2023-2024学年初中数学八年级上册 19.6 轨迹 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2021八上·鄞州期中）已知∠AOB，在射线OA，OB上分别截取OD=OE，分别以点D，E为圆心，以大于 DE且同样长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C，作射线OC，OC就是∠AOB的角平分线.作图依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．SSS D．HL
2．（2021八上·太和月考）如图，点A在点O的北偏西30°的方向上，AB⊥OA，垂足为A．根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断，下列说法正确的是（ ）
A．点O在点A的南偏东60°方向上 B．点B在点A的北偏东30°方向上
C．点B在点O的北偏东60°方向上 D．点B在点O的北偏东30°方向上
3．（2022八上·宛城月考）下列选项中的尺规作图（各图中的点P都在△ABC的边上），能推出PA＝PC的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021八上·南关期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，使点P到AB、BC的距离相等，则符合要求的作图痕迹（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022八上·温州期末）如图，已知线段AB，以点A，B为圆心，5为半径作弧相交于点C，D.连结CD，点E在CD上，连结CA，CB，EA，EB.若与的周长之差为4，则AE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2021八上·柯桥月考）如图，在△ABC中，AC＝BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
7．（2019·安次模拟）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝20°，则下列结论中不正确是（ ）
A．∠CAD＝40° B．∠ACD＝70°
C．点D为△ABC的外心 D．∠ACB＝90°
8．（2019八上·慈溪期末）如图，锐角 中， ，若想找一点P，使得 与 互补，甲、乙、丙三人作法分别如下：
甲：以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于P点，则P即为所求；
乙：分别以B，C为圆心，AB，AC长为半径画弧交于P点，则P即为所求；
丙：作BC的垂直平分线和 的平分线，两线交于P点，则P即为所求.
对于甲、乙、丙三人的作法，下列叙述正确的是（ ）
A．三人皆正确 B．甲、丙正确，乙错误
C．甲正确，乙、丙错误 D．甲错误，乙、丙正确
二、填空题
9．（2021七下·历城期末）如图△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交干点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，BD＝5，AC＝12，则△ABD的面积是 ；
10．（2021八上·抚顺期末）如图，在△ABC中，∠C=30°，∠B=50°，AD平分∠CAB，那么∠ADC的度数是
11．（2020八上·松江期末）经过定点P，且半径等于2cm的圆的圆心的轨迹 ．
12．（2020八上·于都期末）下面是“求作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程．
已知：如图，钝角∠AOB．
求作：∠AOB的角平分线．
作法：
①在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE；
②分别以D、E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C；
③作射线OC．
所以射线OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
请回答：该尺规作图的依据是 ．
13．（2019八上·天台月考）在等边△ABC所在平面内有点P，且使得△ABP，△ACP，△BCP均为等腰三角形，则符合条件的点P共有 个．
三、解答题
14．（2021七上·泰安期中）尺规作图：如图，某地有两个工厂M、N和两条相交叉的公路a，b现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两个工厂的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．(保留作图痕迹)．
15．（2021七上·牟平期中）已知：四边形．
求作：点，使，且点到边和的距离相等．（写出作图的方法，不必写具体步骤，保留作图痕迹）
四、作图题
16．（2020七下·陈仓期末）如图，已知 ，请按步骤用尺规作图并回答下列问题：
第一步：在 和 上分别截取 ， ，使 .
第二步：分别以 为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧在 内交于点E.
第三步：过点 作射线 .（保留作图痕迹）
（1） 与 的关系是什么？请说明理由.
（2）在 上任取一点 ，过点 分别作 于点 ， 于点 ， 与 相等吗？为什么？
五、综合题
17．（2022七上·永城期末）有三条长度均为a的线段，分别按以下要求画圆.
（1）如图①，以该线段为直径画一个圆，记该圆的周长为C1；如图②，在该线段上任取一点，再分别以两条小线段为直径画两个圆，这两个圆的周长的和为C2，请指出C1和C2的数量关系，并说明理由；
（2）如图③，当a＝11时，以该线段为直径画一个大圆，再在大圆内画若干小圆，这些小圆的直径都和大圆的直径在同一条直线上，且小圆的直径的和等于大圆的直径，那么图中所有小圆的周长的和为 .（直接填写答案，结果保留π）
18．（2022七下·福州期末）如图，在四边形ABCD中，，点E在AD上，点F在BC上．
（1）尺规作图：用没有刻度的直尺和圆规，在四边形内部找一点M，使得点M到AD，AB的距离相等，且；
（2）在（1）的条件下，延长AM交BC于点N，且，连接EF，求证：E，M，F三点共线．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：如图，连接OC，CD和CE，
由作法可知，OD=OE，CD=CE，
在△COD和△COE中，
，
∴△COD≌△COE（SSS），
∴∠COD=∠COE，
即 OC就是∠AOB的角平分线.
