2023-2024学年初中数学八年级上册 19.7 直角三角形全等的判定 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八上·杭州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等； ②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF.其中正确的有（ ）
A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵平分，
∴上任意一点到、的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等），故①正确.
∵，平分，
∴，且，故②正确.
∵，，
∴，
在和中，
∴≌（HL），
∴故③正确，，
∴，即，故④正确，
故答案为：D.
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可判断①；由等腰三角形的性质可得AD⊥
BC，BD=CD，据此判断②；利用HL证明△BDE≌△CDF，然后根据全等三角形的性质可判断③；根据全等三角形的性质可得BE=CF，结合线段的和差关系可判断④.
2．（2022八上·临县期末）如图，是等边三角形，，于点，于点，，则四个结论：①点在的平分线上；②；③；④≌，正确的结论是（ ）．
A．①②③④ B．①② C．只有②③ D．只有①③
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等边三角形的性质
【解析】【解答】∵，，且，
∴点在的平分线上，①符合题意；
，
∴，②符合题意；
∵，
∴，
∴，③符合题意；
由③可知，为等边三角形，
∴≌，
由②可知，≌，
∴④符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用等边三角形的性质，全等三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
3．（2022八上·京山期中）用三角尺可按下面方法画角的平分线.如图，在两边上，分别取，再分别过点M，N作，的垂线，交点为P，画射线，可得.则判定三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：在和中，
，
∴（），
故答案为：D.
【分析】根据题干提供的信息可知Rt△OPM与Rt△OPN中，有一条直角边对应相等，且斜边是公共边，故利用HL可以判断Rt△OPM与Rt△OPN全等.
4．（2022八上·滨海期中）如图所示，，下列结论：
其中下列结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：在与中，
，
，
即．
故①符合题意；
又，
，
故②符合题意；
由知：，
又，
∴；
故④符合题意．
由于条件不足，无法证得③；
故正确的结论有：①②④；
故答案为：C．
【分析】根据HL证明Rt△AEB≌Rt△AFC，可得从而推出，再根据ASA证明，可得EM=FN，据此判断①②正确；由知，根据ASA证明，据此判断④正确；由于条件不足，无法证得，据此判断③.
5．（2021八上·西峰期末）如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，过E作EF⊥AD于F，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确，
综上：①②④正确，
故答案为：A
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得BE=EF，AE=AE，利用HL证明Rt△AEF≌Rt△AEB，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；由线段中点的定义可证得EC＝EF＝BE，可对③作出判断；利用HL证明Rt△EFD≌Rt△ECD，利用全等三角形的性质可得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，可对②作出判断；同时可推出AD＝AB＋DC，可对④作出判断；然后求出∠AED的度数，可对①作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
6．（2021八上·江津期中）如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD.其中正确的结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD平分 ，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，故①正确；
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；
∵AD平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∠BDC＝∠BAC，
∴ ，
∴∠DAF＝∠CBD，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④；
故答案为：D.
【分析】由角平分线的性质可得DE=DF，根据HL证明，可得CE=AF， ，根据HL证明，可得，从而得出，据此判断①②；在△AOB和△DOC中，，∠AOB=∠DOC，可得∠BDC＝∠BAC，据此判断③；利用三角形的内角和可求∠DAF+∠DAE=∠DBC+∠DCB
，从而得出∠DAF＝∠CBD，据此判断④.
7．（2021八上·宁波期中）如图，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF＝DE，则∠DFB的度数为（ ）
A．20° B．140° C．40°或140° D．20°或140°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：过点D作 ，
如图，DF=DF′=DE；
∵BD平分∠ABC，
，
，
△BDE≌△BDF，
∴∠DFB=∠DEB；
∵DE∥AB，∠ABC=40°，
∴∠DEB=180° 40°=140°；
∴∠DFB=140°；
当点F位于点F′处时，
∵DF=DF′，
∴∠DF′B=∠DFF′=40°.
