2023-2024学年初中数学八年级上册 19.8 直角三角形全等的性质 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2022八上·长兴月考）直角三角形的斜边上的中线长为4，则它的斜边长为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
2．（2023八上·杭州期末）如图， 在中，，，与相交于点，于.则下列数量关系正确的为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八上·南充期末）如图，在中，，，D为BC上一点，，则BC的长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
4．（2023八上·嘉兴期末）如图，在中，，，点在上，，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．（2023八上·义乌期末）如图，在等腰三角形中，，，是底边上的高，在的延长线上有一个动点D，连接，作，交的延长线于点E，的角平分线交边于点F，则在点D运动的过程中，线段的最小值（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
6．（2022八上·汾阳期末）如图，在四边形中，，平分，，，，分别是，上的动点，当取得最小值时，的长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
7．（2022八上·汾阳期末）如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形，若，是的中点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2022八上·宝应期中）已知直角三角形斜边上的中线是2.5cm，斜边上的高是2cm，则这个直角三角形的面积是 cm2．
9．（2023七下·泰山期末）如图，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：
a.分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF；
b.以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点O，画射线AO，交直线EF于点M．已知线段AB＝6，∠BAC＝60°，则点M到射线AC的距离为 ．
10．（2023七下·张店期末）三角板是我们数学课必备工具之一，小明同学某天上数学拓展课的时候，转动其中一个三角板发现了一个很奇妙的结论：如图，小明将含60°角的三角板绕点顺时针转动到的位置（在三角板所在的平面内转动，其中，），当时，延长线段和线段相交于点，发现的长始终保持不变．若，则的长为 ．
11．（2023八上·杭州期末）如图，等边中，，O为垂足且，E是线段上的一个动点，连接，线段与线段关于直线对称，连接，在点E运动的过程中，当的长取得最小值时，的长为 .
12．（2023八上·武义期末）如图，延长至C，连接.
（1）若，则 ；
（2）若，则 .
三、解答题
13．（2023八上·韩城期末）如图，在中，，，于点D，于点E，，求的长.
14．（2023八上·平桂期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，CE＝6，直线ED是线段AC的垂直平分线，∠BAC＝120°，求线段BE的长.
四、综合题
15．（2022八上·宝应期中）如图，是等边三角形，D、E分别是边、上的点，且，且、交于点G，且，垂足为F．
（1）求证：；
（2）若，求DG的长度．
16．（2023八上·南宁期末）如图，在等边中，厘米，厘米.如果点M以3厘米/秒的速度运动.
（1）如果点M在线段上由点C向点B运动，点N在线段上由B点向A点运动.它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等.经过2秒后，和是否全等？请说明理由.
（2）在（1）的条件下，当两点的运动时间为多少时，是一个直角三角形？
（3）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿三边运动，经过25秒点M与点N第一次相遇，请直接写出点N的运动速度是多少厘米/秒？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵直角三角形中，斜边上的中线长是4，
∴该直角三角形的斜边长为4×2=8.
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出即可．
2．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：，
是等边三角形，
.
，，
.
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】由题意可得△ABC是等边三角形，则∠BAC=∠C=60°，利用SAS证明△ADC≌△BEA，得到∠DAC=∠EBA，由外角的性质可得∠PBQ=30°，则PQ=PB，设PQ=a，则BP=2a，BQ=a，据此求解.
3．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°-30°-30°=120°，
∵CD=AD，
∴∠C=∠CAD=30°，
∴∠DAB=∠CAB-∠CAD=90°，
∴BD=2AD=8，
∴BC=BD+CD=12.
故答案为：B.
【分析】根据等边对等角得∠B=∠C=30°，∠C=∠CAD=30°，由三角形内角和定理得∠BAC=180°-30°-30°=120°，由角的和差得∠DAB=∠CAB-∠CAD=90°，由含30°角直角三角形的性质得BD=2AD=8，最后根据BC=BD+CD即可算出答案.
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠A=∠C=30°，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD=90°，
∴BD=2AD=2×2=4，
∵∠BAC=180°-∠B-∠C，=180°-30°-30°=120°，
∴∠DAC-∠BAC-∠BAD=120°-90°=30°，
∴∠DAC=∠C，
∴AD=DC=2，
∴BC=BD+DC=4+2=6.
故答案为：C
【分析】利用等边对等角可求出∠B的度数，利用垂直的定义可得到∠BAD=90°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BD的长，再证明AD=CD，可得到CD的长，然后根据BC=BD+DC，代入计算求出BC的长.
