2023-2024学年初中数学八年级上册 19.10 两点的距离公式 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八下·河西期中）若有点，点，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022八下·无为期末）如图，在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点，点B是直线与y轴的交点，点P是x轴上的一个动点，连接PA，PB，则的最小值是（ ）
A．6 B． C．9 D．
3．（2022八下·禹州期末）在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，6），则点A，B之间的距离是（ ）
A．2 B．2 C．3 D．5
4．（2021九上·永定期末）如图，直线y=x+2与反比例函 的图象在第一象限交于点P.若 ，则k的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（2021八下·东莞期末）如图，点P是平面直角坐标系中一点，则点P到原点O的距离是（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．（2021九上·织金期末）如图，直线 与坐标轴分别交于点 ，与若双曲线 交于点 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021八上·铁西月考）如图，若点，点，在x轴上找一点P，使最小，则点P坐标为（ ）
A．（－5，0） B．（－1，0） C．（0，0） D．（1，0）
8．（2023·宁波模拟）已知：、是正数，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023·盐田模拟）如图，A，B是反比例函数图象上两点，，，，则 ．
10．（2023·秀洲模拟）如图，在平面直角坐标系中， ， ，P是x轴上动点，连结 ，将线段 绕点A逆时针旋转 得到线段 ，连结 ，取 中点为M. 的度数为 ， 的最小值为 .
11．（2023九下·荆州月考）如图，在平面直角坐标系中，长为3的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，点、是y轴上定点，连接，则的最小值为 .
12．（2022·河西模拟）如图，在边长为4的等边中，D，E分别为，的中点，连接，F为的中点，连接，则的长为 ．
13．（2022·石景山模拟）如图，某建筑公司有A(1，3)，B(3，3)，C(5，3)三个建筑工地，三个工地的水泥日用量分别为a吨，b吨，c吨．有M(1，5)，N(3，1)两个原料库供应水泥．使用一辆载重量大于(a+b+c)吨的运输车可沿图中虚线所示的道路运送水泥．为节约运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”（吨数×运输路程千米数）最小．若公司安排一辆装有(a+c)吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且a>c，为使总的“吨千米数”最小，则应从 原料库（填“M”或“N”）装运；若公司计划从N原料库安排一辆装有(a+b+c)吨的运输车向A，B，C三个工地运送当日所需的水泥，且a：b：c=3：2：1，为使总的“吨千米数”最小，写出向三个工地运送水泥的顺序 （按运送的先后顺序依次排列即可）．
三、解答题
14．（2021八上·厦门开学考）在平面直角坐标系 中有 四点，其中 ， .
（Ⅰ）在下图中描出 四点，再连接 ；
（II）直接写出线段 与线段 的位置关系；
（Ⅲ）若 与 轴交于点 与 轴交于点 ，在线段 上是否存在一点 ，使得三角形 与三角形 的面积相等.若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由.
四、作图题
15．（2023八下·福州月考）按要求完成作图：
（1）作出关于轴对称的图形；
（2）在轴上找一点，使得MA+MB的值最小，最小为多少？
五、综合题
16．（2021八上·长沙期末）设两个点A、B的坐标分别为 ， ，则线段AB的长度为： .举例如下：A、B两点的坐标是 ， ，则A、B两点之间的距离 .请利用上述知识解决下列问题：
（1）若 ， ，且 ，求x的值；
（2）已知△ABC，点A为 、点B为 、点C为 ，求△ABC的面积；
（3）求代数式 的最小值.
17．（2020八上·长沙月考）先阅读下列一段文字，再解答问题.已知在平面内有两点P1（ ， ），P2（ ， ），其两点间的距离公式为 ，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为 或 .
（1）已知点A（7，3），B（2， ），试求A，B两点间的距离；
（2）已知点A，B在平行于 轴的直线上，点A的横坐标为6，点B的横坐标为 ，试求A，B两点间的距离；
（3）应用平面内两点间的距离公式，求代数式 的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】根据平面直角坐标系中两点距离公式：AB=；
故选：B
【分析】根据平面直角坐标系中两点距离公式计算可得答案。
2．【答案】D
【知识点】直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：作点A关于x轴的对称点，连接，如图所示：
则PA+PB的最小值即为的长，
将点A（3，a）代入y=2x，
得a=2×3=6，
∴点A坐标为（3，6），
将点A（3，6）代入y=x+b，
得3+b=6，
解得b=3，
∴点B坐标为（0，3），
根据轴对称的性质，可得点A'坐标为（3，-6）
∴，
∴PA+PB的最小值为．
故答案为：D．
【分析】作点A关于x轴的对称点，连接，先求出点B的坐标，再利用勾股定理求出，即可得到PA+PB的最小值为。
3．【答案】B
【知识点】直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：，，
.
