2023-2024学年初中数学八年级上册 19.2 证明举例 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2022七下·常州期末）甲、乙、丙3人从图书馆各借了一本书（如下表所示），他们相约在每个星期天相互交换读完的书，经过数次交换后，他们都读完了这3本书．已知甲读的第三本书是乙读的第二本书，则丙读的第二本书是（ ）
甲 乙 丙
书A 书B 书C
A．书A B．书B C．书C D．无法确定
【答案】A
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解∶设3人分别读了书A， 书B， 书C三本书，则三人读书顺序为：
甲∶书A，书B，书C；
乙∶书B，书C，书A；
丙∶书C，书A ，书B；
丙读的第二本书是甲读的第一本书，
∴丙读的第二本书是书A.
故答案为：A.
【分析】设3人分别读了书A， 书B， 书C三本书，表示出三人的读书顺序，据此解答.
2．（2022七下·文登期末）用反证法求证：三角形中最多有一个钝角．下列假设正确的是（ ）
A．假设三角形中至少有两个钝角 B．假设三角形中最多有两个钝角
C．假设三角形中最少有一个钝角 D．假设三角形中没有钝角
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：三角形中最多有一个钝角，第一步假设三角形中至少有两个钝角，
故答案为：A．
【分析】利用反证法的定义及书写要求求解即可。
3．（2022七下·福州期末）李明、王华、周亮和张红四名同学参加了“华罗庚杯”竞赛选拔赛，王华和张红两个同学的得分和等于周亮和李明的得分和；李明与王华的得分和大于周亮和张红的得分和，张红的得分超过周亮与王华的得分和，则这四位同学的得分由大到小的顺序是（ ）
A．李明，张红，周亮，王华 B．李明，张红，王华，周亮
C．张红，李明，周亮，王华 D．张红，李明，王华，周亮
【答案】B
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：设李明得分为a分，王华得分为b分，周亮得分为c分，张红得分为d分，
根据题意，得b+d=a+c，a+b＞c+d，d＞c+b，
∴d＞c， d＞b，d=a+c-b，
∴a+b＞c+a+c-b，a+c-b＞c+b，
∴b＞c，a＞2b＞b，
∴a＞b＞c，
∴a-d=b-c＞0，
∴ a＞d，
∴ a＞d＞ b＞c.
故答案为：B.
【分析】设李明得分为a分，王华得分为b分，周亮得分为c分，张红得分为d分，根据题意得b+d=a+c，a+b＞c+d，d＞c+b，则a＞b＞c，a-d=b-c＞0，则a＞d，据此判断.
4．（2022七下·定州月考）阅读下列材料，其中①～④步数学依据错误的是（ ）
如图：已知直线，a⊥b，求证：．
证明：∵（已知），
∴（①垂直的定义）．
∵ （已知），
∴（②两直线平行，同位角相等），
∴（③同角的余角相等），
∴（④垂直的定义）．
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：∵a⊥b（已知），
∴∠1＝90°（①垂直的定义），
∵bc（已知），
∴∠1＝∠2（②两直线平行，同位角相等），
∴∠2＝∠1＝90°（③等量代换），
∴a⊥c（④垂直的定义）．
∴错误的是③．
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质和垂直的判定方法求解即可。
5．（2022七下·定州月考）嘉淇在证明“平行于同一条直线的两条直线平行”时，给出了如下推理过程：
已知：如图，b∥a，c∥a，求证：b∥c； 证明：作直线DF交直线a、b、c分 别于点D、E、F， ∵a∥b，∴∠1＝∠4，又∵a∥c， ∴∠1＝∠5， ∴b∥c．
小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∴∠1＝∠5”和“∴b∥c”之间作补充，下列说法正确的是（ ）
A．嘉淇的推理严谨，不需要补充 B．应补充∠2＝∠5
C．应补充∠3+∠5＝180° D．应补充∠4＝∠5
【答案】D
【知识点】平行线的判定；推理与论证
【解析】【解答】证明：作直线DF交直线a、b、c分别于点D、E、F，
∵a∥b，
∴∠1=∠4，
又∵a∥c，
∴∠1=∠5，
∴∠4=∠5．
∴b∥c．
∴应补充∠4=∠5．
故答案为：D．
【分析】利用平行线的判定方法求解即可。
6．（2021七上·长沙期末）桌子上有6只杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4只，经过 次翻转可使这6只杯子的杯口全部朝下，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：用“+”表示杯口朝上，用“-”表示杯口朝下，
开始时+ + + + + +
第一次一 一 + +
第二次- + + + - +
第三次一 一 一
∴n的最小值为3.
