2023-2024学年初中数学八年级上册 19.6 轨迹 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八上·如东期末）如图，在中，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，F，连接，作直线交于点M，连接，则下列判断不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七下·泰山期末）如图，在中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于，两点，作直线，分别交线段，于点，．若，的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023七下·嘉定期末）如图，用直尺和圆规作出的角平分线，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023七下·海曙期末）如图，在中，．根据尺规作图痕迹，可得的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023七下·南山期末）如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E，若的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八上·鄞州期末）如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要使用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023八上·鄞州期末）内找一点P，使P到B、C两点的距离相等，并且P到C的距离等于A到C的距离.下列尺规作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023八上·扶沟期末）如图是三个基本作图的作图痕迹，关于①，②，③，④四条弧下列说法中错误的是（ ）
A．弧①是以点O为圆心，以任意长为半径所作的弧
B．弧②是以点B为圆心，以任意长为半径所作的弧
C．弧③是以点A为圆心，以大于的长为半径所作的弧
D．弧④是以点C为圆心，以大于的长为半径所作的弧
二、填空题
9．（2021八上·浦东期末）到点A的距离等于6cm的点的轨迹是 ．
10．（2023七下·天桥期末）如图，在中，，利用尺规在上分别截取；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点E，作射线交于点F，若，点H为线段上的一动点，则的最小值是 ．
11．（2022八上·如皋月考）如图，将放在每个小正方形边长均为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，若点B的坐标为，点C的坐标为，则到三个顶点距离相等的点的坐标为 ．
12．（2020八上·荣县月考）在△中，按以下步骤作图：
①.分别以为圆心，大于的长为半径画弧相交于两点；②.作直线交于点.连接；若，则的度数为 .
13．如图所示，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为(a，b)，则a与b的数量关系为
三、解答题
14．（2021八上·五华期末）数学教科书八年级上册告诉我们一种作已知角的平分线的方法．
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：
⑴以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
⑵分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
⑶画射线OC．射线OC即为所求（如图所示）．
请你证明：射线OC是∠AOB的平分线．
15．（2021八上·河西期中）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，要写明结论）
四、作图题
16．（2023七下·陈仓期末）如图，在学习了《简单的轴对称图形》一节后，小颖画了一个平角，然后利用尺规按照如下步骤作图：
（1）在和上分别截取，，使.
（2）分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点.
（3）作直线.
于是小颖说直线垂直于.你认为小颖说的对吗 为什么
五、综合题
17．（2023七下·闵行期中）按要求完成作图并填空：
（1）作∠ABC的平分线，交边AC于点D（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）过点A画直线BC的垂线，交直线BC于点E，那么点A到直线BC的距离是线段 的长；
（3）在（2）的条件下，如果∠ABC＝135°，点B恰好是CE的中点，BC＝2cm，那么S△ABC＝ cm2．
18．（2023八上·桂平期末）如图，四边形中，，，连接.
（1）求证：；
（2）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的垂直平分线，分别交，于点E，F；
（3）连接，若，求的度数.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，EF是线段AB的垂直平分线，
∴，
则B、C、D说法正确，不符合题意，
AB与2CM的大小不确定，选项A错误，符合题意，
故答案为：A.
【分析】由作图可知，EF是线段AB的垂直平分线，则EF⊥AB，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=BE，AM=BM，据此可判断B、C、D选项；只有当∠ACB=90°的时候，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半才能得出AM=2CM，故AB与2CM的大小不确定，据此可判断A选项.
2．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图过程知，MN是AC的垂直平分线，∴AD=DC，AC=2AE=2×2=4，∵△ABD的周长为=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC∴AB+BC=△ABC的周长-AC=15-4=11，∴△ABD的周长为：11.
故答案为：A。
【分析】根据垂直平分线的性质得AD=DC，所以就可得出△ABD的周长就是AB+BC，即△ABC的周长-AC，由AE的长度2，得出AC的长度4，就可得出△ABD的周长。
3．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图过程知：OC=OD，CE=DE，又OE=OE，所以△OCE≌△ODE（SSS）。
故答案为：A.
