2023-2024学年初中数学八年级上册 19.8 直角三角形全等的性质 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八上·合川期末）如图，等边中，是边上的高，交于点E，若，则的边长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．无法确定
2．（2023八上·永城期末）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使BD＝CE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则以下结论：（1）△ACE≌△CBD；（2）∠AFG＝60°；（3）AF＝2FG；（4）AC＝2CE.其中正确的结论有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2023八上·华蓥期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD、CE分别是△ABC的高和中线，下列说法错误的是（ ）
A．AD =AB B．S△CEB = S△ACE
C．AC、BC的垂直平分线都经过E D．图中只有一个等腰三角形
4．（2022八上·丰满期末）如图，在中，，于点D，，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．（2022八上·河北期末）如图所示，已知，点P在边OA上，，点M，N在边上，，若，则的长为（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
6．（2023七下·清新期中）如图：点在轴上，是轴上的动点，将线段绕点逆时针旋转得线段，则长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八上·如东期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（ ）
A． B． C．a+b D．a
8．（2022八上·杭州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D，E分别为线段AB，AC上一点，且AD＝AE，连接BE、CD交于点G，延长AG交BC于点F.以下四个结论正确的是（ ）
①BF＝CF；②若BE⊥AC，则CF＝DF；③若BE平分∠ABC，则FG＝；④连结EF，若BE⊥AC，则∠DFE＝2∠ABE.
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
9．（2023八上·宁海期末）如图，边长为6的等边三角形中，若点是高所在直线上一点，连接，以为边在直线的下方画等边三角形，连接，则长度的最小值为 .
10．（2023八上·鄞州期末）如图，∠AOP=∠BOP=15°，PCOA，PD⊥OA，若PC=4，则∠COP= ，PD= .
11．（2022八上·大连期末）如图，在中，，，，直线l是边的垂直平分线，点P是直线l上的一动点，则的最小值为 ．
12．（2022七下·南海期末）如图，是等边三角形，直线于点C，点D在直线MN上运动，以AD为边向右作等边，连接CE，若，则CE的最小值是 ．
13．（2021八上·和平期末）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝12，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝14，则AC的长为 ．
三、解答题
14．（2022八上·太原月考）为了推进节能减排，助力实现碳达峰、碳中和，某市新换了一批新能源公交车（如图1）．图2、图3分别是该公交车双开门关闭、打开中某一时刻的俯视（从上面往下看）示意图．，，是门轴的滑动轨道，，两门，的门轴，，，都在滑动轨道上，两门关闭时（如图2），点，分别在点，处，门缝忽略不计（，重合），两门同时开启时，点，分别沿，的方向同时以相同的速度滑动，如图3，当点到达点处时，点恰好到达点处，此时两门完全开启，若米，，在两门开启的过程中，当时，求的长度．
15．（2022八上·吴兴期中）如图，△ABC中，CD、BE分别是高，M、N分别是线段BC、DE的中点．求证：MN⊥DE.
四、综合题
16．（2023八上·绍兴期末）如图1，在中，分别是边上的高线，M，N分别是线段的中点.
（1）求证：.
（2）连接，猜想与之间的关系，并说明理由.
（3）若将锐角三角形变为钝角三角形，其余条件不变，如图2，直接写出与之间的关系.
17．（2023八上·华蓥期末）如图，在等边中，点D，E分别是上的动点，且，交于点P.
（1）如图1，求证：；
（2）点M是边的中点，连接.
①如图2，若点A，P，M三点共线，则与的数量关系是 .
②若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：设，
，
，
是等边三角形，是边上的高，
，
，
，
，
，即，
解得，
则，
即的边长为4，
故答案为：B.
【分析】设，则，由等边三角形的性质可得∠ABD=30°，再利用直角三角形的性质可得=2AE，据此建立关于x方程并解之即可.