故答案为：C.
【分析】过点D作DH⊥BC，DG⊥AB，由角平分线的性质可得DG=DH，证明△FDG≌△EDH，△BDG≌△BDH，得到GF=EH，BG=BH，进而推出BF=BE，证明△BDE≌△BDF，得到∠DFB=∠DEB，由平行线的性质可得∠DEB=140°，则∠DFB=140°；当点F位于点F′处时，DF=DF′，由等腰三角形的性质可得∠DF′B的度数.
8．（2021八上·南通月考）如图， 的外角 ， 的平分线 ， 相交于点P， 于E， 于F，下列结论：（1） ；（2）点P在 的平分线上；（3） ；（4）若 ，则 ，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PG⊥AB，连接 ，如图：
∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA， ， ，PG⊥AB，
∴ ；故（1）正确；
∴点 在 的平分线上；故（2）正确；
，
，
，
，
，
，
又 ，
∴ ；故（3）错误；
， ，
，
，
，
，
∴正确的选项有3个；
故答案为：C.
【分析】过点P作PG⊥AB，连接OP，由角平分线的性质得到PE= PG=PF，则可判断(1) (2)；由HL证明△PAE≌△PAG，△GPB≌△FPB，得出∠EPA=∠GPA，∠GPB=∠FPB，进而推出∠APB=∠EPF，∠EPF+∠AOB= 180°，则可得到∠APB=90°-∠AOB，可对(3)作判断；根据C△OAB=OA+ OB+ AB=OE+OF=17和OE=OF，求出OE可对(4)作判断 ，即可作答.
二、填空题
9．（2022八上·宝应期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是 ．
【答案】BC=EF（答案不唯一）
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：已知∠A=∠D=90°，AB=DE，当添加添加条件BC=EF时，Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
故答案为：BC=EF.
本题答案不唯一.
【分析】条件中已知直角相等和一条直角边相等，只需补充条件使得斜边相等即可.
10．（2023八上·凤凰期末）如图，若要用“HL”证明≌，则需要添加的一个条件是 .
【答案】或
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：添加AC=AD或BC=BD；
理由如下：∵∠C=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△ABD中，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：AC=AD或BC=BD.
【分析】由图形可得斜边为公共边，然后根据HL可知只需添加一组直角边对应相等即可.
11．（2021八上·武昌期中）如图，在 ABC中，AH是高，AE BC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若 ，BH＝1，则BC＝ .
【答案】2.5
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，
∵EF⊥AB，AH⊥BC，
∴∠EFA＝∠AHB＝∠AHC＝90°，
∵AE BC，
∴∠EAF＝∠B，
在 与 中，
∴ ，
∴ ， ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
又∵BH＝1，
∴CH＝1.5，
∴BC＝BH＋CH＝2.5.
故答案为：2.5.
【分析】过E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，由垂直的概念得∠EFA＝∠AHB＝∠AHC＝90°，由平行线的性质得∠EAF＝∠B，证△ABH≌△EAF，△ACH≌△EDF，得AH=EF，S△ABH=S△EAF，S△ACH=S△EDF=S△EAF+S△ADE，则S△ABH=2S△ADE，S△ACH=3S△ADE，结合三角形的面积公式可得，由BH的值可得CH，然后根据BC＝BH＋CH进行计算.
12．（2021八上·彭州开学考）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝73°，若点P是等腰△ABC的腰上的一点，则当△EDP为以DE为腰的等腰三角形时，∠EDP的度数是 .
【答案】34°或53.5°或100°或134°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∠AED＝73°，
∴∠EDB＝23°，
∵当△DEP是以DE为腰的等腰三角形，
①当点P在AB上，
∵DE＝DP1，
∴∠DP1E＝∠AED＝73°，
∴∠EDP1＝180°﹣73°﹣73°＝34°，
②当点P在AC上，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∴DG＝DH，
在Rt△DEG与Rt△DP2H中， ，
∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），
∴∠AP2D＝∠AED＝73°，
∵∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠EDP2＝134°，
③当点P在AC上，
同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），
∴∠EDG＝∠P3DH，
∴∠EDP3＝∠GDH＝180°﹣80°＝100°，
④当点P在AB上，EP＝ED时，∠EDP＝ （180°﹣73°）＝53.5°.
