第五章 一元一次方程单元练习（含解析）

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第五章 一元一次方程 单元练习 2023-2024学年北师大版七年级数学上册（含解析）
一、单选题
1．《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．8x+4=7x-3
2．已知关于的方程的解是负整数，那么整数的所有取值之和为（ ）
A．4 B．0 C． D．
3．用7.8米长的铁丝做一个长方形框架，使长比宽多1.2米，求这个长方形框架的宽是多少米.设长方形的宽是x米，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．某商店以每件360元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，那么商店卖出这两件衣服总的是（ ）
A．盈利30元 B．亏损30元 C．盈利40元 D．亏损40元
5．某小组有m人，计划做n个“中国结”，若每人做5个，则可比计划多做9个；若每人做4个，则将比计划少做15个．
①5m+9＝4m﹣15；②＝；③＝；④5m﹣9＝4m+15．其中正确的是（　　）
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
6．“鸡免同笼”问题是我国古代著名趣题之一，大约在1500年前，我国古代一部较为普及的算书《孙子算经》就记载了这个有趣的问题，它还曾经漂洋过海传到其他国家，请看题：今有鸡免同笼，上有四十四头，下有一百二十六足，问鸡兔各几何．大数学家孙子假设把兔子的足砍去一半的“砍足法”来解决该问题；我们可以形象的用“拟人”的想法，假设兔子全“起立”，称为“兔立法”来理解解决此问题；数学家张景中院士给青少年讲学时，用到了“公平法”，假设将鸡的两只翅膀也算作足，让鸡和免和谐共生解决了问题．以上“砍足法”、“免立法”、“公平法”都是从假设角度，用算术方法解决了“鸡兔同笼”问题，其实这个问题还可以用方程解决．若设鸡有头，则方程可列为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．若是一元一次方程，则 ．
8．若关于的方程有无数个解，则的值为 ．
9．根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2：5．某厂每天生产这种消毒液22.5t，则这些消毒液分装成的这两种产品中有 瓶大瓶产品．
10．一商店把货物按标价的折出售，仍可获利，若该货物进价为每件元，则每件的标价为 元．
11．甲、乙两商场在做促销，如下所示，已知两家商场相同商品的标价都一样．
甲商场：全场均打八五折；
乙商场：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元，一律打八八折；超过500元时，其中的500元打八八折，超过500元的部分打八折．
（1）某顾客要购买商品的总标价为600元，该顾客选择 （填“甲”或“乙”）商场更划算；
（2）当购物总额是 元时，甲、乙两商场实付款相同．
12．在1925年数学家莫伦发现的世界上第一个完美长方形，如图所示，它恰能被分割成10个大小不同的正方形．若标注为A和B的正方形的边长分别为3和5时，则侧该完美长方形的周长为 ．

三、解答题
13．若是关于的一元一次方程.
(1)求的值；
(2)先化简，再求的值.
14．如图，现有一张白色卡片甲和两张灰色卡片乙、丙，上面分别写有一个整式，现从这三张卡片中任意抽取，抽到白色卡片，就减去上面的整式． 抽到灰色卡片，就加上上面的整式．
(1)请计算抽到甲、乙两张卡片的结果．
(2)已知同时抽到甲、乙、丙这三张卡片，若计算结果的值为3，求的值．
15．“一剪理发店”曾师傅在美容美发商场选购某品牌的洗发水：
规格（升/桶） 价格（元/桶）
大桶装 18 270
小桶装 5 86
曾师傅估算店里一个月洗发水的使用量，若买“大桶装”，则需若干桶但还差1升；若买“小桶装”，则需多买16桶但会剩余1升，
(1)曾师傅预计店里一个月需要洗发水多少升？
(2)喜迎新年，商场进行促销：满1000减118元现金，并且该品牌商家对“小桶装”洗发水有“买4送1”的促销活动，曾师傅打算购买“小桶装”，比促销前节省多少钱？
16．某种笔记本的售价为5元/本，如果买100本以上，超过100本部分的，每本售价打八折．
(1)甲校和乙校分别买了80本和120本，乙校比甲校多花了多少钱？
(2)如果丙校买这种笔记本花了740元，丙校买了多少本？（列方程求解）
(3)如果丁校买这种笔记本花了a元，丁校买了多少本？（a是20的整数倍）
17．按照“双减”政策，为丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价70元，跳绳每条定价10元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案：
A方案：买一个篮球送一条跳绳；
B方案：篮球和跳绳都按定价的90%付款．
已知要购买篮球50个，跳绳x条（）
(1)若按A方案购买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）；若按B方案购买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）．
(2)购买跳绳条数为多少时，两种方案的收费相同？
(3)当时，你能设计出一种最省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？
18．某公司要生产若干件新产品，需要精加工后，才能投放市场．现在甲、乙两个加工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工这批产品比乙工厂单独加工这批产品多用20天，甲工厂每天可加工16件产品，乙工厂每天可加工24件产品．