2．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝CB，∠ACE＝∠B＝60°，
在△ACE和△CBD中，
∵，
∴△ACE≌△CBD（SAS），故正确；
（2）∵△ACE≌△CBD，
∴∠CAE＝∠BCD，
∴∠AFG＝∠ACF＋∠CAE＝∠ACF＋∠BCD＝∠ACE＝60°，故正确；
（3）∵∠AFG＝60°，AG⊥CD，
∴∠FAG＝30°，
∴AF＝2FG，故正确；
（4）∵AC＝BC，且BC不一定等于2CE，
∴AC不一定等于2CE；故错误.
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质可得AC＝CB，∠ACE＝∠B＝60°，从而用SAS判断出△ACE≌△CBD，据此判断（1）；根据全等三角形的对应角相等得∠CAE＝∠BCD，进而根据三角形外角性质及等量代换即可得∠AFG=60°，据此判断（2）；根据含30°角直角三角形的性质可得AF＝2FG，据此判断（3）；AC＝BC，且BC不一定等于2CE，据此判断（4）.
3．【答案】D
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，CE是△ABC的中线，
∴AE=CE=BE，
∴AC、BC的垂直平分线都经过E，故选项C正确；
∴△AEC为等边三角形，∵CD⊥AB，∴AD=DE=AE=AB，故选项A正确；
∵CE是△ABC的中线，∴S△CEB = S△ACE，故选项正确；
图中等腰三角形有△AEC和△BCE，故选项D错误.
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AE=CE=BE，进而根据到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上可得AC、BC的垂直平分线都经过E，据此判断C；根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△AEC为等边三角形，根据等边三角形的三线合一得AD=DE=AE=AB，据此判断A；根据等底同高的两个三角形的面积相等得S△CEB = S△ACE，据此判断B；根据有两边相等的三角形是等腰三角形可得图中等腰三角形有△AEC和△BCE，据此判断D.
4．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质求出，，再利用线段的和差求出AD的长即可。
5．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；线段的计算
【解析】【解答】解：过点P作于点D，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据题意先求出，再求出，最后计算求解即可。
6．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，以AO为边作等边△AOD，连接BD、OC，
∴AD=AO，∠DAO=∠AOD=60°，
由旋转知AC=AB，∠BAC=60°，
∴∠DAB=∠OAC，
∴△DAB≌△OAC（SAS），
∴BD=OC，
欲求OC的最小值，求BD的最小值即可，
过点D作DH⊥x轴，则DH的长即为BD的最小值，
∵A（0，2）
∴OD=OA=2，
∵∠DOH=∠AOH-∠AOD=30°，
∴DH=OD=1，
∴OC的最小值为1；
故答案为：B.
【分析】以AO为边作等边△AOD，连接BD、OC，根据SAS证明△DAB≌△OAC，可得BD=OC，
欲求OC的最小值，求BD的最小值即可，过点D作DH⊥x轴，则DH的长即为BD的最小值，利用直角三角形的性质求出DH即可.
7．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AF＝CF＝a，BF＝b，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，
∵CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AM＝AC，
∵BF⊥AC，
∴FM＝BF＝b，
∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM＝a+b，
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质得AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，推出∠BAD＝∠CAE，从而用SAS判断出△BAD≌△CAE，得∠ABD＝∠ACE，进而根据等边三角形的三线合一得∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，故点E在射线CE上运动，作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，判断出△ACM是等边三角形，得AM＝AC，进而即可得出FM＝BF＝b，从而即可解决问题.
