21.3实际问题与一元二次方程（3）——几何问题 课件（37张PPT）

(共37张PPT)
21.3实际问题与一元二次方程（3）
——几何问题
人教版九年级上册
教学目标
1.能正确利用一元二次方程的相关知识解决几何图形的面积问题.
2.经历将实际的几何问题转化为数学问题的过程，进一步深入体会一元二次方程在实际生活中的应用，提高数学应用意识.
知识回顾
实际问题
已知量、未知量、
等量关系
数学问题
一元二次方程
解的合理性
方程的解
作 答
求出
验证
符合实际
不合实际
建立
抽象
分析
如何用一元二次方程模型解决实际问题？
新知导入


A





新知探究
探究1 校园空地上有一面墙,长度为15m,用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃,如图所示.如果要围成面积是126m2的矩形花圃，请求出花圃的宽AB的长度.
A
B
D
C
分析：
设AB的长度为x m,
等量关系式:
S矩形ABCD =AB BC




则BC的长度为
（32-2x）m.
新知探究
解：设AB的长度为x m,则BC的长度为（32-2x）m.
列方程

解方程，得

A
B
D
C
思考：方程的两个根都符合实际意义吗
为什么
新知探究
探究1 校园空地上有一面墙,长度为15m,用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃,如图所示.如果要围成面积是126m2的矩形花圃，请求出花圃的宽AB的长度.
A
B
D
C

新知探究
解：设AB的长度为x m,则BC的长度为（32-2x）m.
列方程

解方程，得



（不合题意，舍去）.
答：AB的长度为9m.

A
B
D
C

新知小结
一般图形的面积问题，一般先设其中的一条边为x，用含x的代数式表示另一边，然后根据面积或周长公式列方程求解.最后，需要注意联系实际问题选择合适的解.
新知探究
2.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400 cm2 ，设金色纸边的宽为 x cm ，那么 x 满足的方程是 .
x
x


新知探究
2.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400 cm2 ，设金色纸边的宽为 x cm ，那么 x 满足的方程是 .
已知量
未知量
等量关系
矩形风景画长80cm，宽50cm；
S整个矩形挂图 =5400cm2 .
S四周边衬 + S矩形风景画 = S整个矩形挂图.
x
x


金色纸边的宽度相同；
金色纸边的宽xcm；
新知探究
分析：
2.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400 cm2 ，设金色纸边的宽为 x cm ，那么 x 满足的方程是 .
等量关系式
S四周边衬 + S矩形风景画 = S整个矩形挂图
（S1 +S2 +S3 +S4 +S5+S6 +S7 +S8 ）+S矩形风景画
= S整个矩形挂图

S3
S1
S2
S7
S4
S5
S6
S8



新知探究
解：设金色纸边的宽为 .
列方程
整理，得
还有其他方法吗？
2.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400 cm2 ，设金色纸边的宽为 x cm ，那么 x 满足的方程
是 .
x
x






新知探究
解：如图，设金色纸边的宽为
列方程
整理，得
2.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400 cm2 ，设金色纸边的宽为 x cm ，那么 x 满足的方程是
.

x
x







则整个挂图的长为 ，宽为 .
新知探究
探究2 要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
新知探究
S封面；
已知量
未知量
等量关系
探究2 要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
封面长 27 cm，宽 21 cm；
正中央矩形的长和宽；
S四周彩色边衬；
上、下边衬的宽度；

正中央矩形的长宽之比 = 封面矩形的长宽之比；
上边衬宽度=下边衬宽度；
左边衬宽度=右边衬宽度.
左、右边衬的宽度；
新知探究
分析：
S四周彩色边衬 + S中央矩形 = S封面；
等量关系式
可得
关系式1：
关系式:2：



新知探究
分析：
思考：上、下边衬的宽度和左、右边衬的宽度之比也
是9 : 7吗？尝试计算一下。
探究2 要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
封面的长宽之比是 27 : 21 = 9 : 7，
中央矩形的长宽之比是也应是 9 : 7.
新知探究
分析：
设中央矩形的长EF和宽EH分别是 9a cm和 7a cm .
则上、下边衬的宽度PE=FK= cm ；
则左、右边衬的宽度IE=HN= cm .
由此得上、下边衬的宽度和左、右边衬的宽度之比
PE : IE





新知探究
设上、下边衬的宽度PE、FK为 9x cm ，左、右边衬的宽度IE 、HN为 7x cm ，则中央的矩形的长EF为 cm ，宽EH为 cm .
列方程
分析：



新知探究
列方程
解：
设上、下边衬的宽均为 9x cm ，左、右边衬的宽均为 7x cm ，则中央的矩形的长为 cm ，宽为 cm .