故答案为：B.
【分析】第一次翻1-4张，第二次翻2-5张，第三次翻第2、3、4及第6张即可全部朝下.
7．（2021八上·承德期末）若要运用反证法证明“若，则”，首先应该假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：要运用反证法证明“若，则”，首先应该假设，
故答案为：D．
【分析】利用反证法判断即可得出答案。
8．（2023七下·封开期末）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：
①；②；③平分；④平分．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】平行线的性质；推理与论证
【解析】【解答】解：①∵FG⊥EH，FD∥EH
∴FG⊥FD，即∠GFD=90°，
∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠D=180°，
∵∠AFD=∠AFG+∠GFD=2∠D+90°，
∴2∠D+90°+∠D=180°
∴∠D=30°，故 ① 正确；
②∵EH∥FD，∴∠EHC=∠D=30°，∴2∠D+∠EHC=90°成立，故 ② 正确；
③∵AB∥CD，∴∠BFD=∠D=30°，当H在CD上不同位置时，∠HFD的度数会发生变化，不一定等于∠BFD，所以FD不一定是∠HFB的角平分线，故 ③ 错误；
④∵∠GFD=90°，当EH平分∠GFD时，则∠GFH=∠DFH=45°，当同（3），当H在CD上不同位置时，∠HFD的度数会发生变化，不一定等于45°，故 ④ 错误.
综上，①②正确，
故答案为：A.
【分析】熟练利用“平行线的性质定理”进行角度间数量关系的分析，并结合题干中的数量关系进行转化.特别注意的是，F、H均为AB、CD上的动点，当动点变化过程中，y要观察角度的一般性变化.
二、填空题
9．（2021八上·襄汾期末）用反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，证明时，可以先假设： ．
【答案】这两个角所对的边相等
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．
证明时，可以先假设这两个角所对的边相等，
故答案为：这两个角所对的边相等．
【分析】根据反证法的证明方法及要求求解即可。
10．（2022八上·隆昌月考）反证法证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先假设 .
【答案】同旁内角不互补的两条直线平行
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由题意可得，反证法证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先假设同旁内角不互补的两条直线平行，
故答案为：同旁内角不互补的两条直线平行.
【分析】用反证法证明的第一步为假设结论不成立，故只需找出不平行的反面即可.
11．（2023七下·金乡县月考）金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为 ．
【答案】C，A，D，B
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：①假设甲说的：C是亚军正确，则他说D是季军不符合题意，
于是乙说：D是殿军正确，则乙说的A得亚军就错误，
故丙说：B得亚军正确，与假设甲说的：C是亚军符合题意互相矛盾，
所以：甲说的：C是亚军错误；
②假设甲说的：C是亚军错误，则他说D是季军正确，
于是乙说：D是冠军错误，则乙说的A得亚军就正确，
故丙说：B得亚军错误，C是冠军正确；
没有矛盾，
故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B．
故答案为：C，A，D，B．
【分析】因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的，没矛盾就是正确的.
12．（2023八上·合川期末）“爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏.千门万户曈曈日，总把新桃换旧符.”春节将至，置办年货是中国寻常百姓家不可或缺的大事.小明随妈妈去置办年货，购买了灯笼、窗花、坚果，其中灯笼每只20元，窗花每张8元，坚果每包150元，若小明和妈妈一共用了428元（三种年货都有购买），则最多能买灯笼 只.
【答案】6
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：先用总价钱减去至少每种年货都买一件的价钱：
(元)，
剩余的250元是三种年货中重复购买部分的价钱，
根据题意，重复购买的年货单价乘它的数量之和必须等于250元；
(只)…10（元），即250元不是全部都买灯笼，则有可能买窗花或坚果，当250元减去买窗花或坚果的价钱后，剩余买灯笼的价钱必须能整除20，
因为20是整十数，
所以，只有再买1包坚果后剩余的钱能整除20：
(元) ，
(只)，
5+1=6(只)，
最多能买灯笼6只.