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在△BAE和△CAD中，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD，
∵AB＝AC＝5，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠GBC＝∠GCB，
∴BG＝CG，
∴点G是BC的中垂线上，
∵AB＝AC，
∴点A在BC的中垂线上，
∴AG垂直平分BC，
∴BF＝CF，故①正确；
若BE⊥AC，则∠AEB＝90°，
∵△BAE≌△CAD，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
又∵BF＝CF，
∴CF＝DF，故②正确；
若BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，
∵∠ABE＝∠ACD，∠GBC＝∠GCB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴点G是角平分线的交点，
∴点G到三边的距离为GF的长，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，BF＝CF，
∴BF＝CF＝3，
∴AF＝＝4，
∵S△ABC＝×BC×AF＝×AB×GF+×AC×GF+×CB×GF，
∴FG＝，故③正确；
如图，连接EF，
若BE⊥AC，则∠AEB＝90°，
∵△BAE≌△CAD，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠BDC＝90°＝∠BEC，
又∵BF＝CF，
∴CF＝DF＝EF＝BF，
∴∠DBF＝∠BDF，∠FEC＝∠FCE，
∴2∠DBF+∠DFB＝180°，2∠ECF+∠EFC＝180°，
又∵∠DFB+∠EFC+∠DFE＝180°，
∴2∠DBF+2∠ECF﹣∠DFE＝180°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴2∠BAC+2∠ABC+2∠ACB＝360°，
∴2∠BAC+180°+∠DFE＝360°，
∴2∠BAC+∠DFE＝180°，
∵∠BAC+∠ABE＝90°，
∴∠DFE＝2∠ABE，故④正确.
故答案为：D.
【分析】利用SAS证明△BAE≌△CAD，得到∠ABE＝∠ACD，根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，推出BG＝CG，则AG垂直平分BC，然后根据垂直平分线的性质可判断①；若BE⊥AC，则∠AEB＝90°，根据全等三角形的性质可得∠ADC＝∠AEB＝90°，则∠BDC＝90°，由BF=CF可得点F为BC的中点，然后根据直角三角形斜边上中线的性质可判断②；根据角平分线的概念可得∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，易得点G到三边的距离为GF的长，利用勾股定理可得AF，然后根据三角形的面积公式可判断③；连接EF，若BE⊥AC，则∠AEB＝90°，根据全等三角形的性质可得∠BDC＝90°＝∠BEC，则CF＝DF＝EF＝BF，结合等腰三角形的性质以及内角和定理可得2∠DBF+2∠ECF-∠DFE＝180°，结合∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°可得2∠BAC+∠DFE＝180°，据此判断④.
9．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图：连接，
∵等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，是等边三角形且变长为6，
∴，
∴，
∴时，最短为.
故答案为：.
【分析】连接BN，根据等边三角形的性质可得MC=MN，∠MCN=60°，BA=BC，∠ABC=60°，由角的和差关系可得∠ACM=∠BCN，利用SAS证明△CNB≌△AMC，得到∠CAM=∠CBN，易得∠CAD=30°，BD=CD=3，∠CBN=30°，据此求解.
10．【答案】15°；2
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB交OB于点E，
∵ ，∠AOP=∠BOP=15°
∴∠AOB=∠AOP+∠BOP=30°.
∵PCOA，
.
，
.
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
，
故答案为：15°，2.
【分析】过点P作PE⊥OB交OB于点E，由题意易得∠AOB=15°，根据二直线平行，同位角相等得∠ECP=30°，根据含30°角直角三角形的性质得PE=2，最后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PD的长.
11．【答案】10
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接，如下图：
∵直线l是边的垂直平分线，
∴，
则，当三点共线时，等号成立，
在中，，，，
∴
即AP+CP的最小值为10，
故答案为：10.
【分析】连接BP，根据垂直平分线的性质可得，再结合，当三点共线时，等号成立，利用含30°角的直角三角形的性质可得，可得得到AP+CP的最小值为10。
12．【答案】2
【知识点】垂线段最短；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：连接BD，
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴∠ACB＝∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC＝BC＝4，AD＝AE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
过点B作BH⊥CM于点H，
∵点D在直线MN上一动点，
∴点D与点H重合时，BD有最小值，
∵AC⊥MN，
∴∠ACM＝90°，
∴∠BCM＝30°，
∴BH＝BC＝2，
∴CE的最小值为2．
故答案为：2．
【分析】连接BD，证明△BAD≌△CAE（SAS），可得BD＝CE，过点B作BH⊥CM于点H，由于点D在直线MN上一动点，可知点D与点H重合时，BD有最小值，求出BH的长，即得CE的最小值.