(1)求这个公司要加工新产品的件数．
(2)在加工过程中，公司需支付甲工厂每天加工费80元，乙工厂每天加工费120元．公司还需另派一名工程师每天到厂家进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费．公司制定产品加工方案如下：可由一个工厂单独加工完成，也可由两个工厂合作同时完成．当两个工厂合作时，这名工程师轮流去这两个工厂．请你通过计算帮助公司从所有可供选择的方案中选择一种既省钱，又省时间的加工方案．
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参考答案：
1．B
【分析】设人数为x，然后根据等量关系“每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱”即可列出方程．
【详解】解：设人数为x，
根据题意可得：．
故选B．
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、找准等量关系是解答本题的关键．
2．D
【分析】解一元一次方程，可得出原方程的解为，结合原方程的解是负整数且k为整数，可得出k的值，再将其相加即可得出结论．
【详解】∵
∴，
当时，原方程无解；
当时，．
∵原方程的解是负整数，且k为整数，
∴或
∴或，
∴整数k的所有取值之和为．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，由原方程的解为负整数，找出整数k的值是解题的关键．
3．C
【分析】设长方形的宽x米，长为（x+1.2）米，根据题意可得周长为7.8米，据此列方程．
【详解】解：设长方形的宽x米，长为（x+1.2）米，
由题意得，2[x+（x+1.2）]=7.8．
故选C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，熟练掌握是解题的关键.
4．B
【分析】该商店盈利的那件衣服的成本价为元，亏损的那件衣服的成本价为元，根据盈利、亏损情况分别建立方程，解方程即可得．
【详解】解：该商店盈利的那件衣服的成本价为元，亏损的那件衣服的成本价为元，
由题意得：，，
解得，，
则，
即商店卖出这两件衣服总的是亏损30元，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、有理数混合运算的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
5．D
【分析】根据题意可以列出相应的方程，然后变形即可判断哪个小题中的方程正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
5m=n+9①，4m=n-15②，
由①得，，n=5m-9，由②得，， n=4m+15，
∴，5m-9=4m+15．
故③④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
6．C
【分析】设鸡有头，根据等量关系：鸡的足，加上兔子的足的数量，共，列出方程即可求解．
【详解】解：设鸡有头，则方程可列为，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程解题的关键．
7．
【分析】根据一元一次方程的定义求出m的值，再将m的值代入，求解方程即可．
【详解】解：∵是一元一次方程，
∴，
∴，
∴原方程为，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程．
8．
【分析】方程移项合并，令x系数等于0，求出的值，即可得到结果．
【详解】整理得，
∵有无数个解，
∴，，
解得，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
9．20000
【分析】设大瓶有2x瓶，小瓶有5x瓶，根据题意列方程求出x，则可知大瓶的数量
【详解】换算单位：22.5t=22.5×1000×1000g
设大瓶有2x瓶，小瓶有5x瓶，
根据题意列方程，得
500·2x+250·5x=22.5×1000×1000，
解得x=10000
2x=20000
∴大瓶有20000瓶．
故答案为：20000
【点睛】本题考查了列一元一次方程解应用题，一般情况下题目中出现比值问题，通常设每份为x，掌握以上方法是解题的关键．
10．24
【分析】根据题意设参数，利用标价减去进价等于利润，列出方程，解出未知数，即可求出答案．
【详解】解：设货物的标价是元，则商店把货物按标价的折出售即，若该货物的进价是元．
根据题意列方程得：，
解得：元．
故每件的标价为元．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的实际应用，解题的关键在于熟练掌握公式：利润标价进价．
11． 甲
【分析】（1）根据两商场的促销方案，即可求出哪家商场更划算；
（2）设购物总额是x元时，甲、乙两商场实付款相同，选择适当的等量关系列出一元一次方程解方程求解即可
【详解】解：（1）甲商场需要：（元）
乙商场需要：（元）
该顾客选择甲商场更划算；
故答案为：甲
（2）设购物总额是元时，甲、乙两商场实付款相同，
当时，，此方程无解，
当时，则，此方程无解
当时
依题意，
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的数量关系是解题的关键．
12．224
【分析】设①的边长为x，根据图形，将各个正方形的边长表示出来，再根据长方形对边相等，列出方程求出x的值，即可得出周长．
【详解】解：设①的边长为x，
则②的边长为，
③的边长为，
④的边长为，