故答案为：C.
【分析】先作图，然后根据作法得出有关线段相等，再利用SSS证明△COD≌△COE，得出∠COD=∠COE，即OC就是∠AOB的角平分线，则可作答.
2．【答案】D
【知识点】钟面角、方位角；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：如图由题意： ，
，
由作图可知， 平分 ，
在点 的北偏西 的方向上
∴点 在点 北偏东 方向上，
故答案为：D
其它几个选项错误的原因如下：
由方位角可知 .
所以点 在点 的南偏东 方向上，故A项不符合题意；
所以点 在点 北偏东 方向上，故B项不符合题意；
点 在点 北偏东 方向上，故C项不符合题意.
故答案为：D
【分析】根据点A在点O的北偏西30°的方向上及∠COD=90°，可求出∠AOC=120°，根据邻补角的定义求出∠AOG=180°-∠AOC=60°，利用角平分线的定义可得，从而求出，然后根据方位角的定义逐一判断即可.
3．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：A、由此作图知CA＝CP，不符合题意；
B、由此作图知BA＝BP，不符合题意；
C、由此作图知∠ABP＝∠CBP，不能得到PA＝PC，不符合题意；
D、由此作图知PA＝PC，符合题意.
故答案为：D.
【分析】A、由作图过程可知是以点C为圆心，AC长为半径作弧，交BC于点P，则CA=CP，据此可判断A；
B、由作图过程可知是以点B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点P，则AB=BP，据此可判断B；
C、由作图过程可知作的是∠ABC的角平分线，故∠ABP＝∠CBP，不能得到PA＝PC，据此判断C；
D、由作图过程可知，作的是AC的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AP=PC，据此判断D.
4．【答案】C
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【解答】解：∵需要在边AC上确定一点P，使点P到AB、BC的距离相等，
∴点P是∠ABC的平分线与AC的交点，
故答案为：C．
【分析】根据 在△ABC中，∠C＝90°，使点P到AB、BC的距离相等， 求解即可。
5．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：根据作图的意义，可得CD是线段AB的垂直平分线，
∴与的周长之差为4，就是2AC-2AE=4，
∴AC=5，
∴10-2AE=4，
解得AE=3，
故答案为：C.
【分析】利用作图可知CD是线段AB的垂直平分线，利用垂直平分线的性质可证得AC=BC，AE=BE，再利用△ABC和△ABE的周长的差为4，可得到2AC-2AE=4，代入计算求出AE的长.
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：如图所示，作AB的垂直平分线，
①作AC的垂直平分线交AB的垂直平分线于一点P，得到△ABC的外心P，为满足条件的一个点；
②以点C为圆心，以AC长为半径画圆，交AB的垂直平分线于两点，P2，P3为满足条件的点；
③分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，P4为满足条件的点；
④分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，得到P5、 P6为满足条件的点；
综上所述，满足条件的所有点P的个数有6个.
故答案为：C.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出AB和AC的垂直平分线，得到△ ABC的外心满足条件；再根据圆的半径相等，以点C为圆心，以AC长为半径画圆，与AB的垂直平分线相交于两点；分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，与AB的垂直平分线相交于一点；再分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，与⊙C相交于两点，即可解答.