5．【答案】D
【知识点】垂线段最短；三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：作于M，作于N，
， ，
平分，即平分，
，，
，
，，
，
，
，
)，
，
平分，
，
连接，
，
，
，
当时有最小值，即有最小值，
此时，，，
，
故答案为：D.
【分析】作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，根据等腰三角形的性质可得AG平分∠BAC，根据角平分线的性质可得DM=DN，利用ASA证明△MDE≌△NDC，得到DE=DC，根据角平分线的概念可得∠EDF=∠CDF，连接CF，利用SAS证明△EDF≌△CDF，得到EF=CF，故当CF⊥AB时CF有最小值，为EF的值，然后根据含30°角的直角三角形的性质进行解答.
6．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：作点Q关于的对称点，
，
，
当C、P、三点共线，且时，有最小值，
此时，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】作点Q关于的对称点，当C、P、三点共线，且时，有最小值，利用“HL”证明，可得，再结合，可得。
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：是等腰三角形，是的中点，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质可得。
8．【答案】5
【知识点】三角形的面积；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ 直角三角形斜边上的中线是2.5cm ，
∴该直角三角形斜边的长为5cm，
又∵该直角三角形斜边上的高是2cm，
∴该直角三角形的面积为： ×5×2=5cm2.
故答案为：5.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得该直角三角形斜边的长为5cm，进而根据三角形的面积计算方法可算出答案.
9．【答案】
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】如图所示EF与AB的交点表示为点D，由作图知道，EF垂直平分AB，AM平分∠CAB，∴，∠ADM=90°，∵∠BAC=60°，∴∴AM=2DM，∴AM2-DM2=AD2，∴（2DM）2-DM2=32，∴，又∵AM平分∠BAC，∴点M到射线AC的距离 =。
故第1空答案为：.
【分析】首先根据基本作图知EF垂直平分AB，AM平分∠BAC，求得∠MDA=90°，AD=3，∠EAD=30°，然后根据含30°锐角的直角三角形的性质求出DM的长度，根据角平分线的性质可知点M到射线AC的距离 .
10．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接AD，在Rt△ADE和Rt△ADC中，∠AFD=∠ACD=90°，∵AD=AD，AE=AC，∴Rt△ADE≌Rt△ADC，∴DE=DC，又知BC=EF，∴BD-DF=BC+CD-DF=BC+DE-DF=BC+DF+EF-DF=BC+DE=BC+BC=2BC，∴2BC=4，∴BC=2，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC=4，∴。
故第1空答案为：.
【分析】证明Rt△ADE和Rt△ADC全等，得出ED=CD，又EF=BC，通过代换，得出BC的长度，然后根据含30°锐角的直角三角形的性质，求出AC的长度即可。
11．【答案】
【知识点】垂线段最短；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，过点O作于H，连接，
∵是等边三角形，，
∴，
∵线段与线段关于直线对称，
∴，，即，
∴点F在射线上运动，根据垂线段最短可知，当F和H重合时，的值最小，即为的长度，此时，
在中，，
∴，
即当的长取得最小值时，的长为，
故答案为：.
【分析】过点O作OH⊥AF于H，连接OF，根据等边三角形的性质可得∠BAO=∠CAO=30°，根据轴对称的性质可得AE=AF，∠BAF=∠BAO=30°，则∠OAF=60°，根据垂线段最短可知：当F和H重合时，OF的值最小，即为OH的长度，此时AE=AF=AH，根据含30°角的直角三角形的性质可得AH=AO，据此计算.
12．【答案】（1）60°
（2）75°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；邻补角
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：60°；
（2）如图所示，过点C作于E，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：75°.
【分析】（1）根据邻补角的性质可得∠APC=180°-∠APB=60°，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算；
（2）过点C作CE⊥AP于E，连接BE，由邻补角的性质可得∠APC的度数，利用内角和定理求出∠PCE的度数，根据含30°角的直角三角形的性质可得PC=2PE，结合已知条件可得PB=PE，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠PBE=∠PEB=30°，然后求出∠ABE、∠BAE的度数，推出CE=BE、BE=AE，则AE=CE，由等腰三角形的性质可得∠ACE=∠CAE=45°，然后根据角的和差关系进行计算.
13．【答案】解：∵，，，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一得∠BAD=60°，根据垂直定义得∠AED=90°，由直角三角形两锐角互余得∠ADE=30°，最后根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AE的长.