故答案为：6.
【分析】先利用总价钱减去至少每种年货都买一件的价钱，可知剩余的250元是三种年货中重复购买部分的价钱，根据题意可知重复购买的年货单价乘它的数量之和必须等于250元，根据商品的单价知250元不是全部都买灯笼，则有可能买窗花或坚果，当250元减去买窗花或坚果的价钱后，剩余买灯笼的价钱必须能整除20，由于20是整十数，所以，只有再买1包坚果后剩余的钱能整除20，据此即可求解.
13．（2022七下·东城期末）为鼓励学生居家锻炼，李老师组织线上仰卧起坐接力活动.4人为一组，每人自主设定个人目标（单位：次），组内任意2人之间均需接力一场，且每场接力2人都达到个人目标即停止，记录每场接力成绩（2人所做仰卧起坐次数之和）．小贾、小易、小冰、小丁为一组，他们六场接力成绩由小到大依次为86，92，94，98，100，106．若他们设定的个人目标分别记为a，b，c，d，其中，且．根据以上信息，得到三个结论：①，；②六场接力成绩由小到大可以依次表示为：，，，，，；③a，b，c，d的值分别为46，40，52，54．其中正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：∵，
∴最小，最大，
∵六场接力成绩由小到大依次为86，92，94，98，100，106，
∴，，故①不符合题意，
∵
∴，故②符合题意，
∴，，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，故③符合题意，
故答案为：②③．
【分析】根据且，结合题意，对每个结论一一判断即可。
三、解答题
14．（2022七下·绥棱期末）如图：EF∥AD ，∠1=∠2，∠BAC=70°，将求∠AGD的过程填写完整：
因为EF∥AD，所以∠2= ，
又因为∠1=∠2，所以∠1=∠3，
所以AB∥ ，
所以∠BAC+ =180°，
因为∠BAC=70°，所以∠AGD= ．
【答案】解：∵EF∥AD，∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，
∴AB∥DG，
∴∠BAC+∠AGD=180°，
∵∠BAC=70°，∴∠AGD=110°．
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质及推理方法求解即可。
15．（2022七下·锦州期末）请在下列括号内填上相应步骤或理由．
已知：如图，，垂足为A，．
试说明：．
解：因为（已知），
所以（ ）．
因为（已知），
所以 ▲ （等量代换）．
所以（ ）．
所以（ ）．
因为（已知），
所以（垂直的定义）．
所以（ ）．
所以（垂直的定义）．
【答案】解：因为AB∥CD（已知），
所以∠1=∠D（两直线平行，内错角相等）．
因为∠1=∠2（已知），
所以∠2=∠D（等量代换），
所以EF∥AD（同位角相等，两直线平行），
所以∠CEF=∠CAD（两直线平行，同位角相等）．
因为AD⊥AC（已知），
所以∠CAD=90°（垂直的定义），
所以∠CEF=90°（等量代换），
所以EF⊥AC（垂直的定义）．
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证
【解析】【分析】利用平行线的判定与性质求解即可。
四、作图题
16．（2022八上·北京市期中）数学课上，王老师布置如下任务：
如图，已知∠MAN＜45°，点B是射线AM上的一个定点，在射线AN上求作点C，使∠ACB＝2∠A．
下面是小路设计的尺规作图过程．
作法：①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；
②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C，则点C即为所求．
根据小路设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
（2）完成下面的证明：
证明：连接BD，BC，
∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴DA＝ ▲ ，（ ）（填推理的依据）
∴∠A＝∠ABD，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A．
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠ ▲ ，（ ）（填推理的依据）
∴∠ACB＝2∠A．
【答案】（1）解：根据题目中的小路的设计步骤，补全的图形如图所示；
（2）解：证明：连接BD，BC，
∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴DA＝ DB ，(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)（填推理的依据）
∴∠A＝∠ABD，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A．
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠BDC ，(等边对等角)（填推理的依据）
∴∠ACB＝2∠A．
【知识点】角的运算；推理与论证
【解析】【分析】（1）根据要求作出图象即可；
（2）根据垂直平分线的性质及角的运算和等量代换可得答案。
五、综合题
17．（2021八上·南昌期中）
（1）如图1，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°．求：∠BFD的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：∵∠BDC＝∠A+∠ACD（ ▲ ），
∴∠BDC＝62°+35°＝97°（等量代换）．
∵∠BFD+∠BDC+∠ABE＝ ▲ （ ▲ ），
∴∠BFD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABE＝180°﹣97°﹣20°＝63°（等式的性质）．
（2）如图2，把一个长方形的纸ABCD沿对角线折叠（长方形对边平行且相等，四个角是直角），重合部分△FBD是个什么三角形？请证明你的结论．
【答案】（1）解：∵∠BDC＝∠A+∠ACD（三角形的一个外角等于两个不相邻的内角和），
∴∠BDC＝62°+35°＝97°（等量代换）．
∵∠BFD+∠BDC+∠ABE＝ （三角形内角和 ），
∴∠BFD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABE＝180°﹣97°﹣20°＝63°（等式的性质）．
（2）答：重合部分 是等腰三角形．
证明：∵折叠，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴重合部分 是等腰三角形．
【知识点】推理与论证；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）利用三角形外角的性质，三角形的内角和等于180°求解即可；
（2）先求出 ，再求出 ， 最后求解即可。
18．（2022七上·长沙开学考）设，是两个不相等的正整数，为质数，满足，且是整数．
（1）求证：；
（2）求的值；
（3）求，的值．
【答案】（1）证明： ， 是两个不相等的正整数，
， 都是正整数， ．
是整数，
，
，
，
即 ．
假设 ，
则有 ．
与 连续整数，
是偶数，
为质数，
，
，
， ，
，
与条件“ 是整数”矛盾，
；
（2）解：设 其中 ， 为正整数 ，
则有 ，
，
．
是质数，
．
且 ，
此时 ，整理得 ，
方程无解．
且 ，
此时 ，与条件“ 、 为不相等的正整数”矛盾；
，
此时 ，
，
．
为整数，
也是整数，
正整数 ．
，
正整数 ，
，
，
，与 为正整数矛盾；
且 ，
此时 ，
整理得 ，
解得 ， ，
与 为正整数矛盾；
且 ，
此时 ，
，
，
，
，
与“ 是大于 的正整数”矛盾；
，
此时 ，
整理得 ，
则
．
是大于 的正整数，
是小于 的正整数，
整数 ，
，
，
．
综上所述： ；
（3）解：由（2）可知，
只有当 时，存在正整数 、 及质数 ，使得条件成立，
此时 ，整理得 ，
则
．
是大于 的正整数，
是小于 的正整数，
整数 ，
，
．
【知识点】推理与论证
【解析】【分析】（1）由题意可得a2+b、b2+a都是正整数，a+b-1>0，根据题意可得a2+b≥b2+a，则a2+b-b2-a=(a-b)(a+b-1)≥0，推出a≥b，假设a=b，则p2=b2+a=a(a+1)，根据a、a+1为连续的整数可得p2是偶数，结合p为质数可得p=2，然后求出a、b、的值，结合为整数进行证明；
（2）设=k，则有a2+b=kp2，表示出p2，根据p为质数=1且a+b-1=p2，此时b2-b+1=0，方程无解；=p2且a+b-1=1，此时与a、b为不相等的正整数矛盾；=p，此时a=(a+2b-1)(a-1)，表示出a+2b-1，结合a+2b-1为整数可得a的值，然后求出b、p、k的值；=1且a-b=p2，则b2+b=0，求出b的值，据此判断；=p2且a-b=1，此时a=b+1，表示出k，求出k的范围，据此判断；=p，此时a=2b+1，同理表示出k，求出b、a、p的值，据此判断；
（3）由（2）可知：只有当=p时，存在正整数a、b及质数p，使得条件成立，此时a=2b+1，表示出k，求出b的值，进而可得a的值.
