2023-2024学年初中数学八年级上册 19.9 勾股定理 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023七下·天桥期末）如图，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，字母所代表的正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】算术平方根；勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：SB=225-81=144，所以 字母B所代表的正方形的边长是：。
故答案为：A。
【分析】根据勾股定理可直接求得正方形B的面积，即正方形B的边长的平方，再求出算术平方根即可。
2．（2023八上·陈仓期末）下列各组数据中是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．，，
C．9，12，15 D．，，
【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
B、（32）2+（42）2≠（52）2，故不是勾股数，不符合题意；
C、92+122=152，三边是整数，同时能构成直角三角形，故正确，符合题意；
D、不是正整数，故不是勾股数，不符合题；
故答案为：C.
【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此判断.
3．（2023八上·内江期末）已知的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．，，
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，故A不符合题意；
∵，，
∴，
∴是直角三角形，故B不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故C不符合题意；
∵，，
∴，
∴不是直角三角形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断A、B选项；根据三角形的内角和定理算出最大内角的度数，如果等于90°就是直角三角形，否则就不是，据此可判断C、D选项.
4．（2023七下·张店期末）在中，，以C为圆心，适当长为半径画弧交，于D，E两点，分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧交于点M，作射线交于点K．以K为圆心，为半径画弧交射线于点H，分别以C，H为圆心，大于长为半径画弧交于点N，L，作直线交于点G．若，，则（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图过程知，CH平分∠ACB，NL垂直平分CH，∵CH=8，∴CK=4，又∠CKG=90°，CG=5，∴，设点K到CG的距离为h，则：，5h=4×3，h=2.4，又∵CH平分∠ACB，∠A=90°，∴AK=h=2.4.
故答案为：B。
【分析】首先根据作图过程得出CH平分∠ACB，NL垂直平分CH，然后根据勾股定理求出GK，再根据面积法求得点K到CG的距离h，根据角平分线的性质定理得出AK=h即可。
5．（2023七下·淄川期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴DB=CD，AD⊥CB，
由勾股定理得，
∴BC=8，
故答案为：C
【分析】先根据等腰三角形的性质即可得到DB=CD，AD⊥CB，进而根据勾股定理求出BD即可求解。
6．（2022八上·宝应期中）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ）
A．10 B． C．10或 D．10或
【答案】C
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：①第一种情况，如下图所示.
则
∵点D是斜边EF中点，
∴EF=2BD=
②第二种情况，如下图所示.
则
∵点A是斜边EF中点，
∴EF=2AC=10
综上所述，原直角三角形纸片的斜边长是10或.
故答案为：C.
【分析】分情况画出原直角三角形，再根据勾股定理求出斜边上的中线长，即可求出斜边的长.
7．（2023八上·西安期末）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处，若，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（ ）
A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，
∵∠AOC=∠AOF+∠COG=90°，
∠AOF+∠OAF=90°，
∴∠COG=∠OAF，
在△AOF与△OCG中，
，
∴△AOF≌△OCG（AAS），
∴OG=AF=BD=4米，
设AO=x米，
在Rt△AFO中，AF2+OF2=AO2，即42+（x-1）2=x2，
解得x=8.5.
则CE=GB=OB-OG=8.5-4=4.5（米）.
故答案为：B.
【分析】作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，由同角的余角相等可得∠COG=∠OAF， 由题意可得AO=OC，利用AAS证明△AOF≌△OCG，得到OG=AF=BD=4米，设AO=x米，在Rt△AFO中，由勾股定理可得x的值，然后根据CE=GB=OB-OG进行计算.
8．（2023八上·渭滨期末）将直角三角形的三条边长做如下变化，得到的新三角形仍是直角三角形的是（ ）
A．同加一个相同的数 B．同减一个相同的数
C．同乘以一个相同的正整数 D．同时平方
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：设直角三角形的三边长分别为：a，b，c（斜边），
∴，
若三边都加上（或减去）同一个m，则三边分别为，，，
此时，
∴A，B不符合题意；
若三边都乘以n（n为正整数），则三边分别为，，，
∴，
∴此时三角形还是直角三角形，故C符合题意；
若三边都平方，则三边分别为：，，，
∴，
故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】设直角三角形的三边长分别为：a，b，c（斜边），则a2+b2=c2，若三边都加上（或减去）同一个m，则三边分别为a±m，b±m，c±m，此时(a±m)2+(b±m)2≠(c±m)2，据此判断A、B；同理可判断CD.