封面的长宽之比是 27 : 21 = 9 : 7，中央矩形的长宽之比是也应是 9 : 7.设中央矩形的长和宽分别是 9a cm 和 7a cm ,由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是



新知探究
解方程，得

思考：方程的两个根都符合实际意义吗
为什么
整理，得

新知探究
探究2 要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
27 - (上边衬的宽度+下边衬的宽度)>0
且 21 -(左边衬的宽度+右边衬的宽度)>0
课堂练习
解方程，得
整理，得






而


（不合题意，舍去）.
新知探究


答：上、下边衬的宽约为 1. 8 cm，左、右边衬的宽约为 1. 4 cm.

新知探究
思考: 如果换一种未知数的设法，是否可以更简单地解决上面的问题？请你试一试.
探究2 要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
新知探究
分析：中央矩形的长宽之比EF:EH= 9 : 7.
设中央矩形的长EF、宽EH分别为 9x cm ，7x cm .
那么S中央矩形EFGH 可以表示为_________cm2.
上、下边衬的宽PE可以表示为___________cm；
左、右边衬的宽IE可以表示为___________cm .
9x · 7x


探究2 要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
新知探究
封面的长宽之比是 27 : 21 = 9 : 7，中央矩形的长宽之比是也应是 9 : 7.设中央矩形的长、宽分别为 9x cm ，7x cm .
分析：等量关系式
列方程
解方程，得
（不合题意，舍去）.
答：上、下边衬的宽约为 1. 8 cm ，左、右边衬的宽约为 1. 4 cm .
解：





课堂总结
2.如何找出等量关系？
1.如何处理未知量？
直接利用题目中给出的等量关系；间接找出等价的等量关系.
可以根据问题直接设未知量；也可以根据题目间接设未知量.
3.注意结果的实际意义，要进行检验.
课堂总结
列方程依据
常见几何图形面积是等量关系.
常见类型
课本封面的面积问题
一般图形的面积问题
新知练习
A.10 cm B.13 cm C.14 cm D.16 cm
1.将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为 3 cm 的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为 300 cm3，则原铁皮的边长为( )
D
解：设正方形铁皮的边长是 x 厘米，
则没有盖的长方体盒子的长、宽为(x-3×2)厘米，高为3厘米，
根据题意列方程得 (x-3×2)(x-3×2)×3=300，
解得 x1=16，x2=-4(不合题意，舍去)；
所以正方形铁皮的边长是16厘米．
新知练习
2.一个直角三角形的两条直角边的和是 14 cm，面积是 24 cm2.求两条直角边的长．
解：设一条直角边的长为 x cm，则另一条直角边的长为 (14－x) cm，
可得到 x(14－x)＝24，
方程可化为 x2－14x＋48＝0，解得 x1＝6，x2＝8.
当 x＝6 时，14-x＝14-6＝8；
当 x＝8 时，14-x＝14-8＝6.
所以两条直角边的长分别为 8 cm和 6 cm.
新知练习
20
32
x
x
解法一：设道路的宽为 x 米，则由题意得
3.如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，求道路的宽为多少.
整理，得 x2-52x+100=0，
解得 x1=2，x2=50，
当 x=50 时，32-x=-18，不合题意，舍去.
所以x=2.
答：道路的宽为2米.
还有其他解法吗？
新知练习
20
32
x
x
解法二：设道路的宽为 x 米，则由题意得
20-x
32-x
(32-x)(20-x)=540，
整理，得 x2-52x+100=0，
解得 x1=2，x2=50，
当 x=50 时，32-x=-18，不合题意，舍去.
所以x=2.
答：道路的宽为2米.
3.如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，求道路的宽为多少.
新知练习
4.在长为 160 m ，宽为 100 m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 13500 m2，求这种方案下的道路的宽为多少.
解：设道路的宽为 x 米，
(160-x)(100-x)=13500，
可列方程为
整理，得 x2-260x+2500=0，
解得 x1=10，x2=250(不合题意，舍去)，
所以x=10，
即道路的宽为10米.
谢谢
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