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 19.2 证明举例 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2022七下·常州期末）甲、乙、丙3人从图书馆各借了一本书（如下表所示），他们相约在每个星期天相互交换读完的书，经过数次交换后，他们都读完了这3本书．已知甲读的第三本书是乙读的第二本书，则丙读的第二本书是（ ）
甲 乙 丙
书A 书B 书C
A．书A B．书B C．书C D．无法确定
2．（2022七下·文登期末）用反证法求证：三角形中最多有一个钝角．下列假设正确的是（ ）
A．假设三角形中至少有两个钝角 B．假设三角形中最多有两个钝角
C．假设三角形中最少有一个钝角 D．假设三角形中没有钝角
3．（2022七下·福州期末）李明、王华、周亮和张红四名同学参加了“华罗庚杯”竞赛选拔赛，王华和张红两个同学的得分和等于周亮和李明的得分和；李明与王华的得分和大于周亮和张红的得分和，张红的得分超过周亮与王华的得分和，则这四位同学的得分由大到小的顺序是（ ）
A．李明，张红，周亮，王华 B．李明，张红，王华，周亮
C．张红，李明，周亮，王华 D．张红，李明，王华，周亮
4．（2022七下·定州月考）阅读下列材料，其中①～④步数学依据错误的是（ ）
如图：已知直线，a⊥b，求证：．
证明：∵（已知），
∴（①垂直的定义）．
∵ （已知），
∴（②两直线平行，同位角相等），
∴（③同角的余角相等），
∴（④垂直的定义）．
A．① B．② C．③ D．④
5．（2022七下·定州月考）嘉淇在证明“平行于同一条直线的两条直线平行”时，给出了如下推理过程：
已知：如图，b∥a，c∥a，求证：b∥c； 证明：作直线DF交直线a、b、c分 别于点D、E、F， ∵a∥b，∴∠1＝∠4，又∵a∥c， ∴∠1＝∠5， ∴b∥c．
小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∴∠1＝∠5”和“∴b∥c”之间作补充，下列说法正确的是（ ）
A．嘉淇的推理严谨，不需要补充 B．应补充∠2＝∠5
C．应补充∠3+∠5＝180° D．应补充∠4＝∠5
6．（2021七上·长沙期末）桌子上有6只杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4只，经过 次翻转可使这6只杯子的杯口全部朝下，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021八上·承德期末）若要运用反证法证明“若，则”，首先应该假设（ ）
A． B． C． D．
8．（2023七下·封开期末）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：
①；②；③平分；④平分．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
9．（2021八上·襄汾期末）用反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，证明时，可以先假设： ．
10．（2022八上·隆昌月考）反证法证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先假设 .
11．（2023七下·金乡县月考）金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为 ．
12．（2023八上·合川期末）“爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏.千门万户曈曈日，总把新桃换旧符.”春节将至，置办年货是中国寻常百姓家不可或缺的大事.小明随妈妈去置办年货，购买了灯笼、窗花、坚果，其中灯笼每只20元，窗花每张8元，坚果每包150元，若小明和妈妈一共用了428元（三种年货都有购买），则最多能买灯笼 只.