7．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，∠B＝∠BCD，
∵∠B＝20°，
∴∠B＝∠BCD＝20°，
∴∠CDA＝20°+20°＝40°．
∵CD＝AD，
∴∠ACD＝∠CAD＝ ＝70°，
∴A符合题意，B不符合题意；
∵CD＝AD，BD＝CD，
∴CD＝AD＝BD，
∴点D为△ABC的外心，故C不符合题意；
∵∠ACD＝70°，∠BCD＝20°，
∴∠ACB＝70°+20°＝90°，故D不符合题意．
故答案为：A
【分析】由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，故BN＝CN，∠B＝∠C，故可得出∠CDA的度数，根据CD＝AD可知∠DCA＝∠CAD，故可得出∠CAD的度数，进而可得出结论
8．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：甲：如图1， ，
，
，
甲正确；
乙：如图2，延长AC交 于E，连接PE，PD，
，
，
，
，
，
即 ，
乙不正确；
丙：如图3，过P作 于G，作 于H，
平分 ，
，
是BC的垂直平分线，
，
≌ ，
，
，
，
，
，
丙正确；
故答案为：B。
【分析】甲的作法可知AB=BP，根据等边对等角得出 ，根据邻补角的定义得出 ，再等量代换即可得出，故甲正确；乙：延长AC交 于E，连接PE，PD，根据圆的内角四边形的对角互补得出，根据等边对等角得出，根据圆周角定理得出，从而即可得出结论 ，故乙不正确；丙：如图3，过P作 于G，作 于H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出，从而利用HL判断出 ≌ ， 根据全等三角形对应角相等得出，根据等式的性质得出，进而根据四边形的内角和及等量代换即可得出结论，故丙正确。
9．【答案】30
【知识点】三角形的面积；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
又∵DE⊥AB，∴DE=DC=4，
在Rt△ABC中，AC=12，BC=BD+CD=9，
∴
∴△ABD的面积= ×AB×DE= ×15×4=30，
故答案为：30．
【分析】作DE⊥AB于E，利用基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，根据角平分线的性质得到DE=DC=4， 再利用勾股定理计算出AB，再利用三角形面积公式，即可计算出△ABD的面积。
10．【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：∵在 △ABC中，∠C=30°，∠B=50°
∴∠CAB=100°
∵AD平分 ∠CAB
∴∠CAD=∠DAB=50°
在 △ACD中，∠C=30°，∠CAD=50°
∴∠ADC=100°
【分析】用三角形内角和为180°可得出∠CAB=100°，AD平分 ∠CAB，得出∠CAD=50° ，△ACD内角和为180°，得出∠ADC=100°
11．【答案】以P点为圆心，2cm为半径的圆
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：所求圆心的轨迹，就是到P点的距离等于2厘米的点的集合，
因此应该是一个以点P为圆心，2cm为半径的圆；
故答案为：以点P为圆心，2cm为半径的圆．
【分析】根据圆的定义求解即可。
12．【答案】“SSS”，全等三角形的对应角相等，两点确定一条直线
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作法得OD=OE，DC=EC，
而OC为公共边，
∴△OCD≌△OCE，
∴∠DOC=∠EOC，
即射线OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
故答案为“SSS”，全等三角形的对应角相等，两点确定一条直线．
【分析】根据全等三角形的判定方法和性质进行作答即可。
13．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：①作三边的垂直平分线必在三角形内交于一点，即三角形的外心，这点就是符合要求的P点；
②作BC的垂直平分线，以B点为圆心、AB长为半径画弧，与BC的垂直平分线有两个交点，其中一点是点A，另一点为符合要求的P点；以A点为圆心、AB长为半径画弧，与BC的垂直平分线有两个交点，其中一点为B，另一点是符合要求的P点，∴BC垂直平分线上符合要求的共有四点，除去外心，还要三个点；
③同理AB和AC的垂直平分线也有符合条件的三点；
综上符合条件的P点共有：3×3+1=10个.
故答案为：10.
【分析】三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，符合条件；每条边的垂直平分线和以每个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径画弧的交点也符合条件；因为等边三角形的三条边的情况是相同的，求出一边符合条件的个数，则总数可求.
14．【答案】解：如图所示：点P、P′即为所求．
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】连接MN，作出线段MN的垂直平分线，再分别作出∠AOB和∠AOa的角平分线，与线段MN的垂直平分线的交点即是点P。
15．【答案】解：作法：①作的平分线，
②过作，交于点，
③以为角的顶点作，
则点和就是所求作的点．
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据题意作图即可。
16．【答案】（1）解：∠MOC=∠NOC，理由如下：
如图：连接CA、CB，
由作图过程可知：OA=OB，AC=BC，OA=OA，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC，即∠MOC=∠NOC.
（2）解：相等，理由如下：
∵FQ⊥OM，FH⊥ON，
∴∠FQO=∠FHO，
∵∠FOQ=∠FOH，OF=OF，
∴△FOQ≌△FOH（AAS），
∴FQ=FH.
【知识点】三角形全等及其性质；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）按要求作图，根据作图过程，利用边边边定理可证△AOC≌△BOC，则对应边∠AOC=∠BOC，即∠MOC=∠NOC.
