2023-2024学年初中数学八年级上册 19.5 角的平分线 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023七下·南昌期中）如图，点B，A，D在同一条直线上，平分，下列不能判定的条件是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022八上·宝应期中）如图，，平分，D是的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023七下·叙州期中）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，AD、BE相交于点F，过点D作DG∥AB，过点B作BG⊥DG交DG于点G．下列结论：①∠AFB＝135°；②∠BDG＝2∠CBE；③BC平分∠ABG；④∠BEC＝∠FBG．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023七下·深圳期中）如图，已知直线和相交于点，是直角，平分，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．72°
5．（2023八上·杭州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等； ②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF.其中正确的有（ ）
A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④
6．（2022八上·沙坪坝开学考）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，∠AFD＝60°．FG为△AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG＝CD，连接HA、HC．①BD＝CE；②∠AHC＝60°；③FC＝CG；④S△CBD＝S△CGH；其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2021八上·盐湖期中）有一题目：“如图，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE=DF，由图形的对称性可得∠DFB=∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB=140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（ ）
A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°
B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值
C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°
D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值
8．（2021八上·西峰期末）如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
二、填空题
9．（2023七下·金牛期末）如图，在中，，按以下步骤作图：
①以B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N；
②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；
③作射线，交于点D．若，则点D到直线的距离是 ．
10．（2023七下·金牛期末）如图，直线， 的平分线交直线于点D，若，则的度数为 ．
11．（2023七下·泰山期末）如图，在锐角中，，、为的角平分线．且、交于点，连接．有下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是 ．
12．（2022八上·长沙期中）如图，△ABC为等边三角形，点D与点C关于直线AB对称，E，F分别是边BC和AC上的点，BE＝CF，AE与BF交于点G．DG交AB于点H．下列四个结论中：①△ABE≌△BCF；②AG+BG＝DG；③HG+GE＝GF；④△AHF为等边三角形．所有正确结论的序号是
．
13．（2021八上·龙江期末）如图，在中，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
三、解答题
14．（2023七下·鄱阳期中）如图，直线，相交于点，平分，已知：．求和的度数．
15．（2023七下·龙口期中）如图，已知，平分交的延长线于点E，平分交的延长线于点F，且与交于点G，求证：．
四、作图题
16．（2020八上·黑龙江期中）如图，点B和点C分别为∠MAN两边上的点，AB＝AC．
（1）按下列语句画出图形：
① AD⊥BC，垂足为D；
② ∠BCN的平分线CE与AD的延长线交于点E
③ 连结BE.
（2）在完成（1）后不添加线段和字母的情况下，请你写出除△ABD≌△ACD外的两对全等三角形： ≌ ， ≌ ；并选择其中的一对全等三角形予以证明.
五、综合题
17．（2023七下·金牛期末）已知平分，如图1所示，点B在射线上，过点B作于点A，在射线上取一点C，使得．
（1）若线段，求线段的长；
（2）如图2，点D是线段上一点，作，使得的另一边交于点E，连接．
①是否成立，请说明理由；
②请判断三条线段的数量关系，并说明理由．
18．（2023七下·舞阳期末）如图1，在四边形ABCD中，，，点E在AB边上，DE平分∠ADC．
（1）分别延长DE、CB交于点M，∠DAB与∠CMD的平分线AN、MN交于点N，若∠ADE的度数为56°，求∠N的度数；
（2）如图2，已知DF⊥BC交BC边于点G，交AB边的延长线于点F，且DB平分∠EDF，若∠BDC＜45°，试比较∠F与∠EDF的大小，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：
A、，，A不符合题意；
B、，，B不符合题意；
C、∵平分，
∴∠DAE=∠CAE，
∵，
∴∠C=∠CAE，
∴，C不符合题意；
D、无法判断，D符合题意；
故答案为：D
【分析】直接运用平行线的判定结合角平分线的性质对选项逐一判断即可求解。
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵CB平分∠ACE，∠ACE=110°
∴∠BCE=∠BCA=55°
∵CE//AB
∴∠BCE=∠B=55°
∴∠BCA=∠B=55°
∴AC=AB
∵D为BC中点
∴AD⊥BC，即∠ADB=90°
∴∠DAB=180°-∠B-∠ADB=180°-55°-90°=35°
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质，可以得出∠BCA=∠B=55°，从而得到AB=AC，再由点D是BC中点，跟等腰三角形三线合一的性质可知∠ADB=90°，最后根据∠DAB=180°-∠B-∠ADB，即可求解.