【分析】根据作图过程知道，满足了两个三角形的三边对应相等，即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由图像可知，虚线为线段BC的中垂线；
由中垂线上一点到线段两端点的距离相同可知，BD=AC，∠BCD=∠B；
由于三角形内角和为180°，则∠C=70°；
∠ACD=∠C-∠BCD=∠C-∠B=70°-50°=20°.
故答案为C.
【分析】先分析题意，得到有效信息∠C=70°，再分析图像，根据中位线和等腰三角形性质，完成计算.
5．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知：MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE=3cm，AD=CD，
∴AC=AE+CE=6cm，
∵△ABD的周长为AB+AD+BD=AB+BD+CD=AB+BC=10cm，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=16cm.
故答案为：D.
【分析】由作图可知：MN是线段AC的垂直平分线，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=CE=3cm，AD=CD，进而根据三角形周长的计算方法、等量代换及线段的和差可得出AB+BC=10cm，最后再根据三角形周长的计算方法即可算出答案.
6．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：解：∵PA＋PB＝BC，而PC＋PB＝BC，
∴PA＝PC，
∴点P在AC的垂直平分线上，
故点P为AC的垂直平分线与BC的交点，
根据作图痕迹，A选项中满足AB=BP，B选项作的是AC的垂直平分线，C选项作的是AB的垂直平分线，D选项满足AC=PC，
∴A、C、D都不符合题意，只有B选项符合题意.
故答案为：B.
【分析】由PA＋PB＝BC和PC＋PB＝BC易得PA＝PC，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在AC的垂直平分线上，进而得出结论．
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵P到A、C两点的距离相等
∴P在AC的垂直平分线上
又∵P到C和A到C的距离相等
∴A、P在以C为圆心，AC为半径的圆上
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得点P在AC的垂直平分线上，根据同圆的半径相等得点P在以C为圆心，AC为半径的圆上，从而即可一一判断得出答案.
8．【答案】B
【知识点】作图-角；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：A、作一个角等于已知角中，弧①是以点O为圆心，以任意长为半径所作的弧，故说法正确，不符合题意；
B、作线段垂直平分线时，弧②是以点B为圆心，以大于的长为半径所作的弧，故说法错误，符合题意；
C、作线段垂直平分线时，弧③是以点A为圆心，以大于的长为半径所作的弧，故说法正确，不符合题意；
D、作角平分线时，弧④是以点C为圆心，以大于的长为半径所作的弧，故说法正确，不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据作一个角等于已知角、作线段垂直平分线、作角平分线的步骤进行判断.
9．【答案】以A为圆心，6cm为半径的圆
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】根据圆的定义，到点A的距离等于定长6cm的点的轨迹是以点A为圆心，6cm为半径的圆，
故答案为：以点A为圆心，6cm为半径的圆．
【分析】根据圆的定义即可得到答案。
10．【答案】2
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图过程知：BF平分∠ABC，∴点F到BA的距离=点F到BC的距离，∵∠C=90°，∴FC⊥BC，∴点F到BC的距离为FC=2，∴点F到BA的距离=2，根据垂线段最短知，FH的最小值为点F到BA的距离，即FH的最小值为2.
故第1空答案为：2.
【分析】根据角平分线的性质定理得点F到BA的距离等于CF的长度，再根据垂线段最短得出F到BA的距离就是FH的最小值。
11．【答案】
【知识点】点的坐标；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：平面直角坐标系如图所示，和的垂直平分线的交点为，
∴到三个顶点距离相等的点的坐标为：.
故答案为：．
【分析】作出AB、AC的垂直平分线，其交点P即为到三个顶点距离相等的点，结合点P的位置可得相应的坐标.
12．【答案】52°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵根据作图过程和痕迹发现MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝32°，
∵CD＝BC，
∴∠CDB＝∠CBD＝2∠A＝64°，
∴∠C＝52°，
故答案为：52°.
【分析】根据尺规作图可知MN垂直平分AB，可得DA=DB，利用等边对等角及三角形外角的性质可得∠DBA＝∠A＝32°，∠CDB＝∠CBD＝2∠A＝64°，根据三角形内角和即可求解.
13．【答案】a+b=0
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【解答】解：利用作法可得：直线OP为第二象限的角平分线，
∴a+b=0.