13．【答案】20
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点E关于CD的对称点G，过点G作GF⊥AB于点F，GF交CD于点P，此时EP+PF的值最小，CE=CG，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠B=60°，
∵GF⊥AB，
∴∠G=30°，
∴BG=2BF=28，
∵BE＝12，
∴EG=16，
∴CE=CG=8，
∴AC=BC=BE+CE=20．
故答案为：20
【分析】作点E关于CD的对称点G，过点G作GF⊥AB于点F，GF交CD于点P，此时EP+PF的值最小，此时CE=CG，由等边三角形的性质可得AC=BC，∠B=60°，从而求出∠G=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得BG=2BF=28，从而求出EG、CE、CG的长，根据AC=BC=BE+CE即可求解.
14．【答案】解：由题意，得，（米）．
∵，
∴（米）．
在中，∵，，
∴，
∴（米），
∴（米），
∴（米）．
答：的长度为米．
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【分析】先求出，根据含30°角的直角三角形的性质可得，，再利用线段的和差求出即可。
15．【答案】证明：∵CD、BE分别是△ABC的高，
∴△BDC和△BEC均为直角三角形，
又∵M、N分别是线段BC、DE的中点，
∴DM=BC，EM=BC，
∴DM=EM，
∵N是线段DE的中点，
∴MN⊥DE.
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】由CD、BE分别是△ABC的高，可得△BDC和△BEC均为直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得DM=BC，EM=BC， 从而得到DM=EM，又有N是线段DE的中点，利用等腰三角形的“三线合一”，即可得出结论.
16．【答案】（1）证明：如图，连接，，
∵分别是边上的高线，M是的中点，
∴，，
∴，
又∵N为中点，
∴；
（2）解：；理由如下：
在中，，
∵，
∴，，
∴，
，
∴
，
∴；
（3）解：
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（3）解：；理由如下：
连接，，如图所示：
∵分别是边上的高线，M是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
，
在中，，
∴
，
∴
，
.
【分析】（1）连接DM、ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=ME=BC，进而根据等腰三角形的三线合一可得MN⊥DE；
（2）根据三角形的内角和定理可得∠ABC＋∠ACB＝180° ∠A，再根据等腰三角形两底角相等表示出∠BMD＋∠CME，然后根据平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解；
（3）根据三角形的内角和定理可得∠ABC＋∠ACB＝180° ∠A，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠BME＋∠CMD，然后根据平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解．
17．【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①
②仍然成立，理由如下：
延长至H，使，连接，延长，连接，
如图3所示：
则，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，且，，
∴，
∴，，
∴，
∵点M是边的中点，
∴，且，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，且，，
∴，
∴.
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（2）①，
∵是等边三角形，点M是边的中点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）根据等边三角形的性质，由SAS可证△AEC≌△CDB，可得∠ACE＝∠CBD，进而由三角形的内角和定理可得结论；
（2）①由等边三角形的性质和已知条件得出∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AM⊥BC，∠BAP＝∠CAP＝∠BAC＝30°，根据线段垂直平分线的性质得出PB＝PC，由等腰三角形的性质得出∠PBC＝∠PCB＝30°，根据含30°角直角三角形的性质得出PC＝2PM，证出∠ACP＝60° 30°＝30°＝∠CAP，根据等角对等边得出AP＝PC，即可得出AP＝2PM；
②延长BP至H，使PH＝PC，连接AH、CH，延长PM＝MN，连接CN，由SAS可证△ACH≌△BCP，可得AH＝BP，∠AHC＝∠BPC＝120°，由SAS可证△CMN≌△BMP，可得CN＝BP＝AH，∠NCM＝∠PBM，由SAS可证△AHP≌△NCP，可得AP＝PN＝2PM.