3．【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：
①∵AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，
∴，，
∵∠C=90°，
∴∠CAB＋∠ABC=90°，
∴，故①正确；
②∵D作DG∥AB，BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠BDG=∠ABD=2∠CBE，故②正确；
③错误；
④∵∠C=90°，
∴∠CEB+∠EBC=90°，
∵D作DG∥AB，BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠BDG=∠ABD，
∴∠ABD+∠DBG=∠EBC+∠EBC+∠DBG=∠EBC+∠FBG=90°，
∴∠BEC＝∠FBG．故④正确；
故答案为：C
【分析】根据平行线的性质、角平分线的性质对选项逐一判断即可求解。
4．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】∵∠COE是直角，∠COF＝34°，
∴∠EOF＝90°-34°＝56°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝56°，
∴∠AOC＝56°-34°＝22°，
∴∠BOD＝∠AOC＝22°．
故答案为： A
【分析】先根据∠COE是直角，∠COF＝34°求出∠EOF的度数，再根据OF平分∠AOE求出∠AOC的度数，根据对顶角相等即可得出结论．
5．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵平分，
∴上任意一点到、的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等），故①正确.
∵，平分，
∴，且，故②正确.
∵，，
∴，
在和中，
∴≌（HL），
∴故③正确，，
∴，即，故④正确，
故答案为：D.
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可判断①；由等腰三角形的性质可得AD⊥
BC，BD=CD，据此判断②；利用HL证明△BDE≌△CDF，然后根据全等三角形的性质可判断③；根据全等三角形的性质可得BE=CF，结合线段的和差关系可判断④.
6．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACE＝60°，BC＝AC，
∵∠AFD＝∠CAE+∠ACD＝60°，∠BCD+∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝∠CAE，
在△BCD和△CAE中，
，
∴△BCD≌△CAE（ASA），
∴BD＝CE，故①正确；
②作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，如图：
∵∠EFC＝∠AFD＝60°
∴∠AFC＝120°，
∵FG为△AFC的角平分线，
∴∠CFH＝∠AFH＝60°，
∴∠CFH＝∠CFE＝60°，
∵CM⊥AE，CN⊥HF，
∴CM＝CN，
∵∠CEM＝∠ACE+∠CAE＝60°+∠CAE，∠CGN＝∠AFH+∠CAE＝60°+∠CAE，
∴∠CEM＝∠CGN，
在△ECM和△GCN中
，
∴△ECM≌△GCN（AAS），
∴CE＝CG，EM＝GN，∠ECM＝∠GCN，
∴∠MCN＝∠ECG＝60°，
由①知△CAE≌△BCD，
∴AE＝CD，
∵HG＝CD，
∴AE＝HG，
∴AE+EM＝HG+GN，即AM＝HN，
在△AMC和△HNC中，
，
∴△AMC≌△HNC（SAS），
∴∠ACM＝∠HCN，AC＝HC，
∴∠ACM﹣∠ECM＝∠HCN﹣∠GCN，即∠ACE＝∠HCG＝60°，
∴△ACH是等边三角形，
∴∠AHC＝60°，故②正确；
③由②知∠CFH＝∠AFH＝60°，若FC＝CG，则∠CGF＝60°，从而∠FCG＝60°，这与∠ACB＝60°矛盾，故③不正确；
④∵△ECM≌△GCN，△AMC≌△HNC，
∴S△AMC﹣S△ECM＝S△HNC﹣S△GCN，即S△ACE＝S△CGH，
∵△CAE≌△BCD，
∴S△BCD＝S△ACE＝S△CGH，故④正确，
∴正确的有：①②④.
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形性质得∠B＝∠ACE＝60°，BC＝AC，根据角的和差关系得∠BCD=∠CAE，证明△BCD≌△CAE，得到BD＝CE，据此判断①；作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，则∠AFC＝120°，根据角平分线的概念可得∠CFH＝∠AFH＝60°，则∠CFH＝∠CFE＝60°，由角平分线的性质可得CM＝CN，证明△ECM≌△GCN，得到CE＝CG，EM＝GN，∠ECM＝∠GCN，则∠MCN＝∠ECG＝60°，易得AE＝HG，则AM＝HN，证明△AMC≌△HNC，得到∠ACM＝∠HCN，AC＝HC，推出△ACH是等边三角形，据此判断②；由②知∠CFH＝∠AFH＝60°，若FC＝CG，则∠CGF＝60°，从而∠FCG＝60°，这与∠ACB＝60°矛盾，据此判断③；根据全等三角形的性质可得S△ACE＝S△CGH，S△BCD＝S△ACE＝S△CGH，据此判断④.
7．【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：
如图，以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则 ，
，
平分 ，
由图形的对称性可知： ，
， ，
，
，
当点F位于点 处时，
，
．
故答案为：A．
【分析】以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则 ，由图形的对称性可知 ，结合平行线的性质求∠DFB=140°，当点F位于点 处时，由DF=DF'可求出∠DF'B的度数.