14．【答案】解：连接AE，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝ （180°-∠BAC）＝30°，
∵直线ED是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC＝6，
∴∠EAC＝∠C＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC-∠EAC＝90°，
∴BE＝2AE＝12，
∴线段BE的长为12.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】 连接AE，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠B＝∠C＝30°，根据垂直平分线的性质可得EA＝EC＝6，由等腰三角形的性质可得∠EAC＝∠C＝30°，则∠BAE＝∠BAC-∠EAC＝90°，由含30°角的直角三角形的性质可得BE＝2AE，据此求解.
15．【答案】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵
∴
∴
在 与 中， ，
∴ ≌ ，
∴ ；
（2）解：
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，即 ，
∴ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ．
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得AB=AC=BC，∠A=∠ACE=60°，由等量减去等量差相等得AD=CE，从而利用SAS判断出△ACD≌△CBE，由全等三角形的对应角相等得∠ACD=∠CBE；
（2）由三角形外角相等、等量代换及角的和差可得∠EGC=60°，由对顶角相等及直角三角形两锐角互余可求出∠FDG=30°，进而根据含30°角的直角三角形的性质可得DG=2FG，从而得出答案.
16．【答案】（1）解：，理由如下：
由题意得，运动2秒后，厘米，厘米，
∴厘米，
∵是等边三角形，
∴，
又∵厘米，厘米，
∴；
（2）解：设运动时间为t秒，是直角三角形有两种情况：
当时，
∵，
∴
∴，
∴
解得；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
综上所述，当运动时间为秒或秒时，是直角三角形；
（3）厘米/秒或厘米/秒
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；一元一次方程的实际应用-行程问题；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（3）分两种情况讨论：
若点M运动速度快，则，解得；
若点N运动速度快，则，解得；
综上所述，点N的运动速度为2.6厘米/秒或3.8厘米/秒.
【分析】（1）由题意得：运动2秒后，CM=6cm，BN=6cm，则BM=BC-CM=4cm，估计等边三角形的性质可得∠B=∠C=60°，然后根据全等三角形的判定定理进行解答；
（2）当∠NMB=90°时，∠BNM=30°，由含30°角的直角三角形的性质可得BN=2BM，求解即可；当∩BNM=90°时，∠BMN=30°，此时BM=2BN，求解即可；
（3）若点M运动速度快，根据点M25s的路程-10=点N25s的路程建立方程，求解即可；若点N运动速度快，根据点N25s的路程-点M25s的路程=30-10建立方程，求解即可.
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 19.8 直角三角形全等的性质 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2022八上·长兴月考）直角三角形的斜边上的中线长为4，则它的斜边长为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵直角三角形中，斜边上的中线长是4，
∴该直角三角形的斜边长为4×2=8.
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出即可．
2．（2023八上·杭州期末）如图， 在中，，，与相交于点，于.则下列数量关系正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：，
是等边三角形，
.
，，
.
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】由题意可得△ABC是等边三角形，则∠BAC=∠C=60°，利用SAS证明△ADC≌△BEA，得到∠DAC=∠EBA，由外角的性质可得∠PBQ=30°，则PQ=PB，设PQ=a，则BP=2a，BQ=a，据此求解.
3．（2023八上·南充期末）如图，在中，，，D为BC上一点，，则BC的长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°-30°-30°=120°，
∵CD=AD，
∴∠C=∠CAD=30°，
∴∠DAB=∠CAB-∠CAD=90°，
∴BD=2AD=8，
∴BC=BD+CD=12.
故答案为：B.
【分析】根据等边对等角得∠B=∠C=30°，∠C=∠CAD=30°，由三角形内角和定理得∠BAC=180°-30°-30°=120°，由角的和差得∠DAB=∠CAB-∠CAD=90°，由含30°角直角三角形的性质得BD=2AD=8，最后根据BC=BD+CD即可算出答案.
4．（2023八上·嘉兴期末）如图，在中，，，点在上，，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠A=∠C=30°，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD=90°，
∴BD=2AD=2×2=4，
∵∠BAC=180°-∠B-∠C，=180°-30°-30°=120°，
∴∠DAC-∠BAC-∠BAD=120°-90°=30°，
∴∠DAC=∠C，
∴AD=DC=2，
∴BC=BD+DC=4+2=6.
故答案为：C
【分析】利用等边对等角可求出∠B的度数，利用垂直的定义可得到∠BAD=90°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BD的长，再证明AD=CD，可得到CD的长，然后根据BC=BD+DC，代入计算求出BC的长.
