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2023-2024学年初中数学八年级上册 19.10 两点的距离公式 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八上·福州期末）在平面直角坐标系中，点，，，，若的对称轴是直线，且，则的值为（ ）
A．15或21 B．9或11 C．15或20 D．15或19
【答案】A
【知识点】点的坐标；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵点，，，，
∴点A在y轴正半轴上，点B在第一象限，点C在x轴上，
∴，
∵的对称轴是直线，
∴平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或9，
∴或21.
故答案为：A.
【分析】根据点的坐标特点得点A在y轴正半轴上，点B在第一象限，点C在x轴上，根据第一象限角平分线上点的横纵坐标相等可得b=24-b，求解可得b的值，进而根据两点间的距离公式结合AB=BC建立方程，求解可得a的值，据此就不难求出答案了.
2．（2022七下·东莞期末）在平面直角坐标系中，如果过点A 和B的直线平行于x轴，且AB＝4，则点B的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】点的坐标；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵过点A的直线平行于x轴，
∴点A和点B的纵坐标相等，
∴设点B的坐标为．
∵AB＝4，
∴，
解得，，
∴点B的坐标为或．
故答案为：D．
【分析】根据点坐标的定义及两点之间的距离公式求解即可。
3．（2021八上·济阳期中）平面直角坐标系内，点到原点的距离是（ ）
A．2 B．3 C． D．2或3
【答案】C
【知识点】直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵点，
∴点到原点的距离是=，
故答案为：C．
【分析】根据点的坐标求解即可。
4．（2023八下·瑞安期中）点是平面直角坐标系上的一个点，则它到原点的距离是（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵ ，
∴该点到原点的距离为：.
故答案为：A.
【分析】直接根据坐标平面内两点间的距离公式计算即可.
5．（2022七下·临西期末）在平面直角坐标系中，点，，当线段AB长度最短时，的值为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】垂线段最短；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：如图，CD为直线
∵，则B在直线上运动，
当时，线段AB最短，
∴轴，
∴
故答案为：C
【分析】根据题意先求出轴，再求解即可。
6．已知A，B两点的坐标是A(5，a)，B(b，4)，若AB平行于x轴，且AB=3，则a+b的值为（ ）
A．-1 B．9 C．12 D．6或12
【答案】D
【知识点】点的坐标；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵AB平行x轴，
∴a=4，
∵AB=|5-b|=3，
解得b=2或8，
∴a+b=4+2或4+8，
即a+b=4或12.
故答案为：D.
【分析】根据AB平行x轴，可得A、B两点的纵坐标相等，则可求出a值，再由坐标系中两点间距离公式得出一个关于b的绝对值方程求解，最后将a、b值代入原式计算即可.
7．（2021八上·青神期末）点 离原点的距离是（ ）
A．4 B．7 C．3 D．5
【答案】D
【知识点】直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：如图所示，
过M分别做x、y轴的垂线段，垂足分别是A、B，
∵点M的坐标是（-4，3），
∴MB=4，OB=3，
∵在Rt△MOB中，OM2=OB2+BM2，
∴OM2=32+42=25，
∴OM=5（负数舍去）.
故答案为：D.
【分析】作出示意图，过M分别做x、y轴的垂线段，垂足分别是A、B，由点M的坐标可得MB=4，OB=3，然后在Rt△MOB中，应用勾股定理求出OM即可.
8．（2023·绵阳模拟）如图，矩形ABCD的边AB在x轴的正半轴上，点B在点A的右边，点C，D在第一象限，，，点P在CD边上运动，若b取某个确定的值时，使得是等腰三角形的点P有三个可能位置，则b的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．，且
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵A（1，0），C（7，b），
∴P（p，b），B（7，0）.
当PO=BO时，p2+b2=49；
当PO=BP时，p2+b2=(p-7)2+b2；
当BP=BO时，(p-7)2+b2=49，
解得≤b≤.
当b=时，点P取不到，
∴≤b≤且b≠.
故答案为：D.
【分析】由点A、C的坐标可得P（p，b），B（7，0），然后分PO=BO、PO=BP、BP=BO进行求解.