故答案为：B.
【分析】若A（x，y），B（m，n）则AB=，据此计算
4．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：由题意设
整理得：
在第一象限，则
故答案为：B.
【分析】根据直线上的点的坐标特点设 P（x，x+2），由坐标平面内两点间的距离公式求出OP2，结合OP的长可列出方程，解之可求出点P坐标，再将点P坐标代入反比例函数解析式中求出k值即可.
5．【答案】D
【知识点】直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：如图，过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，则四边形OAPB为矩形．
∵P（1，2），
∴OA＝1，PA＝OB＝2，
在Rt△OPA中，∵∠OAP＝90°，
∴OP＝ ＝ ＝ ．
故答案为：D．
【分析】过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，则四边形OAPB为矩形．根据点坐标的定义得出OA＝1，PA＝OB＝2，再利用勾股定理即可求出OP的长。
6．【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：A为直线y=kx﹣3（k≠0）与双曲线y=﹣ （x＜0）的交点，可得A满足双曲线的解析式，
可得： ，
解得： ，
即A点坐标为（-2，1），
A点在直线上，可得A点满足y=kx﹣3（k≠0），
可得： ，解得：k=-2，
一次函数的解析式为：y=-2x﹣3，
B为直线与y轴的交点，可得B点坐标（0，-3），
∴AB= = ，
故答案为：A.
【分析】将y=1代入反比例函数解析式可求出m的值，可得到点A的坐标；将点A的坐标代入一次函数y=kx-3，可求出一次函数解析式，由x=0求出对应的y的值，可得到点B的坐标，然后利用点A，B的坐标，根据勾股定理求出AB的长.
7．【答案】C
【知识点】直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：根据题意要使|PA PB|最小，则PA＝PB即可，
设P（x，0），
∴，解得：x=0，
∴P（0，0）
故答案为：C．
【分析】要使|PA PB|最小，则PA＝PB即可.设P（x，0），根据PA=PB及坐标系内两点间的距离公式可得方程，求出x值即得结论.
8．【答案】A
【知识点】直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解： ， 均为正数， ， ，
设 ，
从上式可以看出：第一个根号是表示点 到 的距离，第二个根号是点 到 的距离，
最小值为 注意取值范围： ，
最小值 ，
故答案为：A.
【分析】由已知得b=2-a，代入待求式子，根据坐标平面内来两点间的距离公式可得题目表示的是x轴上一点C（a，0）到A（0，1）、B（2，-2）的距离之和最小值问题，根据两点之间线段最短，用勾股定理算出最小值AB即可.
9．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；三角形的面积；三角形全等及其性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：设A（m，）（m>0、k>0）
∵C（-2，0），D（4，0），
∴OC=2，OD=4.
∵△ACO≌△ODB，
∴AC=OD=4，S△ACO=S△ODB，AO=BO，
∴OC·|yA|=×OD×|yB|，
∴×2×=×4×yB，
∴yB=.
∵点B在反比例函数y=的图象上，
∴=，
∴x=2m，
∴B（2m，）.
∵AO=BO，
∴AO2=BO2，
∴m2+()2=(2m)2+()2，整理可得4m2=k2，
∴k=2m2，
∴A（m，2m）.
∵AC=4，
∴(m+2)2+4m2=16，
解得m=，
∴A（，），
∴k=×=.
故答案为：.
【分析】设A（m，）（m>0、k>0），根据点C、D的坐标可得OC=2，OD=4，由全等三角形的性质可得AC=OD=4，S△ACO=S△ODB，AO=BO，结合三角形的面积公式可得yB=，代入反比例函数解析式中可得x=2m，则B（2m，），根据AB=BO结合两点间距离公式可得k=2m2，则A（m，2m），根据AC=4可得m的值，据此可得点A的坐标，进而可求出k的值.