8．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，过E作EF⊥AD于F，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确，
综上：①②④正确，
故答案为：A
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得BE=EF，AE=AE，利用HL证明Rt△AEF≌Rt△AEB，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；由线段中点的定义可证得EC＝EF＝BE，可对③作出判断；利用HL证明Rt△EFD≌Rt△ECD，利用全等三角形的性质可得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，可对②作出判断；同时可推出AD＝AB＋DC，可对④作出判断；然后求出∠AED的度数，可对①作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
9．【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得BD为∠ABC的角平分线，
∵，，
∴点D到直线的距离是3，
故答案为：3
【分析】先根据题意即可得到BD为∠ABC的角平分线，进而根据角平分线的性质结合题意即可求解。
10．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：根据平行线的性质得∠ABC=22°+60°=82°，
∵BD为∠ABC的角平分线，
∴∠CBD=41°，
∵∠BCF为△BCD的外角，
∴∠D=60°-41°=19°，
故答案为：19°
【分析】先根据平行线的性质即可得到∠ABC=22°+60°=82°，进而根据角平分线的性质得到∠CBD=41°，再运用三角形外角的性质即可求解。
11．【答案】①③④
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：①∵BE、CD为△ABC的角平分线 ，∴∴，又∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-60°=120°，∴∠FBC+∠FCB=60°∴∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=180°-60°=120°，所以①正确；
③如图3所示，在BC上截取BG=BD，在△BDF和△BGF中，BD=BG，∠DBF=∠GBF，BF=BF，∴△BDF≌△BGF，∴∠BFD=∠BFG，又∠BFD=180°-∠BFC=180°-120°=60°，∴∠BFG=60°，∴∠CFG=∠BFC-∠BFG=120°-60°=60°，又∠CFE=∠BFD=60°，∴∠CFG=∠CFE，又CF=CF，∠FCG=∠FCE，∴△CFG≌△CFE，∴CG=CE，∵BC=BG+CG
∴BC=BD+CE，所以③正确；
④已知点F是角平分线的交点，所以点F到各条边的距离相等，设点F到边的距离为h，则，，∴，由③知BC=BD+CE，∴，∴，所以④正确；
②假设BD=CE成立，由③知BC=BD+CE=2BD=2BG，即点G是BC的中点，又∠BFG=∠CFG，FG=FG，∴△BFG≌△CFG，∴∠FBG=∠FCG，∴∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形，又∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，但已知△ABC并没有说是等边三角形，所以②结论不正确。综上，①③④正确。
故第1空答案为：①③④.
图3
【分析】根据角平分线的定义及三角形内角和可判定①正确；由反证法可说明②不正确；通过证明三角形全等可证得③结论正确；根据角平分线的性质可知点F到三边的距离相等，可得④正确，故可得出答案。
12．【答案】①②④
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=60°，
又∵BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），故①正确；
延长GE至 ，使 ，
由①得△ABE≌△CBF，
∴∠BAE=∠FBC，
∴∠BGE=∠ABG+∠BAE=∠ABG+∠FBC=∠ABC=60°，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵点D与点C关于直线AB对称，
∴AD=AC，BD=BC，
∴AD=BD=AB，
∴△ABD也是等边三角形，
∴AB=BD，∠ABD=60°，
∵
∴ ，
又DB=AB， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴DG=AG+BG，故②正确；
连接HF，∵
∴∠BDG=∠BAE，
∴∠ADB-∠BDG=∠BAC-∠BAE，
即∠ADH=∠GAF，
又∵AD=AC，∠ACE=∠DAH，
∴△ADH≌△CAE（ASA），
∴AH=CE，
又∵CE=BC-BE=AC-FC=AF，
∴AH=AF，
∵∠HAF=60°
∴△AHF是等边三角形，④正确；
当E、F分别为BC，AC的中点时，则H为AB的中点，
又∵△ABC是等边三角形，
∴此时G是△ABC三条角平分线的交点，
∴ ，故③错误；
故答案为：①②④.
【分析】根据等边三角形的性质可得AB=BC，∠ABE=∠BCF=60°，由已知条件可知BE＝CF，然后根据全等三角形的判定定理可判断①；延长GE至H′，使GH′=GB，由①得△ABE≌△CBF，则∠BAE=∠FBC，根据角的和差关系可得∠BGE=∠ABG+∠BAE=60°，易得△BGH′是等边三角形，则BG=GH′=BH′，∠GBH′=60°，由轴对称的性质可得AD=AC，BD=BC，推出△ABD是等边三角形，得到AB=BD，∠ABD=60°，证明△DBG≌△ABH′，则DG=AH′，据此判断②；连接HF，根据全等三角形的性质可得∠BDG=∠BAE，由角的和差关系可得∠ADH=∠GAF，证明△ADH≌△CAE，得到AH=CE，推出AH=AF，结合等边三角形的判定定理可判断④；当E、F分别为BC，AC的中点时，则H为AB的中点，由等边三角形的性质可得此时G是△ABC三条角平分线的交点，据此判断③.