13．（2022七下·东城期末）为鼓励学生居家锻炼，李老师组织线上仰卧起坐接力活动.4人为一组，每人自主设定个人目标（单位：次），组内任意2人之间均需接力一场，且每场接力2人都达到个人目标即停止，记录每场接力成绩（2人所做仰卧起坐次数之和）．小贾、小易、小冰、小丁为一组，他们六场接力成绩由小到大依次为86，92，94，98，100，106．若他们设定的个人目标分别记为a，b，c，d，其中，且．根据以上信息，得到三个结论：①，；②六场接力成绩由小到大可以依次表示为：，，，，，；③a，b，c，d的值分别为46，40，52，54．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题
14．（2022七下·绥棱期末）如图：EF∥AD ，∠1=∠2，∠BAC=70°，将求∠AGD的过程填写完整：
因为EF∥AD，所以∠2= ，
又因为∠1=∠2，所以∠1=∠3，
所以AB∥ ，
所以∠BAC+ =180°，
因为∠BAC=70°，所以∠AGD= ．
15．（2022七下·锦州期末）请在下列括号内填上相应步骤或理由．
已知：如图，，垂足为A，．
试说明：．
解：因为（已知），
所以（ ）．
因为（已知），
所以 ▲ （等量代换）．
所以（ ）．
所以（ ）．
因为（已知），
所以（垂直的定义）．
所以（ ）．
所以（垂直的定义）．
四、作图题
16．（2022八上·北京市期中）数学课上，王老师布置如下任务：
如图，已知∠MAN＜45°，点B是射线AM上的一个定点，在射线AN上求作点C，使∠ACB＝2∠A．
下面是小路设计的尺规作图过程．
作法：①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；
②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C，则点C即为所求．
根据小路设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
（2）完成下面的证明：
证明：连接BD，BC，
∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴DA＝ ▲ ，（ ）（填推理的依据）
∴∠A＝∠ABD，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A．
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠ ▲ ，（ ）（填推理的依据）
∴∠ACB＝2∠A．
五、综合题
17．（2021八上·南昌期中）
（1）如图1，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°．求：∠BFD的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：∵∠BDC＝∠A+∠ACD（ ▲ ），
∴∠BDC＝62°+35°＝97°（等量代换）．
∵∠BFD+∠BDC+∠ABE＝ ▲ （ ▲ ），
∴∠BFD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABE＝180°﹣97°﹣20°＝63°（等式的性质）．
（2）如图2，把一个长方形的纸ABCD沿对角线折叠（长方形对边平行且相等，四个角是直角），重合部分△FBD是个什么三角形？请证明你的结论．
18．（2022七上·长沙开学考）设，是两个不相等的正整数，为质数，满足，且是整数．
（1）求证：；
（2）求的值；
（3）求，的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解∶设3人分别读了书A， 书B， 书C三本书，则三人读书顺序为：
甲∶书A，书B，书C；
乙∶书B，书C，书A；
丙∶书C，书A ，书B；
丙读的第二本书是甲读的第一本书，
∴丙读的第二本书是书A.
故答案为：A.
【分析】设3人分别读了书A， 书B， 书C三本书，表示出三人的读书顺序，据此解答.
2．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：三角形中最多有一个钝角，第一步假设三角形中至少有两个钝角，
故答案为：A．
【分析】利用反证法的定义及书写要求求解即可。
3．【答案】B
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：设李明得分为a分，王华得分为b分，周亮得分为c分，张红得分为d分，
根据题意，得b+d=a+c，a+b＞c+d，d＞c+b，
∴d＞c， d＞b，d=a+c-b，
∴a+b＞c+a+c-b，a+c-b＞c+b，
∴b＞c，a＞2b＞b，
∴a＞b＞c，
∴a-d=b-c＞0，
∴ a＞d，
∴ a＞d＞ b＞c.
故答案为：B.
【分析】设李明得分为a分，王华得分为b分，周亮得分为c分，张红得分为d分，根据题意得b+d=a+c，a+b＞c+d，d＞c+b，则a＞b＞c，a-d=b-c＞0，则a＞d，据此判断.
4．【答案】C
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：∵a⊥b（已知），
∴∠1＝90°（①垂直的定义），
∵bc（已知），
∴∠1＝∠2（②两直线平行，同位角相等），
∴∠2＝∠1＝90°（③等量代换），
∴a⊥c（④垂直的定义）．
∴错误的是③．
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质和垂直的判定方法求解即可。
5．【答案】D
【知识点】平行线的判定；推理与论证
【解析】【解答】证明：作直线DF交直线a、b、c分别于点D、E、F，
∵a∥b，
∴∠1=∠4，
又∵a∥c，
∴∠1=∠5，
∴∠4=∠5．
∴b∥c．
∴应补充∠4=∠5．
故答案为：D．
【分析】利用平行线的判定方法求解即可。
6．【答案】B
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：用“+”表示杯口朝上，用“-”表示杯口朝下，
开始时+ + + + + +
第一次一 一 + +
第二次- + + + - +
第三次一 一 一
∴n的最小值为3.
故答案为：B.
【分析】第一次翻1-4张，第二次翻2-5张，第三次翻第2、3、4及第6张即可全部朝下.