10．【答案】135°；
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：如图，过A作 轴，垂足为C，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ 绕点A逆时针旋转 得到 ， 是 中点，
∴ ， ，
∴ ，
过点Q作 ，垂足为D，
∵ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，即点Q的横坐标为1，则 ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴点M在线段 的垂直平分线上，
∴当M在 上时， 最小，且为 ，
故答案为：135°， .
【分析】过A作AC⊥x轴，垂足为C，根据点A、B的坐标可得AC=BC=2，∠ABC=45°，则∠ABP=135°，由旋转的性质可得∠PAQ=90°，AP=AQ，则AM=PQ， 过点Q作DQ⊥AC，垂足为D， 由同角的余角相等可得∠DAQ=∠APC，利用AAS证明△ADQ≌△PCA，得到DQ=AC=2，进而推出AM=BM，故当M在AB上时，AM+BM最小，然后利用两点间距离公式进行计算.
11．【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；平移的性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：如图，平移使点D落在点B处，连接，则点C的对应点为，即，
∵，，
∴点，
作点A关于x轴的对称点，此时点，C，在同一条线上时，最小，
∵，
∴，
连接，则的最小值为，
故答案为：.
【分析】平移CD使点D落在点B处，连接B′C，则点C的对应点为B′，即B′C=BD，易得B′（-3，4），作点A关于x轴的对称点A′，此时点A′，C，B′在同一条线上时，AC+BD取得最小值，为A′B′，然后利用两点间距离公式进行计算.
12．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：以点B为原点，BC所在的直线为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴建立平面直角坐标系，过点A作AE⊥BC，过点D作DG⊥BC，
由题意，得
点C的坐标为（4，0），E的坐标为（2，0），
∵等边三角形，E为BC的中点，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∴AE= AB×sin60°=，
又D，E分别是AB，BC的中点，∠ABC=60°，
∴△BDE为等边三角形，
∴DG= BD×sin60°=，
∴点D的坐标为（1，），点A的坐标为（2，），
∵F为DE的中点，
∴点F的坐标为（），
∴AF==．
故答案为：．
【分析】以点B为原点，BC所在的直线为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴建立平面直角坐标系，过点A作AE⊥BC，过点D作DG⊥BC，先证出△BDE为等边三角形，求出DG= BD×sin60°=，再求出点F的坐标，最后利用两点之间的距离公式求解即可。
13．【答案】M；N-B-A-C
【知识点】直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵MA+AC∴若公司安排一辆装有(a+c)吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且a>c，为使总的“吨千米数”最小，则应从M料库装运；
∵N(3，1)，A(1，3)，B(3，3)，C(5，3)，
∴NA=NC=2，NB=AB=BC=2，
∵a：b：c=3：2：1，
∴a=3c，b=2c，
当按N-A-B-C运输时：2×6c+2×3c+2c=(8+12)c24.97c；
按N-B-A-C运输时：2×6c +2×4c+(2+2)c=24c；
按N-B-C-A运输时：2×6c +2×4c+(2+2) ×3c=32c；
∵24c<24.97c<32c，
∴按N-B-A-C运输时，总的“吨千米数”最小，
故答案为：M；N-B-A-C．
【分析】关键是求平面直角坐标系内两点之间的距离，再对行进路线的总长度进行大小比较即可。
14．【答案】解：（Ⅰ）先根据点 的坐标描点，再连接 ，如图所示：
（Ⅱ） ，
轴， 轴，
，
即线段 与线段 的位置关系是平行；
（III）由题意，画出图形如下：
轴于 轴于 ，
，
，
，
设点 的坐标为 ，则 ，
三角形 的面积为 ，
三角形 的面积为 ，
三角形 与三角形 的面积相等，
，
解得 ，
则点 的坐标为 .
【知识点】点的坐标；平行线之间的距离；三角形的面积；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】( Ⅰ )根据坐标在坐标系中分别找出A、B、C、D四点，并把AB、CD连接起来即可；
( II )根据A、B两点的横坐标不相等，而纵坐标相等，得出AB∥x轴，同理得出 轴， 即可推出AB∥CD；
( III )先读出M、N的坐标，求出AB和CD的长， 设点 的坐标为 ，然后把△ABP和△CDP的面积分别用含a的代数式表示，然后根据面积相等，列方程求解，即可解答.