故答案为：34°或53.5°或100°或134°.
【分析】由三角形外角的性质可得∠EDB＝23°，①当点P在AB上时，由等腰三角形的性质可得∠DP1E＝∠AED＝73°，然后利用三角形内角和定理进行求解；②当点P在AC上时，易得∠BAD＝∠CAD，过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，证明Rt△DEG≌Rt△DP2H，得到∠AP2D＝∠AED＝73°，据此求解；③当点P在AC上时，同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH，得到∠EDG＝∠P3DH，据此求解；④当点P在AB上时，EP＝ED，根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质进行求解.
13．（2021八上·咸安期末）如图，在 中， 和 的平分线相交于点O，过点O作 交 于E，交 于F，过点O作 于D，有下列结论：① ；②点O到 各边的距离相等；③ ；④ .其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上）.
【答案】①②③④
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90° ∠A，
∴∠BOC=180° （∠OBC+∠OCB）=90°+ ∠A；故③正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确.
在Rt△AMO与Rt△ADO中，
∵OM=OD，AO=AO，
∴Rt△AMO≌Rt△ADO
∴AM=AD，
同理BM=BN，CD=CN，
∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，
∴AD= （AB+AC BC）故④正确，
故答案为：①②③④.
【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③ 正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；根据HL可以证出△AMO与△ADO全等，根据全等三角形的对应边相等得出AM=AD，同理BM=BN，CD=CN，最后算 （AB+AC BC）即可得出判断出④.
三、解答题
14．（2022八上·中山期末）如图，，点E、F在线段上，，．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】先证明BF=CE，再利用“HL”证明，可得。
15．（2021八上·西湖期中）已知：如图， 为 的角平分线，且 ， 为 延长线上的一点， ，过 作 ， 为垂足.求证：
① ；
② ；
③ .
【答案】证明：① 为 的角平分线，
，
在 与 中，
，
；
② ，
，
， ，
，
， ，
和 为等腰三角形，
，
，
，
；
③如图，过点 作 交 的延长线于点 ，
平分 ， ， ，
，
在 与 中，
，
，
，
在 与 中，
，
，
，
.
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由角平分线的概念可得∠ABD=∠EBC，然后结合全等三角形的判定定理SAS进行证明；
（2） 由全等三角形的性质可得∠BCE=∠BDA，根据角的和差关系以及外角的性质可得∠BCD+∠DCE=∠DAE+∠BEA，易知△BCD、△BEA为等腰三角形，由角平分线的概念可得∠ABD=∠EBC，推出∠DCE=∠DAE，据此可得结论；
（3）过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G，由角平分线的性质可得EF=EG，证明△BFE≌△BGE，得到BF=BG，进而证明△AFE≌△CGE，得到FA=CG，据此证明.
四、综合题
16．（2022八上·南昌期中）如图，在中，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．
（1）求证：；
（2）当t取何值时，与全等．
【答案】（1）证明：∵
∴
在和中，
∴；
∴；
（2）解：若与全等，且，
∴，
∵，
∴，
①当时，点G在线段上，点E在线段上，
∴
∴，
∴（不合题意，舍去）；
②当时，点G在线段上，点E在线段上，
，
∴，
∴，
综上所述，当 时，与全等．
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）利用“HL”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（2）分两种情况： ①当时，点G在线段上，点E在线段上，②当时，点G在线段上，点E在线段上，再分别求解即可。
17．（2023八上·吴忠期末）如图，在△ABC中，AB＝AC， 点M在△ABC内，点P在线段MC上，∠ABP＝2∠ACM.