13．【答案】9.6
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵，是的平分线，
∴（等腰三角形三线合一），
设点Q关于直线AD对称的对称点为，连接，如图，
∵是的平分线，
∴点在AB上（根据轴对称性质和角平分线性质），
∴，
∴当且C、P、三点共线时，
有最小值，即，
∵，
，，，
∴，
解得，，
∴的最小值是9.6，
故答案为：9.6
【分析】由等腰三角形三线合一可得AD⊥BC，设点Q关于直线AD对称的对称点为，连接，根据轴对称性质和角平分线性质可得点在AB上，可得，当且C、P、三点共线时，有最小值即为CQ'的长，根据△ABC的面积可求出CQ'的长，即得结论.
14．【答案】解：∵，相交于点且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，且平分，
∴．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】先根据题意得到，进而根据角平分线的性质结合题意即可求解。
15．【答案】证明：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【分析】先运用平行线的性质即可得到，再运用角平分线的性质即可得到，，进而结合题意即可求解。
16．【答案】（1）解：①②③如图所示
（2）△ABE；△ACE；△BDE；△CDE 证明：选择△ABE≌△ACE进行证明． ∵ AB=AC，AD⊥BC ∴∠BAE=∠CAE 在△ABE和△ACE中 ∴△ABE≌△ACE（SAS） 选择△BDE≌△CDE进行证明. ∵ AB=AC，AD⊥BC ∴ BD=CD 在△BDE和△CDE中 ∴△BDE≌△CDE（SAS）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）①过点A作AD⊥BC，垂足为点D，D在线段BC上；
②作∠BCN的平分线CE与AD的延长线交于点E，E在线段AD的延长线上；
③连接BE即过点B和点E画线段；
（2）根据全等三角形的判定和性质，证明结论即可。
17．【答案】（1）解：如图所示，过点B作于H，
∵，
∴，即，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
（2）解：①成立，理由如下：
如图所示，过点B作于H，
∵，
∴，即，
同（1）可得，
∴，
∵，
∴，
∴；
②，理由如下：
如图所示，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）过点B作于H，先根据题意即可得到，即，进而根据角平分线的性质得到，再结合题意运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而即可求解；
（2）①成立，理由如下：过点B作于H，先根据题意得到，即，同（1）可得，进而得到，再根据题意证明即可求解；
②，理由如下：在上截取，连接，先根据等腰三角形的性质得到，进而根据三角形全等的性质得到，进而得到，再证明即可得到，再结合题意证明得到，进而结合题意即可求解。
18．【答案】（1）解：过点N作，∴，
∵∠ADE＝56°，DE平分∠ADC，，∴∠ADC＝112°，∠DMB＝∠ADE＝56°，
∵，∴∠DAB＝180°－∠ADC＝68°，
∵AN平分∠DAB，MN平分∠CMD，
∴∠DAN＝∠NAE＝34°，∠DMN＝∠CMN＝28°，
∵，∠ANF＝∠DAN＝34°，∠MNF＝∠CMN＝28°，
∴∠ANM＝∠ANF＋∠MNF＝62°；
（2）解：∵DF⊥BC，∴∠BGF＝90°，
∵．∴∠ADF＝∠BGF＝90°，
∵，∴∠CDF＝∠F，
设∠EDB＝∠BDF＝x，∠CDF＝∠F＝y，∴∠EDF＝2x，
∴∠ADE＝∠EDC＝2x＋y，
∵∠ADF＝∠ADE＋∠EDF，∴2x＋y＋2x＝90°，∴y＝90°－4x，
∴∠F－∠EDF＝y－2x＝90°－4x－2x，
∵∠BDC＜45°，∴x＋y＜45°，∴x＋90°－4x＜45°，
解得：x＞15°，∴6x＞90°，
∴∠F－∠EDF＝90°－6x＜0，∴∠F＜∠EDF．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）过点N作，根据平行线的性质得到，根据题意以及平行线的性质得到∠DAN＝∠NAE＝34°，∠DMN＝∠CMN＝28°，最后得出结论；
（2）根据垂直的定义以及平行线的性质得到∠CDF＝∠F，设∠EDB＝∠BDF＝x，∠CDF＝∠F＝y，∠EDF＝2x，根据∠ADF＝∠ADE＋∠EDF，得到∠F－∠EDF＝y－2x＝90°－4x－2x，最后由 ∠BDC＜45°， 求出x的取值范围，即可得出结论.