15．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：作关于轴对称点，仅当，，三点共线时值最小，
，，
，
∴MA+MB的最小值.
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）关于y轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此找出点D、E、F的位置，然后顺次连接即可；
（2）作A关于x轴对称点A′，仅当A′、M、B三点共线时值最小，则MA=MA′，A′（1，-2），MA+MB=MA′+MB=A′B，然后利用两点间的距离公式进行计算.
16．【答案】（1）解：∵
∴
又∵ ， ，且 ，
∴ ，
即 或 .
（2）解： ，
， ，
∴ ，
∴△ABC为直角三角形，
∴ .
（3）解：∵
∴该代数式可看成是点 与点 的距离和点 与点 的距离之和，当点 在点 与点 连接的线段上时最短为 ，
故 的最小值为13.
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理的逆定理；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）根据两点间的距离公式及AB=5，建立等式求出x值即可；
（2）根据两点间的距离公式先求出AB，BC，AC，然后利用勾股定理的逆定理可求出△ABC为直角三角形且∠C=90°，利用三角形的面积公式求解即可；
（3） 由于， 可知该代数式可看成是点(0，-2)与点(x，0)的距离和点(12，3)与点(x，0) 的距离之和，当点（x，0）在点(0，-2)与点 (12，3)连接的线段上时最短，据此求解即可.
17．【答案】（1）解：∵点A（7，3），B（2， ），
∴AB＝ .
（2）解：∵点A，B在平行于 轴的直线上，
∴AB＝ ＝8.
（3）解：∵原式＝ ，
∴原式表示点（x，y）到（0， 1）和（ 6，7）的距离之和.
∵两点之间线段最短，
∴点（x，y）在以（0， 1）和（ 6，7）为端点的线段上时，原式值最小.
∴最小值＝ ＝10.
【知识点】直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）直接利用两点之间的距离公式，可求出AB的长；
（2）根据平行于x的直线上任意两点间的距离等于这两点横坐标差的绝对值，可求出AB的长；
（3）利用已知可得到原式表示点（x，y）到（0， 1）和（ 6，7）的距离之和，利用两点之间线段最短，可知点（x，y）在以（0， 1）和（ 6，7）为端点的线段上时，原式值最小，即可求出其最小值.
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 19.10 两点的距离公式 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八下·河西期中）若有点，点，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】根据平面直角坐标系中两点距离公式：AB=；
故选：B
【分析】根据平面直角坐标系中两点距离公式计算可得答案。
2．（2022八下·无为期末）如图，在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点，点B是直线与y轴的交点，点P是x轴上的一个动点，连接PA，PB，则的最小值是（ ）
A．6 B． C．9 D．
【答案】D
【知识点】直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：作点A关于x轴的对称点，连接，如图所示：
则PA+PB的最小值即为的长，
将点A（3，a）代入y=2x，
得a=2×3=6，
∴点A坐标为（3，6），
将点A（3，6）代入y=x+b，
得3+b=6，
解得b=3，
∴点B坐标为（0，3），
根据轴对称的性质，可得点A'坐标为（3，-6）
∴，
∴PA+PB的最小值为．
故答案为：D．
【分析】作点A关于x轴的对称点，连接，先求出点B的坐标，再利用勾股定理求出，即可得到PA+PB的最小值为。
3．（2022八下·禹州期末）在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，6），则点A，B之间的距离是（ ）
A．2 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【知识点】直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：，，
.
故答案为：B.
【分析】若A（x，y），B（m，n）则AB=，据此计算
4．（2021九上·永定期末）如图，直线y=x+2与反比例函 的图象在第一象限交于点P.若 ，则k的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：由题意设
整理得：
在第一象限，则
故答案为：B.
【分析】根据直线上的点的坐标特点设 P（x，x+2），由坐标平面内两点间的距离公式求出OP2，结合OP的长可列出方程，解之可求出点P坐标，再将点P坐标代入反比例函数解析式中求出k值即可.