二、填空题
9．（2023八上·余姚期末）直角三角形两条边长分别为3和4，则第三边的长为 .
【答案】5或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当4是直角边时，第三边长为：，
当4是斜边时，第三边长为：，
所以，第三边长为5或.
故答案为：5或.
【分析】分4是直角边、4是斜边，利用勾股定理进行计算就可求出第三边的长.
10．（2022八上·宝应期中）已知一个三角形的三边长分别是4cm、7cm、6cm，该三角形的形状 （填“是”或“不是”）直角三角形．
【答案】不是
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵42+62≠72，
∴该三角形的形状不是直角三角形.
故答案为：不是
【分析】根据勾股定理的逆定理，如果三角形较小的两条边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形，否则就不是.
11．（2023八上·杭州期末）如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道与的长度相等，滑梯的高度，.则滑道的长度为 m.
【答案】10
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
即，解得，
故答案为：10.
【分析】设AC=AE=xm，则AB=(x-2)m，接下来在Rt△ABC中，利用勾股定理计算即可.
12．（2023八上·宁波期末）如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若∠C＝45°，∠B＝30°，AD＝2，则AB2-AC2的值是 .
【答案】8
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处，
∴∠ADC=∠ADE=90°，
∵∠C=45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AC2=2AD2=2×22=8，
在Rt△ADB中，∠B=30°，
∴AB=2AD=4，
∴AB2-AC2=16-8=8.
故答案为：8
【分析】利用折叠的性质可知∠ADC=∠ADE=90°，易证△ADC是等腰直角三角形，利用勾股定理表示出AC2的值；再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AB的长，然后求出AB2-AC2的值.
13．（2023八上·海曙期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长是 .
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，
∴，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理可得BC，根据角平分线的性质可得CD=DE，利用HL证明△DCB≌△DEB，得到BC=BE=3，则AE=AB-BE=2，设CD=DE=x，则AD=4-x，然后在Rt△ADE、Rt△DEB中，由勾股定理求解即可.
三、解答题
14．（2023八上·宁强期末）如图，某校攀岩墙的顶部A处安装了一根安全绳，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端C拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（即米），，求攀岩墙的高度.
【答案】解：设攀岩墙的高为x米，则绳子的长为米，
在中，米，
，
∴，
解得，
∴攀岩墙的高为15米.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】 设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，在Rt△ABC中，利用勾股定理建立方程， 求解即可.
15．（2023七下·南宁期末）综合与实践
【问题发现】如图1，把两个面积都为1cm2的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个大正方形，则该大正方形的边长为 ▲ cm．
【知识迁移】若一个圆与一个正方形的面积都是2πcm2，设这个圆的周长为C这个正方形的周长为C圆，则C圆 ▲ C正（填“＝”或“＜”或“＞”）．
【拓展延伸】李明想用一块面积为400cm2的正方形纸片（如图2所示），沿着边的方向截出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为5：4．李叨能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．
【答案】解：【第1空】；
【第2空】＜；
能，理由如下：
设长方形的长为5xcm，宽为4xcm，由题意可得，
5x·4x=300，
解得，
即长为cm，宽为cm，
∵面积为400cm2正方形纸片的边长为20cm，
又∵，
∴能裁出符合要求的纸片 .
【知识点】平方根；无理数的估值；勾股定理
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为1cm2，
∴正方形的边长为1cm，
∴正方形的对角线长为cm；
∵一个圆与一个正方形的面积都是2πcm2 ，
∴圆的半径为cm，正方形的边长为cm，
∴C圆 =， C正 =，
∵，，
又∵π＜4，
∴，
∴C圆＜C正 .
故答案为：；＜.
【分析】（1）利用勾股定理计算即可；
（2）分别求出圆的半径、正方形的边长，进而求出圆周长和正方形的周长，比较大小；
（3）求出长方形的长、宽和正方形的边长，比较长方形的长与正方形的边长的大小，得出结论.
