)，，
，
门高8尺，
故答案为：8.
【分析】先根据条件表示出竿、门宽、门高的尺寸，再通过勾股定理解出答案.
10．（2023八下·蒙城期中）某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则所列方程为__ ．
【答案】x（49+1-2x）=200
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，由题意得x（49+1-2x）=200，
故答案为：x（49+1-2x）=200
【分析】设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，根据“学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）”记录列出一元二次方程，进而即可求解。
11．（2023八下·包河期中）在学校劳动实践基地里有一块长20米、宽10米的长方形菜地，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道（如图中阴影部分所示），剩下部分种植蔬菜，已知种植蔬菜的面积为171平方米，则小道的宽为 米．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设小道的宽为am，由题意得（20-a）（10-a）=171，
解得a=1或a=29（舍去）
∴小道的宽为1米，
故答案为：1
【分析】设小道的宽为am，进而即可将剩下部分可合成长为（20-a）米，宽为（10-a）米的长方形，进而即可列出方程，解方程即可求解。
12．（2023·邵阳）某校截止到年底，校园绿化面积为平方米．为美化环境，该校计划年底绿化面积达到平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设这两年绿化面积的年平均增长率为，由题意得，
故答案为：
【分析】设这两年绿化面积的年平均增长率为，由题意即可得到2023年底绿化面积为1000（1+x），则2024年底绿化面积为，进而即可求解。
13．（2023七下·顺义期中）有一个正方形的花园，如果它的边长增加，那么花园面积将增加，则原花园的面积为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设原正方形的 边长是 x米，则增加后的边长是（x+2）米
由题意得
x=2
则原花园的面积为 4
故填：4
【分析】设原正方形的 边长是 x米，根据正方形的面积公式即可求出。
三、解答题
14．（2022八下·临淄期中）如图，在直角梯形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位的速度运动，动点从点出发，沿射线的方向以每秒1个单位的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动的时间为（秒），当为何值时，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形？
【答案】解：过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．
由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，
由PQ2=BQ2得t2+122=（16﹣t）2，解得t=；
②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16﹣2t）2+122，由PB2=BQ2得（16﹣2t）2+122=（16﹣t）2，即3t2﹣32t+144=0，
此时，△=（﹣32）2﹣4×3×144=﹣704＜0，所以此方程无解，
∴BP≠BQ．
③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16﹣2t）2+122得t1=，t2=16（不合题意，舍去）．
综上所述，当t=或t=时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，再分类讨论：①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16﹣2t）2+122，③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16﹣2t）2+122，再分别求解即可。
15．（2023八下·嘉兴期末）嘉海学校八年级开展社会实践活动，下表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题．
嘉海学校社会实践记录表
团队名称 遇数临风 活动时间
班级人员 王嘉、马俊、张宁 地点 城南蔬菜超市
实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠．
调研信息 青菜的进价为2元/千克．
青菜售价为元/千克时，每天可销售千克．
每千克每涨价元，每天少销售5千克．
解决问题 问题1 某天超市正好销售千克的青菜，则获利多少元？
问题2 若超市想一天销售青菜获利元，则青菜的售价为多少元/千克？
【答案】解：问题1：设售价为元/千克，
则获利：（元），
答：某天超市正好销售千克的青菜，则获利元；
问题2：设青菜的售价为x元/千克，超市会一天销售青菜获利元，
，，
答：若超市想一天销售青菜获利元，则青菜的售价为3元/千克或4元/千克．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】问题1：设售价为x元/千克，由题意可得每天的销售量减少(5×)千克，根据开始每天的销售量-减少的销售量=实际的销售量可得关于x的方程，求出x的值，然后根据(售价-进价)×销售量=利润进行计算；
问题2：设青菜的售价为x元/千克，超市会一天销售青菜获利100元，根据(售价-进价)×销售量=利润可得关于x的方程，求解即可.
四、综合题
16．（2022九上·莒南期中）如图，在ABC中，∠B＝90°，AB=6cm，AC=10cm，点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，P、Q两点同时出发，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为t．
（1）几秒后四边形APQC的面积是19平方厘米；
（2）若用S表示四边形APQC的面积，经过多长时间S取得最小值，并求出S的最小值．
【答案】（1）解：由题意得：
，
令，
解得或（不符合题意，舍去）．
秒后四边形的面积是19平方厘米．
（2）解：由（1）得，
时，S取最小值为15平方厘米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设t秒后四边形APQC的面积是19平方厘米 ，可得PB=6-t，BQ=2t，根据四边形APQC的面积=△ABC的面积-△BPQ的面积=19，列出关于t的方程并解之即可；
（2） 由（1）得 ，利用二次函数的性质即可求解.
17．（2020·山西模拟）阅读下列材料，并完成相应的任务．
古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量论》一书中给出了利用三角形三边之长求面积的公式﹣﹣﹣﹣海伦公式S＝ （其中a，b，c是三角形的三边长， ，S为三角形的面积），并给出了证明
例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：
∵a＝3，b＝4，c＝5
∴ ＝6
∴S＝ ＝ ＝6
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在△ABC中，BC＝7，AC＝8，AB＝9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）如图，AD、BE为△ABC的两条角平分线，它们的交点为I，求△ABI的面积．
【答案】（1）解：∵BC＝7，AC＝8，AB＝9，
∴p＝ （a+b+c）＝ （7+8+9）＝12，
∴S＝ ＝ ＝12 ；
答：△ABC面积是12 ；
（2）解：如图，过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分别为点F、G、H， ∵AD、BE分别为△ABC的角平分线，
∴IF＝IH＝IG，
∵S△ABC＝S△ABI+S△ACI+S△BCI，
∴ （9 IF+8 IF+7 IF）＝12 ，
解得IF＝ ，
故S△ABI＝ AB FI＝ ×9× ＝ ．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【分析】（1）把a、b、c的长代入求出p，再代入S计算即可得解；（2）过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分别为点F、G、H，根据角平分线的性质定理可得：IF＝IH＝IG，并根据三角形面积计算IF的长，根据三角形面积公式可得结论．
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