（1）若∠PBC＝10°，∠BAC＝80°，求∠MPB的值
（2）若点M在底边BC的中线上，且BP＝AC，试探究∠A与∠ABP之间的数量关系，并证明.
【答案】（1）解：∵ AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠BAC=80°，
∴∠ABC=∠ACB=50°.
∵∠PBC=10°，
∴∠ABP=40°.
∵∠ABP=2∠ACM，
∴∠ACM=20°.
∴∠BCM=30°.
∴∠MPB=∠PBC＋∠BCM= 40°；
（2）解：∠BAC＋∠ABP=120°.
证明：过点A作底边BC的中线AD，
∵AB=AC，
∴AD是∠BAC的平分线.
∵点M在底边BC的中线上，
∴点M在∠BAC的平分线AD上.
即AM平分∠BAC.
∴∠CAM=∠BAM.
∴连接BM，又AM是公共边
△ABM≌△ACM.
∴∠ACM=∠ABM.
∠ABP=2∠ACM，
∴∠ABP=2∠ABM.
∴∠ABM=∠PBM.
∵BP=AC，
∴BP=AB.
∴△ABM≌△PBM.
∴∠AMB=∠PMB.
又∵△ABM≌△ACM，
∴∠AMB=∠AMC.
∴∠AMB=∠AMC=∠PMB.
∴∠AMB=120°.
∴∠BAM＋∠ABM=60°.
∵∠BAC=2∠BAM，
∠ABP=2∠ABM，
∴∠BAC＋∠ABP=120°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝50°，又∠PBC＝10°，∠ABP＝2∠ACM，可求∠BCM＝30°，由三角形的外角性质即可求解；
（2）过点A作BC边上的中线AD，根据等腰三角形三线合一的性质，可得∠CAM＝∠BAM，从而可证△ABM≌△ACM，进而证明△ABM≌△PBM，可证出∠AMB＝120°，进而得结论．
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 19.7 直角三角形全等的判定 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八上·杭州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等； ②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF.其中正确的有（ ）
A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④
2．（2022八上·临县期末）如图，是等边三角形，，于点，于点，，则四个结论：①点在的平分线上；②；③；④≌，正确的结论是（ ）．
A．①②③④ B．①② C．只有②③ D．只有①③
3．（2022八上·京山期中）用三角尺可按下面方法画角的平分线.如图，在两边上，分别取，再分别过点M，N作，的垂线，交点为P，画射线，可得.则判定三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022八上·滨海期中）如图所示，，下列结论：
其中下列结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2021八上·西峰期末）如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
6．（2021八上·江津期中）如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD.其中正确的结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2021八上·宁波期中）如图，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF＝DE，则∠DFB的度数为（ ）
A．20° B．140° C．40°或140° D．20°或140°
8．（2021八上·南通月考）如图， 的外角 ， 的平分线 ， 相交于点P， 于E， 于F，下列结论：（1） ；（2）点P在 的平分线上；（3） ；（4）若 ，则 ，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2022八上·宝应期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是 ．
10．（2023八上·凤凰期末）如图，若要用“HL”证明≌，则需要添加的一个条件是 .
11．（2021八上·武昌期中）如图，在 ABC中，AH是高，AE BC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若 ，BH＝1，则BC＝ .
12．（2021八上·彭州开学考）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝73°，若点P是等腰△ABC的腰上的一点，则当△EDP为以DE为腰的等腰三角形时，∠EDP的度数是 .
13．（2021八上·咸安期末）如图，在 中， 和 的平分线相交于点O，过点O作 交 于E，交 于F，过点O作 于D，有下列结论：① ；②点O到 各边的距离相等；③ ；④ .其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上）.
三、解答题
14．（2022八上·中山期末）如图，，点E、F在线段上，，．求证：．
15．（2021八上·西湖期中）已知：如图， 为 的角平分线，且 ， 为 延长线上的一点， ，过 作 ， 为垂足.求证：
① ；
② ；
③ .