四、作图题
16．（2023八上·鄞州期末）如图，在 8×6 的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位．
（1）在图1中画出一个以BC为一边，面积为12的三角形；
（2）在图2中画出一个以AB为腰的等腰三角形
（3）在图 2中画出△ABC的角平分线BE（△ABC 的三个顶点都在格点上）．按要求完成作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹；③标注相关字母．
【答案】（1）解：如图：△ABC就是所求的三角形，
（2）解：如图：△ABC就是所求的三角形，
（3）解：如图：BE就是所求的△ABC的角平分线.
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及三角形面积的计算方法，作出以BC为底，BC边上的高为4的格点三角形即可；
（2）利用方格纸的特点及勾股定理算出AB的长，根据等腰三角形的两腰相等，作图即可；
（3）借助方格纸的特点，连接点A右移5个单位长度后的对应点与点B，交AC于点E，根据等腰三角形两底角相等及二直线平行，内错角相等，可得线段BE就是所求的△ABC的角平分线.
五、综合题
17．（2023七下·天桥期末）如图，把一块直角三角形（其中）土地划出一个后，测得米，米，米，米．
（1）求的长度；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）求图中阴影部分土地的面积．
【答案】（1）解：（米），
（米）；
（2）解：是直角三角形，
，
，
，
是直角三角形；
（3）解：
（平方米）；
即阴影部分面积为24平方米．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理，直接求得AC即可；
（2）通过计算AC、CD、AD三边的平方，根据勾股定理的逆定理，即可判断出△ACD是直角三角形；
（3）阴影部分的面积可分成直角三角形ABC和直角三角形ACD的面积差来求。
18．（2022八上·宝应期中）如图是钉板示意图，相邻的两个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A、B的连线与钉点C、D的连线交于点E．
（1）求证：；
（2） ．
【答案】（1）证明：在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴；
（2）
【知识点】垂线；三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（2）在Rt△ABC中，，
∵S△ABC=，
∴2×1=CE，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）利用SAS判断出△ACB≌△CFD，由全等三角形的对应角相等得∠CAB=∠FCD，根据直角三角形两锐角互余及等量代换可得∠FCD+∠CBA=90°，由三角形的内角和定理得∠CEB=90°，根据垂直的定义可得AB⊥CD；
（2）在Rt△ABC中，先用勾股定理算出AB，进而根据S△ABC=，建立方程，求解即可.
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 19.9 勾股定理 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023七下·天桥期末）如图，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，字母所代表的正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·陈仓期末）下列各组数据中是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．，，
C．9，12，15 D．，，
3．（2023八上·内江期末）已知的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．，，
C． D．
4．（2023七下·张店期末）在中，，以C为圆心，适当长为半径画弧交，于D，E两点，分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧交于点M，作射线交于点K．以K为圆心，为半径画弧交射线于点H，分别以C，H为圆心，大于长为半径画弧交于点N，L，作直线交于点G．若，，则（ ）
A．2 B． C． D．3
5．（2023七下·淄川期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
6．（2022八上·宝应期中）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ）
A．10 B． C．10或 D．10或
7．（2023八上·西安期末）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处，若，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（ ）
A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米
8．（2023八上·渭滨期末）将直角三角形的三条边长做如下变化，得到的新三角形仍是直角三角形的是（ ）
A．同加一个相同的数 B．同减一个相同的数
C．同乘以一个相同的正整数 D．同时平方
二、填空题
9．（2023八上·余姚期末）直角三角形两条边长分别为3和4，则第三边的长为 .
10．（2022八上·宝应期中）已知一个三角形的三边长分别是4cm、7cm、6cm，该三角形的形状 （填“是”或“不是”）直角三角形．
11．（2023八上·杭州期末）如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道与的长度相等，滑梯的高度，.则滑道的长度为 m.
12．（2023八上·宁波期末）如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若∠C＝45°，∠B＝30°，AD＝2，则AB2-AC2的值是 .
13．（2023八上·海曙期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长是 .
三、解答题
14．（2023八上·宁强期末）如图，某校攀岩墙的顶部A处安装了一根安全绳，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端C拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（即米），，求攀岩墙的高度.