（2）利用角角边定理可证△△FOQ≌△FOH，则对应边FQ=FH.
17．【答案】（1）解：C1＝C2.
理由如下：设线段a分长的两段为a1、a2，则a1+a2＝a，
∵C1＝πa，C2＝πa1+πa2＝π（a1+a2）＝πa，
∴C1＝C2；
（2）11π
【知识点】圆的认识；圆的周长
【解析】【解答】解：（2）设小圆的直径分别为d1、d2、d3，…，dn，则d1+d2+d3+…+dn＝a＝11，
∵C1+C2+C3+…+Cn＝πd1+πd2+πd3+…+πdn＝π（d1+d2+d3+…+dn）＝11π.
故答案为：11π.
【分析】（1） 设线段a分长的两段为a1、a2，则a1+a2＝a， 根据圆的周长公式可得 C1＝πa，C2＝πa1+πa2＝πa， 从而得出C1＝C2；
（2）设小圆的直径分别为d1、d2、d3，…，dn，则d1+d2+d3+…+dn＝a＝11，根据圆的周长公式即可求解.
18．【答案】（1）解：如图，作∠ABC的角平分线，作∠DAB的角平分线，
则两线的交点M即为所求．
（2）解：∵ AD∥BC，
∴∠EAM=∠FNM，
根据（1），得∠AMB=∠NMB=90°， ∠ABM=∠NBM，BM=BM，
∴△ABM≌△NBM，
∴AM=NM，
∵AE=NF，
∴△AEM≌△NFM，
∴∠AME=∠NMF，
∵∠FMB+∠AMB+∠NMF=180°
∴∠FMB+∠AMB+∠AME=180°，
∴E、M、F三点共线．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）分别作出∠BAD、∠ABC的平分线，两线的交点就是符合题意的点M；
（2）易得∠EAM=∠FNM，根据（1）得∠AMB=∠NMB=90°， ∠ABM=∠NBM，利用ASA证明△ABM≌△NBM，得到AM=NM，进而利用SAS证明△AEM≌△NFM，得到∠AME=∠NMF，根据平角的概念可得∠FMB+∠AMB+∠NMF=180°，则∠FMB+∠AMB+∠AME=180°，据此证明.
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 19.6 轨迹 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2021八上·鄞州期中）已知∠AOB，在射线OA，OB上分别截取OD=OE，分别以点D，E为圆心，以大于 DE且同样长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C，作射线OC，OC就是∠AOB的角平分线.作图依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．SSS D．HL
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：如图，连接OC，CD和CE，
由作法可知，OD=OE，CD=CE，
在△COD和△COE中，
，
∴△COD≌△COE（SSS），
∴∠COD=∠COE，
即 OC就是∠AOB的角平分线.
故答案为：C.
【分析】先作图，然后根据作法得出有关线段相等，再利用SSS证明△COD≌△COE，得出∠COD=∠COE，即OC就是∠AOB的角平分线，则可作答.
2．（2021八上·太和月考）如图，点A在点O的北偏西30°的方向上，AB⊥OA，垂足为A．根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断，下列说法正确的是（ ）
A．点O在点A的南偏东60°方向上 B．点B在点A的北偏东30°方向上
C．点B在点O的北偏东60°方向上 D．点B在点O的北偏东30°方向上
【答案】D
【知识点】钟面角、方位角；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：如图由题意： ，
，
由作图可知， 平分 ，
在点 的北偏西 的方向上
∴点 在点 北偏东 方向上，
故答案为：D
其它几个选项错误的原因如下：
由方位角可知 .
所以点 在点 的南偏东 方向上，故A项不符合题意；
所以点 在点 北偏东 方向上，故B项不符合题意；
点 在点 北偏东 方向上，故C项不符合题意.
故答案为：D
【分析】根据点A在点O的北偏西30°的方向上及∠COD=90°，可求出∠AOC=120°，根据邻补角的定义求出∠AOG=180°-∠AOC=60°，利用角平分线的定义可得，从而求出，然后根据方位角的定义逐一判断即可.
3．（2022八上·宛城月考）下列选项中的尺规作图（各图中的点P都在△ABC的边上），能推出PA＝PC的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：A、由此作图知CA＝CP，不符合题意；
B、由此作图知BA＝BP，不符合题意；
C、由此作图知∠ABP＝∠CBP，不能得到PA＝PC，不符合题意；
D、由此作图知PA＝PC，符合题意.