四、综合题
16．（2022八上·南昌期中）如图，在中，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．
（1）求证：；
（2）当t取何值时，与全等．
17．（2023八上·吴忠期末）如图，在△ABC中，AB＝AC， 点M在△ABC内，点P在线段MC上，∠ABP＝2∠ACM.
（1）若∠PBC＝10°，∠BAC＝80°，求∠MPB的值
（2）若点M在底边BC的中线上，且BP＝AC，试探究∠A与∠ABP之间的数量关系，并证明.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵平分，
∴上任意一点到、的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等），故①正确.
∵，平分，
∴，且，故②正确.
∵，，
∴，
在和中，
∴≌（HL），
∴故③正确，，
∴，即，故④正确，
故答案为：D.
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可判断①；由等腰三角形的性质可得AD⊥
BC，BD=CD，据此判断②；利用HL证明△BDE≌△CDF，然后根据全等三角形的性质可判断③；根据全等三角形的性质可得BE=CF，结合线段的和差关系可判断④.
2．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等边三角形的性质
【解析】【解答】∵，，且，
∴点在的平分线上，①符合题意；
，
∴，②符合题意；
∵，
∴，
∴，③符合题意；
由③可知，为等边三角形，
∴≌，
由②可知，≌，
∴④符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用等边三角形的性质，全等三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
3．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：在和中，
，
∴（），
故答案为：D.
【分析】根据题干提供的信息可知Rt△OPM与Rt△OPN中，有一条直角边对应相等，且斜边是公共边，故利用HL可以判断Rt△OPM与Rt△OPN全等.
4．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：在与中，
，
，
即．
故①符合题意；
又，
，
故②符合题意；
由知：，
又，
∴；
故④符合题意．
由于条件不足，无法证得③；
故正确的结论有：①②④；
故答案为：C．
【分析】根据HL证明Rt△AEB≌Rt△AFC，可得从而推出，再根据ASA证明，可得EM=FN，据此判断①②正确；由知，根据ASA证明，据此判断④正确；由于条件不足，无法证得，据此判断③.
5．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，过E作EF⊥AD于F，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确，
综上：①②④正确，
故答案为：A
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得BE=EF，AE=AE，利用HL证明Rt△AEF≌Rt△AEB，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；由线段中点的定义可证得EC＝EF＝BE，可对③作出判断；利用HL证明Rt△EFD≌Rt△ECD，利用全等三角形的性质可得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，可对②作出判断；同时可推出AD＝AB＋DC，可对④作出判断；然后求出∠AED的度数，可对①作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
6．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD平分 ，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，故①正确；
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；
∵AD平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∠BDC＝∠BAC，
∴ ，
∴∠DAF＝∠CBD，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④；
故答案为：D.
【分析】由角平分线的性质可得DE=DF，根据HL证明，可得CE=AF， ，根据HL证明，可得，从而得出，据此判断①②；在△AOB和△DOC中，，∠AOB=∠DOC，可得∠BDC＝∠BAC，据此判断③；利用三角形的内角和可求∠DAF+∠DAE=∠DBC+∠DCB
，从而得出∠DAF＝∠CBD，据此判断④.
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：过点D作 ，
如图，DF=DF′=DE；
∵BD平分∠ABC，
，
，
△BDE≌△BDF，
∴∠DFB=∠DEB；
∵DE∥AB，∠ABC=40°，
∴∠DEB=180° 40°=140°；
∴∠DFB=140°；
当点F位于点F′处时，
∵DF=DF′，
∴∠DF′B=∠DFF′=40°.
故答案为：C.
【分析】过点D作DH⊥BC，DG⊥AB，由角平分线的性质可得DG=DH，证明△FDG≌△EDH，△BDG≌△BDH，得到GF=EH，BG=BH，进而推出BF=BE，证明△BDE≌△BDF，得到∠DFB=∠DEB，由平行线的性质可得∠DEB=140°，则∠DFB=140°；当点F位于点F′处时，DF=DF′，由等腰三角形的性质可得∠DF′B的度数.