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 19.5 角的平分线 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023七下·南昌期中）如图，点B，A，D在同一条直线上，平分，下列不能判定的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：
A、，，A不符合题意；
B、，，B不符合题意；
C、∵平分，
∴∠DAE=∠CAE，
∵，
∴∠C=∠CAE，
∴，C不符合题意；
D、无法判断，D符合题意；
故答案为：D
【分析】直接运用平行线的判定结合角平分线的性质对选项逐一判断即可求解。
2．（2022八上·宝应期中）如图，，平分，D是的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵CB平分∠ACE，∠ACE=110°
∴∠BCE=∠BCA=55°
∵CE//AB
∴∠BCE=∠B=55°
∴∠BCA=∠B=55°
∴AC=AB
∵D为BC中点
∴AD⊥BC，即∠ADB=90°
∴∠DAB=180°-∠B-∠ADB=180°-55°-90°=35°
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质，可以得出∠BCA=∠B=55°，从而得到AB=AC，再由点D是BC中点，跟等腰三角形三线合一的性质可知∠ADB=90°，最后根据∠DAB=180°-∠B-∠ADB，即可求解.
3．（2023七下·叙州期中）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，AD、BE相交于点F，过点D作DG∥AB，过点B作BG⊥DG交DG于点G．下列结论：①∠AFB＝135°；②∠BDG＝2∠CBE；③BC平分∠ABG；④∠BEC＝∠FBG．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：
①∵AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，
∴，，
∵∠C=90°，
∴∠CAB＋∠ABC=90°，
∴，故①正确；
②∵D作DG∥AB，BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠BDG=∠ABD=2∠CBE，故②正确；
③错误；
④∵∠C=90°，
∴∠CEB+∠EBC=90°，
∵D作DG∥AB，BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠BDG=∠ABD，
∴∠ABD+∠DBG=∠EBC+∠EBC+∠DBG=∠EBC+∠FBG=90°，
∴∠BEC＝∠FBG．故④正确；
故答案为：C
【分析】根据平行线的性质、角平分线的性质对选项逐一判断即可求解。
4．（2023七下·深圳期中）如图，已知直线和相交于点，是直角，平分，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．72°
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】∵∠COE是直角，∠COF＝34°，
∴∠EOF＝90°-34°＝56°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝56°，
∴∠AOC＝56°-34°＝22°，
∴∠BOD＝∠AOC＝22°．
故答案为： A
【分析】先根据∠COE是直角，∠COF＝34°求出∠EOF的度数，再根据OF平分∠AOE求出∠AOC的度数，根据对顶角相等即可得出结论．
5．（2023八上·杭州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等； ②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF.其中正确的有（ ）
A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵平分，
∴上任意一点到、的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等），故①正确.
∵，平分，
∴，且，故②正确.
∵，，
∴，
在和中，
∴≌（HL），
∴故③正确，，
∴，即，故④正确，
故答案为：D.
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可判断①；由等腰三角形的性质可得AD⊥
BC，BD=CD，据此判断②；利用HL证明△BDE≌△CDF，然后根据全等三角形的性质可判断③；根据全等三角形的性质可得BE=CF，结合线段的和差关系可判断④.
6．（2022八上·沙坪坝开学考）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，∠AFD＝60°．FG为△AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG＝CD，连接HA、HC．①BD＝CE；②∠AHC＝60°；③FC＝CG；④S△CBD＝S△CGH；其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACE＝60°，BC＝AC，
∵∠AFD＝∠CAE+∠ACD＝60°，∠BCD+∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝∠CAE，
在△BCD和△CAE中，
，
∴△BCD≌△CAE（ASA），
∴BD＝CE，故①正确；
②作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，如图：
∵∠EFC＝∠AFD＝60°
∴∠AFC＝120°，
∵FG为△AFC的角平分线，
∴∠CFH＝∠AFH＝60°，
∴∠CFH＝∠CFE＝60°，
∵CM⊥AE，CN⊥HF，
∴CM＝CN，
∵∠CEM＝∠ACE+∠CAE＝60°+∠CAE，∠CGN＝∠AFH+∠CAE＝60°+∠CAE，
∴∠CEM＝∠CGN，
在△ECM和△GCN中
，
∴△ECM≌△GCN（AAS），
∴CE＝CG，EM＝GN，∠ECM＝∠GCN，
∴∠MCN＝∠ECG＝60°，
由①知△CAE≌△BCD，
∴AE＝CD，
∵HG＝CD，
∴AE＝HG，
∴AE+EM＝HG+GN，即AM＝HN，
在△AMC和△HNC中，
，
∴△AMC≌△HNC（SAS），
∴∠ACM＝∠HCN，AC＝HC，
∴∠ACM﹣∠ECM＝∠HCN﹣∠GCN，即∠ACE＝∠HCG＝60°，
∴△ACH是等边三角形，
∴∠AHC＝60°，故②正确；
③由②知∠CFH＝∠AFH＝60°，若FC＝CG，则∠CGF＝60°，从而∠FCG＝60°，这与∠ACB＝60°矛盾，故③不正确；
④∵△ECM≌△GCN，△AMC≌△HNC，
∴S△AMC﹣S△ECM＝S△HNC﹣S△GCN，即S△ACE＝S△CGH，
∵△CAE≌△BCD，
∴S△BCD＝S△ACE＝S△CGH，故④正确，
∴正确的有：①②④.