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 19.8 直角三角形全等的性质 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八上·合川期末）如图，等边中，是边上的高，交于点E，若，则的边长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．无法确定
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：设，
，
，
是等边三角形，是边上的高，
，
，
，
，
，即，
解得，
则，
即的边长为4，
故答案为：B.
【分析】设，则，由等边三角形的性质可得∠ABD=30°，再利用直角三角形的性质可得=2AE，据此建立关于x方程并解之即可.
2．（2023八上·永城期末）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使BD＝CE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则以下结论：（1）△ACE≌△CBD；（2）∠AFG＝60°；（3）AF＝2FG；（4）AC＝2CE.其中正确的结论有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝CB，∠ACE＝∠B＝60°，
在△ACE和△CBD中，
∵，
∴△ACE≌△CBD（SAS），故正确；
（2）∵△ACE≌△CBD，
∴∠CAE＝∠BCD，
∴∠AFG＝∠ACF＋∠CAE＝∠ACF＋∠BCD＝∠ACE＝60°，故正确；
（3）∵∠AFG＝60°，AG⊥CD，
∴∠FAG＝30°，
∴AF＝2FG，故正确；
（4）∵AC＝BC，且BC不一定等于2CE，
∴AC不一定等于2CE；故错误.
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质可得AC＝CB，∠ACE＝∠B＝60°，从而用SAS判断出△ACE≌△CBD，据此判断（1）；根据全等三角形的对应角相等得∠CAE＝∠BCD，进而根据三角形外角性质及等量代换即可得∠AFG=60°，据此判断（2）；根据含30°角直角三角形的性质可得AF＝2FG，据此判断（3）；AC＝BC，且BC不一定等于2CE，据此判断（4）.
3．（2023八上·华蓥期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD、CE分别是△ABC的高和中线，下列说法错误的是（ ）
A．AD =AB B．S△CEB = S△ACE
C．AC、BC的垂直平分线都经过E D．图中只有一个等腰三角形
【答案】D
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，CE是△ABC的中线，
∴AE=CE=BE，
∴AC、BC的垂直平分线都经过E，故选项C正确；
∴△AEC为等边三角形，∵CD⊥AB，∴AD=DE=AE=AB，故选项A正确；
∵CE是△ABC的中线，∴S△CEB = S△ACE，故选项正确；
图中等腰三角形有△AEC和△BCE，故选项D错误.
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AE=CE=BE，进而根据到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上可得AC、BC的垂直平分线都经过E，据此判断C；根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△AEC为等边三角形，根据等边三角形的三线合一得AD=DE=AE=AB，据此判断A；根据等底同高的两个三角形的面积相等得S△CEB = S△ACE，据此判断B；根据有两边相等的三角形是等腰三角形可得图中等腰三角形有△AEC和△BCE，据此判断D.
4．（2022八上·丰满期末）如图，在中，，于点D，，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质求出，，再利用线段的和差求出AD的长即可。
5．（2022八上·河北期末）如图所示，已知，点P在边OA上，，点M，N在边上，，若，则的长为（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；线段的计算
【解析】【解答】解：过点P作于点D，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据题意先求出，再求出，最后计算求解即可。
6．（2023七下·清新期中）如图：点在轴上，是轴上的动点，将线段绕点逆时针旋转得线段，则长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，以AO为边作等边△AOD，连接BD、OC，
∴AD=AO，∠DAO=∠AOD=60°，
由旋转知AC=AB，∠BAC=60°，
∴∠DAB=∠OAC，
∴△DAB≌△OAC（SAS），
∴BD=OC，
欲求OC的最小值，求BD的最小值即可，
过点D作DH⊥x轴，则DH的长即为BD的最小值，
∵A（0，2）
∴OD=OA=2，
∵∠DOH=∠AOH-∠AOD=30°，
∴DH=OD=1，
∴OC的最小值为1；
故答案为：B.