故答案为：a+b=0.
【分析】利用作法可得：直线OP为第二象限的角平分线，据此可得a与b的数量关系.
14．【答案】证明：根据角平分线的作法可知，OM=ON，CM=CN，
在△MOC与△NOC中，
，
∴△OMC≌△ONC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC为∠AOB的平分线．
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【分析】利用“SSS”证明△OMC≌△ONC，可得∠AOC=∠BOC，即可得到OC为∠AOB的平分线。
15．【答案】如图，连接AB，作∠MON的角平分线OP，作线段AB的垂直平分线交OP于点P，则点P就是修建发射塔的位置．
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】 连接AB，作∠MON的角平分线OP，作线段AB的垂直平分线交OP于点P，则点P就是修建发射塔的位置。
16．【答案】解：小颖说的对，理由如下：小颖的作图是按照垂直平分线的作法作图的，故 直线垂直于 .
【知识点】作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】垂直平分线的定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”.
17．【答案】（1）解：如图，射线即为所求作．
（2）AE
（3）2
【知识点】三角形的面积；作图-垂线；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：（2）解：如图，线段即为所求作，点到直线的距离是线段的长，
故答案为：．
（3）∵∠ABC=135°，
∴∠ABE=45°，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90°，∠EAB=∠ABE=45°，
∴AE=BE，
∵BE=BC=2cm，
∴AE=2cm，
∴S△ABC==2(cm2)，
故答案为：2.
【分析】（1）根据题意作角平分线即可；
（2）根据题意作垂线即可；
（3）先求出∠ABE=45°，再求出AE=2cm，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
18．【答案】（1）证明：∵，
∴.
在和中，，
∴.
（2）解：如图1所示：直线即为所求.
（3）解：如图2.连接，
∵垂直平分，，
∴，
∴.
∵是的外角，
∴.
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得，根据AAS证明即可；
（2）分别以点BD为圆心，以大于BD的长为半径在BD的两侧分别画弧，两弧交于一点，过两交点画直线即可；
（3）连接，由线段垂直平分线的性质可得BE=ED，利用等边对等角可得，根据三角形外角的性质可得，继而得解.
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 19.6 轨迹 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八上·如东期末）如图，在中，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，F，连接，作直线交于点M，连接，则下列判断不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，EF是线段AB的垂直平分线，
∴，
则B、C、D说法正确，不符合题意，
AB与2CM的大小不确定，选项A错误，符合题意，
故答案为：A.
【分析】由作图可知，EF是线段AB的垂直平分线，则EF⊥AB，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=BE，AM=BM，据此可判断B、C、D选项；只有当∠ACB=90°的时候，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半才能得出AM=2CM，故AB与2CM的大小不确定，据此可判断A选项.
2．（2023七下·泰山期末）如图，在中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于，两点，作直线，分别交线段，于点，．若，的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图过程知，MN是AC的垂直平分线，∴AD=DC，AC=2AE=2×2=4，∵△ABD的周长为=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC∴AB+BC=△ABC的周长-AC=15-4=11，∴△ABD的周长为：11.
故答案为：A。
【分析】根据垂直平分线的性质得AD=DC，所以就可得出△ABD的周长就是AB+BC，即△ABC的周长-AC，由AE的长度2，得出AC的长度4，就可得出△ABD的周长。
3．（2023七下·嘉定期末）如图，用直尺和圆规作出的角平分线，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图过程知：OC=OD，CE=DE，又OE=OE，所以△OCE≌△ODE（SSS）。
故答案为：A.
【分析】根据作图过程知道，满足了两个三角形的三边对应相等，即可得出答案。
4．（2023七下·海曙期末）如图，在中，．根据尺规作图痕迹，可得的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由图像可知，虚线为线段BC的中垂线；
由中垂线上一点到线段两端点的距离相同可知，BD=AC，∠BCD=∠B；
由于三角形内角和为180°，则∠C=70°；
∠ACD=∠C-∠BCD=∠C-∠B=70°-50°=20°.
故答案为C.
【分析】先分析题意，得到有效信息∠C=70°，再分析图像，根据中位线和等腰三角形性质，完成计算.