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形性质得∠B＝∠ACE＝60°，BC＝AC，根据角的和差关系得∠BCD=∠CAE，证明△BCD≌△CAE，得到BD＝CE，据此判断①；作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，则∠AFC＝120°，根据角平分线的概念可得∠CFH＝∠AFH＝60°，则∠CFH＝∠CFE＝60°，由角平分线的性质可得CM＝CN，证明△ECM≌△GCN，得到CE＝CG，EM＝GN，∠ECM＝∠GCN，则∠MCN＝∠ECG＝60°，易得AE＝HG，则AM＝HN，证明△AMC≌△HNC，得到∠ACM＝∠HCN，AC＝HC，推出△ACH是等边三角形，据此判断②；由②知∠CFH＝∠AFH＝60°，若FC＝CG，则∠CGF＝60°，从而∠FCG＝60°，这与∠ACB＝60°矛盾，据此判断③；根据全等三角形的性质可得S△ACE＝S△CGH，S△BCD＝S△ACE＝S△CGH，据此判断④.
7．（2021八上·盐湖期中）有一题目：“如图，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE=DF，由图形的对称性可得∠DFB=∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB=140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（ ）
A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°
B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值
C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°
D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值
【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：
如图，以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则 ，
，
平分 ，
由图形的对称性可知： ，
， ，
，
，
当点F位于点 处时，
，
．
故答案为：A．
【分析】以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则 ，由图形的对称性可知 ，结合平行线的性质求∠DFB=140°，当点F位于点 处时，由DF=DF'可求出∠DF'B的度数.
8．（2021八上·西峰期末）如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，过E作EF⊥AD于F，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确，
综上：①②④正确，
故答案为：A
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得BE=EF，AE=AE，利用HL证明Rt△AEF≌Rt△AEB，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；由线段中点的定义可证得EC＝EF＝BE，可对③作出判断；利用HL证明Rt△EFD≌Rt△ECD，利用全等三角形的性质可得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，可对②作出判断；同时可推出AD＝AB＋DC，可对④作出判断；然后求出∠AED的度数，可对①作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
二、填空题
9．（2023七下·金牛期末）如图，在中，，按以下步骤作图：
①以B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N；
②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；
③作射线，交于点D．若，则点D到直线的距离是 ．
【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得BD为∠ABC的角平分线，
∵，，
∴点D到直线的距离是3，
故答案为：3
【分析】先根据题意即可得到BD为∠ABC的角平分线，进而根据角平分线的性质结合题意即可求解。
10．（2023七下·金牛期末）如图，直线， 的平分线交直线于点D，若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：根据平行线的性质得∠ABC=22°+60°=82°，
∵BD为∠ABC的角平分线，
∴∠CBD=41°，
∵∠BCF为△BCD的外角，
∴∠D=60°-41°=19°，
故答案为：19°
【分析】先根据平行线的性质即可得到∠ABC=22°+60°=82°，进而根据角平分线的性质得到∠CBD=41°，再运用三角形外角的性质即可求解。
11．（2023七下·泰山期末）如图，在锐角中，，、为的角平分线．且、交于点，连接．有下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是 ．
【答案】①③④
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：①∵BE、CD为△ABC的角平分线 ，∴∴，又∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-60°=120°，∴∠FBC+∠FCB=60°∴∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=180°-60°=120°，所以①正确；
③如图3所示，在BC上截取BG=BD，在△BDF和△BGF中，BD=BG，∠DBF=∠GBF，BF=BF，∴△BDF≌△BGF，∴∠BFD=∠BFG，又∠BFD=180°-∠BFC=180°-120°=60°，∴∠BFG=60°，∴∠CFG=∠BFC-∠BFG=120°-60°=60°，又∠CFE=∠BFD=60°，∴∠CFG=∠CFE，又CF=CF，∠FCG=∠FCE，∴△CFG≌△CFE，∴CG=CE，∵BC=BG+CG
∴BC=BD+CE，所以③正确；
④已知点F是角平分线的交点，所以点F到各条边的距离相等，设点F到边的距离为h，则，，∴，由③知BC=BD+CE，∴，∴，所以④正确；
②假设BD=CE成立，由③知BC=BD+CE=2BD=2BG，即点G是BC的中点，又∠BFG=∠CFG，FG=FG，∴△BFG≌△CFG，∴∠FBG=∠FCG，∴∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形，又∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，但已知△ABC并没有说是等边三角形，所以②结论不正确。综上，①③④正确。
故第1空答案为：①③④.