二、填空题
9．（2022七下·大同期末）已知点A（﹣3，4），B（5，4），则A，B两点间的距离是 ．
【答案】8
【知识点】直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵A（﹣3，4），B（5，4），
∴轴，
∴，
故答案为：8．
【分析】根据点A和点B的坐标先求出轴，再求出AB的值即可。
10．（2023七下·普陀期末）在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，那么A、B两点间的距离等于 ．
【答案】
【知识点】直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：丨AB丨=
故第1空答案为：
【分析】根据平面直角坐标系内两点之间的距离公式，直接代入计算即可。
11．（2023七下·南昌期中）在平面直角坐标系中，点，，若轴，则线段的长度为 ．
【答案】3
【知识点】平行线的性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵轴，
∴2a-1=1，
∴a=1，
∴B（1，1），
∴线段的长度为3，
故答案为：3
【分析】先根据线段平行即可得到a的值，进而根据坐标轴中两点间的距离即可求解。
12．（2022八上·西安月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点分别为点，，，，点D是线段的中点，点P在边上，若是腰为5的等腰三角形，则点P的坐标为 .
【答案】 或
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵点 ， ，点D是线段 的中点，
∴点D的坐标为 ， ，
∵点 ， ，
∴ 轴，
设点P的坐标为： ，
当 时， ，
解得： 或 ，
∵ ，
∴ 舍去，
∴此时点P的坐标为： ；
当 时， ，
解得： 或 （舍去），
∴此时点P的坐标为： ；
综上分析可知，点P的坐标为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】根据中点坐标公式先求出点D的坐标为（5，0），则OD=5，根据平行x轴直线上所有点的纵坐标相同，设点P的坐标为：（a，2），分两种情况：OD＝DP＝5或OD＝OP＝5，根据平面内两点间的距离公式建立方程，求出a的值，即可得出答案．
13．（2022七下·盘山期末）在平面直角坐标系中，点到y轴的距离为 ．
【答案】4
【知识点】直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】 点到y轴的距离为
故答案为： 4
【分析】点到y轴的距离为为横坐标的绝对值
三、解答题
14．已知点A(- 3，4)，若有一点B(-3，y)，使AB=5，求点B的坐标。
【答案】解：因为点A(- 3，4)，B(- 3，y)，AB=5，所以|y-4|=5，
所以y-4=5或y-4=-5，解得y=9或y=-1．
所以点B的坐标为(-3，9)或(-3，-1)．
【知识点】点的坐标；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】先求出 |y-4|=5， 再求出 y=9或y=-1 ，最后求点的坐标即可。
15．（2021七下·香洲期末）在平面直角坐标系中，点P（﹣5，2）和点Q（m+1，3m﹣1），当线段PQ与x轴平行时，求线段PQ的长．
【答案】解：当线段 与 轴平行时，
，
解得： ，
点坐标为 ，
，
即线段 的长为7．
【知识点】点的坐标；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】根据平面直角坐标系内与X轴平行的直线上的点纵坐标相等，列出关于M的方程，求得M的值，在代入求得Q点的坐标，从而求出线段PQ的长。
四、作图题
16．（2023七下·小店期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．
（1）请在图中画出关于y轴对称的；
（2）点A、的距离是 ．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）
【知识点】作图﹣轴对称；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：（2）由题意得C'（2，-1），
∴点A、的距离是，
故答案为：
【分析】（1）根据轴对称的性质直接作图即可求解；
（2）根据坐标系中两点间的距离公式即可求解。
五、综合题
17．（2023七下·交城期中）在平面直角坐标系中，已知点M．
（1）若点M在轴上，求的值；
（2）若点，且直线轴，求线段的长．
【答案】（1）解：∵点M在轴上，
∴，
∴；
（2）解：∵轴，
∴点M与点N的纵坐标相等，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】点的坐标；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的特征即可得到m的值；
（2）根据平行即可得到点M与点N的纵坐标相等，进而即可得到m的值和M的坐标，进而根据坐标系中两点间的距离即可求解。
18．（2023七下·乌鲁木齐期中）已知点，根据条件，解决下列问题：
（1）点A的横坐标是纵坐标的3倍，求点A的坐标；
（2）点A在过点且与x轴平行的直线上，求线段AP的长．
【答案】（1）解：∵点A的横坐标是纵坐标的3倍，
∴，解得：，
∴，
∴；
（2）解：∵点A在过点且与x轴平行的直线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】点的坐标；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）根据点的坐标结合题意即可求出a，进而即可得到点A的坐标；
（2）先根据平行即可求出a，进而即可得到点A的坐标，再根据两点间的距离即可求解。