5．（2023七下·南山期末）如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E，若的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知：MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE=3cm，AD=CD，
∴AC=AE+CE=6cm，
∵△ABD的周长为AB+AD+BD=AB+BD+CD=AB+BC=10cm，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=16cm.
故答案为：D.
【分析】由作图可知：MN是线段AC的垂直平分线，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=CE=3cm，AD=CD，进而根据三角形周长的计算方法、等量代换及线段的和差可得出AB+BC=10cm，最后再根据三角形周长的计算方法即可算出答案.
6．（2023八上·鄞州期末）如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要使用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：解：∵PA＋PB＝BC，而PC＋PB＝BC，
∴PA＝PC，
∴点P在AC的垂直平分线上，
故点P为AC的垂直平分线与BC的交点，
根据作图痕迹，A选项中满足AB=BP，B选项作的是AC的垂直平分线，C选项作的是AB的垂直平分线，D选项满足AC=PC，
∴A、C、D都不符合题意，只有B选项符合题意.
故答案为：B.
【分析】由PA＋PB＝BC和PC＋PB＝BC易得PA＝PC，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在AC的垂直平分线上，进而得出结论．
7．（2023八上·鄞州期末）内找一点P，使P到B、C两点的距离相等，并且P到C的距离等于A到C的距离.下列尺规作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵P到A、C两点的距离相等
∴P在AC的垂直平分线上
又∵P到C和A到C的距离相等
∴A、P在以C为圆心，AC为半径的圆上
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得点P在AC的垂直平分线上，根据同圆的半径相等得点P在以C为圆心，AC为半径的圆上，从而即可一一判断得出答案.
8．（2023八上·扶沟期末）如图是三个基本作图的作图痕迹，关于①，②，③，④四条弧下列说法中错误的是（ ）
A．弧①是以点O为圆心，以任意长为半径所作的弧
B．弧②是以点B为圆心，以任意长为半径所作的弧
C．弧③是以点A为圆心，以大于的长为半径所作的弧
D．弧④是以点C为圆心，以大于的长为半径所作的弧
【答案】B
【知识点】作图-角；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：A、作一个角等于已知角中，弧①是以点O为圆心，以任意长为半径所作的弧，故说法正确，不符合题意；
B、作线段垂直平分线时，弧②是以点B为圆心，以大于的长为半径所作的弧，故说法错误，符合题意；
C、作线段垂直平分线时，弧③是以点A为圆心，以大于的长为半径所作的弧，故说法正确，不符合题意；
D、作角平分线时，弧④是以点C为圆心，以大于的长为半径所作的弧，故说法正确，不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据作一个角等于已知角、作线段垂直平分线、作角平分线的步骤进行判断.
二、填空题
9．（2021八上·浦东期末）到点A的距离等于6cm的点的轨迹是 ．
【答案】以A为圆心，6cm为半径的圆
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】根据圆的定义，到点A的距离等于定长6cm的点的轨迹是以点A为圆心，6cm为半径的圆，
故答案为：以点A为圆心，6cm为半径的圆．
【分析】根据圆的定义即可得到答案。
10．（2023七下·天桥期末）如图，在中，，利用尺规在上分别截取；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点E，作射线交于点F，若，点H为线段上的一动点，则的最小值是 ．
【答案】2
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图过程知：BF平分∠ABC，∴点F到BA的距离=点F到BC的距离，∵∠C=90°，∴FC⊥BC，∴点F到BC的距离为FC=2，∴点F到BA的距离=2，根据垂线段最短知，FH的最小值为点F到BA的距离，即FH的最小值为2.
故第1空答案为：2.
【分析】根据角平分线的性质定理得点F到BA的距离等于CF的长度，再根据垂线段最短得出F到BA的距离就是FH的最小值。
11．（2022八上·如皋月考）如图，将放在每个小正方形边长均为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，若点B的坐标为，点C的坐标为，则到三个顶点距离相等的点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：平面直角坐标系如图所示，和的垂直平分线的交点为，
∴到三个顶点距离相等的点的坐标为：.
故答案为：．
【分析】作出AB、AC的垂直平分线，其交点P即为到三个顶点距离相等的点，结合点P的位置可得相应的坐标.