图3
【分析】根据角平分线的定义及三角形内角和可判定①正确；由反证法可说明②不正确；通过证明三角形全等可证得③结论正确；根据角平分线的性质可知点F到三边的距离相等，可得④正确，故可得出答案。
12．（2022八上·长沙期中）如图，△ABC为等边三角形，点D与点C关于直线AB对称，E，F分别是边BC和AC上的点，BE＝CF，AE与BF交于点G．DG交AB于点H．下列四个结论中：①△ABE≌△BCF；②AG+BG＝DG；③HG+GE＝GF；④△AHF为等边三角形．所有正确结论的序号是
．
【答案】①②④
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=60°，
又∵BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），故①正确；
延长GE至 ，使 ，
由①得△ABE≌△CBF，
∴∠BAE=∠FBC，
∴∠BGE=∠ABG+∠BAE=∠ABG+∠FBC=∠ABC=60°，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵点D与点C关于直线AB对称，
∴AD=AC，BD=BC，
∴AD=BD=AB，
∴△ABD也是等边三角形，
∴AB=BD，∠ABD=60°，
∵
∴ ，
又DB=AB， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴DG=AG+BG，故②正确；
连接HF，∵
∴∠BDG=∠BAE，
∴∠ADB-∠BDG=∠BAC-∠BAE，
即∠ADH=∠GAF，
又∵AD=AC，∠ACE=∠DAH，
∴△ADH≌△CAE（ASA），
∴AH=CE，
又∵CE=BC-BE=AC-FC=AF，
∴AH=AF，
∵∠HAF=60°
∴△AHF是等边三角形，④正确；
当E、F分别为BC，AC的中点时，则H为AB的中点，
又∵△ABC是等边三角形，
∴此时G是△ABC三条角平分线的交点，
∴ ，故③错误；
故答案为：①②④.
【分析】根据等边三角形的性质可得AB=BC，∠ABE=∠BCF=60°，由已知条件可知BE＝CF，然后根据全等三角形的判定定理可判断①；延长GE至H′，使GH′=GB，由①得△ABE≌△CBF，则∠BAE=∠FBC，根据角的和差关系可得∠BGE=∠ABG+∠BAE=60°，易得△BGH′是等边三角形，则BG=GH′=BH′，∠GBH′=60°，由轴对称的性质可得AD=AC，BD=BC，推出△ABD是等边三角形，得到AB=BD，∠ABD=60°，证明△DBG≌△ABH′，则DG=AH′，据此判断②；连接HF，根据全等三角形的性质可得∠BDG=∠BAE，由角的和差关系可得∠ADH=∠GAF，证明△ADH≌△CAE，得到AH=CE，推出AH=AF，结合等边三角形的判定定理可判断④；当E、F分别为BC，AC的中点时，则H为AB的中点，由等边三角形的性质可得此时G是△ABC三条角平分线的交点，据此判断③.
13．（2021八上·龙江期末）如图，在中，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【答案】9.6
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵，是的平分线，
∴（等腰三角形三线合一），
设点Q关于直线AD对称的对称点为，连接，如图，
∵是的平分线，
∴点在AB上（根据轴对称性质和角平分线性质），
∴，
∴当且C、P、三点共线时，
有最小值，即，
∵，
，，，
∴，
解得，，
∴的最小值是9.6，
故答案为：9.6
【分析】由等腰三角形三线合一可得AD⊥BC，设点Q关于直线AD对称的对称点为，连接，根据轴对称性质和角平分线性质可得点在AB上，可得，当且C、P、三点共线时，有最小值即为CQ'的长，根据△ABC的面积可求出CQ'的长，即得结论.
三、解答题
14．（2023七下·鄱阳期中）如图，直线，相交于点，平分，已知：．求和的度数．
【答案】解：∵，相交于点且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，且平分，
∴．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】先根据题意得到，进而根据角平分线的性质结合题意即可求解。
15．（2023七下·龙口期中）如图，已知，平分交的延长线于点E，平分交的延长线于点F，且与交于点G，求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【分析】先运用平行线的性质即可得到，再运用角平分线的性质即可得到，，进而结合题意即可求解。
四、作图题
16．（2020八上·黑龙江期中）如图，点B和点C分别为∠MAN两边上的点，AB＝AC．
（1）按下列语句画出图形：
① AD⊥BC，垂足为D；
② ∠BCN的平分线CE与AD的延长线交于点E
③ 连结BE.