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2023-2024学年初中数学八年级上册 19.10 两点的距离公式 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八上·福州期末）在平面直角坐标系中，点，，，，若的对称轴是直线，且，则的值为（ ）
A．15或21 B．9或11 C．15或20 D．15或19
2．（2022七下·东莞期末）在平面直角坐标系中，如果过点A 和B的直线平行于x轴，且AB＝4，则点B的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
3．（2021八上·济阳期中）平面直角坐标系内，点到原点的距离是（ ）
A．2 B．3 C． D．2或3
4．（2023八下·瑞安期中）点是平面直角坐标系上的一个点，则它到原点的距离是（ ）
A．3 B． C．2 D．
5．（2022七下·临西期末）在平面直角坐标系中，点，，当线段AB长度最短时，的值为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知A，B两点的坐标是A(5，a)，B(b，4)，若AB平行于x轴，且AB=3，则a+b的值为（ ）
A．-1 B．9 C．12 D．6或12
7．（2021八上·青神期末）点 离原点的距离是（ ）
A．4 B．7 C．3 D．5
8．（2023·绵阳模拟）如图，矩形ABCD的边AB在x轴的正半轴上，点B在点A的右边，点C，D在第一象限，，，点P在CD边上运动，若b取某个确定的值时，使得是等腰三角形的点P有三个可能位置，则b的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．，且
二、填空题
9．（2022七下·大同期末）已知点A（﹣3，4），B（5，4），则A，B两点间的距离是 ．
10．（2023七下·普陀期末）在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，那么A、B两点间的距离等于 ．
11．（2023七下·南昌期中）在平面直角坐标系中，点，，若轴，则线段的长度为 ．
12．（2022八上·西安月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点分别为点，，，，点D是线段的中点，点P在边上，若是腰为5的等腰三角形，则点P的坐标为 .
13．（2022七下·盘山期末）在平面直角坐标系中，点到y轴的距离为 ．
三、解答题
14．已知点A(- 3，4)，若有一点B(-3，y)，使AB=5，求点B的坐标。
15．（2021七下·香洲期末）在平面直角坐标系中，点P（﹣5，2）和点Q（m+1，3m﹣1），当线段PQ与x轴平行时，求线段PQ的长．
四、作图题
16．（2023七下·小店期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．
（1）请在图中画出关于y轴对称的；
（2）点A、的距离是 ．
五、综合题
17．（2023七下·交城期中）在平面直角坐标系中，已知点M．
（1）若点M在轴上，求的值；
（2）若点，且直线轴，求线段的长．
18．（2023七下·乌鲁木齐期中）已知点，根据条件，解决下列问题：
（1）点A的横坐标是纵坐标的3倍，求点A的坐标；
（2）点A在过点且与x轴平行的直线上，求线段AP的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】点的坐标；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵点，，，，
∴点A在y轴正半轴上，点B在第一象限，点C在x轴上，
∴，
∵的对称轴是直线，
∴平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或9，
∴或21.
故答案为：A.
【分析】根据点的坐标特点得点A在y轴正半轴上，点B在第一象限，点C在x轴上，根据第一象限角平分线上点的横纵坐标相等可得b=24-b，求解可得b的值，进而根据两点间的距离公式结合AB=BC建立方程，求解可得a的值，据此就不难求出答案了.
2．【答案】D
【知识点】点的坐标；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵过点A的直线平行于x轴，
∴点A和点B的纵坐标相等，
∴设点B的坐标为．
∵AB＝4，
∴，
解得，，
∴点B的坐标为或．
故答案为：D．
【分析】根据点坐标的定义及两点之间的距离公式求解即可。
3．【答案】C
【知识点】直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵点，
∴点到原点的距离是=，
故答案为：C．
【分析】根据点的坐标求解即可。
4．【答案】A
【知识点】直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵ ，
∴该点到原点的距离为：.
故答案为：A.
【分析】直接根据坐标平面内两点间的距离公式计算即可.
5．【答案】C
【知识点】垂线段最短；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：如图，CD为直线
∵，则B在直线上运动，
当时，线段AB最短，
∴轴，
∴
故答案为：C
【分析】根据题意先求出轴，再求解即可。
6．【答案】D
【知识点】点的坐标；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵AB平行x轴，
∴a=4，
∵AB=|5-b|=3，
解得b=2或8，
∴a+b=4+2或4+8，
即a+b=4或12.
故答案为：D.
【分析】根据AB平行x轴，可得A、B两点的纵坐标相等，则可求出a值，再由坐标系中两点间距离公式得出一个关于b的绝对值方程求解，最后将a、b值代入原式计算即可.