5．（2021八下·东莞期末）如图，点P是平面直角坐标系中一点，则点P到原点O的距离是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：如图，过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，则四边形OAPB为矩形．
∵P（1，2），
∴OA＝1，PA＝OB＝2，
在Rt△OPA中，∵∠OAP＝90°，
∴OP＝ ＝ ＝ ．
故答案为：D．
【分析】过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，则四边形OAPB为矩形．根据点坐标的定义得出OA＝1，PA＝OB＝2，再利用勾股定理即可求出OP的长。
6．（2021九上·织金期末）如图，直线 与坐标轴分别交于点 ，与若双曲线 交于点 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：A为直线y=kx﹣3（k≠0）与双曲线y=﹣ （x＜0）的交点，可得A满足双曲线的解析式，
可得： ，
解得： ，
即A点坐标为（-2，1），
A点在直线上，可得A点满足y=kx﹣3（k≠0），
可得： ，解得：k=-2，
一次函数的解析式为：y=-2x﹣3，
B为直线与y轴的交点，可得B点坐标（0，-3），
∴AB= = ，
故答案为：A.
【分析】将y=1代入反比例函数解析式可求出m的值，可得到点A的坐标；将点A的坐标代入一次函数y=kx-3，可求出一次函数解析式，由x=0求出对应的y的值，可得到点B的坐标，然后利用点A，B的坐标，根据勾股定理求出AB的长.
7．（2021八上·铁西月考）如图，若点，点，在x轴上找一点P，使最小，则点P坐标为（ ）
A．（－5，0） B．（－1，0） C．（0，0） D．（1，0）
【答案】C
【知识点】直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：根据题意要使|PA PB|最小，则PA＝PB即可，
设P（x，0），
∴，解得：x=0，
∴P（0，0）
故答案为：C．
【分析】要使|PA PB|最小，则PA＝PB即可.设P（x，0），根据PA=PB及坐标系内两点间的距离公式可得方程，求出x值即得结论.
8．（2023·宁波模拟）已知：、是正数，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解： ， 均为正数， ， ，
设 ，
从上式可以看出：第一个根号是表示点 到 的距离，第二个根号是点 到 的距离，
最小值为 注意取值范围： ，
最小值 ，
故答案为：A.
【分析】由已知得b=2-a，代入待求式子，根据坐标平面内来两点间的距离公式可得题目表示的是x轴上一点C（a，0）到A（0，1）、B（2，-2）的距离之和最小值问题，根据两点之间线段最短，用勾股定理算出最小值AB即可.
二、填空题
9．（2023·盐田模拟）如图，A，B是反比例函数图象上两点，，，，则 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的图象；三角形的面积；三角形全等及其性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：设A（m，）（m>0、k>0）
∵C（-2，0），D（4，0），
∴OC=2，OD=4.
∵△ACO≌△ODB，
∴AC=OD=4，S△ACO=S△ODB，AO=BO，
∴OC·|yA|=×OD×|yB|，
∴×2×=×4×yB，
∴yB=.
∵点B在反比例函数y=的图象上，
∴=，
∴x=2m，
∴B（2m，）.
∵AO=BO，
∴AO2=BO2，
∴m2+()2=(2m)2+()2，整理可得4m2=k2，
∴k=2m2，
∴A（m，2m）.
∵AC=4，
∴(m+2)2+4m2=16，
解得m=，
∴A（，），
∴k=×=.
故答案为：.
【分析】设A（m，）（m>0、k>0），根据点C、D的坐标可得OC=2，OD=4，由全等三角形的性质可得AC=OD=4，S△ACO=S△ODB，AO=BO，结合三角形的面积公式可得yB=，代入反比例函数解析式中可得x=2m，则B（2m，），根据AB=BO结合两点间距离公式可得k=2m2，则A（m，2m），根据AC=4可得m的值，据此可得点A的坐标，进而可求出k的值.
10．（2023·秀洲模拟）如图，在平面直角坐标系中， ， ，P是x轴上动点，连结 ，将线段 绕点A逆时针旋转 得到线段 ，连结 ，取 中点为M. 的度数为 ， 的最小值为 .
【答案】135°；
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：如图，过A作 轴，垂足为C，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ 绕点A逆时针旋转 得到 ， 是 中点，
∴ ， ，
∴ ，
过点Q作 ，垂足为D，
∵ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，即点Q的横坐标为1，则 ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴点M在线段 的垂直平分线上，
∴当M在 上时， 最小，且为 ，
故答案为：135°， .