7．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：要运用反证法证明“若，则”，首先应该假设，
故答案为：D．
【分析】利用反证法判断即可得出答案。
8．【答案】A
【知识点】平行线的性质；推理与论证
【解析】【解答】解：①∵FG⊥EH，FD∥EH
∴FG⊥FD，即∠GFD=90°，
∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠D=180°，
∵∠AFD=∠AFG+∠GFD=2∠D+90°，
∴2∠D+90°+∠D=180°
∴∠D=30°，故 ① 正确；
②∵EH∥FD，∴∠EHC=∠D=30°，∴2∠D+∠EHC=90°成立，故 ② 正确；
③∵AB∥CD，∴∠BFD=∠D=30°，当H在CD上不同位置时，∠HFD的度数会发生变化，不一定等于∠BFD，所以FD不一定是∠HFB的角平分线，故 ③ 错误；
④∵∠GFD=90°，当EH平分∠GFD时，则∠GFH=∠DFH=45°，当同（3），当H在CD上不同位置时，∠HFD的度数会发生变化，不一定等于45°，故 ④ 错误.
综上，①②正确，
故答案为：A.
【分析】熟练利用“平行线的性质定理”进行角度间数量关系的分析，并结合题干中的数量关系进行转化.特别注意的是，F、H均为AB、CD上的动点，当动点变化过程中，y要观察角度的一般性变化.
9．【答案】这两个角所对的边相等
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．
证明时，可以先假设这两个角所对的边相等，
故答案为：这两个角所对的边相等．
【分析】根据反证法的证明方法及要求求解即可。
10．【答案】同旁内角不互补的两条直线平行
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由题意可得，反证法证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先假设同旁内角不互补的两条直线平行，
故答案为：同旁内角不互补的两条直线平行.
【分析】用反证法证明的第一步为假设结论不成立，故只需找出不平行的反面即可.
11．【答案】C，A，D，B
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：①假设甲说的：C是亚军正确，则他说D是季军不符合题意，
于是乙说：D是殿军正确，则乙说的A得亚军就错误，
故丙说：B得亚军正确，与假设甲说的：C是亚军符合题意互相矛盾，
所以：甲说的：C是亚军错误；
②假设甲说的：C是亚军错误，则他说D是季军正确，
于是乙说：D是冠军错误，则乙说的A得亚军就正确，
故丙说：B得亚军错误，C是冠军正确；
没有矛盾，
故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B．
故答案为：C，A，D，B．
【分析】因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的，没矛盾就是正确的.
12．【答案】6
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：先用总价钱减去至少每种年货都买一件的价钱：
(元)，
剩余的250元是三种年货中重复购买部分的价钱，
根据题意，重复购买的年货单价乘它的数量之和必须等于250元；
(只)…10（元），即250元不是全部都买灯笼，则有可能买窗花或坚果，当250元减去买窗花或坚果的价钱后，剩余买灯笼的价钱必须能整除20，
因为20是整十数，
所以，只有再买1包坚果后剩余的钱能整除20：
(元) ，
(只)，
5+1=6(只)，
最多能买灯笼6只.
故答案为：6.
【分析】先利用总价钱减去至少每种年货都买一件的价钱，可知剩余的250元是三种年货中重复购买部分的价钱，根据题意可知重复购买的年货单价乘它的数量之和必须等于250元，根据商品的单价知250元不是全部都买灯笼，则有可能买窗花或坚果，当250元减去买窗花或坚果的价钱后，剩余买灯笼的价钱必须能整除20，由于20是整十数，所以，只有再买1包坚果后剩余的钱能整除20，据此即可求解.