故答案为：D.
【分析】A、由作图过程可知是以点C为圆心，AC长为半径作弧，交BC于点P，则CA=CP，据此可判断A；
B、由作图过程可知是以点B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点P，则AB=BP，据此可判断B；
C、由作图过程可知作的是∠ABC的角平分线，故∠ABP＝∠CBP，不能得到PA＝PC，据此判断C；
D、由作图过程可知，作的是AC的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AP=PC，据此判断D.
4．（2021八上·南关期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，使点P到AB、BC的距离相等，则符合要求的作图痕迹（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【解答】解：∵需要在边AC上确定一点P，使点P到AB、BC的距离相等，
∴点P是∠ABC的平分线与AC的交点，
故答案为：C．
【分析】根据 在△ABC中，∠C＝90°，使点P到AB、BC的距离相等， 求解即可。
5．（2022八上·温州期末）如图，已知线段AB，以点A，B为圆心，5为半径作弧相交于点C，D.连结CD，点E在CD上，连结CA，CB，EA，EB.若与的周长之差为4，则AE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：根据作图的意义，可得CD是线段AB的垂直平分线，
∴与的周长之差为4，就是2AC-2AE=4，
∴AC=5，
∴10-2AE=4，
解得AE=3，
故答案为：C.
【分析】利用作图可知CD是线段AB的垂直平分线，利用垂直平分线的性质可证得AC=BC，AE=BE，再利用△ABC和△ABE的周长的差为4，可得到2AC-2AE=4，代入计算求出AE的长.
6．（2021八上·柯桥月考）如图，在△ABC中，AC＝BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：如图所示，作AB的垂直平分线，
①作AC的垂直平分线交AB的垂直平分线于一点P，得到△ABC的外心P，为满足条件的一个点；
②以点C为圆心，以AC长为半径画圆，交AB的垂直平分线于两点，P2，P3为满足条件的点；
③分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，P4为满足条件的点；
④分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，得到P5、 P6为满足条件的点；
综上所述，满足条件的所有点P的个数有6个.
故答案为：C.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出AB和AC的垂直平分线，得到△ ABC的外心满足条件；再根据圆的半径相等，以点C为圆心，以AC长为半径画圆，与AB的垂直平分线相交于两点；分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，与AB的垂直平分线相交于一点；再分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，与⊙C相交于两点，即可解答.
7．（2019·安次模拟）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝20°，则下列结论中不正确是（ ）
A．∠CAD＝40° B．∠ACD＝70°
C．点D为△ABC的外心 D．∠ACB＝90°
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，∠B＝∠BCD，
∵∠B＝20°，
∴∠B＝∠BCD＝20°，
∴∠CDA＝20°+20°＝40°．
∵CD＝AD，
∴∠ACD＝∠CAD＝ ＝70°，
∴A符合题意，B不符合题意；
∵CD＝AD，BD＝CD，
∴CD＝AD＝BD，
∴点D为△ABC的外心，故C不符合题意；
∵∠ACD＝70°，∠BCD＝20°，
∴∠ACB＝70°+20°＝90°，故D不符合题意．
故答案为：A
【分析】由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，故BN＝CN，∠B＝∠C，故可得出∠CDA的度数，根据CD＝AD可知∠DCA＝∠CAD，故可得出∠CAD的度数，进而可得出结论
8．（2019八上·慈溪期末）如图，锐角 中， ，若想找一点P，使得 与 互补，甲、乙、丙三人作法分别如下：
甲：以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于P点，则P即为所求；
乙：分别以B，C为圆心，AB，AC长为半径画弧交于P点，则P即为所求；
丙：作BC的垂直平分线和 的平分线，两线交于P点，则P即为所求.