【分析】过A作AC⊥x轴，垂足为C，根据点A、B的坐标可得AC=BC=2，∠ABC=45°，则∠ABP=135°，由旋转的性质可得∠PAQ=90°，AP=AQ，则AM=PQ， 过点Q作DQ⊥AC，垂足为D， 由同角的余角相等可得∠DAQ=∠APC，利用AAS证明△ADQ≌△PCA，得到DQ=AC=2，进而推出AM=BM，故当M在AB上时，AM+BM最小，然后利用两点间距离公式进行计算.
11．（2023九下·荆州月考）如图，在平面直角坐标系中，长为3的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，点、是y轴上定点，连接，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；平移的性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：如图，平移使点D落在点B处，连接，则点C的对应点为，即，
∵，，
∴点，
作点A关于x轴的对称点，此时点，C，在同一条线上时，最小，
∵，
∴，
连接，则的最小值为，
故答案为：.
【分析】平移CD使点D落在点B处，连接B′C，则点C的对应点为B′，即B′C=BD，易得B′（-3，4），作点A关于x轴的对称点A′，此时点A′，C，B′在同一条线上时，AC+BD取得最小值，为A′B′，然后利用两点间距离公式进行计算.
12．（2022·河西模拟）如图，在边长为4的等边中，D，E分别为，的中点，连接，F为的中点，连接，则的长为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：以点B为原点，BC所在的直线为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴建立平面直角坐标系，过点A作AE⊥BC，过点D作DG⊥BC，
由题意，得
点C的坐标为（4，0），E的坐标为（2，0），
∵等边三角形，E为BC的中点，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∴AE= AB×sin60°=，
又D，E分别是AB，BC的中点，∠ABC=60°，
∴△BDE为等边三角形，
∴DG= BD×sin60°=，
∴点D的坐标为（1，），点A的坐标为（2，），
∵F为DE的中点，
∴点F的坐标为（），
∴AF==．
故答案为：．
【分析】以点B为原点，BC所在的直线为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴建立平面直角坐标系，过点A作AE⊥BC，过点D作DG⊥BC，先证出△BDE为等边三角形，求出DG= BD×sin60°=，再求出点F的坐标，最后利用两点之间的距离公式求解即可。
13．（2022·石景山模拟）如图，某建筑公司有A(1，3)，B(3，3)，C(5，3)三个建筑工地，三个工地的水泥日用量分别为a吨，b吨，c吨．有M(1，5)，N(3，1)两个原料库供应水泥．使用一辆载重量大于(a+b+c)吨的运输车可沿图中虚线所示的道路运送水泥．为节约运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”（吨数×运输路程千米数）最小．若公司安排一辆装有(a+c)吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且a>c，为使总的“吨千米数”最小，则应从 原料库（填“M”或“N”）装运；若公司计划从N原料库安排一辆装有(a+b+c)吨的运输车向A，B，C三个工地运送当日所需的水泥，且a：b：c=3：2：1，为使总的“吨千米数”最小，写出向三个工地运送水泥的顺序 （按运送的先后顺序依次排列即可）．
【答案】M；N-B-A-C
【知识点】直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵MA+AC∴若公司安排一辆装有(a+c)吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且a>c，为使总的“吨千米数”最小，则应从M料库装运；
∵N(3，1)，A(1，3)，B(3，3)，C(5，3)，
∴NA=NC=2，NB=AB=BC=2，
∵a：b：c=3：2：1，
∴a=3c，b=2c，
当按N-A-B-C运输时：2×6c+2×3c+2c=(8+12)c24.97c；
按N-B-A-C运输时：2×6c +2×4c+(2+2)c=24c；
按N-B-C-A运输时：2×6c +2×4c+(2+2) ×3c=32c；
∵24c<24.97c<32c，
∴按N-B-A-C运输时，总的“吨千米数”最小，
故答案为：M；N-B-A-C．
【分析】关键是求平面直角坐标系内两点之间的距离，再对行进路线的总长度进行大小比较即可。
三、解答题
14．（2021八上·厦门开学考）在平面直角坐标系 中有 四点，其中 ， .