15．（2023七下·南宁期末）综合与实践
【问题发现】如图1，把两个面积都为1cm2的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个大正方形，则该大正方形的边长为 ▲ cm．
【知识迁移】若一个圆与一个正方形的面积都是2πcm2，设这个圆的周长为C这个正方形的周长为C圆，则C圆 ▲ C正（填“＝”或“＜”或“＞”）．
【拓展延伸】李明想用一块面积为400cm2的正方形纸片（如图2所示），沿着边的方向截出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为5：4．李叨能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．
四、作图题
16．（2023八上·鄞州期末）如图，在 8×6 的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位．
（1）在图1中画出一个以BC为一边，面积为12的三角形；
（2）在图2中画出一个以AB为腰的等腰三角形
（3）在图 2中画出△ABC的角平分线BE（△ABC 的三个顶点都在格点上）．按要求完成作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹；③标注相关字母．
五、综合题
17．（2023七下·天桥期末）如图，把一块直角三角形（其中）土地划出一个后，测得米，米，米，米．
（1）求的长度；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）求图中阴影部分土地的面积．
18．（2022八上·宝应期中）如图是钉板示意图，相邻的两个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A、B的连线与钉点C、D的连线交于点E．
（1）求证：；
（2） ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】算术平方根；勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：SB=225-81=144，所以 字母B所代表的正方形的边长是：。
故答案为：A。
【分析】根据勾股定理可直接求得正方形B的面积，即正方形B的边长的平方，再求出算术平方根即可。
2．【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
B、（32）2+（42）2≠（52）2，故不是勾股数，不符合题意；
C、92+122=152，三边是整数，同时能构成直角三角形，故正确，符合题意；
D、不是正整数，故不是勾股数，不符合题；
故答案为：C.
【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此判断.
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，故A不符合题意；
∵，，
∴，
∴是直角三角形，故B不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故C不符合题意；
∵，，
∴，
∴不是直角三角形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断A、B选项；根据三角形的内角和定理算出最大内角的度数，如果等于90°就是直角三角形，否则就不是，据此可判断C、D选项.
4．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图过程知，CH平分∠ACB，NL垂直平分CH，∵CH=8，∴CK=4，又∠CKG=90°，CG=5，∴，设点K到CG的距离为h，则：，5h=4×3，h=2.4，又∵CH平分∠ACB，∠A=90°，∴AK=h=2.4.
故答案为：B。
【分析】首先根据作图过程得出CH平分∠ACB，NL垂直平分CH，然后根据勾股定理求出GK，再根据面积法求得点K到CG的距离h，根据角平分线的性质定理得出AK=h即可。
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴DB=CD，AD⊥CB，
由勾股定理得，
∴BC=8，
故答案为：C
【分析】先根据等腰三角形的性质即可得到DB=CD，AD⊥CB，进而根据勾股定理求出BD即可求解。
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：①第一种情况，如下图所示.
则
∵点D是斜边EF中点，
∴EF=2BD=
②第二种情况，如下图所示.
则
∵点A是斜边EF中点，
∴EF=2AC=10
综上所述，原直角三角形纸片的斜边长是10或.
故答案为：C.
【分析】分情况画出原直角三角形，再根据勾股定理求出斜边上的中线长，即可求出斜边的长.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，
∵∠AOC=∠AOF+∠COG=90°，
∠AOF+∠OAF=90°，
∴∠COG=∠OAF，
在△AOF与△OCG中，
，
∴△AOF≌△OCG（AAS），
∴OG=AF=BD=4米，
设AO=x米，
在Rt△AFO中，AF2+OF2=AO2，即42+（x-1）2=x2，
解得x=8.5.
则CE=GB=OB-OG=8.5-4=4.5（米）.
故答案为：B.
【分析】作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，由同角的余角相等可得∠COG=∠OAF， 由题意可得AO=OC，利用AAS证明△AOF≌△OCG，得到OG=AF=BD=4米，设AO=x米，在Rt△AFO中，由勾股定理可得x的值，然后根据CE=GB=OB-OG进行计算.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：设直角三角形的三边长分别为：a，b，c（斜边），
∴，
若三边都加上（或减去）同一个m，则三边分别为，，，
此时，
∴A，B不符合题意；
若三边都乘以n（n为正整数），则三边分别为，，，
∴，
∴此时三角形还是直角三角形，故C符合题意；
若三边都平方，则三边分别为：，，，
∴，
故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】设直角三角形的三边长分别为：a，b，c（斜边），则a2+b2=c2，若三边都加上（或减去）同一个m，则三边分别为a±m，b±m，c±m，此时(a±m)2+(b±m)2≠(c±m)2，据此判断A、B；同理可判断CD.