【分析】以AO为边作等边△AOD，连接BD、OC，根据SAS证明△DAB≌△OAC，可得BD=OC，
欲求OC的最小值，求BD的最小值即可，过点D作DH⊥x轴，则DH的长即为BD的最小值，利用直角三角形的性质求出DH即可.
7．（2023八上·如东期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（ ）
A． B． C．a+b D．a
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AF＝CF＝a，BF＝b，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，
∵CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AM＝AC，
∵BF⊥AC，
∴FM＝BF＝b，
∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM＝a+b，
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质得AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，推出∠BAD＝∠CAE，从而用SAS判断出△BAD≌△CAE，得∠ABD＝∠ACE，进而根据等边三角形的三线合一得∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，故点E在射线CE上运动，作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，判断出△ACM是等边三角形，得AM＝AC，进而即可得出FM＝BF＝b，从而即可解决问题.
8．（2022八上·杭州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D，E分别为线段AB，AC上一点，且AD＝AE，连接BE、CD交于点G，延长AG交BC于点F.以下四个结论正确的是（ ）
①BF＝CF；②若BE⊥AC，则CF＝DF；③若BE平分∠ABC，则FG＝；④连结EF，若BE⊥AC，则∠DFE＝2∠ABE.
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在△BAE和△CAD中，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD，
∵AB＝AC＝5，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠GBC＝∠GCB，
∴BG＝CG，
∴点G是BC的中垂线上，
∵AB＝AC，
∴点A在BC的中垂线上，
∴AG垂直平分BC，
∴BF＝CF，故①正确；
若BE⊥AC，则∠AEB＝90°，
∵△BAE≌△CAD，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
又∵BF＝CF，
∴CF＝DF，故②正确；
若BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，
∵∠ABE＝∠ACD，∠GBC＝∠GCB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴点G是角平分线的交点，
∴点G到三边的距离为GF的长，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，BF＝CF，
∴BF＝CF＝3，
∴AF＝＝4，
∵S△ABC＝×BC×AF＝×AB×GF+×AC×GF+×CB×GF，
∴FG＝，故③正确；
如图，连接EF，
若BE⊥AC，则∠AEB＝90°，
∵△BAE≌△CAD，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠BDC＝90°＝∠BEC，
又∵BF＝CF，
∴CF＝DF＝EF＝BF，
∴∠DBF＝∠BDF，∠FEC＝∠FCE，
∴2∠DBF+∠DFB＝180°，2∠ECF+∠EFC＝180°，
又∵∠DFB+∠EFC+∠DFE＝180°，
∴2∠DBF+2∠ECF﹣∠DFE＝180°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴2∠BAC+2∠ABC+2∠ACB＝360°，
∴2∠BAC+180°+∠DFE＝360°，
∴2∠BAC+∠DFE＝180°，
∵∠BAC+∠ABE＝90°，
∴∠DFE＝2∠ABE，故④正确.
故答案为：D.
【分析】利用SAS证明△BAE≌△CAD，得到∠ABE＝∠ACD，根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，推出BG＝CG，则AG垂直平分BC，然后根据垂直平分线的性质可判断①；若BE⊥AC，则∠AEB＝90°，根据全等三角形的性质可得∠ADC＝∠AEB＝90°，则∠BDC＝90°，由BF=CF可得点F为BC的中点，然后根据直角三角形斜边上中线的性质可判断②；根据角平分线的概念可得∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，易得点G到三边的距离为GF的长，利用勾股定理可得AF，然后根据三角形的面积公式可判断③；连接EF，若BE⊥AC，则∠AEB＝90°，根据全等三角形的性质可得∠BDC＝90°＝∠BEC，则CF＝DF＝EF＝BF，结合等腰三角形的性质以及内角和定理可得2∠DBF+2∠ECF-∠DFE＝180°，结合∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°可得2∠BAC+∠DFE＝180°，据此判断④.