对于甲、乙、丙三人的作法，下列叙述正确的是（ ）
A．三人皆正确 B．甲、丙正确，乙错误
C．甲正确，乙、丙错误 D．甲错误，乙、丙正确
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：甲：如图1， ，
，
，
甲正确；
乙：如图2，延长AC交 于E，连接PE，PD，
，
，
，
，
，
即 ，
乙不正确；
丙：如图3，过P作 于G，作 于H，
平分 ，
，
是BC的垂直平分线，
，
≌ ，
，
，
，
，
，
丙正确；
故答案为：B。
【分析】甲的作法可知AB=BP，根据等边对等角得出 ，根据邻补角的定义得出 ，再等量代换即可得出，故甲正确；乙：延长AC交 于E，连接PE，PD，根据圆的内角四边形的对角互补得出，根据等边对等角得出，根据圆周角定理得出，从而即可得出结论 ，故乙不正确；丙：如图3，过P作 于G，作 于H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出，从而利用HL判断出 ≌ ， 根据全等三角形对应角相等得出，根据等式的性质得出，进而根据四边形的内角和及等量代换即可得出结论，故丙正确。
二、填空题
9．（2021七下·历城期末）如图△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交干点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，BD＝5，AC＝12，则△ABD的面积是 ；
【答案】30
【知识点】三角形的面积；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
又∵DE⊥AB，∴DE=DC=4，
在Rt△ABC中，AC=12，BC=BD+CD=9，
∴
∴△ABD的面积= ×AB×DE= ×15×4=30，
故答案为：30．
【分析】作DE⊥AB于E，利用基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，根据角平分线的性质得到DE=DC=4， 再利用勾股定理计算出AB，再利用三角形面积公式，即可计算出△ABD的面积。
10．（2021八上·抚顺期末）如图，在△ABC中，∠C=30°，∠B=50°，AD平分∠CAB，那么∠ADC的度数是
【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：∵在 △ABC中，∠C=30°，∠B=50°
∴∠CAB=100°
∵AD平分 ∠CAB
∴∠CAD=∠DAB=50°
在 △ACD中，∠C=30°，∠CAD=50°
∴∠ADC=100°
【分析】用三角形内角和为180°可得出∠CAB=100°，AD平分 ∠CAB，得出∠CAD=50° ，△ACD内角和为180°，得出∠ADC=100°
11．（2020八上·松江期末）经过定点P，且半径等于2cm的圆的圆心的轨迹 ．
【答案】以P点为圆心，2cm为半径的圆
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：所求圆心的轨迹，就是到P点的距离等于2厘米的点的集合，
因此应该是一个以点P为圆心，2cm为半径的圆；
故答案为：以点P为圆心，2cm为半径的圆．
【分析】根据圆的定义求解即可。
12．（2020八上·于都期末）下面是“求作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程．
已知：如图，钝角∠AOB．
求作：∠AOB的角平分线．
作法：
①在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE；
②分别以D、E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C；
③作射线OC．
所以射线OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
请回答：该尺规作图的依据是 ．
【答案】“SSS”，全等三角形的对应角相等，两点确定一条直线
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作法得OD=OE，DC=EC，
而OC为公共边，
∴△OCD≌△OCE，
∴∠DOC=∠EOC，
即射线OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
故答案为“SSS”，全等三角形的对应角相等，两点确定一条直线．
【分析】根据全等三角形的判定方法和性质进行作答即可。
13．（2019八上·天台月考）在等边△ABC所在平面内有点P，且使得△ABP，△ACP，△BCP均为等腰三角形，则符合条件的点P共有 个．
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：①作三边的垂直平分线必在三角形内交于一点，即三角形的外心，这点就是符合要求的P点；
②作BC的垂直平分线，以B点为圆心、AB长为半径画弧，与BC的垂直平分线有两个交点，其中一点是点A，另一点为符合要求的P点；以A点为圆心、AB长为半径画弧，与BC的垂直平分线有两个交点，其中一点为B，另一点是符合要求的P点，∴BC垂直平分线上符合要求的共有四点，除去外心，还要三个点；
③同理AB和AC的垂直平分线也有符合条件的三点；
综上符合条件的P点共有：3×3+1=10个.
故答案为：10.
【分析】三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，符合条件；每条边的垂直平分线和以每个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径画弧的交点也符合条件；因为等边三角形的三条边的情况是相同的，求出一边符合条件的个数，则总数可求.
三、解答题
14．（2021七上·泰安期中）尺规作图：如图，某地有两个工厂M、N和两条相交叉的公路a，b现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两个工厂的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．(保留作图痕迹)．
【答案】解：如图所示：点P、P′即为所求．
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】连接MN，作出线段MN的垂直平分线，再分别作出∠AOB和∠AOa的角平分线，与线段MN的垂直平分线的交点即是点P。
15．（2021七上·牟平期中）已知：四边形．
求作：点，使，且点到边和的距离相等．（写出作图的方法，不必写具体步骤，保留作图痕迹）
【答案】解：作法：①作的平分线，
②过作，交于点，
③以为角的顶点作，
则点和就是所求作的点．
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据题意作图即可。
四、作图题
16．（2020七下·陈仓期末）如图，已知 ，请按步骤用尺规作图并回答下列问题：
第一步：在 和 上分别截取 ， ，使 .