⑤的边长为，
⑥的边长为，
⑦的边长为，
⑧的边长为，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴该完美长方形的周长为，
故答案为：224．

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据图形，将各个正方形边长正确表示出来．
13．(1)
(2)，
【分析】（1）根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是次的整式方程；由此解答即可；
（2）根据整式的加减运算法则将原式化简，然后代入求值即可．
【详解】（1）解：由题意，得，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）原式，
当时，原式．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，整式的加减－化简求值，熟练掌握相关定义以及运算法则是解本题的关键．
14．(1)
(2)的值为
【分析】（1）根据整式的加减运算法则即可求出答案；
（2）根据整式的加减运算法则进行化简，然后根据题意列出方程即可求出的值．
【详解】（1）解：（1）由题意得
．
（2）由题意得
．
，
，
的值为．
【点睛】本题考查整式的加减运算法则，熟练运用整式的加减运算法则以及一元一次方程的解法是解题的关键．
15．(1)曾师傅预计店里一个月需要洗发水109升
(2)比促销前节省462元
【分析】（1）设需购买“大桶装”洗发水x桶，则需购买“小桶装”桶，根据所需洗发水体积不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入中即可求出结论；
（2）由（1）可知，需购买22桶“小桶装”洗发水，结合该品牌商家对“小桶装”洗发水有“买4送1”的促销活动，可得出只需购买“小桶装”洗发水18桶，再利用节省钱数=促销前所需费用减去促销后所需费用，即可求出结论．
【详解】（1）解：设需购买“大桶装”洗发水x桶，则需购买“小桶装”桶，
依题意，得：
解得：，
曾师傅预计店里一个月需要洗发水109升；
（2）由（1）可知，需购买22桶“小桶装”洗发水，
该品牌商家对“小桶装”洗发水有“买4送1”的促销活动，
只需购买“小桶装”洗发水18桶，
比促销前可节省：
（元），
比促销前节省462元钱．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
16．(1)180元
(2)160本
(3)或
【分析】（1）由题意知，甲校花费（元），乙校花费（元），然后作差求解即可；
（2）设丙校买了x本，由，可得，计算求解即可；
（3）由题意知，当时，丁校买了本； 当时，丁校买了（本）．
【详解】（1）解：由题意知，甲校花费（元），
乙校花费（元），
（元），
∴乙校比甲校多花了180元；
（2）解：设丙校买了x本，
∵，
∴，
解得：，
∴丙校买了160本；
（3）解：由题意知，当时，丁校买了本；
当时，丁校买了（本），
∴丁校买了或本．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
17．(1)，
(2)购买150根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多
(3)按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，付款3950元
【分析】（1）由题意按A方案购买可列式：，在按B方案购买可列式：；
（2）由（1）列等式求解即可；
（3）先算全按同一种方案进行购买，计算出两种方案所需付款金额，再根据A方案是买一个篮球送跳绳，B方案是篮球和跳绳都按定价的付款，考虑可以按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，计算出所需付款金额，进行比较即可．
【详解】（1）解：A方案购买可列式：元；
按B方案购买可列式：元；
故答案为：，；
（2）由（1）可知，
当A、B两种方案所需要的钱数一样多时，
即
解得．
答：购买150根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多．
（3）当时，
按A方案购买需付款：（元）；
按B方案购买需付款：（元）；
按A方案购买50个篮球配送50个跳绳，按B方案购买50个跳绳合计需付款：
（元）；
∵，
∴省钱的购买方案是：
按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，付款3950元．
【点睛】此题考查的是列代数式并求值，也可作为一元一次方程来考查，因此做此类题需要掌握解应用题的能力．
18．(1)这个公司要加工960件新产品
(2)该公司应选择第③种方案，由两个工厂合作同时完成时，既省钱，又省时间
【分析】（1）设这个公司要加工x件新产品，根据甲工厂单独加工这批产品比乙工厂单独加工这批产品多用20天，甲工厂每天可加工16件产品，乙工厂每天可加工24件产品，列出方程式，解出即可；
（2）分别计算三种情况所需要的天数和费用，进行比较即可．
【详解】（1）解：设这个公司要加工x件新产品，
根据题意，得，解得，
答：这个公司要加工960件新产品；
（2）解：方案①：由甲工厂单独加工需耗时（天，需要费用（元）；
方案②：由乙工厂单独加工需耗时（天），需要费用（元）；
方案③：由两厂共同加工需耗时（天），需要费用（元）．
所以该公司应选择第③种方案，由两个工厂合作同时完成时，既省钱，又省时间．
【点睛】本题主要考查一元一次方程和最优方案问题，要认真读题，列出相应的方程．
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