13．【答案】②③
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：∵，
∴最小，最大，
∵六场接力成绩由小到大依次为86，92，94，98，100，106，
∴，，故①不符合题意，
∵
∴，故②符合题意，
∴，，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，故③符合题意，
故答案为：②③．
【分析】根据且，结合题意，对每个结论一一判断即可。
14．【答案】解：∵EF∥AD，∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，
∴AB∥DG，
∴∠BAC+∠AGD=180°，
∵∠BAC=70°，∴∠AGD=110°．
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质及推理方法求解即可。
15．【答案】解：因为AB∥CD（已知），
所以∠1=∠D（两直线平行，内错角相等）．
因为∠1=∠2（已知），
所以∠2=∠D（等量代换），
所以EF∥AD（同位角相等，两直线平行），
所以∠CEF=∠CAD（两直线平行，同位角相等）．
因为AD⊥AC（已知），
所以∠CAD=90°（垂直的定义），
所以∠CEF=90°（等量代换），
所以EF⊥AC（垂直的定义）．
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证
【解析】【分析】利用平行线的判定与性质求解即可。
16．【答案】（1）解：根据题目中的小路的设计步骤，补全的图形如图所示；
（2）解：证明：连接BD，BC，
∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴DA＝ DB ，(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)（填推理的依据）
∴∠A＝∠ABD，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A．
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠BDC ，(等边对等角)（填推理的依据）
∴∠ACB＝2∠A．
【知识点】角的运算；推理与论证
【解析】【分析】（1）根据要求作出图象即可；
（2）根据垂直平分线的性质及角的运算和等量代换可得答案。
17．【答案】（1）解：∵∠BDC＝∠A+∠ACD（三角形的一个外角等于两个不相邻的内角和），
∴∠BDC＝62°+35°＝97°（等量代换）．
∵∠BFD+∠BDC+∠ABE＝ （三角形内角和 ），
∴∠BFD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABE＝180°﹣97°﹣20°＝63°（等式的性质）．
（2）答：重合部分 是等腰三角形．
证明：∵折叠，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴重合部分 是等腰三角形．
【知识点】推理与论证；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）利用三角形外角的性质，三角形的内角和等于180°求解即可；
（2）先求出 ，再求出 ， 最后求解即可。
18．【答案】（1）证明： ， 是两个不相等的正整数，
， 都是正整数， ．
是整数，
，
，
，
即 ．
假设 ，
则有 ．
与 连续整数，
是偶数，
为质数，
，
，
， ，
，
与条件“ 是整数”矛盾，
；
（2）解：设 其中 ， 为正整数 ，
则有 ，
，
．
是质数，
．
且 ，
此时 ，整理得 ，
方程无解．
且 ，
此时 ，与条件“ 、 为不相等的正整数”矛盾；
，
此时 ，
，
．
为整数，
也是整数，
正整数 ．
，
正整数 ，
，
，
，与 为正整数矛盾；
且 ，
此时 ，
整理得 ，
解得 ， ，
与 为正整数矛盾；
且 ，
此时 ，
，
，
，
，
与“ 是大于 的正整数”矛盾；
，
此时 ，
整理得 ，
则
．
是大于 的正整数，
是小于 的正整数，
整数 ，
，
，
．
综上所述： ；
（3）解：由（2）可知，
只有当 时，存在正整数 、 及质数 ，使得条件成立，
此时 ，整理得 ，
则
．
是大于 的正整数，
是小于 的正整数，
整数 ，
，
．
【知识点】推理与论证
【解析】【分析】（1）由题意可得a2+b、b2+a都是正整数，a+b-1>0，根据题意可得a2+b≥b2+a，则a2+b-b2-a=(a-b)(a+b-1)≥0，推出a≥b，假设a=b，则p2=b2+a=a(a+1)，根据a、a+1为连续的整数可得p2是偶数，结合p为质数可得p=2，然后求出a、b、的值，结合为整数进行证明；
（2）设=k，则有a2+b=kp2，表示出p2，根据p为质数=1且a+b-1=p2，此时b2-b+1=0，方程无解；=p2且a+b-1=1，此时与a、b为不相等的正整数矛盾；=p，此时a=(a+2b-1)(a-1)，表示出a+2b-1，结合a+2b-1为整数可得a的值，然后求出b、p、k的值；=1且a-b=p2，则b2+b=0，求出b的值，据此判断；=p2且a-b=1，此时a=b+1，表示出k，求出k的范围，据此判断；=p，此时a=2b+1，同理表示出k，求出b、a、p的值，据此判断；
（3）由（2）可知：只有当=p时，存在正整数a、b及质数p，使得条件成立，此时a=2b+1，表示出k，求出b的值，进而可得a的值.
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