二、填空题
9．（2023八上·宁海期末）如图，边长为6的等边三角形中，若点是高所在直线上一点，连接，以为边在直线的下方画等边三角形，连接，则长度的最小值为 .
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图：连接，
∵等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，是等边三角形且变长为6，
∴，
∴，
∴时，最短为.
故答案为：.
【分析】连接BN，根据等边三角形的性质可得MC=MN，∠MCN=60°，BA=BC，∠ABC=60°，由角的和差关系可得∠ACM=∠BCN，利用SAS证明△CNB≌△AMC，得到∠CAM=∠CBN，易得∠CAD=30°，BD=CD=3，∠CBN=30°，据此求解.
10．（2023八上·鄞州期末）如图，∠AOP=∠BOP=15°，PCOA，PD⊥OA，若PC=4，则∠COP= ，PD= .
【答案】15°；2
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB交OB于点E，
∵ ，∠AOP=∠BOP=15°
∴∠AOB=∠AOP+∠BOP=30°.
∵PCOA，
.
，
.
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
，
故答案为：15°，2.
【分析】过点P作PE⊥OB交OB于点E，由题意易得∠AOB=15°，根据二直线平行，同位角相等得∠ECP=30°，根据含30°角直角三角形的性质得PE=2，最后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PD的长.
11．（2022八上·大连期末）如图，在中，，，，直线l是边的垂直平分线，点P是直线l上的一动点，则的最小值为 ．
【答案】10
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接，如下图：
∵直线l是边的垂直平分线，
∴，
则，当三点共线时，等号成立，
在中，，，，
∴
即AP+CP的最小值为10，
故答案为：10.
【分析】连接BP，根据垂直平分线的性质可得，再结合，当三点共线时，等号成立，利用含30°角的直角三角形的性质可得，可得得到AP+CP的最小值为10。
12．（2022七下·南海期末）如图，是等边三角形，直线于点C，点D在直线MN上运动，以AD为边向右作等边，连接CE，若，则CE的最小值是 ．
【答案】2
【知识点】垂线段最短；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：连接BD，
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴∠ACB＝∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC＝BC＝4，AD＝AE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
过点B作BH⊥CM于点H，
∵点D在直线MN上一动点，
∴点D与点H重合时，BD有最小值，
∵AC⊥MN，
∴∠ACM＝90°，
∴∠BCM＝30°，
∴BH＝BC＝2，
∴CE的最小值为2．
故答案为：2．
【分析】连接BD，证明△BAD≌△CAE（SAS），可得BD＝CE，过点B作BH⊥CM于点H，由于点D在直线MN上一动点，可知点D与点H重合时，BD有最小值，求出BH的长，即得CE的最小值.
13．（2021八上·和平期末）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝12，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝14，则AC的长为 ．
【答案】20
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点E关于CD的对称点G，过点G作GF⊥AB于点F，GF交CD于点P，此时EP+PF的值最小，CE=CG，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠B=60°，
∵GF⊥AB，
∴∠G=30°，
∴BG=2BF=28，
∵BE＝12，
∴EG=16，
∴CE=CG=8，
∴AC=BC=BE+CE=20．
故答案为：20
【分析】作点E关于CD的对称点G，过点G作GF⊥AB于点F，GF交CD于点P，此时EP+PF的值最小，此时CE=CG，由等边三角形的性质可得AC=BC，∠B=60°，从而求出∠G=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得BG=2BF=28，从而求出EG、CE、CG的长，根据AC=BC=BE+CE即可求解.