5．（2023八上·义乌期末）如图，在等腰三角形中，，，是底边上的高，在的延长线上有一个动点D，连接，作，交的延长线于点E，的角平分线交边于点F，则在点D运动的过程中，线段的最小值（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【知识点】垂线段最短；三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：作于M，作于N，
， ，
平分，即平分，
，，
，
，，
，
，
，
)，
，
平分，
，
连接，
，
，
，
当时有最小值，即有最小值，
此时，，，
，
故答案为：D.
【分析】作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，根据等腰三角形的性质可得AG平分∠BAC，根据角平分线的性质可得DM=DN，利用ASA证明△MDE≌△NDC，得到DE=DC，根据角平分线的概念可得∠EDF=∠CDF，连接CF，利用SAS证明△EDF≌△CDF，得到EF=CF，故当CF⊥AB时CF有最小值，为EF的值，然后根据含30°角的直角三角形的性质进行解答.
6．（2022八上·汾阳期末）如图，在四边形中，，平分，，，，分别是，上的动点，当取得最小值时，的长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：作点Q关于的对称点，
，
，
当C、P、三点共线，且时，有最小值，
此时，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】作点Q关于的对称点，当C、P、三点共线，且时，有最小值，利用“HL”证明，可得，再结合，可得。
7．（2022八上·汾阳期末）如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形，若，是的中点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：是等腰三角形，是的中点，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质可得。
二、填空题
8．（2022八上·宝应期中）已知直角三角形斜边上的中线是2.5cm，斜边上的高是2cm，则这个直角三角形的面积是 cm2．
【答案】5
【知识点】三角形的面积；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ 直角三角形斜边上的中线是2.5cm ，
∴该直角三角形斜边的长为5cm，
又∵该直角三角形斜边上的高是2cm，
∴该直角三角形的面积为： ×5×2=5cm2.
故答案为：5.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得该直角三角形斜边的长为5cm，进而根据三角形的面积计算方法可算出答案.
9．（2023七下·泰山期末）如图，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：
a.分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF；
b.以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点O，画射线AO，交直线EF于点M．已知线段AB＝6，∠BAC＝60°，则点M到射线AC的距离为 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】如图所示EF与AB的交点表示为点D，由作图知道，EF垂直平分AB，AM平分∠CAB，∴，∠ADM=90°，∵∠BAC=60°，∴∴AM=2DM，∴AM2-DM2=AD2，∴（2DM）2-DM2=32，∴，又∵AM平分∠BAC，∴点M到射线AC的距离 =。
故第1空答案为：.
【分析】首先根据基本作图知EF垂直平分AB，AM平分∠BAC，求得∠MDA=90°，AD=3，∠EAD=30°，然后根据含30°锐角的直角三角形的性质求出DM的长度，根据角平分线的性质可知点M到射线AC的距离 .
10．（2023七下·张店期末）三角板是我们数学课必备工具之一，小明同学某天上数学拓展课的时候，转动其中一个三角板发现了一个很奇妙的结论：如图，小明将含60°角的三角板绕点顺时针转动到的位置（在三角板所在的平面内转动，其中，），当时，延长线段和线段相交于点，发现的长始终保持不变．若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接AD，在Rt△ADE和Rt△ADC中，∠AFD=∠ACD=90°，∵AD=AD，AE=AC，∴Rt△ADE≌Rt△ADC，∴DE=DC，又知BC=EF，∴BD-DF=BC+CD-DF=BC+DE-DF=BC+DF+EF-DF=BC+DE=BC+BC=2BC，∴2BC=4，∴BC=2，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC=4，∴。
故第1空答案为：.
【分析】证明Rt△ADE和Rt△ADC全等，得出ED=CD，又EF=BC，通过代换，得出BC的长度，然后根据含30°锐角的直角三角形的性质，求出AC的长度即可。
11．（2023八上·杭州期末）如图，等边中，，O为垂足且，E是线段上的一个动点，连接，线段与线段关于直线对称，连接，在点E运动的过程中，当的长取得最小值时，的长为 .
【答案】
【知识点】垂线段最短；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，过点O作于H，连接，
∵是等边三角形，，
∴，
∵线段与线段关于直线对称，
∴，，即，
∴点F在射线上运动，根据垂线段最短可知，当F和H重合时，的值最小，即为的长度，此时，
在中，，
∴，
即当的长取得最小值时，的长为，
故答案为：.
【分析】过点O作OH⊥AF于H，连接OF，根据等边三角形的性质可得∠BAO=∠CAO=30°，根据轴对称的性质可得AE=AF，∠BAF=∠BAO=30°，则∠OAF=60°，根据垂线段最短可知：当F和H重合时，OF的值最小，即为OH的长度，此时AE=AF=AH，根据含30°角的直角三角形的性质可得AH=AO，据此计算.