9．【答案】5或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当4是直角边时，第三边长为：，
当4是斜边时，第三边长为：，
所以，第三边长为5或.
故答案为：5或.
【分析】分4是直角边、4是斜边，利用勾股定理进行计算就可求出第三边的长.
10．【答案】不是
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵42+62≠72，
∴该三角形的形状不是直角三角形.
故答案为：不是
【分析】根据勾股定理的逆定理，如果三角形较小的两条边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形，否则就不是.
11．【答案】10
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
即，解得，
故答案为：10.
【分析】设AC=AE=xm，则AB=(x-2)m，接下来在Rt△ABC中，利用勾股定理计算即可.
12．【答案】8
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处，
∴∠ADC=∠ADE=90°，
∵∠C=45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AC2=2AD2=2×22=8，
在Rt△ADB中，∠B=30°，
∴AB=2AD=4，
∴AB2-AC2=16-8=8.
故答案为：8
【分析】利用折叠的性质可知∠ADC=∠ADE=90°，易证△ADC是等腰直角三角形，利用勾股定理表示出AC2的值；再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AB的长，然后求出AB2-AC2的值.
13．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，
∴，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理可得BC，根据角平分线的性质可得CD=DE，利用HL证明△DCB≌△DEB，得到BC=BE=3，则AE=AB-BE=2，设CD=DE=x，则AD=4-x，然后在Rt△ADE、Rt△DEB中，由勾股定理求解即可.
14．【答案】解：设攀岩墙的高为x米，则绳子的长为米，
在中，米，
，
∴，
解得，
∴攀岩墙的高为15米.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】 设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，在Rt△ABC中，利用勾股定理建立方程， 求解即可.
15．【答案】解：【第1空】；
【第2空】＜；
能，理由如下：
设长方形的长为5xcm，宽为4xcm，由题意可得，
5x·4x=300，
解得，
即长为cm，宽为cm，
∵面积为400cm2正方形纸片的边长为20cm，
又∵，
∴能裁出符合要求的纸片 .
【知识点】平方根；无理数的估值；勾股定理
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为1cm2，
∴正方形的边长为1cm，
∴正方形的对角线长为cm；
∵一个圆与一个正方形的面积都是2πcm2 ，
∴圆的半径为cm，正方形的边长为cm，
∴C圆 =， C正 =，
∵，，
又∵π＜4，
∴，
∴C圆＜C正 .
故答案为：；＜.
【分析】（1）利用勾股定理计算即可；
（2）分别求出圆的半径、正方形的边长，进而求出圆周长和正方形的周长，比较大小；
（3）求出长方形的长、宽和正方形的边长，比较长方形的长与正方形的边长的大小，得出结论.
16．【答案】（1）解：如图：△ABC就是所求的三角形，
（2）解：如图：△ABC就是所求的三角形，
（3）解：如图：BE就是所求的△ABC的角平分线.
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及三角形面积的计算方法，作出以BC为底，BC边上的高为4的格点三角形即可；
（2）利用方格纸的特点及勾股定理算出AB的长，根据等腰三角形的两腰相等，作图即可；
（3）借助方格纸的特点，连接点A右移5个单位长度后的对应点与点B，交AC于点E，根据等腰三角形两底角相等及二直线平行，内错角相等，可得线段BE就是所求的△ABC的角平分线.
17．【答案】（1）解：（米），
（米）；
（2）解：是直角三角形，
，
，
，
是直角三角形；
（3）解：
（平方米）；
即阴影部分面积为24平方米．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理，直接求得AC即可；
（2）通过计算AC、CD、AD三边的平方，根据勾股定理的逆定理，即可判断出△ACD是直角三角形；
（3）阴影部分的面积可分成直角三角形ABC和直角三角形ACD的面积差来求。
18．【答案】（1）证明：在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴；
（2）
【知识点】垂线；三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（2）在Rt△ABC中，，
∵S△ABC=，
∴2×1=CE，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）利用SAS判断出△ACB≌△CFD，由全等三角形的对应角相等得∠CAB=∠FCD，根据直角三角形两锐角互余及等量代换可得∠FCD+∠CBA=90°，由三角形的内角和定理得∠CEB=90°，根据垂直的定义可得AB⊥CD；
（2）在Rt△ABC中，先用勾股定理算出AB，进而根据S△ABC=，建立方程，求解即可.
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