8．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PG⊥AB，连接 ，如图：
∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA， ， ，PG⊥AB，
∴ ；故（1）正确；
∴点 在 的平分线上；故（2）正确；
，
，
，
，
，
，
又 ，
∴ ；故（3）错误；
， ，
，
，
，
，
∴正确的选项有3个；
故答案为：C.
【分析】过点P作PG⊥AB，连接OP，由角平分线的性质得到PE= PG=PF，则可判断(1) (2)；由HL证明△PAE≌△PAG，△GPB≌△FPB，得出∠EPA=∠GPA，∠GPB=∠FPB，进而推出∠APB=∠EPF，∠EPF+∠AOB= 180°，则可得到∠APB=90°-∠AOB，可对(3)作判断；根据C△OAB=OA+ OB+ AB=OE+OF=17和OE=OF，求出OE可对(4)作判断 ，即可作答.
9．【答案】BC=EF（答案不唯一）
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：已知∠A=∠D=90°，AB=DE，当添加添加条件BC=EF时，Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
故答案为：BC=EF.
本题答案不唯一.
【分析】条件中已知直角相等和一条直角边相等，只需补充条件使得斜边相等即可.
10．【答案】或
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：添加AC=AD或BC=BD；
理由如下：∵∠C=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△ABD中，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：AC=AD或BC=BD.
【分析】由图形可得斜边为公共边，然后根据HL可知只需添加一组直角边对应相等即可.
11．【答案】2.5
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，
∵EF⊥AB，AH⊥BC，
∴∠EFA＝∠AHB＝∠AHC＝90°，
∵AE BC，
∴∠EAF＝∠B，
在 与 中，
∴ ，
∴ ， ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
又∵BH＝1，
∴CH＝1.5，
∴BC＝BH＋CH＝2.5.
故答案为：2.5.
【分析】过E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，由垂直的概念得∠EFA＝∠AHB＝∠AHC＝90°，由平行线的性质得∠EAF＝∠B，证△ABH≌△EAF，△ACH≌△EDF，得AH=EF，S△ABH=S△EAF，S△ACH=S△EDF=S△EAF+S△ADE，则S△ABH=2S△ADE，S△ACH=3S△ADE，结合三角形的面积公式可得，由BH的值可得CH，然后根据BC＝BH＋CH进行计算.
12．【答案】34°或53.5°或100°或134°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∠AED＝73°，
∴∠EDB＝23°，
∵当△DEP是以DE为腰的等腰三角形，
①当点P在AB上，
∵DE＝DP1，
∴∠DP1E＝∠AED＝73°，
∴∠EDP1＝180°﹣73°﹣73°＝34°，
②当点P在AC上，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∴DG＝DH，
在Rt△DEG与Rt△DP2H中， ，
∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），
∴∠AP2D＝∠AED＝73°，
∵∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠EDP2＝134°，
③当点P在AC上，
同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），
∴∠EDG＝∠P3DH，
∴∠EDP3＝∠GDH＝180°﹣80°＝100°，
④当点P在AB上，EP＝ED时，∠EDP＝ （180°﹣73°）＝53.5°.
故答案为：34°或53.5°或100°或134°.
【分析】由三角形外角的性质可得∠EDB＝23°，①当点P在AB上时，由等腰三角形的性质可得∠DP1E＝∠AED＝73°，然后利用三角形内角和定理进行求解；②当点P在AC上时，易得∠BAD＝∠CAD，过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，证明Rt△DEG≌Rt△DP2H，得到∠AP2D＝∠AED＝73°，据此求解；③当点P在AC上时，同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH，得到∠EDG＝∠P3DH，据此求解；④当点P在AB上时，EP＝ED，根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质进行求解.