第二步：分别以 为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧在 内交于点E.
第三步：过点 作射线 .（保留作图痕迹）
（1） 与 的关系是什么？请说明理由.
（2）在 上任取一点 ，过点 分别作 于点 ， 于点 ， 与 相等吗？为什么？
【答案】（1）解：∠MOC=∠NOC，理由如下：
如图：连接CA、CB，
由作图过程可知：OA=OB，AC=BC，OA=OA，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC，即∠MOC=∠NOC.
（2）解：相等，理由如下：
∵FQ⊥OM，FH⊥ON，
∴∠FQO=∠FHO，
∵∠FOQ=∠FOH，OF=OF，
∴△FOQ≌△FOH（AAS），
∴FQ=FH.
【知识点】三角形全等及其性质；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）按要求作图，根据作图过程，利用边边边定理可证△AOC≌△BOC，则对应边∠AOC=∠BOC，即∠MOC=∠NOC.
（2）利用角角边定理可证△△FOQ≌△FOH，则对应边FQ=FH.
五、综合题
17．（2022七上·永城期末）有三条长度均为a的线段，分别按以下要求画圆.
（1）如图①，以该线段为直径画一个圆，记该圆的周长为C1；如图②，在该线段上任取一点，再分别以两条小线段为直径画两个圆，这两个圆的周长的和为C2，请指出C1和C2的数量关系，并说明理由；
（2）如图③，当a＝11时，以该线段为直径画一个大圆，再在大圆内画若干小圆，这些小圆的直径都和大圆的直径在同一条直线上，且小圆的直径的和等于大圆的直径，那么图中所有小圆的周长的和为 .（直接填写答案，结果保留π）
【答案】（1）解：C1＝C2.
理由如下：设线段a分长的两段为a1、a2，则a1+a2＝a，
∵C1＝πa，C2＝πa1+πa2＝π（a1+a2）＝πa，
∴C1＝C2；
（2）11π
【知识点】圆的认识；圆的周长
【解析】【解答】解：（2）设小圆的直径分别为d1、d2、d3，…，dn，则d1+d2+d3+…+dn＝a＝11，
∵C1+C2+C3+…+Cn＝πd1+πd2+πd3+…+πdn＝π（d1+d2+d3+…+dn）＝11π.
故答案为：11π.
【分析】（1） 设线段a分长的两段为a1、a2，则a1+a2＝a， 根据圆的周长公式可得 C1＝πa，C2＝πa1+πa2＝πa， 从而得出C1＝C2；
（2）设小圆的直径分别为d1、d2、d3，…，dn，则d1+d2+d3+…+dn＝a＝11，根据圆的周长公式即可求解.
18．（2022七下·福州期末）如图，在四边形ABCD中，，点E在AD上，点F在BC上．
（1）尺规作图：用没有刻度的直尺和圆规，在四边形内部找一点M，使得点M到AD，AB的距离相等，且；
（2）在（1）的条件下，延长AM交BC于点N，且，连接EF，求证：E，M，F三点共线．
【答案】（1）解：如图，作∠ABC的角平分线，作∠DAB的角平分线，
则两线的交点M即为所求．
（2）解：∵ AD∥BC，
∴∠EAM=∠FNM，
根据（1），得∠AMB=∠NMB=90°， ∠ABM=∠NBM，BM=BM，
∴△ABM≌△NBM，
∴AM=NM，
∵AE=NF，
∴△AEM≌△NFM，
∴∠AME=∠NMF，
∵∠FMB+∠AMB+∠NMF=180°
∴∠FMB+∠AMB+∠AME=180°，
∴E、M、F三点共线．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）分别作出∠BAD、∠ABC的平分线，两线的交点就是符合题意的点M；
（2）易得∠EAM=∠FNM，根据（1）得∠AMB=∠NMB=90°， ∠ABM=∠NBM，利用ASA证明△ABM≌△NBM，得到AM=NM，进而利用SAS证明△AEM≌△NFM，得到∠AME=∠NMF，根据平角的概念可得∠FMB+∠AMB+∠NMF=180°，则∠FMB+∠AMB+∠AME=180°，据此证明.
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