（2）在完成（1）后不添加线段和字母的情况下，请你写出除△ABD≌△ACD外的两对全等三角形： ≌ ， ≌ ；并选择其中的一对全等三角形予以证明.
【答案】（1）解：①②③如图所示
（2）△ABE；△ACE；△BDE；△CDE 证明：选择△ABE≌△ACE进行证明． ∵ AB=AC，AD⊥BC ∴∠BAE=∠CAE 在△ABE和△ACE中 ∴△ABE≌△ACE（SAS） 选择△BDE≌△CDE进行证明. ∵ AB=AC，AD⊥BC ∴ BD=CD 在△BDE和△CDE中 ∴△BDE≌△CDE（SAS）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）①过点A作AD⊥BC，垂足为点D，D在线段BC上；
②作∠BCN的平分线CE与AD的延长线交于点E，E在线段AD的延长线上；
③连接BE即过点B和点E画线段；
（2）根据全等三角形的判定和性质，证明结论即可。
五、综合题
17．（2023七下·金牛期末）已知平分，如图1所示，点B在射线上，过点B作于点A，在射线上取一点C，使得．
（1）若线段，求线段的长；
（2）如图2，点D是线段上一点，作，使得的另一边交于点E，连接．
①是否成立，请说明理由；
②请判断三条线段的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：如图所示，过点B作于H，
∵，
∴，即，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
（2）解：①成立，理由如下：
如图所示，过点B作于H，
∵，
∴，即，
同（1）可得，
∴，
∵，
∴，
∴；
②，理由如下：
如图所示，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）过点B作于H，先根据题意即可得到，即，进而根据角平分线的性质得到，再结合题意运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而即可求解；
（2）①成立，理由如下：过点B作于H，先根据题意得到，即，同（1）可得，进而得到，再根据题意证明即可求解；
②，理由如下：在上截取，连接，先根据等腰三角形的性质得到，进而根据三角形全等的性质得到，进而得到，再证明即可得到，再结合题意证明得到，进而结合题意即可求解。
18．（2023七下·舞阳期末）如图1，在四边形ABCD中，，，点E在AB边上，DE平分∠ADC．
（1）分别延长DE、CB交于点M，∠DAB与∠CMD的平分线AN、MN交于点N，若∠ADE的度数为56°，求∠N的度数；
（2）如图2，已知DF⊥BC交BC边于点G，交AB边的延长线于点F，且DB平分∠EDF，若∠BDC＜45°，试比较∠F与∠EDF的大小，并说明理由．
【答案】（1）解：过点N作，∴，
∵∠ADE＝56°，DE平分∠ADC，，∴∠ADC＝112°，∠DMB＝∠ADE＝56°，
∵，∴∠DAB＝180°－∠ADC＝68°，
∵AN平分∠DAB，MN平分∠CMD，
∴∠DAN＝∠NAE＝34°，∠DMN＝∠CMN＝28°，
∵，∠ANF＝∠DAN＝34°，∠MNF＝∠CMN＝28°，
∴∠ANM＝∠ANF＋∠MNF＝62°；
（2）解：∵DF⊥BC，∴∠BGF＝90°，
∵．∴∠ADF＝∠BGF＝90°，
∵，∴∠CDF＝∠F，
设∠EDB＝∠BDF＝x，∠CDF＝∠F＝y，∴∠EDF＝2x，
∴∠ADE＝∠EDC＝2x＋y，
∵∠ADF＝∠ADE＋∠EDF，∴2x＋y＋2x＝90°，∴y＝90°－4x，
∴∠F－∠EDF＝y－2x＝90°－4x－2x，
∵∠BDC＜45°，∴x＋y＜45°，∴x＋90°－4x＜45°，
解得：x＞15°，∴6x＞90°，
∴∠F－∠EDF＝90°－6x＜0，∴∠F＜∠EDF．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）过点N作，根据平行线的性质得到，根据题意以及平行线的性质得到∠DAN＝∠NAE＝34°，∠DMN＝∠CMN＝28°，最后得出结论；
（2）根据垂直的定义以及平行线的性质得到∠CDF＝∠F，设∠EDB＝∠BDF＝x，∠CDF＝∠F＝y，∠EDF＝2x，根据∠ADF＝∠ADE＋∠EDF，得到∠F－∠EDF＝y－2x＝90°－4x－2x，最后由 ∠BDC＜45°， 求出x的取值范围，即可得出结论.
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