12．（2023八上·武义期末）如图，延长至C，连接.
（1）若，则 ；
（2）若，则 .
【答案】（1）60°
（2）75°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；邻补角
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：60°；
（2）如图所示，过点C作于E，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：75°.
【分析】（1）根据邻补角的性质可得∠APC=180°-∠APB=60°，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算；
（2）过点C作CE⊥AP于E，连接BE，由邻补角的性质可得∠APC的度数，利用内角和定理求出∠PCE的度数，根据含30°角的直角三角形的性质可得PC=2PE，结合已知条件可得PB=PE，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠PBE=∠PEB=30°，然后求出∠ABE、∠BAE的度数，推出CE=BE、BE=AE，则AE=CE，由等腰三角形的性质可得∠ACE=∠CAE=45°，然后根据角的和差关系进行计算.
三、解答题
13．（2023八上·韩城期末）如图，在中，，，于点D，于点E，，求的长.
【答案】解：∵，，，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一得∠BAD=60°，根据垂直定义得∠AED=90°，由直角三角形两锐角互余得∠ADE=30°，最后根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AE的长.
14．（2023八上·平桂期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，CE＝6，直线ED是线段AC的垂直平分线，∠BAC＝120°，求线段BE的长.
【答案】解：连接AE，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝ （180°-∠BAC）＝30°，
∵直线ED是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC＝6，
∴∠EAC＝∠C＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC-∠EAC＝90°，
∴BE＝2AE＝12，
∴线段BE的长为12.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】 连接AE，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠B＝∠C＝30°，根据垂直平分线的性质可得EA＝EC＝6，由等腰三角形的性质可得∠EAC＝∠C＝30°，则∠BAE＝∠BAC-∠EAC＝90°，由含30°角的直角三角形的性质可得BE＝2AE，据此求解.
四、综合题
15．（2022八上·宝应期中）如图，是等边三角形，D、E分别是边、上的点，且，且、交于点G，且，垂足为F．
（1）求证：；
（2）若，求DG的长度．
【答案】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵
∴
∴
在 与 中， ，
∴ ≌ ，
∴ ；
（2）解：
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，即 ，
∴ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ．
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得AB=AC=BC，∠A=∠ACE=60°，由等量减去等量差相等得AD=CE，从而利用SAS判断出△ACD≌△CBE，由全等三角形的对应角相等得∠ACD=∠CBE；
（2）由三角形外角相等、等量代换及角的和差可得∠EGC=60°，由对顶角相等及直角三角形两锐角互余可求出∠FDG=30°，进而根据含30°角的直角三角形的性质可得DG=2FG，从而得出答案.
16．（2023八上·南宁期末）如图，在等边中，厘米，厘米.如果点M以3厘米/秒的速度运动.
（1）如果点M在线段上由点C向点B运动，点N在线段上由B点向A点运动.它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等.经过2秒后，和是否全等？请说明理由.
（2）在（1）的条件下，当两点的运动时间为多少时，是一个直角三角形？
（3）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿三边运动，经过25秒点M与点N第一次相遇，请直接写出点N的运动速度是多少厘米/秒？
【答案】（1）解：，理由如下：
由题意得，运动2秒后，厘米，厘米，
∴厘米，
∵是等边三角形，
∴，
又∵厘米，厘米，
∴；
（2）解：设运动时间为t秒，是直角三角形有两种情况：
当时，
∵，
∴
∴，
∴
解得；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
综上所述，当运动时间为秒或秒时，是直角三角形；
（3）厘米/秒或厘米/秒
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；一元一次方程的实际应用-行程问题；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（3）分两种情况讨论：
若点M运动速度快，则，解得；
若点N运动速度快，则，解得；
综上所述，点N的运动速度为2.6厘米/秒或3.8厘米/秒.
【分析】（1）由题意得：运动2秒后，CM=6cm，BN=6cm，则BM=BC-CM=4cm，估计等边三角形的性质可得∠B=∠C=60°，然后根据全等三角形的判定定理进行解答；
（2）当∠NMB=90°时，∠BNM=30°，由含30°角的直角三角形的性质可得BN=2BM，求解即可；当∩BNM=90°时，∠BMN=30°，此时BM=2BN，求解即可；
（3）若点M运动速度快，根据点M25s的路程-10=点N25s的路程建立方程，求解即可；若点N运动速度快，根据点N25s的路程-点M25s的路程=30-10建立方程，求解即可.
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