12．（2020八上·荣县月考）在△中，按以下步骤作图：
①.分别以为圆心，大于的长为半径画弧相交于两点；②.作直线交于点.连接；若，则的度数为 .
【答案】52°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵根据作图过程和痕迹发现MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝32°，
∵CD＝BC，
∴∠CDB＝∠CBD＝2∠A＝64°，
∴∠C＝52°，
故答案为：52°.
【分析】根据尺规作图可知MN垂直平分AB，可得DA=DB，利用等边对等角及三角形外角的性质可得∠DBA＝∠A＝32°，∠CDB＝∠CBD＝2∠A＝64°，根据三角形内角和即可求解.
13．如图所示，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为(a，b)，则a与b的数量关系为
【答案】a+b=0
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【解答】解：利用作法可得：直线OP为第二象限的角平分线，
∴a+b=0.
故答案为：a+b=0.
【分析】利用作法可得：直线OP为第二象限的角平分线，据此可得a与b的数量关系.
三、解答题
14．（2021八上·五华期末）数学教科书八年级上册告诉我们一种作已知角的平分线的方法．
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：
⑴以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
⑵分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
⑶画射线OC．射线OC即为所求（如图所示）．
请你证明：射线OC是∠AOB的平分线．
【答案】证明：根据角平分线的作法可知，OM=ON，CM=CN，
在△MOC与△NOC中，
，
∴△OMC≌△ONC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC为∠AOB的平分线．
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【分析】利用“SSS”证明△OMC≌△ONC，可得∠AOC=∠BOC，即可得到OC为∠AOB的平分线。
15．（2021八上·河西期中）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，要写明结论）
【答案】如图，连接AB，作∠MON的角平分线OP，作线段AB的垂直平分线交OP于点P，则点P就是修建发射塔的位置．
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】 连接AB，作∠MON的角平分线OP，作线段AB的垂直平分线交OP于点P，则点P就是修建发射塔的位置。
四、作图题
16．（2023七下·陈仓期末）如图，在学习了《简单的轴对称图形》一节后，小颖画了一个平角，然后利用尺规按照如下步骤作图：
（1）在和上分别截取，，使.
（2）分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点.
（3）作直线.
于是小颖说直线垂直于.你认为小颖说的对吗 为什么
【答案】解：小颖说的对，理由如下：小颖的作图是按照垂直平分线的作法作图的，故 直线垂直于 .
【知识点】作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】垂直平分线的定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”.
五、综合题
17．（2023七下·闵行期中）按要求完成作图并填空：
（1）作∠ABC的平分线，交边AC于点D（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）过点A画直线BC的垂线，交直线BC于点E，那么点A到直线BC的距离是线段 的长；
（3）在（2）的条件下，如果∠ABC＝135°，点B恰好是CE的中点，BC＝2cm，那么S△ABC＝ cm2．
【答案】（1）解：如图，射线即为所求作．
（2）AE
（3）2
【知识点】三角形的面积；作图-垂线；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：（2）解：如图，线段即为所求作，点到直线的距离是线段的长，
故答案为：．
（3）∵∠ABC=135°，
∴∠ABE=45°，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90°，∠EAB=∠ABE=45°，
∴AE=BE，
∵BE=BC=2cm，
∴AE=2cm，
∴S△ABC==2(cm2)，
故答案为：2.
【分析】（1）根据题意作角平分线即可；
（2）根据题意作垂线即可；
（3）先求出∠ABE=45°，再求出AE=2cm，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
18．（2023八上·桂平期末）如图，四边形中，，，连接.
（1）求证：；
（2）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的垂直平分线，分别交，于点E，F；
（3）连接，若，求的度数.
【答案】（1）证明：∵，
∴.
在和中，，
∴.
（2）解：如图1所示：直线即为所求.
（3）解：如图2.连接，
∵垂直平分，，
∴，
∴.
∵是的外角，
∴.
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得，根据AAS证明即可；
（2）分别以点BD为圆心，以大于BD的长为半径在BD的两侧分别画弧，两弧交于一点，过两交点画直线即可；
（3）连接，由线段垂直平分线的性质可得BE=ED，利用等边对等角可得，根据三角形外角的性质可得，继而得解.
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