7．【答案】D
【知识点】直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：如图所示，
过M分别做x、y轴的垂线段，垂足分别是A、B，
∵点M的坐标是（-4，3），
∴MB=4，OB=3，
∵在Rt△MOB中，OM2=OB2+BM2，
∴OM2=32+42=25，
∴OM=5（负数舍去）.
故答案为：D.
【分析】作出示意图，过M分别做x、y轴的垂线段，垂足分别是A、B，由点M的坐标可得MB=4，OB=3，然后在Rt△MOB中，应用勾股定理求出OM即可.
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵A（1，0），C（7，b），
∴P（p，b），B（7，0）.
当PO=BO时，p2+b2=49；
当PO=BP时，p2+b2=(p-7)2+b2；
当BP=BO时，(p-7)2+b2=49，
解得≤b≤.
当b=时，点P取不到，
∴≤b≤且b≠.
故答案为：D.
【分析】由点A、C的坐标可得P（p，b），B（7，0），然后分PO=BO、PO=BP、BP=BO进行求解.
9．【答案】8
【知识点】直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵A（﹣3，4），B（5，4），
∴轴，
∴，
故答案为：8．
【分析】根据点A和点B的坐标先求出轴，再求出AB的值即可。
10．【答案】
【知识点】直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：丨AB丨=
故第1空答案为：
【分析】根据平面直角坐标系内两点之间的距离公式，直接代入计算即可。
11．【答案】3
【知识点】平行线的性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵轴，
∴2a-1=1，
∴a=1，
∴B（1，1），
∴线段的长度为3，
故答案为：3
【分析】先根据线段平行即可得到a的值，进而根据坐标轴中两点间的距离即可求解。
12．【答案】 或
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵点 ， ，点D是线段 的中点，
∴点D的坐标为 ， ，
∵点 ， ，
∴ 轴，
设点P的坐标为： ，
当 时， ，
解得： 或 ，
∵ ，
∴ 舍去，
∴此时点P的坐标为： ；
当 时， ，
解得： 或 （舍去），
∴此时点P的坐标为： ；
综上分析可知，点P的坐标为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】根据中点坐标公式先求出点D的坐标为（5，0），则OD=5，根据平行x轴直线上所有点的纵坐标相同，设点P的坐标为：（a，2），分两种情况：OD＝DP＝5或OD＝OP＝5，根据平面内两点间的距离公式建立方程，求出a的值，即可得出答案．
13．【答案】4
【知识点】直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】 点到y轴的距离为
故答案为： 4
【分析】点到y轴的距离为为横坐标的绝对值
14．【答案】解：因为点A(- 3，4)，B(- 3，y)，AB=5，所以|y-4|=5，
所以y-4=5或y-4=-5，解得y=9或y=-1．
所以点B的坐标为(-3，9)或(-3，-1)．
【知识点】点的坐标；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】先求出 |y-4|=5， 再求出 y=9或y=-1 ，最后求点的坐标即可。
15．【答案】解：当线段 与 轴平行时，
，
解得： ，
点坐标为 ，
，
即线段 的长为7．
【知识点】点的坐标；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】根据平面直角坐标系内与X轴平行的直线上的点纵坐标相等，列出关于M的方程，求得M的值，在代入求得Q点的坐标，从而求出线段PQ的长。
16．【答案】（1）解：如图所示：
（2）
【知识点】作图﹣轴对称；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：（2）由题意得C'（2，-1），
∴点A、的距离是，
故答案为：
【分析】（1）根据轴对称的性质直接作图即可求解；
（2）根据坐标系中两点间的距离公式即可求解。
17．【答案】（1）解：∵点M在轴上，
∴，
∴；
（2）解：∵轴，
∴点M与点N的纵坐标相等，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】点的坐标；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的特征即可得到m的值；
（2）根据平行即可得到点M与点N的纵坐标相等，进而即可得到m的值和M的坐标，进而根据坐标系中两点间的距离即可求解。
18．【答案】（1）解：∵点A的横坐标是纵坐标的3倍，
∴，解得：，
∴，
∴；
（2）解：∵点A在过点且与x轴平行的直线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】点的坐标；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）根据点的坐标结合题意即可求出a，进而即可得到点A的坐标；
（2）先根据平行即可求出a，进而即可得到点A的坐标，再根据两点间的距离即可求解。
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