第三章 整式及其加减 单元练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
第三章 整式及其加减 单元练习 2023-2024学年北师大版七年级数学上册（含解析）
一、单选题
1．（2022秋·吉林长春·七年级长春市第二实验中学校考期末）用代数式表示“的倍与的平方的差”，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·云南昭通·七年级统考期末）已知，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．1
3．（2023秋·福建宁德·七年级校考期末）在这五个代数式中，单项式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023春·云南昭通·七年级统考期末）某同学在完成化简：的过程中，具体步骤如下：
解：原式①
②
③
以上解题过程中，出现错误的步骤是（ ）
A．① B．② C．③ D．①，②，③
5．（2023春·辽宁朝阳·七年级统考期末）下表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6、10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则的值为（ ）

A．19920 B．19921 C．19922 D．19923
二、填空题
6．（2022秋·江苏镇江·七年级统考期末）甲、乙、丙三家超市同时为促销某种定价一样的相同商品，甲超市直接一次性降价，乙超市先降价，再降价：丙超市连续两次降价，如果小明要买这件商品，则他到 超市购买更合算．
7．（2023秋·重庆南岸·七年级校考期末）若，互为倒数，，互为相反数，的绝对值为2，则 ．
8．（2023秋·云南昭通·七年级统考期末）观察下列单项式：，……，按此规律第10个单项式可以表示为 ．
9．（2023秋·山东聊城·七年级统考期末）若多项式的值与的取值无关，则的值为 ．
10．（2023春·云南德宏·七年级统考期末）少数民族服饰的花纹和色彩越来越受到追求独立与个性的设计师的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个平移形成的有规律的图案，如图，第①个图案由4个组成，第②个图案由7个组成，第③个图案由10个组成，…，按此规律排列下去，第99个图案中的个数为 ．
三、解答题
11．（2023秋·山西晋城·七年级统考期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割成7部分，除阴影图形外，其余5部分为形状和大小完全相同的小长方形，其中小长方形的宽为4．

(1)计算小长方形的周长（用含的式子表示）；
(2)小明发现阴影图形与阴影图形的周长之和与值无关，请你通过计算对他的发现做出合理解释．
12．（2023秋·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）【综合与实践】我们在《几何图形初步》这一章的课题学习中探究了“如何制作长方体纸盒”．小明和小亮在课后对“如何制作正方体纸盒”又进行了探究：
【动手操作】小明用一张正方形的纸板，按如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形，折合起来就可以做成一个无盖的正方体纸盒．
小亮用一张长方形的纸张，按如图2所示的方式在纸板的四角剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形，剩余部分折合起来恰好可以制作成一个有盖的正方体纸盒．

【问题解决】现有一块长为，宽为的长方形纸张，请探究：
(1)若，按图1所示的方式剪去的小正方形边长为，做成一个无盖的正方体纸盒，你发现与之间存在的数量关系为_________．
(2)若，按如图2方式裁剪，做成一个有盖的正方体纸盒，你发现与之间存在的数量关系为_________．
(3)在（2）的条件下，若，求有盖正方体纸盒的表面积．
13．（2022秋·河南新乡·七年级统考期末）如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，数a是多项式的一次项系数，数b是最大的负整数，数c是单项式的次数．
(1)_______，________，_________．
(2)点A，B，C开始在数轴上运动，若点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，t秒过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则______，_______．（用含t的代数式表示）
(3)试问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值．
14．（2023秋·湖南益阳·七年级校考期末）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用整体思想解决下列问题：
(1)把看成一个整体，合并．
(2)已知，求的值；
(3)已知，，，求的值．
15．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）将正方形（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形对边的中点（如图2），得线段和，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；