（Ⅰ）在下图中描出 四点，再连接 ；
（II）直接写出线段 与线段 的位置关系；
（Ⅲ）若 与 轴交于点 与 轴交于点 ，在线段 上是否存在一点 ，使得三角形 与三角形 的面积相等.若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】解：（Ⅰ）先根据点 的坐标描点，再连接 ，如图所示：
（Ⅱ） ，
轴， 轴，
，
即线段 与线段 的位置关系是平行；
（III）由题意，画出图形如下：
轴于 轴于 ，
，
，
，
设点 的坐标为 ，则 ，
三角形 的面积为 ，
三角形 的面积为 ，
三角形 与三角形 的面积相等，
，
解得 ，
则点 的坐标为 .
【知识点】点的坐标；平行线之间的距离；三角形的面积；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】( Ⅰ )根据坐标在坐标系中分别找出A、B、C、D四点，并把AB、CD连接起来即可；
( II )根据A、B两点的横坐标不相等，而纵坐标相等，得出AB∥x轴，同理得出 轴， 即可推出AB∥CD；
( III )先读出M、N的坐标，求出AB和CD的长， 设点 的坐标为 ，然后把△ABP和△CDP的面积分别用含a的代数式表示，然后根据面积相等，列方程求解，即可解答.
四、作图题
15．（2023八下·福州月考）按要求完成作图：
（1）作出关于轴对称的图形；
（2）在轴上找一点，使得MA+MB的值最小，最小为多少？
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：作关于轴对称点，仅当，，三点共线时值最小，
，，
，
∴MA+MB的最小值.
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）关于y轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此找出点D、E、F的位置，然后顺次连接即可；
（2）作A关于x轴对称点A′，仅当A′、M、B三点共线时值最小，则MA=MA′，A′（1，-2），MA+MB=MA′+MB=A′B，然后利用两点间的距离公式进行计算.
五、综合题
16．（2021八上·长沙期末）设两个点A、B的坐标分别为 ， ，则线段AB的长度为： .举例如下：A、B两点的坐标是 ， ，则A、B两点之间的距离 .请利用上述知识解决下列问题：
（1）若 ， ，且 ，求x的值；
（2）已知△ABC，点A为 、点B为 、点C为 ，求△ABC的面积；
（3）求代数式 的最小值.
【答案】（1）解：∵
∴
又∵ ， ，且 ，
∴ ，
即 或 .
（2）解： ，
， ，
∴ ，
∴△ABC为直角三角形，
∴ .
（3）解：∵
∴该代数式可看成是点 与点 的距离和点 与点 的距离之和，当点 在点 与点 连接的线段上时最短为 ，
故 的最小值为13.
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理的逆定理；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）根据两点间的距离公式及AB=5，建立等式求出x值即可；
（2）根据两点间的距离公式先求出AB，BC，AC，然后利用勾股定理的逆定理可求出△ABC为直角三角形且∠C=90°，利用三角形的面积公式求解即可；
（3） 由于， 可知该代数式可看成是点(0，-2)与点(x，0)的距离和点(12，3)与点(x，0) 的距离之和，当点（x，0）在点(0，-2)与点 (12，3)连接的线段上时最短，据此求解即可.
17．（2020八上·长沙月考）先阅读下列一段文字，再解答问题.已知在平面内有两点P1（ ， ），P2（ ， ），其两点间的距离公式为 ，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为 或 .
（1）已知点A（7，3），B（2， ），试求A，B两点间的距离；
（2）已知点A，B在平行于 轴的直线上，点A的横坐标为6，点B的横坐标为 ，试求A，B两点间的距离；
（3）应用平面内两点间的距离公式，求代数式 的最小值.
【答案】（1）解：∵点A（7，3），B（2， ），
∴AB＝ .
（2）解：∵点A，B在平行于 轴的直线上，
∴AB＝ ＝8.
（3）解：∵原式＝ ，
∴原式表示点（x，y）到（0， 1）和（ 6，7）的距离之和.
∵两点之间线段最短，
∴点（x，y）在以（0， 1）和（ 6，7）为端点的线段上时，原式值最小.
∴最小值＝ ＝10.
【知识点】直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）直接利用两点之间的距离公式，可求出AB的长；
（2）根据平行于x的直线上任意两点间的距离等于这两点横坐标差的绝对值，可求出AB的长；
（3）利用已知可得到原式表示点（x，y）到（0， 1）和（ 6，7）的距离之和，利用两点之间线段最短，可知点（x，y）在以（0， 1）和（ 6，7）为端点的线段上时，原式值最小，即可求出其最小值.
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