三、解答题
14．（2022八上·太原月考）为了推进节能减排，助力实现碳达峰、碳中和，某市新换了一批新能源公交车（如图1）．图2、图3分别是该公交车双开门关闭、打开中某一时刻的俯视（从上面往下看）示意图．，，是门轴的滑动轨道，，两门，的门轴，，，都在滑动轨道上，两门关闭时（如图2），点，分别在点，处，门缝忽略不计（，重合），两门同时开启时，点，分别沿，的方向同时以相同的速度滑动，如图3，当点到达点处时，点恰好到达点处，此时两门完全开启，若米，，在两门开启的过程中，当时，求的长度．
【答案】解：由题意，得，（米）．
∵，
∴（米）．
在中，∵，，
∴，
∴（米），
∴（米），
∴（米）．
答：的长度为米．
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【分析】先求出，根据含30°角的直角三角形的性质可得，，再利用线段的和差求出即可。
15．（2022八上·吴兴期中）如图，△ABC中，CD、BE分别是高，M、N分别是线段BC、DE的中点．求证：MN⊥DE.
【答案】证明：∵CD、BE分别是△ABC的高，
∴△BDC和△BEC均为直角三角形，
又∵M、N分别是线段BC、DE的中点，
∴DM=BC，EM=BC，
∴DM=EM，
∵N是线段DE的中点，
∴MN⊥DE.
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】由CD、BE分别是△ABC的高，可得△BDC和△BEC均为直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得DM=BC，EM=BC， 从而得到DM=EM，又有N是线段DE的中点，利用等腰三角形的“三线合一”，即可得出结论.
四、综合题
16．（2023八上·绍兴期末）如图1，在中，分别是边上的高线，M，N分别是线段的中点.
（1）求证：.
（2）连接，猜想与之间的关系，并说明理由.
（3）若将锐角三角形变为钝角三角形，其余条件不变，如图2，直接写出与之间的关系.
【答案】（1）证明：如图，连接，，
∵分别是边上的高线，M是的中点，
∴，，
∴，
又∵N为中点，
∴；
（2）解：；理由如下：
在中，，
∵，
∴，，
∴，
，
∴
，
∴；
（3）解：
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（3）解：；理由如下：
连接，，如图所示：
∵分别是边上的高线，M是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
，
在中，，
∴
，
∴
，
.
【分析】（1）连接DM、ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=ME=BC，进而根据等腰三角形的三线合一可得MN⊥DE；
（2）根据三角形的内角和定理可得∠ABC＋∠ACB＝180° ∠A，再根据等腰三角形两底角相等表示出∠BMD＋∠CME，然后根据平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解；
（3）根据三角形的内角和定理可得∠ABC＋∠ACB＝180° ∠A，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠BME＋∠CMD，然后根据平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解．
17．（2023八上·华蓥期末）如图，在等边中，点D，E分别是上的动点，且，交于点P.
（1）如图1，求证：；
（2）点M是边的中点，连接.
①如图2，若点A，P，M三点共线，则与的数量关系是 .
②若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由.
【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①
②仍然成立，理由如下：
延长至H，使，连接，延长，连接，
如图3所示：
则，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，且，，
∴，
∴，，
∴，
∵点M是边的中点，
∴，且，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，且，，
∴，
∴.
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（2）①，
∵是等边三角形，点M是边的中点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）根据等边三角形的性质，由SAS可证△AEC≌△CDB，可得∠ACE＝∠CBD，进而由三角形的内角和定理可得结论；
（2）①由等边三角形的性质和已知条件得出∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AM⊥BC，∠BAP＝∠CAP＝∠BAC＝30°，根据线段垂直平分线的性质得出PB＝PC，由等腰三角形的性质得出∠PBC＝∠PCB＝30°，根据含30°角直角三角形的性质得出PC＝2PM，证出∠ACP＝60° 30°＝30°＝∠CAP，根据等角对等边得出AP＝PC，即可得出AP＝2PM；
②延长BP至H，使PH＝PC，连接AH、CH，延长PM＝MN，连接CN，由SAS可证△ACH≌△BCP，可得AH＝BP，∠AHC＝∠BPC＝120°，由SAS可证△CMN≌△BMP，可得CN＝BP＝AH，∠NCM＝∠PBM，由SAS可证△AHP≌△NCP，可得AP＝PN＝2PM.
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