(1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第5次划分后，图中共有______个正方形．
(2)继续划分下去，第n次划分后图中共有______个正方形；
(3)能否将正方形划分成有2022个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由．
(4)如果设原正方形的边长为1，通过不断地分割该面积为1的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果．
（直接写出答案即可）
中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
参考答案：
1．C
【分析】先表示出的倍，再表示出平方，最后表示出差即可．
【详解】解：的倍为：，
平方为：，
的倍与平方的差是：．
故选：C．
【点睛】本题考查了列代数式，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“平方”、“差”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式．
2．C
【分析】根据非负数性质求得，，代入计算即可．
【详解】解：∵
∴，，
∴，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查非包数的性质，代数式求值，掌握偶次方与绝对值的非负性是解题的关键．
3．C
【分析】根据单项式的定义解决此题
【详解】解：根据单项式的定义，数字或字母的乘积组成的代数式（单个数字或单个字母也是单项式），
∴单项式有，共3个
故选：C.
【点睛】本题主要考查单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解决本题的关键
4．C
【分析】根据整式的加减计算中，去括号的法则即可求解．
【详解】错误的步骤是③
正确的解答过程如下：
原式①
②
③
故答案为：C
【点睛】本题考查了整式的加减，在去括号的时候要注意符号的变化，合并同类项时，系数相加减．
5．B
【分析】这一列数的规律是：从第一个数开始，第二个数比第一个数大2，第三个数比第二个数大3，第四个数比第三个数大4，依此类推，第n个数比第个数大n；所以从特殊入手，，…，由此得出一般规律：，从而可求得结果．
【详解】这一列数的规律是：从第一个数开始，第二个数比第一个数大2，第三个数比第二个数大3，第四个数比第三个数大4，依此类推，第n个数比第个数大n，所以，，…，．所以，
，从而
故选：B．
【点睛】本题是一个规律探索题，对于这类题，遵循由特殊到一般的原则，要求学生善于观察并找出规律，这对学生的归纳能力提出了更高的要求．
6．甲
【分析】设原价为a元根据降价的百分比分别求出三家超市调价方案后的价格即可得解．
【详解】解：设原价为a元，
甲超市降价后的价格为：（元）；
乙超市降价后的价格为：（元）；
丙超市降价后的价格为：（元）；
∵，
∴顾客到甲超市购买这种商品更合算．
故答案为：甲．
【点睛】本题考查了列代数式，根据调价的百分比分别表示出调价后的价格是解题的关键．
7．
【分析】根据相反数、倒数以及绝对值的定义得到，，，，然后代入计算即可得出答案．
【详解】∵，互为倒数，，互为相反数，的绝对值为2，
∴，，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，涉及到绝对值、相反数、倒数，代数式求值，正确理解绝对值、相反数、倒数的定义是解题的关键．
8．
【分析】由，，，，，即可得出规律第个式子为：，令即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
……，
第个式子为：，
当时，，
按此规律第10个单项式可以表示为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式的规律，根据题意正确得出规律：第个式子为：，是解题的关键．
9．
【分析】将原式去括号、合并同类项后得，再由其值与无关，可求出、的值，代入计算即可．
【详解】解：
，
由于其值与的取值无关，
所以，，
即，，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查合并同类项和代数式求值，掌握合并同类项法则，求出、的值是正确解答的关键．
10．298
【分析】由题意总结归纳出第个图案中的个数为：，据此可求解．
【详解】解：第1个图案由4个组成，
第2个图案由7个组成，即，
第3个图案由10个组成，，
，
第个图案中的个数为：，
∴当时，图案中的个数为，
故答案为：298．
【点睛】本题考查图形规律探究，解题的关键是总结归纳出图形变化规律，属于中考常考题型．
11．(1)
(2)见解析
【分析】（1）由图形求得阴影的长与宽，利用长方形的周长公式列代数式，化简即可得出结论；
（2）由图形求得阴影的长与宽，利用长方形的周长公式列代数式，化简即可得出结论．
【详解】（1）解：小长方形的宽为4，
小长方形的长为，
小长方形的周长；
（2）解：由图可知：
阴影的较长边为，较短边为，
阴影的较长边为12，较短边为，
阴影图形与阴影图形的周长之和
，
阴影图形与阴影图形的周长之和与值无关，小明的发现是正确的．
【点睛】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，充分利用图形的特点求得阴影的长与宽是解题的关键．
12．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分析得出做成的无盖正方体纸盒的棱长是，进而可得；
（2）根据图形和正方体棱长都相等的性质可得，，化简得到，
（3）然后求出时的值，再根据正方体的表面积公式计算即可．
【详解】（1）解：由题意可知，做成的无盖正方体纸盒的棱长是c，
故可得：，
故答案为：；
（2）如图所示

由图形可得：，，
∴，
∴，
故答案为：．
（3）∵，
∴当时，，
∴此时有盖正方体纸盒的表面积为：．
【点睛】本题考查了列代数式，基本几何图形的性质与正方体的展开图，熟练掌握并灵活运用相关性质，找到图中边长的数量关系是解答的关键．
13．(1)，，
(2)；
(3)值不变，结果为
【分析】（1）由题意知， 的一次项系数是，最大的负整数是，单项式的次数是，进而可知的值；
（2）由题意知，A运动s后的位置表示为；B运动s后的位置表示为；C运动s后的位置表示为；进而可表示 ；
（3）由可知是定值．
【详解】（1）解：∵ 的一次项系数是，最大的负整数是，单项式的次数是
，，
故答案为，，．
（2）解：由题意知，A运动s后的位置表示为；
B运动s后的位置表示为；
C运动s后的位置表示为；
∴，；
故答案为；．
（3）解：∵
∴是定值，不会随着时间t的变化而改，值为8．
【点睛】本题考查了多项式的系数，单项式的次数，数轴上点的表示，数轴上两点之间的距离．解题的关键在于用表示各点的位置．
14．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把看成一个整体，合并同类项即可；
（2）把的前两项提取公因式3，然后整体代入求值；
（3）把式子先去括号，再利用加法的交换结合律变形为、、和的形式，最后整体代入求值．
【详解】（1）
；
（2），
原式
；
（3），，，
原式
．
【点睛】本题考查了整式的加减—化简求值，掌握整体思想是解决本题的关键．
15．(1)21
(2)
(3)不能，理由见解析
(4)
【分析】（1）探究规律，利用规律即可解决问题；
（2）探究规律，利用规律即可解决问题；
（3）构建方程即可解决问题；
（4）利用数形结合思想解决问题，根据进行计算即可．
【详解】（1）解：第一次可得5个正方形，第二次可得9个正方形，第三次可得13个正方形，
第次可得个正方形，
第5次可得，
故答案为：21；
（2）由（1）得：第次可得个正方形，
故答案为：；
（3）不能，理由：由，解得，n不是整数，
所以不能将正方形划分成2022个正方形的图形．
（4）由题意．
【点睛】本题考查图形规律题，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律方法，属于中考常考题型．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)