13．【答案】①②③④
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90° ∠A，
∴∠BOC=180° （∠OBC+∠OCB）=90°+ ∠A；故③正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确.
在Rt△AMO与Rt△ADO中，
∵OM=OD，AO=AO，
∴Rt△AMO≌Rt△ADO
∴AM=AD，
同理BM=BN，CD=CN，
∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，
∴AD= （AB+AC BC）故④正确，
故答案为：①②③④.
【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③ 正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；根据HL可以证出△AMO与△ADO全等，根据全等三角形的对应边相等得出AM=AD，同理BM=BN，CD=CN，最后算 （AB+AC BC）即可得出判断出④.
14．【答案】证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】先证明BF=CE，再利用“HL”证明，可得。
15．【答案】证明：① 为 的角平分线，
，
在 与 中，
，
；
② ，
，
， ，
，
， ，
和 为等腰三角形，
，
，
，
；
③如图，过点 作 交 的延长线于点 ，
平分 ， ， ，
，
在 与 中，
，
，
，
在 与 中，
，
，
，
.
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由角平分线的概念可得∠ABD=∠EBC，然后结合全等三角形的判定定理SAS进行证明；
（2） 由全等三角形的性质可得∠BCE=∠BDA，根据角的和差关系以及外角的性质可得∠BCD+∠DCE=∠DAE+∠BEA，易知△BCD、△BEA为等腰三角形，由角平分线的概念可得∠ABD=∠EBC，推出∠DCE=∠DAE，据此可得结论；
（3）过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G，由角平分线的性质可得EF=EG，证明△BFE≌△BGE，得到BF=BG，进而证明△AFE≌△CGE，得到FA=CG，据此证明.
16．【答案】（1）证明：∵
∴
在和中，
∴；
∴；
（2）解：若与全等，且，
∴，
∵，
∴，
①当时，点G在线段上，点E在线段上，
∴
∴，
∴（不合题意，舍去）；
②当时，点G在线段上，点E在线段上，
，
∴，
∴，
综上所述，当 时，与全等．
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）利用“HL”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（2）分两种情况： ①当时，点G在线段上，点E在线段上，②当时，点G在线段上，点E在线段上，再分别求解即可。
17．【答案】（1）解：∵ AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠BAC=80°，
∴∠ABC=∠ACB=50°.
∵∠PBC=10°，
∴∠ABP=40°.
∵∠ABP=2∠ACM，
∴∠ACM=20°.
∴∠BCM=30°.
∴∠MPB=∠PBC＋∠BCM= 40°；
（2）解：∠BAC＋∠ABP=120°.
证明：过点A作底边BC的中线AD，
∵AB=AC，
∴AD是∠BAC的平分线.
∵点M在底边BC的中线上，
∴点M在∠BAC的平分线AD上.
即AM平分∠BAC.
∴∠CAM=∠BAM.
∴连接BM，又AM是公共边
△ABM≌△ACM.
∴∠ACM=∠ABM.
∠ABP=2∠ACM，
∴∠ABP=2∠ABM.
∴∠ABM=∠PBM.
∵BP=AC，
∴BP=AB.
∴△ABM≌△PBM.
∴∠AMB=∠PMB.
又∵△ABM≌△ACM，
∴∠AMB=∠AMC.
∴∠AMB=∠AMC=∠PMB.
∴∠AMB=120°.
∴∠BAM＋∠ABM=60°.
∵∠BAC=2∠BAM，
∠ABP=2∠ABM，
∴∠BAC＋∠ABP=120°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝50°，又∠PBC＝10°，∠ABP＝2∠ACM，可求∠BCM＝30°，由三角形的外角性质即可求解；
（2）过点A作BC边上的中线AD，根据等腰三角形三线合一的性质，可得∠CAM＝∠BAM，从而可证△ABM≌△ACM，进而证明△ABM≌△PBM，可证出∠AMB＝120°，进而得结论．
1 / 1
